2024年新高中考试数学解答题模拟训练-导数（答案版）

【基础训练】专题06导数

1.(2023・辽宁•校联考二模)已知函数/■(x)=e'+sinx-cosx,f(x)为了⑺的导数.

(1)证明：当xNO时，f\x)>2;

(2)设g(x)=/(x)-2x—l,证明：g(x)有且仅有2个零点.

【答案】⑴证明过程见解析

⑵证明过程见解析

【分析】(1)令Mx)=e'+cosx+sinx,利用导数判断/z(x)的单调性，并求出其最小值即可证明；

(2)由(1)可知，g(x)在［0,+8)上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通

过构造函数即可证明g(x)在(-8,0)上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点,

即可得证.

【详解】(1)由尸(x)=e*+cosx+sinx,

设〃(x)=e，+cosx+sinx,贝=e*-sinx+cosx,

当xNO时，设p(x)=e*-x-l,4(x)=x-sinx,

y(x)=eA-l>0,q'(x)=l-cosxN0,

p(元)和q(x)在［0,+s)上单调递增，

p(x)2p(O)=O,q(x)2q(O)=O,

.,.当x20时，ex>x+\,x>sinx,

贝=e*-sinx+cosx>x+l-sinx+cos%=(x-sinx)+(l+cos%)>0,

二函数/?(x)=e*+cosx+sinx在［0,+(»)上单调递增，

/z(x)>/?(0)=2,

即当尤NO时，r(x)>2；

(2)由已知得g(x)=e*+sinx_cosx_2x_］,

①当xWO时，

g,(x)=ex+cosx+sinx-2=/,(x)-2>0,

g(X)在［0,+向上单调递增,

XVg(0)=-l<0,g(兀)=e"—27t>0,

...由零点存在性定理可知g(x)在［0,+e)上仅有一个零点，

②当x<0时，

设则硝xj⑸7九0,

加⑺在(-8,0)上单调递减，

e%+cosx+sinx-2<0,

g,(x)=eA+cosx+sinx-2<0,

g(x)在(T»,0)上单调递减,

又•.•g(0)=—l<0,g(—兀)=片"+2%>0,

由零点存在性定理可知g(x)在(-8,0)上仅有一个零点，

综上所述，g(M有且仅有2个零点.

2.(2023•陕西咸阳•校考模拟预测)已知函数/(x)=e，+aln(f)+l,八尤)是其导函数，其中aeR.

⑴若在(-8,0)上单调递减，求。的取值范围；

(2)若不等式/(%)</对Vxe(f,0)恒成立，求a的取值范围.

【答案】⑴

(2)

【分析】(1)求出导函数:(无)=e'+?,根据/(尤)在(-8,0)上单调递减，可得广(x)=e，+詈。在(-8,0)上

恒成立，分类参数可得a2—二，在(-8,。)上恒成立，令g(x)=fe，,(x<0),利用导数求出函数g(尤)的最

大值即可得解;

(2)将已知不等式转化为〃111(一%)-旦+1VO对Vx£(-oo,0)恒成立，令/z(x)=Qln(—x)-4+1,(%<0),在对

XX

。分类讨论，求出可可的最大值小于等于0,即可求出答案.

【详解】(1)解:/(X)=>+§

因为/(九)在(-8,0)上单调递减，

所以1(%)=/+3<0在(—8,0)上恒成立，

X

即a2fer在(-*0)上恒成立，

令g(x)=-x.e*,(x<0),

贝!]g'(x)=-e"-xeX=-(x+l)ex,

当x<-L时，g'(x)>0,当-l<x<0时，g'(x)<0,

所以函数g(x)在上递增，在(T。)上递减，

所以g(x),3=g(T)=]

所以a的取值范围为

(2)解：由/(x)W/'(x)得aln(T)+l<f,

BPtzln(-x)--+1<OX^VXG(一8,0)恒成立，

h(x)=aln(-x)--+1,(x<0),

x

现归+十用,(x<。)，

当a=0时，/z(x)=l,不满足Zz(x)40；

当a>0时，x<-l时，h'(x)<0,-l<x<0时，h\x)>0,

所以函数人⑺在(―,-1)上递减，在(-L0)上递增，

所以/zaL-M-lba+l〉。，不符合题意；

当a<0时，x<-L时，〃(x)>0,—1<%<0时，/«x)<0,

所以函数力⑺在上递增，在(T。)上递减，

所以无⑺111ax=MT)=a+l«O,解得aV-h

综上所述，。的取值范围(f,-1].

