河南省商丘市名校2023-2024学年高二年级上册11月期中考试数学

2023—2024学年高二上期期中联考

数学试题

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.）

1.圆C：x2+y2—4x—2y+l=0的半径为（）

A.4B.2C.V2D.1

3

2.已知直线4：x+y+l=0,Z2：x+y-1=0,则4，乙之间的距离为（)

5V2c&

A.25/2D0

D.C.D.

44

3.如果直线2x—4y+l=0与直线x+-1=0垂直，那么，"的值为（）

1c1

A.-2BD.--C.一D.2

22

4.如图所示，在平行六面体A6CO-44GA中，A8=a,AD=b,M是4已的中点，N

是线段CA上的点，且C7V:NA=1:4,J用a,b,c表示向量NM的结果是（）

A.'/"L11,4

B.——a——b+—c

5510555

1-

c--LD.—a+/?+c

51052

5.圆f+y2=2与圆x2+,2+2x_2y_-a=0（aeR）的位置关系是（）

A.相交B.相切C.内含D.以上均有可能

22

6.若圆0：V+y2=4过双曲线「—与•=1的实轴端点，且圆0与直线/：y=x+b相切，则该双曲线

CTb'

的离心率为（）

A.y/2B.V3c.2V2D.2

方程七-1+J1_(X-2)2

7.。有两相异实根，则实数々的取值范围是（)

A，H]B-HJ°）C信皿-D.（0,加卜1

8.金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成

金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认

为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的

位置，如图2所示.这就是说，图2中有AE=8E=CE=OE,若正四面体ABC。的棱长为2,则下列

结论不正确的是（）

二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.下列说法正确的有（）

A.直线的斜率越大，倾斜角越大

B.若直线y=+6经过第一、二、四象限，则仕,h）在第二象限

C.过点（一2,-3）且在两坐标轴上的截距相等的直线/的方程为x+y=-5

D.己知直线去—y—Z—1=0和以"（—3,1）,N（3,2）为端点的线段相交，则实数人的取值范围为女上授

或上＜一，

2

10.已知在直角坐标系中，等边△ABC的顶点A与原点重合，且AB的斜率为"，则8c的斜率可能为

2

（）

A.--B.--C.-26D.-373

55

11.在正三棱柱ABC—A4G中，点P满足5P=+,其中；则（）

A.APLBCB.Pe平面BCGaC.BPHAA^D.Pe棱CG

12.已知直线/：x-y-l=O交椭圆C：方=l（a>b>0）于不同两点4,8,且椭圆（7经过点（0,1）,

)

A.椭圆C图心率为---

2

B.椭圆C的焦距是2百

4

C.△AOB的面积是一（。是坐标原点）

5

D.椭圆上任意一点到直线/的距离最大值为遮出

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.向量加=（0,1,0）,〃=（0,1,1）的夹角为.

22

14.若方程」」+?-=1表示的曲线为椭圆，则实数/的取值范围是.

4-rt-\

15.在四棱锥尸一ABC。中，底面A8C。是边长为1的正方形，PAL底面A8CD,且R4=2,E为PC

的中点，设直线PC与平面BOE所成的角为6,则sin6=.

22

16.定义:圆锥曲线C：/十记=1的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心,\Ja+b

为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆C的方程为土+匕=1,P是直线/：3x—2y+9=0上的一

63

点，过点尸作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M,N两点，连接OP（。是坐标原点），当NMPN为直角

时，坛户的值是.

四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）

（1）已知直线/过点P（2,—1）,在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线/的方程；

（2）已知△A5C中，A（l,0）,B（2网,NA5C=0,BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直

线的方程.

18.（本题满分12分）

已知A(—1,0),8(2,0),动点C满足归｛=，，直线/：mx-y+m+\^0.

\CB\2

(1)求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线;

(2)若直线/与动点C的轨迹交于P,Q两点，且|PQ|=20,求实数，"的值.

