广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2023-2024学年九年级上学期开学考数学试卷

龙城初级中学2023-2024学年第一学期九年级开学考数学试卷

一.选择题（每题3分，共30分）

1.下列图标中，是中心对称图形的是（）

A△θ@

2.已知。〈仇下列式子不一定成立的是（）

A.a-Kh-1B.-2a>-2h

3.若分式Tr有意义，则X的取值范围是（

X+6

A.x≠6B.x≠0

4.正十边形的一个外角的度数为（）

A.144°B.120°

5.下列运算正确的是（)

A.a2∙a6=asB.(-2a)3=Ga3

C.2(α+Z?)=2a+bD.2a+3b=5ab

6.下列命题中，为假命题的是（）

A.两组邻边分别相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.四个角相等的四边形是矩形

D.对角线相等的平行四边形是矩形

7.如图，把线段AB经过平移得到线段CQ,其中A,8的对应点分别为C,D.已知A（-1,0）,B

（-2,3）,C（2,1）,则点。的坐标为（）

D

4一1,0)OX

A.(1,4)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,3)

8.如图，四边形ABC。是菱形，AC=24,BD=IO,。月，45于点H,则线段的长为（）

B.r120

,13D∙T

9.胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造.根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员,

每天修建的公路比原计划增加了40%,结果提前5天完成任务，设原计划每天修建X米，那么下

面所列方程中正确的是（）

A70007000B70007000

^^F+b=(l+40%)xX（1-40%）X

c70007000n70007000U

X(1+40%)XX（1-40%）X

10.如图1,在RtNBC中,动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位∕s,其中BP

长与运动时间r（单位：s）的关系如图2,则AC的长为（）

二.填空题（每题3分，共15分）

11.分解因式：〃-1=.

12.若方程X2-X-1=O的一个根是，w,则代数式＞-，"+5=.

13.已知一元二次方程X2+6X+∏7=0有两个相等的实数根，则，"的值为.

14.如图，已知RtAABC,NACB=90°,ZB=60o,AB=8,将AABC沿BC方向平移7个单位长

度得到AOEF则图中四边形ACED的面积为.

15.如图，在aABC中，ZC=90o,AC=4,BC=8,点P是AB边上的一个动点（异于A、B两点）,

过点尸分别作AC、BC边的垂线,垂足分别为M、N,则MN的最小值是

三.解答题（共55分）

Pτ+2X+1

-

16.（5分）先化简，再求值：L5—÷D÷2--------,其中x=4∙

x^-1X-2x+l

17.（8分）解一元二次方程：

(1)4x2=12x;(2)x2+4x+3=O;

(3)Λ2-4X-6=0；(4)3∕-4χ-2=0.

18.(7分)如图，在一块长92m、宽60”的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地

分成面积均为885M的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

K-----------92------------->|

19.(8分)如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上.

(1)画出AABC绕C点顺时针旋转90°得到的44BC,直接写出A1的坐标为

(2)若aA2B2C2和4ABC,关于原点O成中心对称，请画出^A282C2;

(3)在(1)的旋转过程中，求CA扫过图形的面积.

20.(8分)应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已

知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%,用3300元购进的甲种书柜的数量比用

4500元购进的乙种书柜的数量少5台.

(1)求甲、乙两种书柜的进价；

(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请

您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱.

21.(9分)如图，在□A8CQ中，线段AC的垂直平分线交AC于O,分别交8C,AD于E,F,连接

AE,CF.

(1)证明：四边形AECP是菱形；

(2)在(1)的条件下，如果ACJ/8=30°,AE=3,求四边形AECF的面积.

22.(1()分)已知：直线经过点A(-8,0)和点5(0,6),点C在线段AO上，将AABO沿6C折

叠后，点。恰好落在AB边上点D处.

(1)求直线A8的表达式.

(2)求AC的长.

(3)点P为平面内一动点，且满足以A,B,C,P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合

要求的所有尸点的坐标.

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.下列图标中，是中心对称图形的是（）

A∙B∙⑥C∙®D∙

【解答】解：A、不属于中心对称图形；

B、属于中心对称图形；

C、不属于中心对称图形；

D,不属于中心对称图形；

故选：B.

2.已知a<b,下列式子不一定成立的是（）

A.a-1<b-1B.-2a>-2bC.2α+l<2⅛+lD.ma>mb

【解答】解：A选项，不等式两边都减1,不等号的方向不变，故该选项不符合题意;

B选项，不等式两边都乘-2,不等号的方向改变，故该选项不符合题意;

C选项，∙.z<江

.*.2a<2h,

：.2a+\<2b+i,故该选项不符合题意；

。选项，当WWO时•，不等式不成立，故该选项符合题意;

故选：D.