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想

和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.

3.(2023春・天津•高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期末)已知函数/(x)=lnx-依(aeR).

(1)若x=l是/⑺的极值点，求。的值；

⑵求函数“X)的单调区间；

⑶若函数〃x)在[Ie?]上有且仅有2个零点，求。的取值范围.

【答案】⑴1

⑵答案见解析

【分析】(1)由题意，求导得/(£),然后根据广⑴=。，即可得到结果;

(2)由题意，求导得尸(x),然后分aW0与a>0两种情况讨论，即可得到结果;

(3)由题意，构造函数gx)=U1n?X,将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像即可得到结果.

X

【详解】(1)因为尸(元)=1一。=匕竺

XX

则(⑴=0,即1-a=o,所以a=l,经检验符合题意

(2)/(x)=lnx-tzr(aeR),则尸(无)=!一°=^—―.

当a40时，/^x)>0,〃x)在(0,+。)上单调递增；

当a>0时，由尸⑺=0,得x=L

a

若0<x<：,则因吊>0；若x>:,贝lJ/(x)<0.

当a>0时，/(x)的单调递增区间为5],单调递减区间为+8)

综上所述，当aWO时，函数/(x)的增区间为(0,+")；

当a>0时，函数〃x)的增区间为(0,£|,减区间为

(3)当尤e［l,e2］时，由〃同=0可得”―，令8(尤)=?,其中xepe?］,

则直线>与函数g(x)在［1,/］上的图像有两个交点，

g,(x)=上手，当i<x<e时，gQ>0,此时函数g(“单调递增，

当e<尤<e?时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减.

所以，函数g(x)的极大值为g(e)=L且g⑴=0,g(e2)=4,如下图所示:

ee

1

2

e2

由图可知，当，时，直线与函数g(x)在口］］上的图像有两个交点,

-2

因此，实数〃的取值范围是—-

|_eej

4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(尤)=/(这2_丈+1).

(1)求曲线y=/(无)在点(o,/(o))处的切线的方程；

(2)若函数/a)在x=o处取得极大值，求。的取值范围；

⑶若函数/(尤)存在最小值，直接写出。的取值范围.

【答案】⑴y=i

⑵(-CO,；)

⑶收

【分析】(1)先求导后求出切线的斜率7(0)=0,然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程;

(2)根据函数的单调性和最值分类讨论；

(3)分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.

【详解】(1)解：由题意得：

f(x)=ex(ax2-x+l+2ax-1)=e%(ax2+2ax-x)

f(0)=0,/(0)=l

故曲线y=/（无）在点（0"（0））处的切线的方程，=L

（2）由（1）得要使得/（%）在x=0处取得极大值，f（X）在x<0时应该/（尤）>0,f（X）在x>0时应该f\x）<0,

f（x）=xcx{ax+2Q-1）

故①。<0且匕即<0,解得a<0

a

②。>0且^^>0,解得0<aJ

a2

当a=0时，f（x）=-xex,满足题意；

当时，/W=1x2e\不满足题意；

综上：。的取值范围为.

（3）可以分三种情况讨论：®G<0®0<o<|（3）a>|

若。<0,Ax）在（-j匕网）上单调递减，在（匕网,0）单调递增，在（0,+8）上单调递减，无最小值；

aa

若时，当x<0时，X趋向-8时，/（X）趋向于0；当x>0,要使函数取得存在最小值

/（匕必）=0子［。（匕必）2-工^+l］=ae-（4a-l）V0,解得OvaJ,故x=匕四处取得最小值，故。的取值

aaa4a

范围（o，；.

若a2g时，/（X）在X趋向-co时，/⑺趋向于0,又/（0）=1故无最小值；

综上所述函数〃力存在最小值，。的取值范围.

5.（2023春•黑龙江•高二富锦市第一中学校考阶段练习）己知函数/（x）=（x-l）e'-ax.

（1）讨论f（x）的极值点的个数；

⑵若函数“X）有两个极值点如超，证明：再％<1.