19.(本题满分12分)

如图，在四棱锥P—A8CD中，24，面48。£>,AB〃OC,且CD=2AB=2,BC=2血，ZABC=90。,

M为BC的中点.

(1)求证：平面PDW平面%M；

(2)若二面角P—DM-A的大小为30。，求直线PC与平面所成角的正弦值.

20.(本题满分12分)

在平面直角坐标系X。)，中，焦点在x轴上的双曲线C过点了(2,3),且有一条倾斜角为120。的渐近线，直

线/：>=左(彳一2)与C相交于A,B两点.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线/与该双曲线的已知渐近线垂直，求A8的长度.

21.(本题满分12分)

我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，薨，屋盖也”.如

图1,E,F,G分别是边长为4的正方形的三边AB,CD,A。的中点，先沿着虚线段尸G将等腰直角三角

形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接48,CG就得到了一个“刍薨”(如图

2).

(1)若。是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO〃平面GCF；

2

(2)若二面角A-M—8的大小为一万，求平面OAB与平面A8E夹角的余弦值.

3

22.(本题满分12分)

22

已知椭圆C：：■+方=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳，F2,过点p(a,b)的直线/经过原点，交C

于不同两点A,B,且|的=26，|明|+忸制=6.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点0(3,0)的直线与y轴正半轴交于点G,与曲线C交于点E,点E在x轴的投影为点过点G

SC

的另一直线与曲线C交于P,Q两点，若=求P。所在直线的方程.

S4GPE2

2023—2024学年上期期中联考

高二数学参考答案

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

题号12345678

答案BBCADBAD

1.【答案】B

【解析】x2+y2-4x-2y+1=0可化为(x—2)2+(y—1)2=4,所以圆半径为r=2,故选B.

2.【答案】B

J

一5五±3”

【解析】由距离公式d=

VT7T4'-

3.【答案】C

【解析】由题知：2x1+(:T)X〃2=0,解得=故选c.

4.【答案】A

W=AM-AN=1(A4+Y1D)-^1A4+|AC^

【解析】由题意可得，MI11

-44-3•

AC=a+b,AD]=b+c,：.NM=-c一一a一一b.故选A.

5510

5.【答案】D

【解析】两个圆的圆心分别为a(。⑼，o2(-i,i),且圆心。2(-U)在圆«方程上，由于圆。2的半径

不确定，所以均有可能.故选D.

6.【答案】B

【解析】圆O：V+y2=4的圆心0(0,0),半径为厂=2,因为圆0：/+/=4过双曲线1—斗=1

\b\厂

的实轴端点，所以。=2,又圆。与直线/：y=x+6相切，所以呈=2,则。=2夜，所以双曲线的

离心率为J5.故选B.

7.【答案】A

【解析】作直线丁="一1与曲线y=—Jl—(x—2)2的图象如图,直线，"的斜率左=言=」，直线〃

的斜率A=(),结合图象可以知道，上的取值范围是(0,；.故选A.

,[y=1l-(x-2)2

8.【答案】D

【解析1如图所示，。是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，A。是四面体的高，0B是下底面的外接圆

半径，0M是下底面内切圆的半径，

则：BM

对于A：因为AEJ_底面BCD,CDu底面BCQ,所以AEJ_C£>,所以AE-C£)=0,故A正确；对于

B：因为AE=BE=CE=DE,所以E4+E8=—(EC+E。)，所以E4+EB+EC+EO=0,故B正

AZ7ARAH2

确；对于C：由于■；——=—,所以AE=——=-,故C正确；对于D：

1…AO2AO2

AE-AC^\AE^AC\cos^AE,AC）^2,故D错误.故选D.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

题号9101112

答案BDADABBCD

9.【答案】BD

【解析】对于A,在［0。,90°）内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在（90°,180。）时，直线的斜率越大,

倾斜角也越大；在［0°,180。）时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项A错误；对于B,若

直线y=依+8经过第一、二、四象限，则上<0,b>0,所以点（匕b）在第二象限，选项B正确；对于

3

C,当直线过原点时，由两点式易得，直线方程为>=万元，故C错误；对于D,直线区一）一左一1=0可

化为1）—（y+l）=（）,所以直线恒过定点尸（L—l）,—=一上，%v=——=巳，直线

1+321—32

与线段相交，所以女2巳3或女4一1上，故D正确.故选BD.

