2023年全国卷高考数学真题题源按解读 平面向量含详解

专题03平面向量

目录一览

①2023真题展现

考向一平面向量的数量积的运算

考向二平面向量的夹角

②真题考查解读

③近年真题对比

考向一平面向量的数量积的运算-

考向二平面向量的模长

考向三两个向量的垂直问题

考向四两个向量的平行（共线）问题

④命题规律解密

⑤名校模拟探源

⑥易错易混速记

：2。23年真题展现

考向一平面向量的数量积的运算

1.（2023•全国乙卷文数第6题）正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，则£。即=（）

A.75B.3C.2A/5D.5

2.（2023•全国乙卷理数第12题）已知。的半径为1,直线以与。相切于点A,直线尸2与。交于8,C两点,

。为BC的中点，若|尸O|=0,则P4PD的最大值为（）

A1+3n1+272

A.-----------D.------------------

22

C.1+72D.2+72

考向二平面向量的夹角

1.（2023•全国甲卷文数第3题）已知向量。=（3,1）,6=（2,2）,则cos,+b,a-6）=（）

A.—B.姮C.—D.述

171755

2.(2023•全国甲卷理数第4题)已知向量°也c满足同=W=L|c|=应，^.a+b+c=0,则cos〈a-c,6-c〉=()

真题考查解读

【命题意图】

1.平面向量的基本定理及坐标表示…，

(1)了解平面向量的基本定理及其意义.

(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

2.平面向量的数量积

(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向.量数量积的运算.

(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

【考查要点】

平面向量重点考查向量的概念、共线、垂直、线性运算及标运算等知识，侧重考查数量积的坐标运算，难度较低,

同时也有可能出现在解答题中，突出其工具功能。因此向量备考应重视基础知识，要求学生熟练掌握基本技能。

(1)向量的线性运算中，用已知的两个不共线的向量作为基底可以表示平面上的其他向量，将所求向量转化到平

行四边形或三角形中去，利用平面图形的几何特征建立关系。数量积的基本运算中，经常涉及数量积的定义、模、

夹角公式。

(2)向量是数形结合的产物，利用向量解决问题时，能建立直角坐标系，选择坐标运算往往更简单，使问题代数

化。

(3)求参数取值时，可根据平行、垂直、模等条件应用方程的思想。

(4)适当关注向量与三角函数、解析几何、数列等知识的交汇问题。

【得分要点】

高频考点：线性运算、夹角计算、数量积。

中频考点：模的计算、向量的垂直与平行。

低频考点：综合问题

近年真题对比

考向一平面向量的数量积的运算

一、单选题

1.(2022•全国乙卷理数第3题)已知向量£力满足|。|=1,|勿=百,|。-2切=3,则£.(=()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空题

2.（2022.全国甲卷理数第13题）设向量°,6的夹角的余弦值为;，且忖=1,忖=3,贝42a+今6=

考向二平面向量的模长

一、单选题

1.（2022•全国乙卷文数第3题）已知向量。=（2,1）0=（-2,4）,则上一0（）

A.2B.3C.4D.5

一、填空题

1.（2021.全国甲卷文数第13题）若向量满足M=如-6卜5,〃加=1,则恸=.

考向三两个向量的垂直问题

二、填空题

1.（2022•全国甲卷文数第13题）已知向量。=（九3）,6=（1,机+1）.若则，7，=.

2.（2021•全国乙卷理数第14题）已知向量a=（l,3）,6=（3,4）,若（a-2b）D,则几=.

3.（2021•全国甲卷理数第14题）已知向量a=（3,l）/=（l,0）,c=a+左氏若a,c，则左=.

