2023-2024学年广东省广州市高二年级上册期末数学模拟试题(四)(含解析)

2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.若向量岸(1,1,0),^=(-1,0,2),则忖()

A..715B.4C.5D.V17

【正确答案】D

【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.

【详解】解析：由题意，得31■二(2,3,2),

722+32+22=717.

故选：D.

2.在等比数列｛叫中，。2+%=1，%+%=2,则4+%=()

A.4B.8C.16D.32

【正确答案】A

【分析】根据。3+4=式。2+%)求出4，再根据4+%=式%+4)可得答案.

【详解】设等比数列的公比为4,

由能+。4=次4+。3)，可得4=2,所以4+牝=以%+6)=4.

故选：A.

v-22

3.双曲线土-v2=1的渐近线方程是（）

49

249

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±gx

394

【正确答案】D

【分析】依据双曲线性质，即可求出.

【详解】由双曲线兰-或=1得，/=412=9,即。=2,6=3,

49

22IQ

所以双曲线=1的渐近线方程是y=±/x=±；x,

故选：D.

22

本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线5-4=1的渐近线方程是

ab.

i22

y=±-x；双曲线5-0=1的渐近线方程是y=±:x.

aa-h2b

4.圆C:/+y2+6x-8y+24=0关于直线V=x对称的圆的方程为()

A.(X-4)2+(J^+3)2=1B.(x-4)2+(v-3)2=49

C.(x+4/+(y-3)2=1D.(x+4)2+(^+3)2=49

【正确答案】A

【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程.

【详解】圆C的标准方程为(x+3y+(y-4『=l,该圆圆心为(-3,4),半径为1,

故所求圆的圆心坐标为(4,-3),半径为1,

因此，所求圆的方程为(x-4y+(y+3『=l.

故选：A.

5.在数列｛〃"｝中,《=2,4“+］。〃=。"一1,“2022=()

A.2B.1C.yD.-1

【正确答案】D

【分析】结合递推公式可求得数列｛4｝是周期为3的周期数列，然后利用递推数列求出第3

项即可求解.

【详解】由题意，«„=1--,

+1%

故数列｛见｝是周期为3的周期数列，

从而。2022=673x3+3=。3>

,I1,1,

由q=2知，a2=1-----=-,%=1------=-1)

q2a2

故与022=。3=-L

故选：D.

6.如图，在平行六面体Z8C£)-W8'C'£)’中，4C与80的交点为。，点"在8C'上，且

8例=2MU,则下列向量中与加相等的向量是()

1F72，।।▼▼共।,

A.——AB+—AD+—B.-AB+-AD+-

263263

151.，112，

C.——AB+-AD+-D.—AB+—AD+—AA'

263263

【正确答案】D

【分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果.

【详解】因为平行六面体48CZ)—H8'C7)'中，点〃在上，且8M=2MC

故可得加=OB+BM=-DB+-BC'=-(AB-AD]+-AD'

I,1^S2"八"、1i2一

-(AB-AD)+-{AD+AA)=-AB+-AD+jAA'

故选：D.

7.直线/：V=-x+附与曲线》=产了有两个公共点，则实数机的取值范围是().

A.[―2,2^^)B.2,\/2,—2^

C.(-272,2]D.[2,2^2)

【正确答案】D

【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案.

【详解】由x=j4-/，得/+/=4(;<0),

如图,

当直线/：J=-x+m与/+/=4（*0）相切时，用=2&.

当直线/：y=-x+/M过点（0,2）时，有两个交点

若直线/：y=r+m与曲线x="Z7有两个公共点,

则实数加的取值范围是［2,2拒）.

故选：D.

x2y2.(

8.已知椭圆6>0）经过点（3,1）,当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最

小时，其标准方程为（）

B.

1515

D.

【正确答案】A

【分析】把点（3,1）代入椭圆方程得/+5=1,写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它

取最小值时的条件即得解.

【详解】依题意得斗Q+21=1,椭圆的四个顶点为（±。,0）,（0±»,顺次连接这四个点所得四

ab

边形为菱形，其周长为

4〃2+从=4。2+从）（,+,=4Jo+胃+自24jo+2^^-6，当且仅当

当与，即43〃时取“=”，

由7+后=1得/=12,b2=4,所求标准方程为《+片=1.

"3/124

故选：A

给定两个正数和（两个正数倒数和）为定值，求这两个正数倒数和（两个正数和）的最值问题,

可借助基本不等式中“1”的妙用解答.