22

10.【答案】AD

【解析】设AB的倾斜角a,BC的倾斜角§,如图所示：

则/=&+'TT或尸=2号7r+£,2立,

2

肉3

当/?=々兀时，tan(3=tanfy+cr——卢二-3不，

31-士

2

_用3厂

27r272_-V3

当0=—+a时，tanp-tan——+。故选AD.

3

2

11.【答案】AB

【解析】连接。4,则。4L3C,又。4OP=O,OP,Q4u平面AOP,所以8C_L平面AOP,又APu

平面AOP,所以故A正确.由=+,得BP,BC,8B；共面，又三个向量

共起点，所以B,P,C,片共面，所以Pw平面BCGg，故B正确；则—=瓦，

得卷CP+予P=4BB],得ABB]=—；(PC+P8),设BC的中点为0,则；134=—PO,所以B8//PO,

因为BB|_L8C,所以OPLBC,即P在8c的中垂线上，故P0棱CC，故D错误；则。尸〃4片，又

BPp!OP=P，所以8尸，AA1不平行，故C错误；故选AB.

12.【答案】BCD

b2=1

【解析】将两点(o/)，G,]坐标代入椭圆方程中，得<31，解得：a=2"=l,可得c=G

7+五=1

于是6=?=乎，焦距为2G.从而知A错误，B正确.记A(x，y),B(x2,y2),可设AB的方程为

x=y+l,由《)，消去尤得5y?+2y—3=0,解得y=-1,必=工直线/与x轴交于点尸(1,0)，

x=y+l5

则5=；]。尸||,一必|=；乂1*|=1,故C正确.

设与/：》-丁一1=0平行的直线为/'：x-y+m=0,当/'与椭圆相切时，两平行线间距离即为所求，经

分析计算可知D正确.故选BCD.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

7F

13.—(或45°)

4

【解析】cos(m,n)=,m.।1,=-?=r=—,所以角大小为45。.

\'|m|.|n|V22

4-r>0

【解析】当曲线表示椭圆时，需%—i〉o,解得1</<2或2</<4.

22

4一/*1

【解析】因为B4_L底面ABCQ,AB,ADu平面ABCQ,所以PALAD,

因为四边形ABCZ)为正方形，所以A5_LAD,

所以以A为原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

则A（0,0,0）,5（1,0,0）,C（l,l,0）,£＞（0,1,0）,P（0,0,2）,

因为E为PC的中点，所以所以=BD=（-1,1,0）,BP=（T,0,2）,

m-BcE=——1x+—1y+z=C0

设平面8OE的法向量为〃?=(x,y,z),则,22'

m-BD=-x+y=0

令x=l,则加=（1,1,0）,

所以P到平面BCE的距离为d=l।।1=4==注,又在Rt^QAC中易得PE=X?,所以

加血22

V2

sin6=-^=-^.

V63

2

16.-*或0

5

【解析】根据蒙日圆定义，圆O方程为/+：/=/+〃=%

3x-2y+9=0

因为直线/与圆。交于A、B两点，联立《

x2+y2=9

__15

“一一63=-3（1536、/、

可得J或八,即点A-2,1、8（—3,（）,

36%=011313J'）

y,=——L

['13

12

当点P与点A或B重合时，/MPN为直角,此时初=若，％=。，

12

所以直线OP的斜率为-三或0.

5

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.【解析】（1）若直线/经过原点，则其斜率为-』，

2

故其方程为y=-gx,即x+2y=0；

若直线/不经过原点，设其方程为±-2=1,又其过点（2,-1）,则2+^=1,

aaaa

解得a=3,故直线/方程为巳一1=1,整理可得x—y—3=0；

33

综上所述，满足题意的直线方程为x+2y=0或x—y—3=0.

