2023年新高考数学大一轮复习 平面向量的数量积及其应用(解析版)

专题22平面向量的数量积及其应用

【考点预测】

一.平面向量的数量积“

(1)平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与白，我们把数量lalSIcos。叫做a与方的数量积(或内积)，

记作0力，即a•Z>=|a||B|cose,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|a|cos6叫做向量。在〜方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当。为钝角时，它

是负数；当。为直角时，它是0.

②a力的几何意义：数量积a力等于。的长度|们与方在a方向上射影|“cos。的乘积.

二.数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数X,则:

①a・b=b-a；

②(2a)-b=A(ab)=a-(26)；

@(a+b)c=ac+bc.

三.数量积的性质

设a、b都是非零向量，e是与方方向相同的单位向量，。是a与e的夹角，则

@e-a=a-e=\a\cosd.@a±b<^>a-b=0.

③当a与同向时，a-Z>=|«ll*l；当4与b反向时，a-b=-\a\\b\.

特别地，a♦a=|a/或|a|=-Jaa.

④cos0=&(|a||切W0).⑤|a力|W|a||Z>|.

IaISI

四.数量积的坐标运算

已知非零向量a=(X［，%)，b=(x2,y2),。为向量a、Z>的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a|=y/aa\a\=y]x2+y2

a'b=\a\\b\cos3

数量积ab=\x2+%%

八abC一一一+呼2

夹角cose=--------

\a\\b\

的充要

ab=0XW+X%=0

条件

。〃力的充要a=入bQbw0)X%-NX=°

条件

|a•川与|a||，||a•川41ali川(当且仅当

1卒2+%%目"片+寸•，石+£

的关系a〃》时等号成立)

五、向量中的易错点

(1)平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且|入6区|〃||6|.

(2)当owO时，由e6=0不能推出6一定是零向量，这是因为任一与。垂直的非零向量6都有无6=0.

当°片0时，且a-b=a-c时，也不能推出一定有6=c,当6是与。垂直的非零向量，c是另一与。垂直的

非零向量时，有a・〃=a-c=0,但

(3)数量积不满足结合律，即(°•")<?w(。-d)a,这是因为(.•")£■是一个与共线的向量，而S・c)a是一

个与4共线的向量，而。与C不一定共线，所以(“2)c不一定等于("c)a,即凡有数量积的结合律形式的

选项，一般都是错误选项.

(4)非零向量夹角为锐角(或钝角).当且仅当o/>0且aw劝(2>0)(或a-6<0,且aw助(2<0))

【方法技巧与总结】

(1)。在。上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0.

(2)数量积的运算要注意a=0时，a•力=0,但=0时不能得到。=0或6=0,因为。J_匕时，也有ab=0.

(3)根据平面向量数量积的性质：|a|=Ja，cos6=°',等，所以平面向量数量积可

⑷闻

以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.

(4)若“、b、c是实数，贝！J«6=ac=b=c(aw0)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量a、b、d满

足a-b="•©(awO),则不一定有b=即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量.

(5)数量积运算不适合结合律，即(a/)-c,这是由于(a-")•c表示一个与C共线的向量，a-(b-c)

表示一个与a共线的向量，而a与C不一定共线，因此(a/)•c与。•(6・c)不一定相等.

【题型归纳目录】

题型一：平面向量的数量积运算

题型二：平面向量的夹角

题型三：平面向量的模长

题型四：平面向量的投影、投影向量

题型五：平面向量的垂直问题

题型六：建立坐标系解决向量问题

【典例例题】

题型一：平面向量的数量积运算

TT

例1.（2022.全国•模拟预测（理））在,ABC中，ZABC=~,。为ABC的外心，BABO=2,2c•30=4,

,uuuim

则&VBC=（）

A.2B.2.72C.4D.472

【答案】B

【解析】

【分析】

设AB,8c的中点为DE,将54.8。=2，变为2BD-BO，根据数量积的几何意义可得I8D|=1,同理求得IBC|.

