2023-2024学年陕西省西安市群星学校高三数学理模拟试卷含解析

2023年陕西省西安市群星学校高三数学理模拟试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.函数，（工）=2由的图象向右平移动逐个单位，得到的图象关于/轴对称，则

t的最小值为（）

nn

A.12B.4

H5IT

C.3D.12

参考答案：

B

2.下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（)

A.f(x)=x+lB.f(x)=x-|xC.f(x)=|x|D.f(x)=-x

参考答案：

A

【考点】抽象函数及其应用.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】代入选项直接判断正误即可.

【解答】解：对于A,f(x)=x+l,f(2x)=2x+lW2f(x)=2x+2,A不正确;

对于B,f(x)=x-x|,f(2x)=2x-|2x|=2f(x)=2x+21x|,B正确;

对于C,f(x)=|x|,f(2x)=21x|=2f(x)=2|x|,C正确;

对于D,f(x)=-x,f(2x)=-2x=2f(x)=-2x,D正确；

故选：A.

【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的值的求法，基本知识的考查.

3.动点工（X」）在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一

周。已知时间”。时，点/的坐标是G片），则当然M12时，动点火的纵坐

标了关于。（单位：秒）的函数的单调递增区间

是

（）

A.【。』B.：。』和:工回

C.口⑵D.[5

参考答案：

B

略

i'

4.已知】是虚数单位，则i=

A.-2iB.：!iC.-iD.i

参考答案：

A

略

5.当°<，*»时4*<1抬/

,则。的取值范围是（）

A（。净我

B（TJ）C0.V2）

D（播.2）

8、

参考答案：

B

6.按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（

A.6B.5C.4D.3

参考答案：

B

z=2_+2

7.下面是关于复数17?的四个命题：

：工的虚部为-2:Z的共根复数为

l-2i

A：|Z|=5Z在复平面内对应

的点位于第三象限

其中真命题的为

A.Pl,「2B.C.P"4

D.P20[

参考答案:

c

略

8.函数f(x)=6sinx—cosx(xG)的单调递减区间是(

)

xlx

(A)(B)[2,T]

2xn

(C)[3,it](D)[2

5JT

彳]

参考答案：

C

试题分析:

?+2jUr<x-^<^*2Ax.JkeZ—+2JUr<x<—+2Jbr.ieZ

令262，解得33

[■工x]

所以此函数的单调减区间为13'J,故c正确.

考点：1三角函数的化简;2三角函数的单调性.

9.已知/⑴是定义在R上的奇函数，且/卜+1）=-/（",当*4。」）时,

/（x）=2、1则/（10gj石）的值为

51

———

A.-6B.-5C.2D.2

参考答案：

答案：D

10.已知函数0101r♦♦）9〉"3d"'）的部分图象如图所示,

n

若将/（x）图像上的所有点向右平移五个单位得到函数双目的图像,

则函数用目的单调递增区间为（

)

5：.fcr+争

B.

[k»-—,4»+—1,"

C.1212,4eZ

参考答案：

A

4(--^)lx

由图可知：A=2,T=312鲂，所以，如:2,

jrjr

2aa(2x伊=上

又3，得.3,

所以，.=2iV）,向右平移羡单位得到函数侬Ji）》,

n,x,

——♦2JKX—lfar<x<—fibr

由262，得36,所以，选A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.函数y=/a/©B图象恒过定点（°，】）,若了=/（工）存在反函数,=尸⑶，则

>=尸。）+1的图象必过定点。

参考答案：

（in

12.C.（几何证明选讲选做题）如图，从圆。外一点力引圆的切线Q和割线

ABC,已知月06,圆口的半径为3,圆心。到AC的距离为/，则葩=.

参考答案:

2g

13.已知向量工嘉满足：同=3,同-4叫■«则后_同=

参考答案：

【分析】

由题意结合平行四边形的性质可得卜一耳的值.

【详解】由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得：

2解明）=F司布-邛即2（3、/）=卜剪巾一耳

据此可得:k-耳=3.

【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

、5-x

14.已知函数f（x）=则f[f（-3）]=.

参考答案：

3

【考点】函数的值.

[11

【分析】由已知得f(-3)=5-(-3)=瓦从而f[f(-3)]=f(石)，由此能求出结果.