二、多选题

9.已知血〃是互不重合的直线，a,"是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）

A.若m//〃,“ua,则zn//a

B.若加〃。,加//氏ac/?=〃，则小〃”

C.若加_La,加_L”,a//。，则，?〃£

D.若加_La,〃_!_?,"?-L",则a_L£

【正确答案】BD

根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行分析判断，由此确定出正确的选项.

【详解】A.若mi/n,〃ua,此时凡a可能平行或异面，故A错误：

B.根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B正

确：

C.若加,此时“u/或〃//力，故C错误；

D.选取加，〃上的方向向量小,贝IJ/为a,4的一个法向量，又;所以可知D

正确，

故选：BD.

方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假：

（1）利用定理、定义、公理等直接判断；

（2）作出简单图示，利用图示进行说明：

（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析.

10.下列关于抛物线炉=lOx的说法正确的是（）

A.焦点在x轴上

B.焦点到准线的距离等于10

c.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于7:

D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为（2,1）

【正确答案】ACD

【分析】根据抛物线的定义和性质逐项进项检验即可.

【详解】抛物线/=10工的焦点在x轴上，P=5,A正确，B错误；

设〃（1,为）是/=10天上的一点，则目=l+5=l+g=g,所以C正确；

由于抛物线V=10x的焦点为（|,0）,过该焦点的直线方程为夕=上口-£|,若由原点向该

直线作垂线，垂足为（2,1）时，则力=-2,此时存在符合题意的垂线，所以D正确.

故选.ACD

11.圆—+/-2*=0和圆。2：x2+）?+2x-8y=0的交点为Z,B,则有（）

A.公共弦Z8所在直线方程为x+2y=0

B.线段ZB中垂线方程为2x+y-2=0

C.公共弦的长为半

D.尸为圆Q上一动点，则尸到直线距离的最大值为且+1

【正确答案】BD

【分析】根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作出得出公共弦所在直线方程，判断选项A；

利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项B；利用垂径定理和

点到直线的距离公式可判断选项C；利用点到直线的距离即可判断选项D.

【详解】对于A,由圆。-x2+y2-2x=0与圆2：f+_/+2x-8y=0的交点为Z,B,

两式作差可得4x-8y=0,即公共弦N8所在直线方程为x-2y=0,故A错误；

对于B,圆。|：/+炉-2x=0的圆心为（1,0）,

则线段ZB中垂线斜率为-2,

即线段Z8中垂线方程为：y-0=-2x（x-l）,整理可得2x+y-2=o,故B正确;

上。1-亚

对于C,圆Q：x2+y2—2x=0,圆心。［1,0）到x-2y=0的距离为d

#+(-2)25

2

半径，・=1,所以==胃，故C不正确；

对于D,尸为圆Q上一动点，圆心。(1,0)到x-2y=0的距离为“=乎，半径”1,即尸

到直线距离的最大值为1+1,故D正确.

5

故选：BD.

12.对于数列｛6｝,定义〃。=%+2%++2-%,为｛叫的“优值,,现已知数列的.｝的“优

n

值”儿=2向，记数列｛《「20｝的前〃项和为5.，则下列说法正确的是()

2

A.an=2n+2B.S„=n-\9nC.D.S”的最小值为一62

【正确答案】AC

【分析】由题可得q+2/+…+2"-%"=”-2""，进而可得。“判断A,再由等差数列求和公式

求出，判断B,由乐-2040分析数歹1」｛/-20｝的项的符号变化情况判断C,求出品判断

D.

【详解】由题意知，4J+24+…+2"%=2"',则％+2%+…+2"%,,=〃-2向①，

n

当力=］时，a,—2I+Ix1=4,

当〃22日寸，4+2a2+…+27aI=(〃-l)•2"②，

①一②得，21%=".2向_(〃_1>2",

解得a“=2("+l),当〃=1时也成立，

/.an=2n+2,A正确；

Sn=41-20+g-20+…-20=〃1+〃2+…+〃〃-20/7

=2xl+2+2x2+2+…+2x〃+2—20〃=2(1+2+…+〃)+2〃—20〃

=w(/7+l)-18n=n2-17/z,B错误；

Va„-20=2n-18,当勺一20«0时,即〃69,且%-20=0,

故当"=8或9时，｛为-20｝的前”项和S,取最小值,

9x(-16+0)

最小值为S.=豆==-72,C正确，D错误.

2

故选：AC.

三、填空题

Z\*、r

13.已知a=(l,x,3),b=[-2,4,y),若ab,则x+N=

【正确答案】-8

［分析］根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.

2=—22=—2

【详解】因为7b,所以门心.所以，■

〃=4,解得,x=-2f所以x+y=_8.