根据数量积的定义即可求得答案.

【详解】

如图，设的中点为。,区连接ODOE,则。,

故BA-3O=2，即2B»BO=2|BO|・|BO|cosNORD=2,

即|8£）『=1,|80=1,故|8A|=2,

BC-BO=4,即28£8。=2|8后|一|80|««/08£：=4,

BRIBE|2=2,|BE|=V2,故18cl=20,

uuruimuruimi

故BA•BC=IBAHBCIcosABAC=2x2近x—=2应.

2

故选：B

例2.（2022•河南安阳•模拟预测（理））已知A"是Rt^ABC斜边BC上的高，AH=2拒,点M在线段AH

上，满足（”8+M。2H=8近，则（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

由（胚8+加02〃=80结合数量积的运算可得|9/|=2,由4/1是口心/15（7斜边8。上的高，4”=2a，

可得==8,然后对=（97+83）・（知8+/70化简可求得结果

【详解】

因为AH是RtZXABC斜边BC上的高，A"=20

所以AH.HB=O,A//.HC=O，WcH”@=kx『=8,

因为(MB+MC>4/7=80,

所以(Ma+HB+M/7+HCAAa=8&,

所以2MH乂"+/794"+，。4〃=8收，

所以Affi-AH=4夜，

所以|屈H祠=4近,

所以.川=2,

所以MB•MC=(M//+HB)•(MH+aC)

=MH2+MHHC+HBMH+HCHB

=|MH|2+|HC|-|//B|COS^

=22+8x(-1)=-4,

故选：A

例3.(2022・全国•高三专题练习(理))已知向量满足|。|=1,|切=6,|。-2切=3,则./=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】

解：|tz—2b「=|a「-4a/+4网,

又•.•|a|=l,|6|=百,|a-29|=3,

**•9=1—4a-Z?+4x3=13—4«-/?，

a-b=1

故选：c.

例4.（2022.四川中学模拟预测（文））如图，正六边形48。跖中，AB=2,点P是正六边形

ABC。斯的中心，贝UAPAB=.

【答案】2

【解析】

【分析】

找到向量的模长和夹角，带入向量的数量积公式即可.

【详解】

在正六边形中，点P是正六边形ABCDEP的中心，

ZPAB=6Q）,且AP=AB=2,

APAB=|AP|•|AB|•cos60°=2x2x1=2.

故答案为：2.

例5.（2022・安徽.合肥市第八中学模拟预测（理））已知向量£涉,c满足a+b+c=0,|a|=l,|b|=3,|c|=4,则

a-b=•

【答案】3

【解析】

【分析】

由a+b+c=0，得a+b=-c，两边平方化简可得答案

【详解】

由a+b+c=6,得a+b=-c,

两边平方，得1+2。2+『=/，

因为忖=1，W=3，H=4,

所以1+2。2+9=16，得&心=3.

故答案为：3.

例6.（2022•陕西•模拟预测（理））已知向量&=（l,x）,6=（0,1）,若k+2^=6,则。小=

【答案】0或-4##~4或0.

【解析】

【分析】

由向量模长坐标运算可求得X，由向量数量积的坐标运算可求得结果.

【详解】

a+2b=(1,尤+2),1+2以=Jl+(x+2p=6,解得：x=0或x=-4；

当x=0时，a=(1,0),：.db=0：当x=T时，a=(1,-4),：.a-b=0-4=-4;

m=0或T.

故答案为：0或T.

例7.(2022.上海徐汇•二模)在ABC中，已知AB=1,AC=2,ZA=120。，若点P是：ABC所在平面上

一点，且满足AP=AB+XAC，BPCP=-1,则实数％的值为.

【答案】1或4

4

【解析】

【分析】

根据平面向量的线性运算法则，分别把8EC尸用ABAC表示出来，再用BPCP=-1建立方程，解出力的值.