考向四两个向量的平行（共线）问题

一、填空题i

1.（2021•全国乙卷文数第13题）已知向量a=（2,5）,b=（/l,4）,若〃〃6，则4=

命题规律解密

向量题考的比较基础，每年都有考查，主要是突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其他知识交汇，难度不

大。这样有利于考查向量的基本运算，符合课标要求。预计2024年主要还是考查与平面向量数量积有关的计算。

名校模拟探源

一、单选题

1.（2023•四川泸州三模）已知向量“，b满足。力=_2,g|=l,则（a-2b”=（）

A.-4B.-2C.0D.4

2.（2023•河南・襄城三模）已知向量d=（2,l）,6=（x,2）,若（。+36）//,-6）,则实数彳=（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2023•广东广州三模）已知向量a=（3,4）,6=（4即），且卜+0=卜-4，则忖=（）

A.3B.4C.5D.6

4.（2023•山东潍坊三模）已知平面向量a与b的夹角是60。，且M=2,b=（1,2）,则“2。-6）=（）

A.8+2-75B.4-75C.8-若D.4+26

5.（2023•人大附中三模）已知向量。=（1,2）8=（3丹），a与Z+B共线，则|加6卜（）

A.6B.20C.275D.5

6.（2023•河北衡水・衡水市三模）已知向量〃，。满足同=2网=2,（〃-根2〃+。）=8,则d与石的夹角为（）

A.巴B.工C.2D.包

6336

7.（2023・辽宁•校联考二模）已知向量〃=（-2,1）,0二（八2）,卜+司=|〃-可，则实数机的值为（）.

A.—1B.—C.；D.1

22

8.（2023•湖南长沙三模）已知平面向量°力满足,=2,4=6,且°与a.b的夹角为60。，则|〉力|=（）

A.2B.73C.0D.1

9.（2023•河南郑州•三模）若向量外万满足忖=忖=卜+0,则向量）与向量的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

10.（2023・湖南长沙三模）已知向量工=（2,1）,b=（-1，3）,则向量a在6方向上的投影向量为（）

1,1,11

A.B.-T=bC.—bD.——b

回V101010

11.（2023•河南•襄城三模）已知等腰梯形ABC。中，AB//DC,/R=2DC=2AD=2,BC的中点为E,则4片=（）

A.-DB+-ACB.-DB+-AC

3336

1125

C.-DB+-ACD.-DB+-AC

3236

12.（2023•河南安阳三模）已知正方形ABC。的边长为1,。为正方形的中心，E是的中点，则。石.OO=（）

A.B.c.D.1

42

13.（2023•河南安阳三模）已知菱形ABC。的边长为1,cosNBA。=g

。为菱形的中心，E是线段上的动点,

则。的最小值为（）

1

A.1B.；D.

6

二、填空题

14.（2023•上海黄浦三模）已知平面向量£=（私1）,6=（2,2）,若://%,则加=—.

15.（2023•河南开封三模）已知向量。=（肛-1）,1=（1,3）,若则切=

16.（2023・四川内江三模）已知|。|=4,且a，（a+2b）,则0小=.

17.（2023•四川南充二模）已知a）为单位向量，且满足卜-后卜斯，则囚+b卜.

18.（2023•河南新乡三模）已知向量a=（f-5,3）,b=（2,-3）,且（a-6），b,则/=

19.（2023.河南驻马店二模）若单位向量£,6满足囚-。卜迷，则向量方夹角的余弦值为.

20.（2023•新疆阿勒泰三模）已知平面向量a,6,满足a|=3,出|=2,贝小。+23|=.

21.（2023•黑龙江哈尔滨三模）已知向量建（2,1）,6=（2,x）,若b在a方向上的投影向量为a,则尤的值为.

22.（2023•辽宁大连三模）已知平面向量d=（l,2）,A=（-2,l）,c=（2j）,若（a+b），c,则仁.

23.（2023•四川雅安三模）已知向量口与匕的夹角为60。，且a=2,则a-（a+b）=.

k227

24.（2023•山东烟台二模）已知向量a=（l,道）,屹|=0,|。+2w=26，则a与b夹角的大小为.

25.（2023・广东广州三模）在ABC中，已知AB=2,AC=6,ZBAC=60a,BC,AC边上两条中线AM,BN相

交于点P,则/MPN的余弦值为.

26.（2023•江苏盐城三模）在—ABC中，AB=4,B=|,则跟泥的取值范围是.

［二级结论速记］

已知非零向量。=（石，x）,b=（x2,y2）,。为向量〃、办的夹角.

