2023-2024学年广东省广州市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.若集合/={T,0,l},8={0,2},则集合475中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】D

求得由此判断出中元素的个数.

【详解】依题意/=3={-1,0,1,2},有4个元素.

故选：D

本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题.

2.与角-330°终边相同的最小正角是（）

A.-30'B.330°C.30°D.60°

【正确答案】C

利用终边相同的角的关系，求得与角-330。终边相同的最小正角.

【详解】与角-330°终边相同的最小正角为-330°+360"=30°.

故选：C

本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.

3.若/（4+l）=x+l,则”3）的值为（）

A.4B.5C.9D.10

【正确答案】B

由4+1=3计算出x的值，由此求得/（3）的值.

【详解】由6+1=3由解得x=4,所以/⑶=4+1=5.

故选：B

本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.

4.已知幕函数/（x）=（〃?2-3）x-'"在（0,+8）为单调增函数，则实数〃?的值为（）

A.V3B.±2C.2D.-2

【正确答案】D

根据/(X)为基函数，求得〃，的可能取值，再由/(X)在(0,+8)上的单调性，求得优的值.

【详解】由于/(X)为幕函数,所以机2-3=1,m=±2,当加=2时，〃X)=/在(0,+功上

递减，不符合题意，当加=-2时/(x)=x2在(0,+功上递增，符合题意.

故选：D

本小题主要考查根据函数为幕函数求解析式，考查幕函数的单调性，属于基础题.

5.若/(x)=tan(ox)(o>0)的最小正周期为1,贝的值为()

A.B.--C.&D.百

33

【正确答案】D

【分析】根据正切函数的周期求出从而可得出答案.

【详解】•.•/(%)=tan(ox)(o>0)的周期为二=1,

CO

G)=Tlt即f{x)=tan^x,

则呜=5

故选：D.

6.已知实数x,y,z满足x=4°,y=log53,z=sin].+2),则()

A.z<x<yB."z<xC.z<y<xD.x<z<y

【正确答案】C

【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案.

【详解】x=4°=l，

y=logs3<log；5=1,

z=sin]；+2)=cos2,而^■<2<兀，所以zvO,

所以Z<"X.

故选：C

TT

7.己知弧长为万cm的弧所对的圆心角为:，则这条弧所在的扇形面积为()co?

4

71_

A.—B.4C.2乃D.4乃

2

【正确答案】C

先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.

——4I

【详解】依题意，扇形的半径为2,所以扇形面积为:♦兀-4=2五.

42

故选：C

本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.

8.已知函数/（X）是定义在R上的偶函数，对于%,x2e[0,+oo）,且王声匕，都有

x"（；）：：/（々）＜0成立,若实数用满足的（机）+（1-2机）/（1-2加）＞0,则机的取值范围

是（）

A.（-00,-1）B.C.D.（-1,4-00）

【正确答案】C

【分析】构造函数尸（x）=M"（x），根据F（X）的单调性和奇偶性化简不等式

/«/»+（1-2«1）/（1-2/»）＞0,进而求得切的取值范围.

【详解】依题意，函数/（x）是定义在R上的偶函数，/（-x）=〃x）,

构造函数F（x）=#。）,则尸（-X）=W（-x）=H（x）=-F（x）,

所以F（x）是奇函数，图象关于原点对称.

由于V西,x,e[0,+8）,且七工七，都有工“.卜."々）＜0成立,

王一々

即"?所以尸（x）在[°，+"）上递减，

所以尸（X）在R上递减.

由＞0,

即尸（加）+尸（1-2旭）＞0,F（/n）＞-F（l-2w）,

即尸（加）＞尸（2机-1）,

所以〃？＜2m-\,m＞1,

所以〃?的取值范围是（1,+8）.

故选：C

二、多选题

9.下列各组函数中，表示同一函数的是()

A./(。=巴g(x)=fB.〃x)=cosx,g(x)=sin，+

C./(x)=(«)~,g(x)D./(x)=log4x,g(x)=k»g24

II人、I

【正确答案】ABD

【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.