【详解】

由AP=AB+/IAC，得AP-A8=2AC，EPBP=AAC，

CP=AP-AC=AB+(A-1)AC,

在，ABC中，已知AB=1,AC=2,NA=120。，

所以8PCP=ZAC(AB+(/l-l)AC)=A.AC-AB+A.{A-V)AC)

=2Acosl20+42(2-1)=4A2-52=-l,

即4万-54+1=0,解得％=1或

4

所以实数X的值为1或1.

故答案为：1或了.

例8.(2022.陕西・交大附中模拟预测(理))已知在平行四边形A5CD中，

DE=gEC,=g歹C,|AE|=2,|A/卜而，则AC•DB值为.

9

【答案】7

4

【解析】

【分析】

AE=BC+-DC

3

由向量加法的几何意义及数量积运算律有ACDB=DC-CB再由1结合数量积运算律,

AF=DC+-BC

3

即可得结果.

【详解】

由题设可得如下图：AC=AD+DC,DB=DC+CB,而AO=—C8,

所以AC""。。—CB：

又DE=；EC,BF=gFC,\AE\=2,\|AF\=sl6,

2212

AE=AD+DE^BC+-DCBC+-BCDC+-DC=4

339

所以；，贝卜

2212

AF=AB+BF=DC+-BCDC+-BCDC+—BC=6

339

822,2299

故g(OC-BC)=2,可得。C-BCBPACDB=-.

44

9

故答案为：-

例9.（2022•福建省福州第一中学三模）过点M（2,有）的直线与：。:。-3）2+9=16交于4,B两点，当M

为线段中点时，CACB=

【答案】-8

【解析】

【分析】

由题意可得M（2,右）在，;C内，又由M为线段4B中点由两点间距离公式得CM=2=（AC,进

而求得/ACB=120。，再由向量的数量积公式计算即可得答案.

【详解】

解:因为点为（2,0）在（（7:。-3）2+丁=16内,

所以当M为线段AB中点时，AB1CM,

又因为cc的半径为4,CM=2=JAC,

所以/AC0=6O°,

所以/ACS=120。，

所以，CACB=\CA\.\CB|.cos120°=4x4x（-1）=-8.

故答案为：-8.

例10.（2022.全国.模拟预测（理））已知向量£与6不共线，且分（。+6）=2,忖=1,若（2“-刀，（2a+4，

贝I]6.（a-6）=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

由”«+6）=2得.力=1，由（2"6）_L（2a+b）得*2,即可求解结果.

【详解】

由々•（。+6）=〃2+。2=1+。・/7=2得〃6=1

由（2a—b）_L（2a+Z?）得（2〃一与・（2〃+匕）=4〃2-片=0,所以卜卜2

贝I」力=b.Q-力=1-4=-3

故答案为：-3

例11.（2022・全国•高三专题练习（理））设向量°,6的夹角的余弦值为g，且"=1,忖=3,贝|侬+»6=

【答案】11

【解析】

【分析】

设£与匕的夹角为凡依题意可得cos6=；,再根据数量积的定义求出°力，最后根据数量积的运算律计算

可得.

【详解】

解：设a与6的夹角为，，因为a与B的夹角的余弦值为:，即cosd=g,

又|，=1,"=3,所以=忖•WcosO=lx3xg=1,

所以（2a+6）•/?=2a.%+b=2a-Z?+|z?|=2xl+32=11.

故答案为：11.

例12.（2022.江苏.徐州市第七中学模拟预测）如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数

学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABC。是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形跖GH组成的.若

大正方形的边长为石，E为线段的中点，则AQ8C=

【答案】4

【解析】

【分析】

利用数量积的几何意义求解.

【详解】

解：如图所示：

设Cr=x,由题可得BF=2x,

所以炉+(2尤『=5,

解得尤=1.

过产作8c的垂线，垂足设为。，

BC=BQBC=BF2=4,

故答案为：4.

