2023年中考数学一轮复习知识解读01辅助圆定点定长

专题01辅助圆定点定长（知识解读）

【专题说明】

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才

会有最值。初中阶段动点的运动轨迹主要是“一条直线”或“圆”。在这类题目中，

题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合

题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。

【方法技巧】

模型一：定点定长作圆厂）

点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，।/）

则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的「、、J

模型一：点圆最值

已知平面内一定点D和O,点E是。上一动点，设点O与点D之间距离

为d,O半径为r.

位置关系点。在。内点。在。上点。在。外

0

图示OD

DE的最大值d+r2rd+r

连接£）。并延长交。于点E

此时点E的位置

DE的最小值r-d0d-r

连接OD并延长交连接。。交。于点

此时点E的位置点E与点。重合

0于点EE

【典例分析】

【典例1】如图，在四边形ABC。中，AB=AC=AD,ZCAD=2ZBAC,若N

BCD=105°,则NB£>C=

【变式1】如图，在四边形ABC。中，90°<ZBA£><180°,AB=AC=AD,请画

出满足条件时点C的轨迹.

【典例2】如图，在AABC中，点。是边的中点，点E是边AC上的任意一

点（点E不与点C重合），沿ZJE翻折△OCE使点C落在点尸处，请画出点

F的轨迹.

【变式2】如图，在%5CO中，AEJ_8C于点E,将ZkAEB绕点8顺时针旋转,

使A8与边BC重合，得到△MNB,请画出在旋转过程中点"的运动轨迹.

【典例3】如图，在矩形ABC。中，AB=4,4D=6,E是AB边的中点，尸是

线面8C边上的动点，将AEBE沿EF所在的直线折叠得到AE后/，连接笈。，

求8。的最小值。

【变式3-1]（2019•锦州）如图，在矩形A5CD中,IB=3,BC=2,M是A。

边的中点，N是45边上的动点，将AAMN沿MN所在直线折叠，得到△A'MM

连接4C,则4c的最小值是

【变式3-2]如图，矩形45co中，AB=4,BC=8,P是直线AB上的一个动点，

AE=2,AAPE沿PE翻折形成△bPE,连接P3E凡则FC的最小值是

点尸到线段的最短距离是

【典例4】（2021秋•都江区期末）如图，在平面直角坐标系X。），中，已知点A

（1,0）,B（3,0）,。为平面内的动点，且满足NACB=90。，。为直线y

=x上的动点，则线段CO长的最小值为（）

C.V2-1D.72+1

【变式4-1]（2021秋•武江区校级期末）如图，OM的半径为4,圆心M的坐

标为（5,12）,点P是。M上的任意一点，PALPB,且必、与x轴分别

交于A、B两点,若点A、点B关于原点。对称，则AB的最小值为

【变式4-2]（2021秋•萨尔图区校级期末）如图，点A,B的坐标分别为A（4,

0）,B（0,4）,C为坐标平面内一点，BC=2,点M为线段AC的中点,

连接OM,OM的最大值为.

专题01辅助圆定点定长（知识解读）

【专题说明】

最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才

会有最值。初中阶段动点的运动轨迹主要是“一条直线”或“圆”。在这类题目中，

题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合

题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题。

【方法技巧】

模型一：定点定长作圆厂）

点A为定点，点3为动点，且长度固定，।/）

则点8的轨迹是以点A为圆心，长为半径的限'、、/'

模型一：点圆最值

已知平面内一定点。和。，点E是。上一动点，设点。与点。之间距离

为d,O半径为r.

位置关系点。在。内点。在。上点。在。外

0

图示OD

DE的最大值d+r2rd+r

连接£）。并延长交。于点E

此时点E的位置

DE的最小值r-d0d-r

连接OD并延长交连接。。交。于点

此时点E的位置点E与点。重合

0于点EE

【典例分析】

【典例1】如图，在四边形ABC。中，AB=AC=AD,ZCAD=2ZBAC,若N

BCD=W5°,则NBDC=

【解答】解：以A为圆心，A3为半径画圆,

：./CAD=2NCBD,NBAC=2/BDC,

ZCAD=2ZBAC,

：.ZCBD=2ZBDC,

■:ZCBD+/BDC+/BCD=180°,

3ZCBD+105°=180°,

：.ZCBD=25°.