【详解】g(x)=1对应关系和定义域显然相同，故A正确;

B选项中，因为8(》)=$布1+')=(:(^,所以B正确；

C选项中，/卜)=(4『的定义域为［0,+8),g(x)的定义域为R,故C不正确；

D选项中，显然/(x),g(x)的定义域都为(0,+8),又/(x)=log4X=log22x=；k)g2X,

g(x)=log2Vx=log2x==^log2x,故D正确.

故选：ABD

10.下列说法正确的是()

A.uac2>-2”是“。>叱的充分不必要条件

B.“9>0”是"x+y>0”的必要不充分条件

C.“对任意一个无理数x,也是无理数”是真命题

D.命题FxeR,*2+1=0”的否定是“VxeR,x2+1^0,,

【正确答案】AD

【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A选

项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断C

选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.

【详解】对于A选项，若收？〉加,2,则,2>0，由不等式的性质可得“>b,即

iiac2>hc2,,^ita>b",

若a>b,取C=0,则分=加2,即“改2>加2，，e"a>b',,

故“双2>人2”是“a>b”的充分不必要条件,A对;

对于B选项，若孙>0,不妨取x=-l,y=-l,贝！|x+，<0,即“xy>0"R"x+y>。”，

若x+y>0,取x=_l,y=2,则9<°，即>0”位“x+y>0”，

所以，“9>0”是“x+y>0”的既不充分也不必要条件，B错：

对于C选项，取苫=逐为无理数，则犬=2为有理数，C错；

对于D选项，命题“HxeR,》2+1=0”的否定是“VxeR,x2+1^0,\D对.

故选：AD.

11.已知函数〃x)=2sin1函-已)3>0)的最小正周期为兀，若〃z,ne[-2n,2n],且

/(〃?)./(〃)=4,则下列结论正确的是()

A.。的值为1B./⑹=/(〃)=-2

C.是函数/(x)图象的一个对称中心D.的最大值为3兀

【正确答案】ACD

【分析】化简/(x)的解析式，根据/(x)的最小正周期求得。，再结合/(x)的最值、对称

中心对选项进行分析，从而确定正确答案.

71

【详解】/(x)=2sin2COX--=---1-cos2cax--

12I6,

由于/(x)的最小正周期为兀,

所以7=&•=兀,。=1,A选项正确.

2。

(由于-(一71(71

所以〃x)=l—cos2x-£J,1WCOS2YeJ<1,-1<-cos2xq<1,

66

所以041—85(21一看卜2,

当见〃£卜2兀,2兀]时，要使/(加),/(")=4,则/(加)=/(〃)=2,B选项错误.

fT5兀71=cos巫=0,/隹］=1,

cos2x--------

I66,216J

得,1)是函数/(X)图象的一个对称中心，C选项正确.

所以

当/(%)=2时，cos(2x-玄］=._7C,7717rz

-1,2x——=2左兀+n,x=KTi+—k€Z,

612

由—-泉2兀，解得后“党,

所以左=—2,-1,0,1,

所以〃?一〃的最大值为兀+石7兀■-，卜2兀十7兀瓦、卜3兀，D选项正确.

故选：ACD

12.已知函数/(x)=cos(5[x]],其中卜]表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是()

A.函数y=/(x+；)为偶函数

B./(X)的值域为{-1,0,1}

C./(x)为周期函数，且最小正周期7=4

D.〃x)与夕=bgjx-l|的图像恰有一个公共点

【正确答案】BCD

【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确.

【详解】对于A,由于dj=/(0)=cos0=l,

/(；+；)=/P)=cos5=0所以所以》=/'1+；)不是偶函数，故

A错；

对于B,由于区为整数，曰k]=七3%€2”5访卜3的值有0,-1,1三种情况，所以/(x)

的值域为{0,-1』故B正确；

对于C,由于[x+4]=[x]+4,所以

/(x+4)=cos(T|x+4])=cos卜卜2,=co{/Fj=/(),故C正确；

对于D,由B得/(x)s{0,-l,l},令k>g7|x-l|=0,得x=2或x=0,而

X2)=cos7r=TJ(0)=cosO=l不是公共点的横坐标.^log7|x-l|=0,得x=8或x=-6,

W7(8)=COS47T=1,/(-6)=COS(-3TT)=cosTT=-1,所以(8,1)是两个函数图像的一个公共点.

令k>g7|x-l|=-l,得x=T或x=g,而/0=cos5=()H=cosO=l,所以不是两个函

数图像的一个公共点.