结论几何表ZF坐标表示

模|a|=\Jaa|a|=y|x2+y2

a•万=|a||〃|cos8

数量积ab=x1x2+yxy2

cos*jcos。=J+产

夹角

\a\\b\jK+y；•&+£

a_L〃的充要

ab=0为超+%为=°

条件

a〃6的充要

a=AbQbw0)玉%-工2乂=°

条件

|。/|与lalSI|a,Wga|SI（当且仅当

1元述2+%%W小片+y；7君+£

的关系a//b时等号成立）

专题03平面向量

目录一览

①2023真题展现

考向一平面向量的数量积的运算

考向二平面向量的夹角

②真题考查解读

③近年真题对比

考向一平面向量的数量积的运算-

考向二平面向量的模长

考向三两个向量的垂直问题

考向四两个向量的平行（共线）问题

④命题规律解密

⑤名校模拟探源

⑥易错易混速记

：2。23年真题展现

考向一平面向量的数量积的运算

1.（2023•全国乙卷文数第6题）正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点，则=

A.75B.3C.2.x/5D.5

【答案】B

（、IUUHIIUUUIutmuum

【详解】方法一：以｛四，"»｝为基底向量，可知M=|A*2,AB.AO=。，

uumuuruumiuimuumuunuiruumiuunuum

贝!|EC=防+5C=]A5+AD,E。=EA+A。=-]A5+A。，

uunuum（\uunuumA（iumutnnAiuun?uum

所以ECEH,AB+AD•[-]A5+AD+AD2=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

uuuiuum

则E（l,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,ED=（-1,2）,

ULIUUUU

所以EC•血=—1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=®CD=2,

DF2+CF2-DC2S+5-43

在。E中，由余弦定理可得cosNDEC：一:二以="之"

2.DE-CE2xj5xj55

uunuumlUUDnUtnii3

所以ECED=|£C||ED|COSZDEC=V5XV5X-=3.故选：B.

2.（2023•全国乙卷理数第12题）已知。的半径为1,直线以与。相切于点A,直线尸2与。交于8,C两点,

。为5C的中点，若1Poi=&，则尸4PQ的最大值为（）

A1+也R1+20

22

C.1+72D.2+72

【答案】A

【详解】如图所示，|。匈=1,|0升=3,则由题意可知:ZAPO=45，

7T

当点A,。位于直线P0异侧时，设/OPC=a,OWaW：,

则：PAPD=1PAITPD|cos(a+?]=lx夜cosacos(tz+?)

nz(V2五.121+cos2a1.1&.(兀

=V2coscu——cos<2——sin«=s2tz-sin«cosa=-----------sin2a=----------sm2a---

(22)CO2222<4

0<a<-,贝！]_工42&—生4生

4444

二当时，加即有最大值1.

TT

当点AO位于直线R?同侧时，设NOPC=%O«］《T，

4

贝［］：尸4po=|FA|•|PD|cosja—工1=1x^/5coscrcosfer--1=V2coscr|^^-coscr+^-sincr

2^l+cos2«1.1A/2.f_万)

=coscr+smcrcosa=---------H—sinLa=—H---sin2aH•一

2222I4)

。“弓,则5

.•.当2a+（=1时，PA.p。有最大值L手.综上可得，pa.尸。的最大值为12.故选：A.

考向二平面向量的夹角

1.（2023•全国甲卷文数第3题）已知向量。=（3,1）力=（2,2）,则cos（“+b,”6）=

B.近c

A-fD.—

-17175

【答案】B

【详解】因为a=（3,1）,6=（2,2）,所以£+】=（5,3）,Z—方=（1,一1）,

贝！|卜+6卜J52+32=后,卜_0=7171=71,(a+^).(a-Z?)=5xl+3x(-l)=2,

a+b^-^a-b2=丝.故选：B.

所以cos<〃+b,a-。)=

tz+Z?||a—Z?|扃X0—17

2.（2023•全国甲卷理数第4题）已知向量满足同=网=1,同=应，且〃+B+e=o，则cos〈a—c,b—c〉=

【答案】D

【详解】因为d+b+e=0,所以A+。=」，

即/+。2+2々./?=〃,即1+1+254=2,所以〃包=0.

如图，设04=a,OB=b,OC=c,

c

由题知,。4=O8=1,OC=0,048是等腰直角三角形，

AB边上的高。。=受,4£>=正，

22

^T(UCD=CO+(9r>=V2+—=—,tanZACD=^=|,cosZACD=-^,

2233V10

cos〈〃-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1=2x1~^=j-1=-^.故选:D.