【答案】（1）答案见解析

⑵证明见解析

【分析】（］）“X）的极值点的个数等价于/（x）=xe，-。=0的解的个数，分离参数“得.=启，构造函数

g（x）=xe工，求导分析，作出其图象，数形结合可得〃x）的极值点的个数；

I/、/、va

(2)由(1)可知一一＜。＜0,设玉＜々，贝I]玉e(yo,-l),x2G(—1,0),由占d一。=0得e"=—，取对数得

e玉

王=ln(—a)-ln(—±),同理％=ln(—a)-ln(—%)，进一步分析可得而奇冷匕=1.最后利用分析法与

换元法，将问题转化证明te(0,l)即可.

t

【详解】⑴解：由题意得，/(%)=xel-«=0,即”=无],故令g(x)=xe)

所以函数的极值点的个数的等价于g(x)=xe"与y的交点个数.

g'("=e"(x+l)，

g〈x)＞0得x＞-Lg[x)＜0得x＜T；

所以g(X)在(f，T)上单调递减，在(-1,y)上单调递增,

所以g(x)极小值=g(T)=-[

因为当x趋近于—时，g(x)趋近于0,当x趋近于+8时，g(x)趋近于+以

所以g(x)的大致图象如图：

由图可得，

当时，/(x)=xe=a20恒成立，函数单调递增，极值点的个数为0；

当-!＜。＜0时，g(x)=xe*与y=。的交点个数有两个，分别设为外,三且为V尤2，

e

当.(—，可口®，”)时,/(x)＞。，%€(石,%2)时，f(^)＜0,故函数“X)有两个极值点；

当°20时，g(x)=xe，.与y=a的交点个数有两个，不妨设为Z,则当xe(yo，F),,(尤)＜。，当xe(w，+oo)

时，/(x)>0,故函数有1个极值点.

(2)证明：因为函数/(x)有两个极值点，由(1)可知-!<。<0

e

设占<%,则%€(-8,-1),々€(-1,0),显然占了2>°，

x

所以，由极值点的概念知，Xte'-<7=o,故炉=色，

百

所以玉=ln(-a)-ln(-芯)，

同理/=ln(-a)_ln(-无2),

两式相减得％=足(一々)-1n(-西)，

即广]口(一%吉2)—1口小(一七)=L

另一方面，要证再尤2<1，只需证‘用》2<],即记^—x)(7()x)>1*声2

因为再<尤2，所以-尤1>一々,

故上式可化为In(-x2)-In(-xj>(R(*)

则te(0,l),上式即为In』>”［，re(0,1).

t

令〃(r)=ln/-/+-=21nr—r+-(0<f<l),

tt

则〃")=2一i_5=21J=<0,故h(t)为减函数,

tttr

所以/?⑺>/?⑴=0,即原命题得证.

t

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，利用导数证明不等式；考查分类讨论思想，运算求解能力,

是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得％e(e,-1),%e(-l,0),进而根据极值点的导数值

为0等价转换得玉=m(-4)-111(-%),进而将问题转化为111至'再结合换元法证明"

X1

代(0,1)即可.

6.(2023•陕西西安・交大附中校考模拟预测)已知函数/(X)=办+COSX(OWX4»M£H).

⑴当a=|时，求/(X)的单调区间;

3

(2)若函数/(x)恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M,加，求证：

【答案】⑴单调递增区间为(。丁)、(苧,万)，递减区间为(9,苧);

6666

⑵证明过程见解析.

【分析】(1)利用函数的导数性质进行求解即可；

(2)根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可.