【方法技巧与总结】

(1)求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.

(2)平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积

是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.

(3)平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量。在向量6方向上的投影

（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）

同：（«±bf=a2±2ab+b2；±[='a2±2ab+2、；a（Z;+c）=〃Z?+ac公式者B可通用

异：整式：Q.b=±|a|同，同仅仅表示数；向量：a-b=±|6z||z?|cos^（6为〃与b的夹角）

=2M+2mn\c^\b\cos0+n21/?|,使用范围广泛，通常是求模或者夹角.

|m«|—|nZ?|<\ma±<|ma|+|n&|,通常是求卜a±回最值的时候用.

题型二：平面向量的夹角

例13,（2022.甘肃中学模拟预测（文））已知非零向量：，了满足X=U，al（a-b\则：

与]夹角为

TT

【答案】9##45

4

【解析】

【分析】

根据已知求出:二工，山=应而，即得解.

【详解】

解：因为。/=卜卜所以二+/-2薪=、2薪・

ff、f（f->、f2fT->2->->

因为q_L4-Z?,所以q•〃一b=〃-〃♦/?=0,「.4=a»b,

22

所以Z?=2a,:.\b\=y[2\a\'

---—>F~~

ll-八a・ba»bJ2

设：与]夹角为e，所以cose==^==hr

\a\\b\e|a『2

TT

因为6e[0,用，所以。=2.

4

例14.（2022•安徽中学模拟预测（文））已知向量|=1,向量。=（1,6），且|a-回|=卡,

则向量凡6的夹角为.

【答案】—##90

2

【解析】

【分析】

由|a-J力|=#两边平方，结合数量积的定义和性质化简可求向量。涉的夹角

【详解】

因为。=(1,0)，所以同==2

因为|a-回|=",

所以/-2缶6+2方2=6,又|。|=1,

所以4-2应“.6+2=6,所以。力=0,

向量a,b的夹角为仇则问似85。=0

TT

所以cos6=0,贝!)6=77.

2

TT

故答案为：

例15.(2022•湖北武汉•模拟预测)两不共线的向量a，例满足口=3阵且VteR,卜-力以，则

COS(a,6)=()

A.IB.BC.-D.且

2233

【答案】C

【解析】

【分析】

由卜-乃卜卜一目两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断AW0,整理后可知A

只能为0,即可解得答案.

【详解】

解：由题意得：

,VfeH,|a-rZ?|>|<7-/?|

V?e7?,|a|+t21/?|-2?a-Z?>|o|+|/?|-2a-b

即-6f|z?|cos(a,b)-W+6|/?|cos^a,b^>0

Vre7?,t2-6fcos(a,6)-l+6cos(a,6)NO

A=36cos2(a,6〉-4(6cos(a,6)-1)=36卜os(a,6〉-<0

.,.cos(a,”-；=0,即cos(a,b)=g

故选：C

例16.(2022•云南师大附中模拟预测(理))已知向量3=(2/,2),b=(-t-2,-5),若向量日与向量a+6的

夹角为钝角，贝I"的取值范围为()

A.(—3,1)B.(―3,-1)U(—1,1)

C.(-13)D.[-6、]川

【答案】D

【解析】

【分析】

求出6的坐标，求得当a与a+b共线时/=根据向量a与向量6的夹角为钝角冽出相应的不等式，

求得答案.

【详解】

因为a+b=Q-2,-3),又3与a+b的夹角为钝角，

当。与Q+b共线时，一6，—2。-2)=。/=；,

所以Q《Q+Z?)VO且〃与a+b的不共线，即5一2/-3<0且

所以UT电,3)

故选：D.

例17.(2022・广东深圳•高三阶段练习)已知向量4=(cos30o,-sin210。)，b=(-&),则a与b夹角的余弦

值为.

【答案】-1

【解析】

【分析】

化简向量a，根据向量的模的公式，数量积公式和向量的夹角公式求解.