综上所述，两个函数图像有一个公共点(8,1),故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13.已知”0,则关于x的不等式"+（5+2“卜+5”0的解集是.

【正确答案】｛x|-|<x<-a）

【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较-。和-g的大小，再利用一元二次不等

式的解法即可求解.

【详解】因为关于x的不等式2x2+（5+2“）x+5a<0可化为:

(2x+5)(x+a)<0,又因为a<0,所以

2

所以不等式(2x+5)(%+。)<0的解集为{x|-|<x<-a),

则关于x的不等式2x2+（5+2。）x+5。<0的解集是｛x|-1<x<-«｝,

故答案为.{x|――<x<-a]

14.的值为______

cos80°cos10°

【正确答案】4

【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.

1

【详解】

cos80°cos10°

cos10。-8cos80。

cos80°cosl00

sin800-ecos80°

cos80°cosl0°

23in80°-立cos80°

22

cos80°cos10°

25出(80。-60。)

cos80°cos10°

2sin20。

cos80°cos10°

2x2xsinl0coslO.

---------------------------=4.

sm10°cos10°

故4

（的图像向左平移机（加）个单位后得到的图像关于轴对称,

15.将函数f(x)=sin2x+]J>0y

则m的最小值是.

【正确答案】已##《兀

【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得"?的取值范围，进而求得加的最

小值.

【详解】函数〃x)=sin(2x+；)的图像向左平移机(〃?>0)个单位后，

得到y=sin2(x+m)+1=sin12x+2加+,其图像关于歹轴对称，

LL,、1c兀1兀kjt7C._

所以2mH——kuH—,in—1，女£Z,

32212

TT

由于加>0,所以俄的最小值为

故正

16.已知函数/(x)=|2"l|,g(x)=F°；L：：2，当。<加<1时，关于x的方程

g[/(x)]=m解的个数为.

【正确答案】4

由g(X)=[忖『’°2的图象得到根t的分布，再

【分析】令f=/(x),得到g(f)=w

3-x,x>2

由

/口)="-1|的图象，得到f=/(x)的根的个数即可.

【详解】解：令f=/(x),贝雅[/(切=用，化为g(r)=m,

g(x)=［吗2M'°2的图象如图所示:

3-x,x>2

因为0<〃？<1,

所以g(f)=%有三个不同的根”2出，其中4G(0,1)由«1，2"«2,3),

函数〃》)=|2一、-1]的图象如图所示:

由图象知：4=/(x)有2个不同的根，f2=/(x)有1个根，，3=/(x)有I个根,

所以当0<加<1时，关于x的方程g[/(x)]=〃?解的个数为4,

故4

四、解答题

17.已知集合/={x[a<x<2a},B=^\x2+x-12>0}.

(1)当”=2时，求

(2)若求。的取值范围.

【正确答案】(1)43%8)=卜|-4Vx<4}

⑵[-8,|

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合B,由补集和并集的定义可运算求得结果;

(2)分别在/=0和/W0两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.

【详解】(1)由题意得/={x|2<x<4},5={x|x4T或xN3},

3RB=1x|-4<x<3j,

Au=|x|-4<x<4}.

(2)止砧,

当aWO时，A=0,符合题意,

3

当〃〉0时，由2aK3,得0<〃W—,

2

故々的取值范围为1-8,g.

八心sin2a—4sina〜(八兀、

18.已知一-——--------=3,0,-.

cos2tz-4costz+1v2)

⑴求tana和sin2a的值;

(2)若sin〃=2sin[]+/?J,夕求a+'的大小.

、3

【正确答案】(l)tana=3,sin2a=-；

喏

【分析】(1)结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tana=3,以及sin2ah2匕一求

tana+1

值；

(2)条件等式由诱导公式可得sin尸=2cos夕=tan/?=2,即可由和差公式求得tan(a+〃)，

结合a+夕范围即可.

.、江5.sin2a-4sina2sinacosa-4sina2sina(cosa-2)、

【详解】(1)------------------------=---------；-----------------=---------7-----------(=tana=3,

cos2a-4cosa+l2cos'a-4cosa2cosa^osa-2)

.c2sinacosa2tana3

sm2a=---------------=——-------=—；

sina+cosatana+15

(2)sin4=2sin[]+/?j=2cos夕=tan尸=2,

tan(a+))=tana+tan£=_],

1-tanatan°

417r

a+〃w(0,兀)，：.a+P.