【详解】(1)当a=g时，/(尤)=；"r+cosx=>/(尤)=；-sinx,

当xe(O,令时，/(x)>OJ(x)单调递增,

当xe®卷时,/(x)<O,/(x)单调递减,

当无㈤时，/'(x)>O,〃x)单调递增，

O

所以函数的单调递增区间为(0,3)、(7,%)，递减区间为(£，7)；

6666

(2)=ov+cosxn/(%)=〃-sin%,

因为函数/(%)恰有两个极值点，所以方程/(%)=〃-sin%=0有两个不相等的实根,

■TT

设为小%且X]<马，因为函数y=$皿_¥当OWxW万时图象关于直线x=5对称，

所以X+%="，即sin玉=sinx2=a,

因为所以4£。1),

当xe(0j)时，/‘a)>O,"x)单调递增，

当xe(玉,/)时，/(x)<0J(x)单调递减,

当%)时,/(x)>0J(x)单调递增,

所以不，力分别是函数的极大值点和极小值点，

即"=/(%)=叫+cos%i,m=f(x2)=ax2+cosx2,

于是有2M-加=2(oX]+cos%])-(ox?+cos%2),因为玉+9=%，所以％2二%一项，

所以2M-m=33+3cosxx-a7i,而sin芯二〃，

所以2M一根=3%sin%+3cos%-Trsin^

设(玉)=2M-m=3xisin王+3cosxx—7tsinxx,0<x1<—,

h(xj=(3x-兀)cosM,

当0</时，"(玉)<0,力(王)单调递减，

当§<玉<耳时，/z(芯)>0,7z(X])单调递增，

所以当占=?时，函数有最小值，即M占:U=/?(9)=|,

33

因此有/?(%!)>—,即2M

【点睛】关键点睛：根据极值的定义，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性是解题的关键.

7.(2023•江苏无锡•辅仁高中校考模拟预测)已知函数/(%)=-%+In%,g(x)=xcx-2x-m.

⑴求函数/(X)的极值点；

(2)若/(x)Wg(x)恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】⑴x=l是"力的极大值点，无极小值点

{2}m£l

【分析】(])首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；

(2)解法一，首先构造函数/z(x)=/(尤)-g(x)=lnx+x-xe*+〃2,xe(0,+co),再根据函数的导数，判断函

数的最大值，即可求解机；解法二，首先证明e*2x+l,即可得xe，=eAM'2x+lnx+l,BP-x-lnx>l,

不等式恒成立，转化为xe「x-lnx2m,即可求解加.

【详解】(1)由已知可得，函数“X)的定义域为(。,+8),且/'(力=9，

当Ovxvl时，>0；当x>l时，/r(x)<0,

所以的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为

所以x=l是/(%)的极大值点，无极小值点.

(2)角窣法一：i^h(x)=f(x)-g(x)=\nx+x-xex+m,xG(0,+oo),

则h\x)=-+l-(x+l)e'=(x+l)|--ex|,

令f(x)=L-e，，XG(0,+CO),贝ij«x)=--<0对任意xe(0,+oo)恒成立，

XX

所以f(x)=1-e，在(0,+8)上单调递减.

X

又(；)=2-&>0,r(l)=l-e<0,

所以使得《％)='-e"=0,即工=e4，则lnL=lne加，即-lnx°=x。.

因此,当0<%<不时，Q)>0,即〃(%)>0,则以幻单调递增；

当力时,t(x)<0,gphr(x)<0,则为。(单调递减，

故无(X)max=h(x0)^1nx0+x0-+m^0-l+m<0,解得〃z£l，

所以当加£1时，〃x)4g(x)恒成立.

解法二：令〃z(x)=e"-x-l,m,(%)=er-l,当x<0时，加(x)<0；当x>0时，m(x)>0,

所以加(无)在(-。,0)上单调递减，在(0,+功上单调递增，

所以加(力之"2(0)=0,即e*2x+l.

因为xe'e"1',所以xe-e'+n,Nx+lnx+l,当x+lnx=0时等号成立，

即无e*—尤-In尤21,当x+lnx=0时等号成立，

所以y=xe'-x-lnx的最小值为1.

若/(x)<g(x)恒成立，则xex-x-\nx>m,

所以当机£1时，〃x)Vg(x)恒成立.

8.(2023春•四川成都•高二四川省成都列五中学校考阶段练习)设x=-3是函数/(耳=依3+法2一3%+。的一

个极值点，曲线y=/(x)在x=l处的切线斜率为8.

⑴求的单调区间；

⑵若在闭区间［-1,1］上的最大值为10,求。的值.

【答案】⑴单调递增区间是(―,-3)和,,+j,单调递减区间是13,j

(2)4

【分析】(1)求导后，根据求出“1,再利用导数可求出单调区间;

（2）根据（［）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.

/(-3)=0

【详解】（1）/，（x）=3ax2+2fe-3,由已知得

广⑴=8'

27a—66-3=0

得,解得Q=1/=4.

3々+26-3=8

于是尸(X)=3X2+8X—3=(X+3)(3X—1),

由/得x<—3或x>；,由_f（x）<0,得一3<x<；,

可知x=-3是函数“X）的极大值点，0=1乃=4符合题意，

所以的单调递增区间是（-%-3）和［,+s］,单调递减区间是13,）

（2）由（1）知/（%）=d+4f—3x+c,

因为/（X）在区间T，j上是单调递减函数，在］:,1上是单调递增函数,

又/⑴=2+c<〃-l）=6+c,

所以的最大值为/（-l）=6+c=10,解得c=4.