真题考查解读

【命题意图】

【考查要点】

【得分要点】

近年真题对比

考向一平面向量的数量积的运算

一、单选题

1.（2022•全国乙卷理数第3题）已知向量满足|“|=1,屹|=石,|。-2切=3,则£%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【详解】解：|a—2Z>|2=|a|2—4a-Z?+4|,

又［°|=1,|6|=拒,\a-2b|=3,

.•.9=U+4x3=13-4d/,

，eb=l故选：C.

二、填空题

1.（2022•全国甲卷理数第13题）设向量a,6的夹角的余弦值为g,且忖=1,收=3,则（2a+6）%=

【答案】11

11

【详解】解：设a与6的夹角为凡因为a与》的夹角的余弦值为:，即cosO=；,

又忖=1,2|=3,所以=|«|-|&|cos^=lx3x-i=l,

所以（2〃+b）心=2〃/+//=2〃2+1［=2*1+32=11.故答案为：11.

考向二平面向量的模长

一、单选题

1.（2022•全国乙卷文数第3题）已知向量。=（2,1）力=（-2,4）,则［-方|（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【详解】因为。-匕=（2,1）-（-2,4）=（4,-3）,所以卜一4=52+（-3）2=5.故选：D

一、填空题

1.（2021.全国甲卷文数第13题）若向量1/满足口=如-@=5,人6=1,则忸卜

【答案】3亚

【详解】•.平45

\a-^a+b2-2a-b=9+一2=25|i|=3&.故答案为：3行•

考向三两个向量的垂直问题

二、填空题

1.（2022•全国甲卷文数第13题）已知向量a=（加,3）,Z?=（1,根+1）.若aJ_b,则根=

【答案】-J3

4

3—3

【详解】由题意知：a-b=m+3（m+l）=0,解得力=-二.故答案为：-了.

44

2.（2021•全国乙卷理数第14题）已知向量a=（l,3）］=（3,4）,若Q-求），人则;1=

【答案】|3

【详解】因为=（1,3）-〃3,4）=。-343-4孙所以由训，6可得，

3（l-3A）+4（3-42）=0,解得2=（.故答案为：

3.（2021•全国甲卷理数第14题）已知向量0=（3,1）/=（1,0）,。=4+左氏若aJ.c,贝代=

【答案】

【详解】«=（3,1）,/?=（l,O）,/.c=仪+劭=（3+左,1）,

a±c,:.a-c=3（3+k）+M=O,解得左=_£，故答案为：-日

考向四两个向量的平行（共线）问题

一、填空题

1.（2021•全国乙卷文数第13题）已知向量a=（2,5）,Z?=（Z4）,若〃〃人则2=.

Q

【答案】I

OQ

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-4x5=0,解方程可得：几）.故答案为：

命题规律解密

名校模拟探源

一、单选题

1.（2023・四川泸州三模）已知向量°,b满足。力=_2，|6=1，则,-26”=（）

A.-4B.-2C.0D.4

【答案】A

【详解】由已知，（a-1b^-b=a-b-2b=-2-2xl*123=-4.故选：A.

2.（2023・河南・襄城三模）已知向量d=（2,l）,6=（x,2）,若（。+36）//,-6）,则实数x=（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【详解】a+3Z?=（2+3x,7）,a-b=（2-九,-1）,

因为（a+36）〃（a-b）,所以（2+3x）x（-l）=7x（2r）,解得x=4.故选：B

3.（2023广东广州三模）已知向量a=（3,4）,8=（4,m），且卜+6卜卜-囚，则恸=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【详解】\a+b\=\a-b\,两边平方得,+,

展开整理得.•々•6=0.