【详解】

由a=(cos30。,—sin210。)知a=[《-q],故=^^(—6)+gxl=—1,|a|=1,\b\=2,记a与b的夹角

-1_1

为夕，贝!Jcose=-----------

|a|x|Z?|1^2-"I

故答案为：

例18.(2022・全国•高三专题练习)已知向量。=(3,4)/=(l,0),c=a+仍，若<a,c>=<〃,c>,贝心=()

A.-6B.—5C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】

9+3/+163+/

解：c=（3+?,4）,cosa,c=cosc,即同，解得

5ICIr=5,

故选：C

例19.（2022・湖南•长沙市明德中学二模）已知非零向量a、b满足入〃=0,（a+b>（a-b）=0,则向量。与

向量a夹角的余弦值为（）

A0B.0

2

「V2D.近

>--

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据a-b=0,设。=（1，0）,b=（O,f）,根据卜+6>（"力=。求出「=1,再根据平面向量的夹角公式计算可

得解.

【详解】

因为Q•加=0，所以可设〃=（L。），b=（0,Z）,则a+6=（11）,a—b=,

因为,+今（〃—。）=0,所以1r2=0,即产=1.

bSa-b\_-t2-1O

贝1Jcos<b,a-b>=------—―/=----7==一一—，

\b\-\a-b\\t\^l+t92lxy/22

故选：A.

例20.（2022・辽宁・大连市一0三中学模拟预测）己知单位向量0,。满足,-0=旧H+0,则a与匕的夹角

为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据数量积的运算律及夹角公式计算可得；

【详解】

r

解：因为b为单位向量，所以。=〃=1,

又卜-0=6卜+0,所以（Q—Z?『=3（Q+0）2,gpa-la-b+b=3（a+2a-b+b

所以2.+4〃为+。]=0,即2（忖+4[.。+忖）=0,所以〃./?=—3,

所以cos（a@=而=-3，因为,,»«0,同，所以,6=g；

故选：C

例21.（2022•北京市大兴区兴华中学三模）已知a为单位向量，向量）=（1,2）,且分6=2,则（。，6-a）=（）

,71c兀「兀c3兀

A.lB.■—C.—D.—

6434

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据已知条件求出。•仅-"）和人-』，然后利用向量的夹角公式可求出结果

【详解】

因为a为单位向量，向量8=（1,2）,且。.〃=2,

^VXa-^b-aj=a-b-a=2-1=1,

\b—=d（b-a）?=yb—2a•b+a~=J5-2x2+1=V2，

,\a-ib-a\i也

所以cos（a,b-。）=----r=-7==--,

'/t?|z?-av22

因为（a,b-<7）e[0,7i],

所以（a,6-a）=；,

故选：B

例22.（2022•全国•模拟预测（理））已知平面向量a+6与a-b互相垂直，模长之比为2：1,若|“|=行，则

。与a+6的夹角的余弦值为（）

A至Bmc叵D-1

~T~5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量a+b与互相垂直，模长之比为2：1,利用数量积求得向量0,。的模长及数量积，然后利用平

面向量夹角公式求得结果.

【详解】

平面向量a+B与互相垂直，模长之比为2：1,则(。+。＞(°-6)=0且|二+，|=2|；-，|，得/=『，又

\a\=y[5,则|°|=|6|=6，将|；+笳=2|；-&平方得J+2a/+/=4/-8a2+47，解得。包=3，

|a+6/=a~+2。2+6~=16,则卜+人]=4,设a与a+6的夹角为，，则

a+a-b_5+32小

故选：A.