故答案为:25°.

【变式1】如图，在四边形ABC。中，90。＜/区4。＜180。，AB=AC=AD,请画

出满足条件时点C的轨迹.

【解答】解：'：AB=AC=AD,

...点C在以A为圆心，AB为半径的圆上运动,

•四边形A8CD中，90。＜/84。＜180。，

.•.点C的运动轨迹为奇（不与8、。重合）.

【典例2】如图，在AABC中，点。是边的中点，点E是边AC上的任意一

点（点£不与点C重合），沿。E翻折AOCE使点C落在点尸处，请画出点

厂的轨迹.

A

F,

BL#，、c

【解答】解：•••D7?=OC，

则点F在以点。为圆心QC为半径的圆上运动，

当点E与A重合时，A。与。。交于Q,

则而即为点F的运动轨迹.

ZFDE=ZCDE=ZCDA,则轨迹为优弧M0C,满足NMD4=NCD4,

此时点尸的轨迹为破.

【变式2］如图，在口ABCD中，AE1BC于点E,将NEB绕点B顺时针旋转,

使A8与边8C重合，得到△MNB,请画出在旋转过程中点M的运动轨迹.

【解答】解：如图，弧AM即为所求.

【典例3】如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是

线面BC边上的动点，将歹沿EF所在的直线折叠得到AEVA连接90,

求8。的最小值。

D

E

B

解：如图，点E为圆心，E8为半径作圆,

当点E,B,,。三点共线时8。的值最小。

•.•ZA=90°,AE^-AB^l,AD=6

2

DE=^+62=2710,

B'D=DE-EB'=2y/W-2

【变式3-1]（2019•锦州）如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=2,M是A。

边的中点，N是A8边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A'MN,

连接A'C,则AC的最小值是.

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【解答】解：•••四边形A3CO是矩形

：.AB=CD=3,BC=AD=2,

是边的中点，

：.AM=MD=l

,：将△AA/N沿MN所在直线折叠，

...点4在以点M为圆心，AM为半径的圆上，

,如图，当点4在线段MC上时，AC有最小值，

J.A'C的最小值=知。-MA=/记-1

故答案为：，记-1

【变式3-2］如图，矩形45co中，AB=4,5C=8,P是直线AB上的一个动点，

AE=2,ZiAPE沿PE翻折形成△FPE,连接P3E凡则FC的最小值是

点厂到线段的最短距离是.

'：AE=EF=2,

.•.点尸在以E为圆心，AE为半径的圆上运动,

在RtZkCDE中，由勾股定理得，

CE=VDE2CD2=762+42=，

：.FC的最小值为CE-2=2岳-2,

■:NDAB=ZABC^ZBGE=90°,

.••四边形A8GE是矩形，

：.EG=AB=4,

.•.点F到线段BC的最短距离是2,

故答案为：2，石-2,2.

【典例4】(2021秋•祁江区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A

(1,0),B(3,0),C为平面内的动点，且满足NACB=90。，。为直线y

=无上的动点，则线段CO长的最小值为()

c.V2-ID.V2+I

【解答】解：•••N4CB=90。

...点C在以A3为直径的圆上，

A3为直径的圆的圆心为E点，如图,

连接DE交。E于C,

VA（1,0）,B（3,0）,

：.AB^2,AE=l,

...OCSOE-CE（当且仅当。、C、E共线时取等号）

即DC<DE-1,

•••。瓦1_直线^=》时，DE最短，OE的最小值为及_OE=&,

2

线段CO长的最小值为1.

故选：C.

【变式4-1］（2021秋•武江区校级期末）如图，。朋的半径为4,圆心M的坐

标为（5,12），点P是。M上的任意一点，PALPB,且鬼、PB与x轴分别

交于A、8两点，若点A、点3关于原点。对称，则的最小值为.

【解答】解：连接OP，

,JPALPB,

：.ZAPB=90°,

'：AO=BO,

：.AB=2PO,

若要使A8取得最小值，则P。需取得最小值，

连接0M,交。M于