34=yy=-6

故-8

14.已知直线，:ax+2y-3=0与，2：3》+(1-。方+4=0,若川,则实数。的值为

【正确答案】-2

【分析】由/J/?可得3“+2(1-幻=0,从而可求出实数。的值

[详解】因为直线八ax+2y_3=0与，2：3x+(l-“)y+4=0,且(！/?,

所以3a+2(l-a)=0,解得.=一2,

故-2

15.若S,,是等差数列｛&“｝的前〃项和，且则.=

3%

【正确答案】2

【分析】根据等差数列前〃项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】设等差数列｛a“｝的公差为d，由九=#1，得3(10卬10x9“=11(5%+等4

一丁

,、一~a,a,+9Jd+9d一

化简得q=d,所以3n='­=7R=2.

asat+4da+4d

故2

V-2V2

16.片(-4,0),6(4,0)是双曲线C：二-匕=1(加＞0)的两个焦点，点〃是双曲线C上一点,

m4

且NF"%=60。则△耳〃鸟的面积为.

【正确答案】4小

【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出山，设|人/卜叫，|町|=〃，根据双曲线定义和

余弦定理解焦点三角形△耳加玛，列出两个方程，解得町，7,利用面积公式可求得答案。

【详解】4(-4,0),6(4,0)是双曲线。：¥_-仁=1("?>0)的两个焦点，

m4

・..加+4=16,C.m=12,

\MF2\=n,

点M是双曲线C上一点，且NF也尸2=60。

Im,-n\-45/3

1'/，解得叫〃=16

+n~-2m{ncos60=64

:.△F、MF,的面积S=—w.nsin60'=4-6

2

故答案为.4行

四、解答题

17.已知I直线4：2x-y+6=0和右:x-y+l=0的交点为P.

⑴若直线/经过点P且与直线％：4x-3y-5=0平行，求直线/的方程；

(2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线m的方程.

【正确答案】⑴4x-3y+8=0

(2)21-5尸10=0或8%-5八20=0

【分析】(1)由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；

(2)设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.

f2x-y+6=0fx=-5

【详解】(1)解：联立的方程\八，解得/即尸(-5,-4)

[x-y+\=0[y=-4

设直线/的方程为：4x-3y+c=0,将尸(-5,T)带入可得c=8

所以/的方程为：4x-3y+8=0；

(2)解：法①：易知直线机在两坐标轴上的截距均不为0,设直线方程为：-+^=1,

ab

-5-4।

-----1-----=1

则直线与两坐标轴交点为“（a,0）,8（0,6）,由题意得:b,

轲=5

[a=5a=——

解得：人.或2

\b=-2,.

i[6=4

xy__

所以直线〃?的方程为：2+4=1或万+1=1

2

即：2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.

法②：设直线加的斜率为2（"工0）,则机的方程为），+4=%（工+5）,

当x=0时，y=5k-4

4

当y=0时，x=--5

k

142R

所以第5左一4|工一5=5,解得：k或&=2

2R

所以加的方程为y+4=g（x+5）或y+4=]（x+5）

即：2x-5y-10=0或8x-5y+20=0.

18.已知各项均为正数的等差数列｛4｝中，4+勺+4=15,且《+2,々+5,生+匕构成

等比数列｛々｝的前三项.

（1）求数列｛&｝,｛£｝的通项公式;

⑵求数列应+4｝的前«项和T„.

【正确答案】⑴a,=2〃+l；b„=5-2'-'

(2)(n+l)2+5x2,,-6

【分析】（1）设等差数列的公差为“，利用基本量代换列方程组求出｛。“｝的通项公式，进而

求出低｝的首项和公比，即可求出也｝的通项公式；

（2）利用分组求和法直接求和.

【详解】（1）设等差数列的公差为d,

则由已知得：＜71+%+=3cz2=15,即。2=5,

又(5—d+2)(5+d+13)=100,

解得d=2或d=-13(舍去)，所以6=。2-1=3.

，-l)xd=为+1,

又4=q+2=5,%=4+5=10,

：.q=2,：.b〃=5,2"~l；

(2)7；=(3+5xl)+(7+5x2)+-F[(2n+l)+5x2-1],

=[3+5++(2〃+I)]+(5+5x2++5x2"-')

=(”+1)2-l+(5xZ-5)=(〃+l)2+5x7-6.

19.问题：平面直角坐标系xOy中，半径为3的圆C过点”(1,-1),且.(在以下两个

条件中任选一个，补充在横线上.)