3.若分式Tr有意义，则X的取值范围是（）

X+6

A.x≠6B.x≠0C.x≠-ɪD.x≠-6

6

【解答】解：要使分式得有意义，必须x+6≠0,

X+6

解得，x≠-6,

故选：D.

4.正十边形的一个外角的度数为（）

A.1440B.120°C.60°D.36°

【解答】解：由于正十边形的每一个内角都相等,

因此正十边形的每一个外角也相等,

由于外角和是360。，

360°毋

所以每一个外角为

10

故选：D.

5.下列运算正确的是（)

A.a2*a6=diB.(-2a)3=6a3

C.2(a+b)-2a+bD.2a+3b-5ab

【解答】解：A.a2∙ab=as,故本选项符合题意;

及（-2α）3=-84，故本选项不合题意;

C.2(α+⅛)=2a+2b,故本选项不合题意；

D.2a和3,不是同类项，不能合并，故本选项不合题意.

故选：A.

6.下列命题中，为假命题的是()

A.两组邻边分别相等的四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.四个角相等的四边形是矩形

D.对角线相等的平行四边形是矩形

【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB=AO,C5=C。，但CB的四边

形，故选项A中的命题是假命题，故选项A符合题意；

对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故选项B不符合题意；

四个角相等的四边形是矩形是真命题，故选项C不符合题意；

对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故选项。不符合题意；

故选：A.

7.如图，把线段AB经过平移得到线段CQ,其中A,8的对应点分别为C,D.已知A(-1,O),B

(-2,3),C(2,1),则点。的坐标为()

D

工(一1,0)OX

A.(1,4)B.(1,3)C.(2,4)D.(2,3)

【解答】解：TA(-1,0)的对应点C的坐标为(2,1),

.∙.平移规律为横坐标加3,纵坐标加1,

；点、B(-2,3)的对应点为£>,

二。的坐标为(1,4).

故选：A.

8.如图，四边形ABCO是菱形，AC=24,BD=I0,EWLAB于点H,则线段DH的长为()

【解答】解：四边形ABC。是菱形，AC=24,BD=IO,

：.S^ΛBCD=-×AC×BD^120,A。=12,QD=5,ACLBD,

2

.*.AD=AB=√52+122=13,

DHLAB.

.∖AO×BD=DH×AB,

Λ12×10=13×Z)H,

.-.£)//=120

13

故选：C.

9.胜利乡决定对一段长7000米的公路进行修建改造.根据需要，该工程在实际施工时增加施工人员，

每天修建的公路比原计划增加了40%,结果提前5天完成任务，设原计划每天修建X米，那么下

面所列方程中正确的是（）

700070007000C

a.+ɔ-oD.-------二-O

X(1+40%)XX二(1-40%)X

7000r70007000

C.幽-5hL√.•.IC

=+b

X(1+40%)XX(1-40%)X

【解答】解：若设原计划每天修建X米，则实际每天修建（1+40%）X米,

依题意得：亚典-5=方7?。。T..

X（1+40%）X

故选：C.

10.如图1,在RtZiABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位∕s,其中BP

长与运动时间f（单位：s）的关系如图2,则AC的长为（）

A.丁广B.√427C.17D.5√ξ

【解答】解：由图象可知：r=0时，点P与点A重合，

ΛAB=15,

.∙.点P从点A运动到点所需的时间为15÷2=7.5（s）；

.∙.点尸从点B运动到点C的时间为11.5-7.5=4（s）,

ΛBC=2×4=8;

在RtaABC中，由勾股定理可得AC=17；

故选C.

二.填空题（共5小题）

11.分解因式：-I=（〃+]）（α-1）

【解答】解：〃-1=（。+1）（a-1）.

故答案为：（々+I）Q-1）.

12.若方程X2-X-1=0的一个根是m,则代数式m2-∕n+5=6

【解答】解：把X="代入X2-X-1=0,得

m2-m-1=0,

'.nr-ιn=1>

，代数式m2-∕n+5=1+5=6.

故答案为：6.

13.已知一元二次方程f+6x+m=0有两个相等的实数根，则加的值为9.

【解答】解：：一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，

.,.ʌ=62-4加=0,

.,.m=9.

故答案为：9.

14.如图，已知RtZVU3C,ZACB=90o,/8=60°,AB=S,将AABC沿3C方向平移7个单位长

度得到ar>EF,则图中四边形ACED的面积为20、万.