9.（2023春•宁夏银川•高二银川唐往回民中学校考阶段练习）已知函数/（x）=g尤2+。一a）x+（。-2）ln尤,

其中（2GR.

⑴若0=1,求函数/■（》）的极值;

⑵讨论函数“X）的单调性.

【答案】⑴不存在极大值；存在极小值，且极小值为

（2）见解析

【分析】（1）由导数得出单调性，进而得出极值；

（2）求导，讨论。-2和1的大小关系，得出函数〃x）的单调性.

【详解】（］）若。=1，则”x）=gx2-lnx,xe（O,+<x>）,

尸（x）=」=（x+l）（l）,令/⑺=0,得x=l.

XX

当了'（x）<0时，九£（0,1）；当时，X£（l,内）.

所以，八%）在区间（0,1）上单调递减，在区间（l,y）上单调递增.

/（X）不存在极大值；存在极小值，且极小值为了⑴二3.

⑵-⑴…~+*="+2）（x。尤qo.+oo）.

XX

①若a-240,即aV2,则令尸（%）=0,得x=l.

当尤€（0,1）时，/'（x）<0；当xe（l,+oo）时，>0.

所以，〃x）在区间（0,1）上单调递减，在区间（1,收）上单调递增.

②若0<。一2<1,即2<a<3,贝！I令/''（x）=0,得x=l或x=a-2.

此时，〃尤）的单调性如下表所示：

(O,a-2)(a-2,1)

X〃—21(1,+°0)

尸⑺

+0—0+

“尤）极大值、极小值

③若“=3,则当xe（O,y）时，/（尤）=（±二9_20，当且仅当x=l时，等号成立.

此时，f（x）在区间（0,+s）上单调递增.

④若〃一2>1,即〃>3,贝！J令/'（%）=0,得％=1或x=a—2.

此时，"%）的单调性如下表所示：

(。,1)(l,a-2)

X1CL—2

+0—0+

/（尤）>

极大值、极小值

综上：aW2时，f（x）在区间（。,1）上单调递减，在区间。,收）上单调递增;

2<a<3时，在区间（0,。-2）,（1,a）上单调递增，在区间上单调递减;

。=3时，“X）在区间（0,+“）上单调递增

4>3时，“X）在区间（0,1）,2,y）上单调递增，在区间（1,。-2）上单调递减;

【点睛】关键点睛：在判断函数/'（X）的单调性时，关键在于讨论a-2和1的大小关系，利用导函数的正负

来判断单调性.

111

10.（2023•全国•高三专题练习）在锐角；ABC中，角45c的对边分别为。，dc,且依

tanB'sinA'tanC

次组成等差数列.

2

⑴求一的值;

be

⑵若》>c,求空J的取值范围.

a

【答案】（1）2

⑵")

111

【分析】（1）根据成等差数列结合三角恒等变换可得sin2A=2sinBsinC,由正弦定理即

tanB'sinA'tanC

2

可求得幺的值;

be

_b_i_「2

（2）由（1）得/=2"，根据锐角三角形结合余弦定理可得士的取值范围，将二萼转化为

aa

b2+c2bc

—+—,令-二兀£(1,1+V^),设=gx+根据函数单调性确定函数取值范围，即得

a22cb

b2+c2

的取值范围.

a1

211cosBcosCsinCcosB+cosCsinBsin(C+B)sinA

【详解】（1）由条件得：---------1---------

sinAtanBtanCsinBsinCsinBsinCsinBsinCsinBsinC'

所以sin2A=2sinBsinC,

2

由正弦定理得：a2=2bc,所以幺=2.

be

cosA>0

(2)b>cRa2=2bc,贝|3>C,角C一定为锐角，又.ABC为锐角三角形，所以

cosB>0

b2+c2-a2b2+c2—2bc

>022

2bc^{b+c-2bc>0

由余弦定理得：22牛2所以2历+。2一/>0,

^［2bc+c2-b2>0

2bc+c2-b2

>0>0I

、laclac

口叫2<l+2『)解得:1-V2<|<1+V2,

所以*1,1+0).

x->i

c

_b1+c2b2+c21(bc\

又丁二M同发

令2=xe(l,l+0),则方［c=〃x)=；［x+!