19.已知函数/(x)=cos2x-V3sinx-cosx-.

(1)求函数/(x)的单调递减区间；

(2)求函数〃x)在区间0,~上的最大值与最小值.

【正确答案】⑴--+kn,-+kjt(AeZ)

63J

(2)最大值为最小值为T

【分析】(1)由三角恒等变换化简函数为/(x)=cos(2x+(J,由整体法求单调递减区间即

可；

(2)由整体法求得函数值域，即可得最值.

【详解】(1)/(x)=!+cos2x_2^sin2r——=—cos2x-^-sin2x=cos(2r+四］,

v722222(3)

令2x+'l［2配兀+2阮］(々fZ),解得xi+A兀,;在兀Z),

TTJT

故/(x)的单调递减区间为一工+kykn(k&Z).

o3

,、八兀1ri-兀「兀4兀1一“'(〜兀、「.1

(2)xG0,—,则2x+1W—,--,故/(x)=cos［2r+5£I—1,5.

_z」JJ」\3)L，.

故函数/(X)在区间0,1上的最大值为最小值为-1.

20.已知函数/(x)=2、+/(aeR)为定义在［-1,1］上的奇函数.

(1)求实数”的值；

⑵设g(x)=〃sin2x),当(。>卷)时，函数g(x)的最小值为也，求。的取

值范围.

【正确答案】(1)。=-1

呜(喈

【分析】(1)由/(0)=0求得。的值.

(2)求得g(x)的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得。

的取值范围.

【详解】⑴由于函数〃力=2，+/是定义在［-1,1］上的奇函数，

所以/(0)=1+a=0,”=-l,/(x)=2'-2',经检验符合题意.

(2)g(x)="sin2x)=2,皿-2Tg,

TTTT

—<x<0-<2x<20

1296f

令，=sin2x,//(r)=2/-2-/,

所以是奇函数，且在R上单调递增,

当/=411四=4时，//工］=23_2^=0_」=虫，

62y2）y/22

要使g（x）的最小值为也，贝k=sin2xNg,

所以^42x4三，所以限<64号.

66661212

21.生产/产品需要投入年固定成本5万元，每年生产x万件（xeN*）,需要另外投入流动

1_

—X7+4x,0<x<7

成本g（x）万元，且g（x）=2,每件产品售价为10元，且生产的产品当年

llx+--35,x>7

,X

能全部售完.

（1）写出利润。（X）（万元）关于年产量X（万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定

成本-流动成本）

（2）年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？

--x2+6x-5,（0<x<7,xeN'）

【正确答案】（l）P（X）=（2z、

30-1x+—J,（x27,xeN"）

（2）当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为?万元.

【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本''求得P（x）.

（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.

一；炉+6x-5,(0<x<7,XGN*)

【详解】（1）依题意,/?(x)=10x-5-g(x)=<

30-fx+—1(X>7,X€N,)

-]x2+6x-5,(0cx<1,XGN,j

（2）由（1）得P（x）=<

30-(x+型)(x>7,xeN')

当0cx<7,所以P（x）的最大值为p⑹=13；

当x27时，30-fx+—j<30-x—=30-10/2,

X

当且仅当"型,x=50时等号成立,

x

当x=7时，。（7）=30-17+9111:当x=8时，川8)=30-卜+1]=63

V

,11163-

由T于一>—>13,

74

所以当年产量为7万件时，年利润最大，最大年利润为?万元.

22.已知函数/（%）=工2-2（4+1）》一”+1,QWR.

(1)若/(x)在区间卜1,1］上不单调，求。的取值范围;

(2)已知关于x的方程〃》)+卜2+2》卜0在区间(-1,2)内有两个不相等的实数解，求实数。的

取值范围.

【正确答案】(1)(-2,0)

【分析】(1)结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；

(2)令MX)=/(X)+W+2X|,方程/(X)+N+2X|=0在区间卜1,2)内有两个不相等的实数

解，等价于函数〃(x)在(T,2)上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.

【详解】(1)函数/(x)=f-2(a+