ΛZSAC=30°,

VΛB=8,

∙*∙BC=—AB—4,

2

,

∙∙^C=√AB2,BC2=4√3,

V^ΔABC沿BC方向平移7个单位长度得到aOEE

：*AD=BE=1,AD//BE,

.∖CE=3,

二图中四边形ACED的面积=∙∣X(7+3)×4√3=20√3,

故答案为：20√3∙

15.如图，在aABC中，∕C=90°,AC=4,SC=8,点P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),

过点P分别作AC、8C边的垂线，垂足分别为M、N,则MN的最小值是里史.

一5-

【解答】解：如下图，连接PC,

在4A8C中，ZACB=90",AC=4,BC=8,

∙,∙AB=√AC2+BC2=√42+82=4√5，

VPΛ∕1ΛC,PNJLBC,

：.NPMC=ZPNC=NAa5=90°,

.∙.四边形PMCN是矩形，

IMN=PC,

：.当PCLAB时，PC的值最小，即MN的值最小，

.n-AC∙BC_4X8_8√5

__AB__4√5―_Γ,

,MN最小值是国

故答案为：¥■.

5

三.解答题(共55分)

2γ+2V+ɪ

16.先化简，再求值：(=一+1)÷F--------，其中x=4.

x"-lX-2x+l

22

【解答】解：原式=(⅞^+⅜⅛∙(χ-i)

2

x-lx-ix+1

,x2+2x+l.^χ-l)^

x2-lχ+ι

=(x+1)2.(X-I)2

(x÷l)(χ-l)x+1

=x-1,

当x=4时，原式=4-1=3.

17.解方程：(1)4/=12%；

(2)x2+4x+3=0;

(3)Λ2-4X-6=0;

(4)3X2-4X-2=0.

【解答】解：(1)4√=12x,

4x2-12Λ=0,

4x(X-3)=0,

4x=0或X-3=0,

所以XI=0,12=3；

(2)x2+4x+3=0,

(x+3)(x+1)=0,

x+3=0或x+1=0,

所以Xl=-3,X2=-ɪ.

(3)Λ2-4x-6=0,

x2-4x+4=10,

(χ-2)2=10,

x-2=±√7Q,

所以XI=2+J75,X2=2-ʌfiθ;

(4)3x2-4x-2=0,

4=3,b—-4,c=-2,

ʌ=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-2)=40>0,

..-4±√4θ-2±√iθ

X，

63

-2+√10_2-√10

ɪɪ------------，X2------------；

33

18.如图，在一块长92加、宽60,”的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面

积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

K-----------92-------------为

T

60

I

【解答】解：设水渠的宽度为xm,由题意得：

(92-2x)(60-x)=885X6.

解得Xl=IO5(不含题意，舍去)，X2-∖.

•∙X^~1.

答：水渠的宽度为1/77.

19.如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上.

(1)画出AABC绕C点顺时针旋转90°得到的4A∣8∣C,直接写出Ai的坐标为(2,0)

(2)若^A2∙δ2C2和4A8C,关于原点O成中心对称，请画出448202;

(3)在(1)的旋转过程中，求CA扫过图形的面积.

故答案为：(2,0)；

(2)略；

(3)因为C4=J32+32=3，^，

冗

所以CA扫过图形的面积=90XX(3√D)2=∕7t

3602

20.应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每

个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%,用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元

购进的乙种书柜的数量少5台.

(1)求甲、乙两种书柜的进价；

(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请

您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱.

【解答】解：(1)设每个乙种书柜的进价为X元，则每个甲种书柜的进价为1.1X元，

根据题意得，智少+5=螫2,

1.IxX

解得X=300,

经检验，x=300是原方程的根，

300X1.1=330(元).

故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；

(2)设购进甲种书柜，〃个，则购进乙种书柜(60-W)个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意

得，

fy=330m+300(60-m)

160-m≤2m

解得y=30m+18000(∕n≥20),

V⅛=30>0,

随X的增大而增大，

当/=20时,j=18600(元).

故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元.

21.如图，在QABC。中，线段AC的垂直平分线交AC于O,分别交8C,AD于E,F,连接AE,CF.

(1)证明：四边形AEC尸是菱形；

(2)在(1)的条件下，如果ACLAB,NB=30°,AE=3,求四边形AECF的面积.

【解答】(1)证明：∙.∙四边形ABC。是平行四边形,

J.AD//BC,

.∙.ZOAF=ZOCE,

：EF是线段AC的垂直平分线，

.'.OA=OC,EFLAC,

rZOAF=ZOCE

⅛∆AOF和△(%>£中，<OA=OC

ZAOF=ZCOE

：.AAOF^∕∖COE(ASA),

.∖AF=CE,

.∙.四边形AECF是平行四边形，

XVEF±AC,

二四边形AEb是菱形；

(2)解：由(1)得：四边形AEC尸是菱形，EFVAC,

：.CE=AE=3,OA=OC,OB=OD,

VAClAB,

:,EF//AB,

,