(x+l)(x-l)

>0,

2x2

所以〃x)在+上递增，又/(1)=1,/(1+A/2)=A/2,

b2+c2

所以

a2

11.(2023•江苏淮安•江苏省旺胎中学校考模拟预测)已知函数"%)=(尤2-ax)lnx-|/+2tu,aeR.

⑴讨论的单调性；

(2)若求证：/(x)尤.

【答案】⑴答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(工)先求导，然后对参数进行分类讨论.

(2)利用求导及零点定理及构造法解函数不等式.

【详解】(1)因为“无)=(无之-依加彳一：/+2公，

所以广⑴=(2x-a)ln%+^x2-ax)---3x+2a=(2x-a)(lnx-l)(x>0)

①若a<0,则2x—a>0,所以当x40,e)时，f'(x)<Q,〃x)单调递减，当xe(e,+e)时，>0,/(x)

单调递增

②若0<"2e,则Ive,所以当xe|j,ej时，f（x）<0,〃x）单调递减，当xe/,3或xw（e,+a）时,

制x）>0,〃x）单调递增；

③若a=2e,贝1]/'（无）2。，在（0,+e）上单调递增；

④若a>2e,则|>e,所以当xqe，T时，f'（x）<0,〃x）单调递减，当xe（0,e）或xe，,+，]时，

/^x）>0,/（x）单调递增.

综上，当aWO时，〃x）在（O,e）上单调递减，在（e,+a）上单调递增；

当0<a<2e时，在，,e）上单调递减，在，£|,（e,+s）上单调递增；

当a=2e时，人力在（。,+8）上单调递增；

当a>2e时，在鼻上单调递减，在（0,e）,（去上单调递增.

535

（2）因为兀>0,所以/（%）一2）x,BP（x-di）lnx--x+2^>—（6Z-2）

,（x-Q）lnx—x--F5>0

v722

设g（犬）=（1一〃）In1一^尤一£+5

则g'（x）=lnx-?-g,易知g'（x）在（0,+e）上单调递增

因为l<a<2,所以g'（2）=ln2_£_g<0,gf（4）=ln4-^-1>0

所以存在fe（2,4）,使得g«）=0

所以ln/=3+g,8（可在（0,。上单调递减，在亿+8）上单调递增

所以8（苫）*（。=64）111/_17_5+5=（-4）（£+；]_»^+5=5_）+-]

乙乙I乙）乙乙\t]

2222

设Mr）=r+?（2<x<4）,贝IJ〃⑺=1-3>0,丸（。在（2,4）上单调递增，所以/+?<4+?<5

所以g（x）>0,即〃x）>g（"2）x.

12.（2023春•新疆昌吉•高三校考阶段练习）已知函数/（x）=d—-1,。*0.

e+a

⑴当a=l时，

①求曲线y=/（尤）在X=0处的切线方程；

②求证：/⑺在(。,+◎上有唯一极大值点;

⑵若没有零点，求。的取值范围.

【答案】⑴①y=gx-i；②证明见解析

(2){-l}u(0,e2)

【分析】(1)①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；

②令g⑺=eT+l-^e\利用导数判断出g(x)在(0,+8)上有唯一零点%,利用列表法证明出/(%)在(0,+co)上

有唯一极大值点；

(2)令/7(x)=e*+a-av.对。分类讨论：①。<0,得到当。=一1时，/*)无零点；②。>0,了⑺无零点，

符合题意.

【详解】(1)若。=1，则〃尤)=-^T，­(力=，)1一芋.

'，e+17(e+1)

,“八\1+11

①在x=0处，==f(0)=-l.

(1+1)2

所以曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为y=gx-L

②令g(x)=e*+l-xe*,gf(x)=-xer,

在区间(0,+s)上，g'(x)<0,则g(x)在区间(0,+s)上是减函数.

又g(i)=1>0,g(2)=-e2+1<0,,

所以g(x)在(0,+划上有唯一零点看.

列表得：

X(O,^o)与(尤0，+00)

f,M+0-

f(x)*极大值、

所以了⑺在(0,+8)上有唯一极大值点后.

令〃(x)=e*+4—av,贝!]=e*—a.

①若。<0,则/（x）>0,力（无）在R上是增函数.

因为力［工）=.一1+a<0,/z（l）=e>0,

所以〃（x）恰有一个零点看.