例23.(多选题)(2022•福建省福州格致中学模拟预测)已知单位向量a,6的夹角为120。,则以下说法正确的

是()

A.\a+b|=1B.(a+2b)±a

C.cos〈a-b,b〉=fD.a+26与2a+6可以作为平面内的一组基底

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据向量的模的公式，数量积的运算，向量的夹角公式，判断向量共线的条件逐项验证即可

【详解】

据题意,/=匕2=1,。/=lxlxcosl20=-■-

2

因为(a+Z?)2=/+/+2°仍=l+l+2x[—g)=l

所以|a+6|=l,所以A对

因为(Q+2/?)・Q=a2+2a-b=1+2X0,所以(a+26)La,所以B对.

IQ一

因为(〃_/?)•0=〃力_/?2=——]=__,(a-bf=ai2+b2+2a-b=3

22

_3

二_=_3,所以c错

所以COS〈Q-b,b)=(a_b)•b

\a-b\-\b\6x12

因为a+2〃与2a+b不共线，所以可以作为平面内的一组基底，所以D正确

故选：ABD

例24.(多选题)(2022・江苏•模拟预测)已知向量〃=(-3,2),6=(2,1),c=(2,-l),2GR,则()

A.若(a+2/?)_Lc,则4=4

B.若a=tb+c,则2+1=—6

c.的最小值为

D.若向量与向量26+c的夹角为锐角，则人的取值范围是(f,T)

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A,利用向量坐标的表示可判断B,利用向量的模长的坐标

公式及二次函数的性质可判断C,利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D.

【详解】

对于A,因为0+2b=(1,4),c=(2,-1),(a+2b)_Lc,所以lxX+4x(-l)=0,解得九=4,所以A正确.

对于B,由4=/6+上,得(—3,2)=«2,l)+(4,—l)=(2t+4,f-l),

f—3=2t+A,1％=—9

则c,解得,,故X+r=-6,所以B正确.

[2=t-l,[t=3

对于C,因为。+"6=(—3,2)+"(2』)=(2〃-3,〃+2),

则当〃=1时，取得最小值，为半，所以C正确.

对于D,因为A+Z?=(―1,3)，2Z?+c=(4+2,1),向量Q+Z?与向量2b+c的夹角为锐角，

所以(〃+/?)•(26+c)=—lx(4+；t)+3x1>0,解得几v—1；

13

当向量a+6与向量2b+c共线时，Txl—3x(4+X)=(),解得4=一~—,

所以4的取值范围是[-双-所以D不正确.

故选：ABC.

例25.(2022.河南・通许县第一高级中学模拟预测(文))已知e；,e?是单位向量，a=et-2^2,b=3q+e；,

若则e；,e；的夹角的余弦值为()

A.-B.4C.-D.-

5235

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

由题意知同=同=1,

a-b=（ex—2e2j-^3^+e21=03e［-2e,-5e1-e2=0,

即e/e2=g,所以cos&e2）=g.

故选：D.

例26.（2022・安徽师范大学附属中学模拟预测（理））非零向量满足.=司=2同，贝心_6与4的

夹角为（）

A—B.工C.肛D.也

6336

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件，求出.力，再利用向量夹角公式计算作答.

【详解】

由卜+可=,一可得：（〃+b）2=（°-b）2,即7+2：二+:2=?—2：工+，2，解得°为=0，

.2

因此，COS〈Q-0,Q〉=®-b）a_a——巴g=j_,而〈〃一。,〃〉金［0,兀］,解得①一万,〃）=巴，

\a-b\\a\21al223

所以a-6与a的夹角为

故选：B

例27.（2022•内蒙古・海拉尔第一中学模拟预测（文））已知向量匕为单位向量，卜+加卜卜。-4（几才。），

则a与b的夹角为（)

“兀c兀c71271

A.-B.-c.1D.—

6323

【答案】C

【解析】

【分析】

由题干条件平方得到几2）=。，从而得到a/=0,得到a与6的夹角.

【详解】

由卜+叫=卜”叫（”0）,两边平方可得：

.2一，,.2.2•..2

a+24a•Z?+/Ib=2oa—24a,b+b'

因为向量a，b为单位向量，

所以1+2彳°为+彳2=A2-2Aa-b+l^即4（〃2）=0.