...。-6=3义4+4〃2=0,解得〃？=-3..〔忖=小如+（-3）~=5故选：C

4.(2023•山东潍坊・三模)已知平面向量。与。的夹角是60。，且向=2,6=(1,2),贝!]e(2。-b)=()

A.8+2石B.4-75C.8-6D.4+26

【答案】C

【详解】由6=(1,2)可得忖=君，

因为平面向量a与b的夹角是60。，且同=2,所以°.(2"6)=2忖-(7.6=21|-忖.降0$60。=8-逐

故选：C

5.(2023•人大附中三模)已知向量a=(1,2)8=(3㈤，a与a+b共线，贝巾-+()

A.6B.20C.2A/5D.5

【答案】C

【详解】由题意知，a+〃=(4,2+x)

又a〃(a+Z?),所以lx(2+x)=2x4,所以1=6,

所以6=(3,6),所以a-b=(-2,-4),所以|a—Z?|=J(―2>+(―4了.故选：C

6.(2023•河北衡水三模)已知向量%6满足同=2忖=2,(a-根2a+b)=8,则d与6的夹角为()

A.工B.&C."D.包

6336

【答案】C

【详解】因为(4-6)«2.+6)=2，一。.6一好=8.又同=2忖=2,所以ad=-l.

/\ci'b1/\2兀

所以cos(a7/)二用“=一,,因为0工,泊卜兀，所以〃与人的夹角为可.故选：C

7.(2023・辽宁•校联考二模)已知向量1=(-2,1),6=(私2),卜+囚=H-则实数机的值为().

A.—1B.—C.；D.1

22

【答案】D

【详解】解：因为向量。=(-2,1),L

以a+Z?=(—2+机,3),ci—=(—2—rn,—1),

又因为卜+可=卜-6|,所以卜+⑼。=4-2-租)2+(-1)2,解得机=1,故选：D

8.(2023•湖南长沙三模)已知平面向量2/满足，=2,网=6,且a与a.b的夹角为60。，贝巾,卜()

A.2B.百C.72D.1

【答案】D

【详解】因为平面向量“力满足卜|=2,W=6,且a与的夹角为60。，

a\a-b\1|«|-|«||dcos<«,/?>i2

贝!|cos<a,a-b>=-pn-----=彳，贝！I~।।।P=彳，即4(cos<a,b>)-4,cos<a*>+3=0解

\4a-br\2卜|小『_2硼3<4,6>+忖2I'

得cos<a,，>=《-,所以人一母=｛『一4=ya—2ab+b=1.

故选：D

9.（2023•河南郑州.三模）若向量°、6满足忖=忖=,+目，则向量b与向量［匕的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【详解】忖=忖=卜+0,所以,+耳2=（。+0）2=忖2+2夕6+件=甘=卜］，又°-6=卜帆8$〈。,6）,所以夕6=-3忖2

1_0=J（a-6）2=J"］-2a-/?+|z?|=石卜卜

b-(a-b')=W卜一qcos(/7,a-6)=百|,cos(b,a-b^,

y^b{a-b)=b-a—b=I=_|H,

所以石Wcos(Aa_6)=_,cos(^b,a-bj=

----------------9

2

又0°«6,。一6号180°,所以（6,a-6）=150。，故选：D.

10.（2023・湖南长沙三模）已知向量—=（2,1）,b=（-I，3）,则向量一在b方向上的投影向量为（）

1,1,

A.~j=bB.一一i=bC.D.--b

710V1010

【答案】C

【详解】因为向量〃=(2,1),b=(-1,3),

a'bb

^^h=—bt故选.c

所以向量。在％方向上的投影向量为ww=1+910'双殂v

11.（2023・河南・襄城三模）已知等腰梯形ABCL（中，AB//DC,AB=2OC=2AD=2,BC的中点为E,则AE=（

A.-DB+-ACB.-DB+-AC

3336

1125

C.-DB+-ACD.-DB+-AC

3236

【答案】B

【详解】IAB=DB-DA=DB-^DC+CA^=DB-DC-CA=DB-^AB-CA,

322

：.-AB=DB-CA,：.AB=-DB+-ACAE=-(AB+AC}=-\-DB+-AC\+-AC=-DB+-AC.

2332、，2(33)236

故选：B.

12.（2023•河南安阳三模）已知正方形ABCD的边长为1,。为正方形的中心，E是的中点，则£>a2）0=（

【答案】C

【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线为X轴，.V轴，建立平面直角坐标系，则吗,0）,0（1,

所以OE=（；,-1）,00=（：,-；）,所以=：+：=：

故选：C.