令e殉+a=0,得％=ln（—a）.

彳弋/Z（XQ）=0,彳导_a+ci_aln（_a）—0,

解得a=—l.

所以当a=-l时，〃（的的唯一零点为0,此时“元）无零点，符合题意.

②若。>0,此时/（九）的定义域为R.

当x<Ina时，”（%）v0,/?（%）在区间（-co,Ina）上是减函数；

当x>In〃时，h\x）>0,/i（x）在区间（Ina,+8）上是增函数.

所以MX）*=h（\na）=2a-aina.

又7z（0）=l+a>0,

由题意，当2〃一alna>0,即Ovave?时，/（九）无零点，符合题意.

综上，a的取值范围是｛-1｝口（。，/）.

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围.

Y—Z7

13.（2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知函数/（切=〒：.

⑴若曲线y=/（x）在点（2,/（2））处的切线斜率为T,求。的值；

（2）若在。，―）上有最大值，求。的取值范围.

【答案】（1）。=一1

⑵（L"）

【分析】（1）由已知可得/'（2）=-1,即可求得实数。的值;

（2）分aWO、0＜«＜K三种情况讨论，利用导数分析函数/（》）的单调性，利用函数的最值与极值

的关系可求得实数。的取值范围.

【详解】⑴解：函数〃x）=若的定义域为{%|X。±1},

%—1—2x(%—a)—%?+2izx—1

22

4〃一S

由已知可得/'（2）="产=-1,解得a=—l.

—x+2ax—12

（2）解：因为广（外=^~2~~，令且(%)=-/+2办一1(%>1).

①当时，对任意的x〉l,glHu—V+Z办一1＜0恒成立，贝!

此时函数/（X）在。,”）上单调递减，没有最大值；

②当0＜aWl时，8（力=一f+2逐一1在（1,+«））上单调递减，贝|g（x）＜g（l）WO,贝1]/'（力＜0,

此时函数/（X）在。,收）上单调递减，没有最大值；

③当0＞1时，方程:一V+2ax-l=0的两根分另U为王=a-,尤,=a+Ja?-1，

由a＞l可知。＜再＜1＜。＜々，列表如下:

(1,a+Ja?-1)

CL+—1(〃+—L+oo)

X

(⑺

+0—

/W增极大值减

所以函数/（X）在x=a+V7=I处取得最大值，

综上所述，实数。的取值范围是。,内）.

14.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=lnx-x.

⑴求证：/（%）＜-1；

(2)若函数=4(x)+'(aeR)无零点，求a的取值范围.

【答案】⑴证明见解析；

(2)(-<»,0](-,+oo).

e

【分析】(1)求出广(切=宁，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.

(2)分。=0,。<0,。>0三种情况讨论，当。>0时求出"(x),利用导数可得函数最大值，根据无零点建立

不等式求解，当a=0,a<0时，可得阿x)>0满足无零点.

【详解】(1)1(x)=T，

则当0<x<l时，/^x)>0,当X>1时，r(x)<0,

故〃x)在(0,1)上为增函数，在(L”)上减函数，

故〃xL="l)=T即

(2)h(^x)=a\nx-ax+^,故"⑺二』。切+1_^=(]_苫)(区+!),

X

当1=0时，/%)=下>0,以尤)在定义域上无零点；

ex

当〃>0时，x>0,故—F—>0,

Xe

所以当Ov%vl时，〃(x)>0,当x〉l时，

故力⑺在(0,1)上为增函数，在(L+s)上减函数，

因为函数/2(力无零点，故〃(无)1mx=始)=一。+：<0,即(?>：；

当。<0时，因为/(x)VT,所以4(lnx-x)>0,

X

KPh(x)=Q(lnx-x)-\>0,

ex

所以以X)在定义域上无零点.

综上，a的取值范围是(-℃,0]d,+°°).

e

15.(2023•河北•校联考一模)已知函数/(%)=5皿晨+依2.

⑴当。=1时，求〃x)的单调区间；

(2)若xe0,j,不等式sin(2cosx)+4dN叭x)恒成立，求实数0的取值范围.

【答案】(1)/(。在(-双。)上单调递减，在(。,+巧上单调递增；

(2)(F0].

【分析】(1)当。=1时，对函数求二阶导可以得到二阶导大于等于零，即无<0,r(x)<。，尤>0时，/⑸>0,

即可得到答案.