TT

因为2wO，所以a-6=0，即a与b的夹角为5.

故选：C

【方法技巧与总结】

求夹角，用数量积，由a?。|a|?g|cosq得cosq=°%=番％+=，进而求得向量a,。

laixbi

的夹角.

题型三：平面向量的模长

例28.（2022•福建省厦门集美中学模拟预测）已知向量〃、b、c满足a+6+c=0，1-1=9,

则口卜.

【答案】3

【解析】

【分析】

由已知条件可得出a=-6-c，根据平面向量的数量积可求得1+02、b.c的值，结合平面向量的数量积可

求得口的值.

【详解】

由已知可得。=-b-c>则（a-c）=（―26—c）（—6—2c）=（2b+c）（6+2c）=0,

即2『+2j+56c=0，

因为忸-4=9,则片+广—2/?-c=81，所以'b+c=45>b-c=-18>

因此，W=J=（-6-c）=b+c+2b-c=9,故W=3.

故答案为：3.

例29.（2022•辽宁沈阳•三模）已知平面向量。，瓦C满足问=1,同=1,。+6+。=0,。2=一1,则卜卜.

【答案】肥

【解析】

【分析】

由题意得二=工-力，直接平方即得结果.

【详解】

由5+6+W=0可得c=-a-b,两边同时平方得片=9+1啰+/，

|a|=l,|c|=l,a-h=-l,.-.1=1-2+|/?|,解得W=0.

故答案为：V2.

例30.(2022・全国•高三专题练习(文))已知向量。=(2/),6=(-2,4),则()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得a-b,然后求得

【详解】

因为。_5=(2,1)_(-2,4)=(4,—3),所以,一6卜小42+(-3)2=5.

故选：D

例31.(2022•江苏•扬中市第二高级中学模拟预测)已知°与6为单位向量，且向量c满足

\c-a-b\=2,则向的可能取值有()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得c-a-"=a-l,y-l),进而由向量模的计算公式可得

(x-l)2+(y-l)2=4,分析可得C在以(LD为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案.

【详解】

根据题意，设。4=a，OB=b，OC=c,

以。为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，的方向为y轴的正方向建立坐标系，

则4(1,。),5(0,1),设C(羽丁),贝！Jc—a-b=(尤-l,y-1),

若|H|=2,则有(1)2+—1)2=4,

则C在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，

设(LD为点M，贝U|OM|=&,则有一|加|别|OC|r+\OM\,

2-V21JIOCI2+V2,

则旧的取值范围为［2-0,2+0］；

故选：D.

例32.(2022.江苏.南京市天印高级中学模拟预测)已知平面向量°,匕满足卜卜2,卜卜1,且.与6的夹角

为?，则,+©=()

A.73B.75C.币D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

由卜+0=J(a+4)=\la+2a-b+b2求解.

【详解】

解：因为忖=2,恸=1，且a与B的夹角为(，

所以|a+0=J(a+b)=V«2+2a-b+b,

=^22+2x2xlxcosy+l=V7,

故选：C

例33.(2022・河南・开封市东信学校模拟预测(理))己知非零向量0,。的夹角为t，\a\=y/3,a1(a-b),

贝|」|“=.

【答案】2

【解析】

【分析】

由平面向量的数量积的运算性质求解即可

【详解】

由a_L(a-8)得a•-b)=|a/一〃•b=|a/一।。।.।万।cos-=3-—||=0,

62

解得I昨2.

故答案为：2

例34.(2022・全国•高三专题练习)已知三个非零平面向量Q,b，c两两夹角相等，且1。1=1，1切=2,|c|=3,

求|2〃-6+3cl.