①圆心C在直线y=2x上且圆心在第一象限；②圆C过点8(1,5).

(1)求圆C的方程；

(2)过点尸(4,3)作圆C的切线，求切线的方程.

[正确答案]⑴(1)2+(k2)2=9

(2)x-4=0或4x+3y-25=0

【分析】(1)选①条件，通过圆心在直线上，设出圆心坐标，利用圆心到圆上一点的距离等

于半径解求解；若选②条件，设出圆的标准方程，将点的坐标代入即可求解；

(2)先判断出点在圆外，再通过切线斜率存在与不存在两种情况借助圆心到切线的距离等于

半径求出切线方程.

【详解】(1)选①条件

设圆心为C(a,2a)(a>0),则厂=+(2。+=^5a2+2a+2=3,

解得。=1,则圆C的方程为(x-l)2+(y-2)2=9.

所以所求圆的方程是(X-1)2+3-2)2=9.

选②条件

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=9,由题意得:

(l-a)2+(-l-/>)2=9

I解得a=\,b=2,

(l-a)2+(5-/?)2=9

所以所求圆的方程是(x-1)2+3-2)2=9.

(2)因为点尸(4,3)在圆外，

①切线斜率不存在时，切线方程为x=4,圆心到直线的距离为d=4-l=3=r,满足条件.

②切线斜率存在时，设切线/：y-3=k(x-4),即米-y-4%+3=0,

[A--2-4^+3|4

则圆心C到切线的距离”==3,解得…不

J-，+1

则切线的方程为.4X+3J，-25=0

所以过点P(4,3)的圆C的切线方程为：x-4=0或4x+3y—25=0.

20.如图，在四棱雉S-48C。中，底面438满足ZB_L4。，AB1BC,”1■底面/BCD,

RSA=AB=BC=2,AD=1.

(1)求证：平面”81平面SBC；

(2)求平面SCD与平面SAB的夹角余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)由线面垂直得即可进一步证8cl平面S/8,最后证平面”8,平

面S8C：

(2)由线面垂直证SZ,SA1AD,即可以4),AB,/S所在直线为x轴、y轴、z

轴建立空间直角坐标系，由向量法求平面SCD与平面SAB的夹角余弦值.

【详解】(1)弘_L底面/3cO,8Cu平面/3CZ),

AB1BC,SAnAB^A,SA、/8u平面”8,BCinSAB,

8Cu平面S8C,，平面平面SBC；

(2)5/，底面/8。。，NB、/Du平面力8C。，SA1.AB,SAVAD,

又48L/。，.•.以点力为原点，分别以Z。，AB,NS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立

则4(0,0,0),5(0,2,0),C(2,2,0),£>(1,0,0),5(0,0,2),SC=(2,2-2),SO=(1,0,-2),

X

7X-2x+2y-2z=0

设平面SCD的法向量是〃=(xj,z),则<即令z=1,则x=2,

zx—2z=0

»=-1,于是〃=(2,-1,1),

由(1)知8C1平面故可取平面以3的法向量为掰=。,0,0),

设平面SCO与平面SAB的夹角为锐角a,

xx|2xl-lx0+lx0|2V6

cosagcos(zm,n)\=/-X—X=J——,=—j==——

、/何1X./22+(-1)24-12V63.

，平面SCD与平面S/8的夹角的余弦值为逅.

3

21.设数列｛““｝的前〃项和为S“，Sn=2an-\

(1)求｛〃“｝的通项公式；

(2)若数列2=史皆S求也｝的前〃项和小

【正确答案】(1)%=2"」

⑵Z，=2一驾1

【分析】（1）当"=1时，可求得4=1；当"22,由a“=S“-S,z可证得数列｛《,｝为等比数

列，利用等比数列通项公式可求得结果；

（2）由（1）可得"，利用错位相减法可求得结果.

【详解】（1）当〃=1时，％=g=2q-l,解得：«,=1；

当〃22时，an=S“_S“_|=2«„-1-2a,一+1=2an-2的,即a„=2%,

数列｛凡｝是以1为首项，2为公比的等比数列，\a"=2"T.

,7—1

⑵由⑴得：bn二*工，

7012/7-2n-l1,r012n-2n-1

-T-=2O+2'+22+'"+2"-212"」’2,1H了+爹+…FF，

产）»-1,12n-2,2n-l

.1,1111n-l2

••„—1.一

22'22232，T2"2a*2"-1-2〃一1

1-2

,c2〃一1

T=2-----丁.

n〃2”一2

3

22.在平面直角坐标系x0y中，动点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线/：x=］的