(2)根据题意有不等式sin(2cosx)2asin2x恒成立.令cosx=r目0,1],则等价于不等式

sin2/>a(l-r2)……(*)恒成立，

①若f=l,不等式(*)显然成立，此时aeR

②若0VY1时，不等式(*)等价于平乌.求出售的最小值即可得到答案.

1-r1-r

【详角军】(1)f(^)=2sinxcosx+2x=sin2x+2x,

•；r(0)=0,所以x=0是尸(X)的一个零点.

又令//(x)=g(x)，g1(x)=2+2cos2x>0,则x<0,f'(x)<0,x>0时,f'(x)>0

在(-8,0)，单调递减；在(0,+8)单调递增

(2)不等式sinQcosxl+ay2#1⑺在及上恒成立，即不等式sin(2cosx)2asii?x恒成立.

令cosx=/e[0,1],则等价于不等式sin2后a(1-巧……(*)恒成立,

①若f=l,不等式(*)显然成立，此时aeR

②若OVtVl时，不等式(*)等价于aW浮

c-n9f211一力cos2t+tsin2t]

设打当。<，<i时，^(o=—~~；~—

令O(，)=(l-rkos2，+，sin2，(0d<l),则夕，⑺二(2/一1bin2/,0<r<1,

=-cos5/2+^-sin\/2>0

I2J22

.•."(r)>0,/«)在［0,1)单调递增，%nG)=Mo)=o

a<Q

综上所述，满足题意的实数。的取值范围为（3,（）］.

16.（2023•青海西宁・统考一模）已知函数/（犬）=111犬+3犬2-（。+1）乂>€阳，g（x）=/（x）-x2+（a+l）x.

⑴讨论了（尤）的单调性;

（2）任取两个正数为,当玉<々时，求证：g（xj-g（x2）<2（**）

I

【答案】（1）答案见解析;

（2）证明见解析.

【分析】（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数。进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函

数的单调性；

（2）求出g（x）,运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数

的单调性，进而证明原不等式成立.

【详解】（1）（（无）=4+6_（〃+1）=-D.一1）（尤>0）

XX

当〃40时，ax-1<0,令/'（x）>0,得Ov尤vl；令/'（x）<0,得x>l.

所以/⑴在（0,1）上单调递增，在（L+8）上单调递减.

当。<工<1,即°>1时，令广（劝>0,得o<x<工或%>1；令r（无）<0,得L<x<i.

aaa

所以了⑶在1o,£|,（L+⑹上单调递增，在上单调递减.

当工=1,即a=l时，广（x）20恒成立，所以/⑺在（0,+8）上单调递增.

a

当1>i,即0<〃<1时，令r（x）>o,得o<x<i或%>匕令r（x）<o,得i<x<L

aaa

所以/\x）在（o,i）,上单调递增，在［i,£|上单调递减.

综上所述，

当440时，/⑺在（0,1）上单调递增，在（1,心）上单调递减;

当0<“<1时，“X)在(0,1),［•,+■»)上单调递增，在［1,］上单调递减;

当〃=1时，/(%)在(0,+°°)上单调递增；

当々>1时，/(X)在(o,—1,(1,+8)上单调递增，在［—,1)上单调递减；

(2)证明：由题意得，g(x)=lnx.

要证g«)一g(%)<2,［：),

只需证In%-lnx2〈幺闩—,

玉十々

即证In上〈红包，

x2%+%

即证ln&<

工+i

x2

令/二」~Jw（0』）,

%

所以只需证In，〈也二»在，e(0,l)上恒成立，

t+1

即证(f+1)In/-2(1-1)<0在［£(0』)上恒成立.

令h(t)=(t+I)］nt-2(^-1),则hr(t)=lnt+--l

tf

令m(t)=lnt+--lf则m'(f)=--\=<0.

tttt

所以相⑺在(0,1)上单调递减，即〃⑺在(0,1)上单调递减，

所以w)>〃⑴=0,所以h(t)在(0,1)上单调递增,

所以//⑺<〃⑴=0.

所以g(xj-g(x?)<2(*").

17.(2023春•福建厦门•高二厦门市湖滨中学校考期中)己知函数〃力=，-依-1.

⑴当。=1时，求"%)的单调区间与极值；

⑵若〃在尤40,内)上有解，求实数。的取值范围.

【答案】(1)在(-8,0)上单