【答案】甚或9

【解析】

【分析】

由三个非零平面向量a，b，:两两夹角相等得〈。,力=〈4。〉=〈。,，〉=120。或0,再分别计算求解即可

【详解】

因为三个非零平面向量a，b.c两两夹角相等，所以〈。涉〉=〈4。〉=〈。,。〉=120。或0.当

〈a,力=〈4c〉=〈a,c〉=120。时，12a-6+3c|=J（2a-6+3c>=+\b^+9|c|2-4a-b+12c-a-6b-c

=74+4+81+4-18+18=A/93.

当〈0,方〉=〈%,3=〈晨〉=0。，即a，b，"共线时.

|2a-fo+3c|=|2|a|-|i|+3|c||=|2-2+9|=9.

故答案为：回或9

例35.（2022.全国•高三专题练习）己知同=2,|q=3,a与）的夹角为120,求卜+以及卜的值.

［答案］\a+b\=^,\a-b\=y/19.

【解析】

【分析】

利用向量数量积定义可求得a-b，由向量数量积的运算律可求得卜+“和卜一可,由此可得结果.

【详解】

ab=|a|-|z?|cos<a,Z?>=6cos120=-3,

/.|a+/?|=a2+2,a-b+b2=4—6+9=7,\a—4>|=a2-2a-b+b2=4+6+9=19,

二,+匕卜夜，\a-b\=y/19.

例36.（2022.福建泉州.模拟预测）已知向量。=（0,1）/=«,右），若d6的夹角为:则|切=.

【答案】2月

【解析】

【分析】

根据平面向量的夹角公式可求出结果.

【详解】

由吟二篇］，得;哈得闻=2技

故答案为：26.

【方法技巧与总结】

求模长，用平方，|a|=

题型四：平面向量的投影、投影向量

例37.（2022•新疆克拉玛依•三模（理））设a，6是两个非零向量，AB=a，CD=b，过AB的起点A和终

点、B,分别作CO所在直线的垂线，垂足分别为A，耳，得到人耳，则A4叫做向量一在向量办上的投影向

量.如下图，已知扇形408的半径为1,以0为坐标原点建立平面直角坐标系，。4=（1,0）,OB

则弧AB的中点C的坐标为；向量CO在08上的投影向量为

【解析】

【分析】

由已知，根据给到的。4,先求解OA与0B的夹角，然后再利用点C是弧A8的中点，即可求解出ZAOC,

从而求解点C的坐标；根据前面求解出的点C的坐标，写出OB和CO,先计算向量CO在上的投影，然

后根据即可写出向量CO在。8上的投影向量.

【详解】

1

由己知，OA=（1,0）,OB,所以cos(OA,O2)=OA.OB2_1

OA\\OB\lxl2

TT7T

所以=因为点。为弧A3的中点，所以=

36

扇形A03的半径为1,所以弧例满足的曲线参数方程为「:北（，为参数…然除,

71V3

X=cos—=——

62

所以中点。的坐标为,所以C的坐标为,co=-,OB

.71122

y=sin—=—J

62

向量CO在上的投影为CO・0B=_4_4=_3,

\0B\12

，所以向量CO在OB上的投影向量为

故答案为:4；

例38.（2022,江西鹰潭•二模（文））已知向量°,瓦。=（括』）,|切=血,（2a-切）=3,则b在a方向上的投影

为_________

【答案】I

4

【解析】

【分析】

根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可.

【详解】

因为。=（石,1）,Ib|=A/2,所以|〃|=+（6）2=2,B=2，

因为（2a—。）必=3,所以2a•£>—6S=2a-b—6。=2a2-2=3,所以。,石=],

所以6在a方向上的投影为喘=：,

故答案为：—.

4

例39.（2022.江西•南昌学三模（理））已知向量；=（1,-2）,b=（3,t）,且.在6上的投影等于-1,

则仁.

【答案】4

【解析】

【分析】

根据投影定义直接计算可得，注意数量积符号.

【详解】

因为a在B上的投影等于-1，即>cos〈a，力

3-2/

所