（2）因为h8=正旭=百，ZABC=~,设8C交x轴于点例，则根据条件可知为等边三

82-13

角形，则M（3,0）,“为BC中点，则

心。=金亨二一¥'故A。直线方程为、一°=一"（"一1）'

即x+百y-l=0,故AC直线方程为x+Gy-1=0.

..ICAI1J（x+11+y21

18.【解析】（1）设C（x,y）,因为动点C满足^~所以"J）二二,

—\CB\2小一222

整理可得f+y2+4x=o,即（x+2p+y2=4,

即动点C的轨迹方程为（x+2）?+y2=4.

动点C的轨迹是以N（—2,0）为圆心，r=2为半径的圆.

（2）设圆心到直线/的距离为4,则2=pT.,

\l/n2+1

因为|PQ『=4卜2一屋），贝114（/一屋）=8,

因为r=2,所以d=即I'"：）=6,解得机=一1.

。席+1

19.【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB=1,CD=2,BM=CM=6,

可得AA/2=3,DM。=6,

过A在平面ABC。内作AELCD,垂足为E,则。E=l,AE=2®,求得AZ）2=9

则AD?=4^+。“，.DMYAM.

•.•9_1_面/18。9,，£>M_LE4,又PADW,平面以M,

,?DMu平面PDM,：.平面PDM_L平面PAM；

（2）由（1）知，PM±DM,AMLDM,

则NPMA为二面角P—£>M—A的平面角，即，NPM4=30°,

则P4=AM-tan300=l.

以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则P（O,O,1）,D（2A/2,-1,0）,C（2夜,叫，M（V2,l,0）,

PC=（2"1,-1）,PD=（272,-1,-1）,PM=（V2,1,-1）.

设平面PDM的法向量为”=（x,y,z）,

n-PD=2\[2x-y-z=0（J23夜）

由1厂，取％=1，得"=1,—，为平面POM的一个法向量.

n-PM-yjlx+y-z-0I22,

,、IPC-H|J?J30

/.直线PC与平面PDM所成角的正弦值为cos（PC,n）=J―目=.

'/|pc|.|n|VI0V630

22

20•【解析】（1）设双曲线C的标准方程为3r-2=1（。>°0>0），

ah

b

则其渐近线方程为y=±-x,

a

由题意可得，2=1,且—2=tan120°=—G，解得。=1,b=B

a~ha

2

则双曲线C的标准方程为f-2=1；

3

（2）由（1）可知：该双曲线的渐近线方程为y=±JIx,

所以直线I的斜率为土且，又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值,

3

所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线/的斜率为4,

3

2y2.

X--------=1

3

方程为y工-2）与双曲线方程联立为：v=>8x2+4x-13=0，

y=

[13

设A（玉,y）,5（x,y）,则有玉+&=——，%/=一一-

2228

2

竿x々）2=竽xyj（xl+x2）-4xlx2

21.【解析】（1）取线段CF中点H,连接。”、GH,

由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB=2EB,

，0是线段BF与CE的中点，

：.0H//BC5L0H=LBC,

2

在图1中AG〃BC且AG=-BC,EFHBCREF=BC.

2

所以在图2中，AG〃BC且AG=’5C,

2

AGHOHRAG=OH,

四边形AOHG是平行四边形，则AO//HG,

由于AO仁平面GCF,”Gu平面GCF,

：.AOH平面GCF.

（2）由图1,EFLAE,EFA.BE,折起后在图2中仍有所，AK,EFA.BE,

二Z4EB即为二面角A—所—B的平面角.

ZAEB=—7r,

3

以E为坐标原点，EB,EF分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系E—孙z如图,

x图2

设CB=2£B=2E4=4,则B（2,0,0）、00,2,0）、A（-1,0,6）,

Z.OB=（1,-2,0）,BA=（-3,0,73）,

易知平面ABE的一个法向量m=（0,1,0）,

设平面O\