A\EBx

13.（2023•河南安阳三模）已知菱形A3CD的边长为1,cosNBA。=；,。为菱形的中心，E是线段上的动点,

则。的最小值为（）

【答案】C

【详解】设人石二九位），其中OW"1,

由平面向量数量积的定义可得AB-AD^\AB[\Ac\cosABAD=1,

DE=AE-AD=AAB-AD,

因为。为菱形A3CD的中心，贝!JOO=；O8=g（AB-A。），

AZ）j=1°加-AABAD-ABAD+AD

所以，DEDO=

+=9+因此，OE.OO的最小值为;.故选：C.

JJyJJJJJ

、填空题

14.（2023•上海黄浦三模）已知平面向量a=（孤1）,8=（2,2）,若；//7,则加=—.

【答案】1

【详解】由0=（肛1）,人=（2,2）,a/lb，可得2:〃-2x1=0,解之得加=1.故答案为：1

15.(2023•河南开封三模)已知向量〃=(九-1),人=(1,3),若(〃-6)，人则根=.

【答案】13

【详解】Va=(m,-l),b=(1,3),tz-Z?=(m-1,-4),

又•.,(〃—Z?)J_Z?,(a—b)-b=m—l-12=09解得根=13.故答案为：13

16.(2023・四川内江三模)已知|〃|=4,且+则.

【答案】-8

【详解】因为|。|=4,Q_L(〃+2Z?),因此Q-(Q+2/?)=0,即Q2+2Q・0=0，即=一8,

所以〃.。=-8.故答案为：-8

17.(2023•四川南充二模)已知a,b为单位向量，且满足卜-显卜新，则Ra+b卜.

【答案】非

【详解】为单位向量，且满足,一后卜后，所以。2-26。2+5。2=6,

即1-2氐m+5=6,解得°6=0,所以|2a+q=j4〃+4aS+/2=6.故答案为:瓜

18.(2023•河南新乡三模)已知向量。=("5,3),。=(2,-3),且(。一6)，的则/=.

【答案】16

【详解】因为刊一方=(力一7,6),(a-b)±b,所以2。一7)-3义6=0,解得％=16.故答案为：16.

19.(2023.河南驻马店二模)若单位向量°,方满足|2。-0=#，则向量.，b夹角的余弦值为

【答案】

【详解】设向量a,b的夹角为。，因为|2。-囚=",所以4J一4〃•Z7+=6・

又M=W=1,所以4一4cos8+l=6,所以cos*-：.故答案为：

20.(2023•新疆阿勒泰三模)已知平面向量6,满足a，b,|a|=3,M|=2,贝ij|a+26|=.

【答案】5

【详解】因为a，b,|a|=3,|b|=2,则a.b=0,所以,+24=+4-+4a为=J9+16=5.故答案为:5.

21.(2023•黑龙江哈尔滨三模)已知向量)=(2,1),6=(2,x),若b在0方向上的投影向量为a,则x的值为—

【答案】1

「Ia-ba

【详解】6在“方向上的投影向量为Wcos0e,其中cosn'==R为与0方向同向的单位向量，

则“cosOe=¥,"="=乎=1,即。=1,解得：*=[.故答案为：1

HH5

22.(2023•辽宁大连三模)已知平面向量4=(L2)/=(-2,l),c=(2j),若(a+b)，c,则仁.

【答案】|

【详解】4Z+&=(1,2)+(-2,1)=(-1,3),

因为（a+山心所以（a+b）Y=（-1,3＞（21）=-2+3/=0,解得f=[.故答案为：|

23.（2023•四川雅安三模）已知向量a与6的夹角为60。，且a=2,则e（a+6）=__________.

（22J

【答案】2

【详解】由"g当,得忖=。；=1,则a-（a+6）=a2+a.6=l+lx2xg=2.故答案为：2.

24.（2023•山东烟台二模）已知向量£=（1,退），屹|=忘,|。+2bl=26,则0与b夹角的大小为

【答案廿

【详解】由。=（1,6），得，=2,

由卜+2@=2石，得（a+2b）2=20,

即J+4a-b+4片=20,得4+4x2x夜cos（a,b）+4x2=20,

所以cos（a