7^—,x<0

45-x

【解答】解：•.・函数f(x)=1logqX，x>0,

11

.•.f(-3)=5-(-3)=8,

11-31g22

f[f(-3)]=f(■§->=10§48=lg4=21g2=-5.

3

故答案为：T.

15.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数

学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，

将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过

程逐次得到各个图形，如图.

▲A盒

0(1)图(2)图(3)

现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为.

参考答案：

9

16

设图(3)中最小黑色三角形面积为S,

由图可知图(3)中最大三角形面积为1卜\

图(3)中，阴影部分的面积为A,

9

根据几何概型概率公式可得，图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为7i,

故答案为is

16.方程lg**2的解为.

参考答案：

17.函数♦婷-1存在唯一的零点％,且。<0,则实数a的取值范围

是.

参考答案：

a<-2

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

?丁.1

—y+Al（a>6>0）

18.已知椭圆ab的离心率为2,Fi、B分别为椭圆的左右焦点，Bi为

椭圆短轴的一个端点，.格的面积为后

（1）求椭圆的方程；

（2）若A、B、C、。是椭圆上异于顶点的四个点AC与8。相交于点且彩而=0,

求I"刀1的取值范围.

参考答案：

右心】坨W

（1）43（2）1即1

【分析】

（1）根据题意列出方程组，求解48C即可求得椭圆的标准方程；（2）设

4Ama巧.r,直线zc方程为了二近.D,与椭圆方程联立求出玉+》内5，利

1—1

用弦长公式求出l<C|,同理求出1加1,从而表示出根据题意求出左的取值范围

"I

从而求出1唐力1的范围.

£=1

a2a-2c

S542cb=/空

【详解】解：（1）C代入『=b'♦，可得

解得c=l,则a=2,b=6,

椭圆方程：43

（2）《L8,设（马.R,直线ZC方程为y=*（*+D,

联立直线AC方程与椭圆方程可得（止到,+初外+姆-匕二。，

8*'叱一12

>。=一百?书=五不

I~1=八+才45二^^）

因为乐而=0,所以直线2。的方程为，一一11,

_11即⑴.吟）

把工代入川P+3可得3V+4,

因为44GQ是椭圆上异于顶点的四个点dC与M,所以两条直线均不过点

（0.±回.（±2.0）,所以*#&±&吟

M£l=^=3+71

\HD\婷+3443.33

,0<><1,毕

因为4*'+3>3,所以4V+33,4批'+34444’+33

..生\HD\14（4215卜j信（15,竺13；曾1竺13a3j

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于

较难题.

19.在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(-4,0),B(4,0),动点P与A、B连线的

1

斜率之积为-

(I)求点P的轨迹方程；

(II)设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C,半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平

分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为Tr.

(1)求圆M的方程；

(2)当r变化时，是否存在定直线1与动圆M均相切？如果存在，求出定直线1的方

程；如果不存在，说明理由.

参考答案：

考点：直线与圆锥曲线的综合问题.

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题.

yy1

分析：(I)设P点的坐标为(x,y),由已知得x+4，x-44由此能求出点P的

轨迹方程.

(II)(1)由题意知：C(0,-2),A(-4,0),线段AC的垂直平分线方程为

y=2x+3,由此能求出圆M的方程.

(2)假设存在定直线1与动圆M均相切，当定直线1的斜率不存在时，不合题意，当定

|kX-1-3+b|

直线1的斜率存在时，设直线1：y=kx+b,则Vl+k2对任意r>0恒成立，由此

能求出存在两条直线y=3和4x+3y-9=0与动圆M均相切.

解答：解：(I)设P点的坐标为(x,y),

y

贝ijkpA=x+4,xW-4,

y

-

kpB=x4,xW4,

1.^-,^-=-1

因为动点P与A、B连线的斜率之积为-4所以x+4x-44,

22

xy

化简得：164,

22

J'=1

所以点P的轨迹方程为164(xW土4)…(6分)

(II)(1)由题意知：C(0,-2),A(-4,0),

所以线段AC的垂直平分线方程为y=2x+3,…(8分)

设M(a,2a+3)(a>0),

则。M的方程为(x-a)2+(y-2a-3)-r2,

r2=d2+(V3r)2r

因为圆心M到y轴的距离(1=2,由2，得：a=2,…(10分)

(x--)2+(y-r-3)Jr2

所以圆M的方程为2.…(11分)

(2)假设存在定直线1与动圆M均相切，

当定直线1的斜率不存在时，不合题意，…(12分)

当定直线1的斜率存在时，设直线1：y=kx+b,

|kX-|~3+b|

则71+k2对任意r>0恒成立，

由IkX2-r-3+b|=rV1+k2,得：

--1222

(2)2r2+(k-2)(b-3)r+(b-3)2=(1+k2)r2,…(14分)

(^-1)2=l+k2

，(k-2)(b-3)=。k[k='l

所以|(b-3)2=o,解得：jb=3或lb=3,

所以存在两条直线y=3和4x+3y-9=0与动圆M均相切.…(16分)

点评：本题考查点P的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，考查当r变化时，是否

存在定直线1与动圆M均相切的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的

合理运用.

□2

—K+-r=}(a>6>0)

20.已知点A、B分别是椭圆/*长轴的左、右端点，点C是椭

°_应飞15

圆短轴的一个端点，且离心率23.动直线，/)=匕+用与椭圆于

M、N两点.

(I)求椭圆的方程；

(II)若椭圆上存在点P,满足丽+，而=4赤(。为坐标原点)，求2的取值范围；

(IH)在(II)的条件下，当々取何值时，AWW的面积最大，并求出这个最大值。

参考答案：

4hn

<7分）

•.,点户在杭园上.

/,+_2^«ji-2.

A（l+2*2）1（1+2*2）

化荷，得4m2（1+”。=下（1+"2）’.

fil+2*2*O.W4mJ=>?（1+2*1）.①

由A=16A2m2-4（1+?42乂加2-2）=80+1*?-网。>0,

得1+242>册，②

式.得4m2>下桁2.------------------------------------（8分）

*.*m*0><4.

tt-2<l<2.且NwQ.

综合（1）（2）两种情况，4的取值范围是-2<4v2............-.............（9分）

2

U1D解：V|A^=V1+*|XI-XJ|.点。到R纹MV的距离=,-----（10分）

.VI+*2

:.△MNO的面枳S=—|A/A/|</=—|I»I|-|X；-Xj|.........（11分）

J储+/

(DM：得~a=.................(I分)

I一一c..a./*r

解得。=8.d»l••..................(2分)

，精圆的方程为y+/»l......-..........(3分)

⑺解：由｛3乳”。3EM242=O.------------«分)

设点M、N的坐标分别为(孙乂)和仁，R，

4km

Xi+X,=-------------

121+2*

则，(5分)

2m2-2

M+力=+x2)+2m=j+F，

(1)当桁=0时，点M、N关于原点对称，则2=0...................(6分)

(2)当mwO时，点M、N不关于原点对称，则义W0,

Xp=,(X[+X2),

由西+而=砺.得

1,、

»=?。1+力)，

4

略

1-X

21.(12分)(2014春?赤坎区校级期末)已知函数f(x)=log31+x.

(I)求函数f(x)的定义域；

(II)判断函数f(x)的奇偶性；

11

(III)当xd[-2工]时，函数g(x)=f(x),求函数g(X)的值域.

参考答案：

【考点】对数函数图象与性质的综合应用.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】(I)根据对数式的真数部分大于0,构造关于X的不等式，解不等式可得函数

f(X)的定义域；

(II)根据函数的定义域关于原点对称，且f(-X)=-f(X),结合函数奇偶性的定

义，可得结论；

11

(III)当XG[-20时，先求出真数部分的取值范围，进而可得函数g(X)的值域.

1-X

解：(I)要使函数f(X)Hogs"!菽的解析式有意义，

1-X

自变量X须满足：1+7>0,

解得XG(-1,1),

故函数f(X)的定义域为(-1,1),

(II)由(I)得函数的定义域关于原点对称，

1+x1-X1-X

且f(-X)=log31-^logs(1+x)-1=-logs1+x=-f(X).

故函数f(x)为奇函数，

11

(III)当xe[-2W时，

1-X------Z-----

____2

令11=1+x,贝ij/=-(l+x)<0,

1-XII

故U=K在[-20上为减函数，

1

则uG[3,3],

又：g(X)=f(X)=10g3U为增函数，

故g(x)GL-1,1],

故函数g(x)的值域为[-1,1].

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，值域