2023-2024学年湖南省长沙市高二年级上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年湖南省长沙市高二上册期末数学模拟试题

第I卷

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的)

1.在等差数列中，若"4=11,%=15,则｛为｝的公差为()

A.-2B.2C.-3D.3

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可.

【详解】设｛4｝的公差为d，

则q+3d=11吗+5"=15,

解得d=2.

故选：B.

2.如果直线au平面a,直线平面〃，且a〃/，则a与b()

A.共面B.平行

C,是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线

【正确答案】D

【分析】根据线面和面面的位置关系直接得出结论.

【详解】a//p,说明。与6无公共点，

・“与b可能平行也可能是异面直线.

故选：D.

3.4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方

法共有()

A.3今种B.43种C.A：种D.

种

【正确答案】A

【分析】由分步计数原理可得答案.

【详解】4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则每位同

学都有3种选择，

所以共有34种不同的安排方法，

故选：A

4.（X-1）"的展开式的第6项的系数是

A.-C*B.C%C.一%D.C,o

【正确答案】C

【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项求解.

【详解】由题得-1）«=0,1,2,10）,

5555

令r=5,所以7；=q>（-1）=-C,0x,

所以（x-iy°的展开式的第6项的系数是一

故选C

本题主要考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础

题.

5.己知等差数列｛可｝的前〃项和为S,,；等比数列｛“｝的前〃项和为7；,且

%=a=1也=2%=8,则S5+4=（）

A.22B.34C.46D.50

【正确答案】C

【分析】设等差数列｛/｝的公差为力等比数列｛a｝的公比为g,解出d和g,再求出S5和

4，即可.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列也“｝的公比为q,

因为q=b}=I,"=2%=8,

a4=ax+3d=1+3d=4也=a1",=/=8

解得：d=\,q=2.

则=%+/+%+。4+a,=l+2+3+4+5=15,

4=4+a+”+“+仇=1+2+4+8+16=31,

所以S5+7；=15+31=46.

故选：C

等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质.

6.己知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3

号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若

第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放

入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（）

17111

A.~B.—C.—D.一

236486

【正确答案】C

【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为4（,=1，2,3）,记第二次在第i号盒内抽到3

号球的事件分别为与（i=1,2,3）,再利用全概率公式求解即可.

【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为4（'=1,2,3）,

则有尸（4）=；，尸（4）=尸（4）=；，

记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为用。=1,2,3）,

而4，4，4两两互斥，和为Q,P（引4）=；，尸（见4）=；，尸（困4）=：，

记第二次抽到3号球的事件为8,

尸（3）=岑尸（44）=£［尸（4）・尸（瓦［4）］=；x；+；x；+；x：=1.

故选:C.

22

rv

7.已知椭圆=1(。>b>0)的中心是坐标原点。，口是椭圆E的焦点.若椭圆E

上存在点尸，使△。氏P是等边三角形，则椭圆E的离心率为()

A.gB.4-273C.V3-1D.B

2

【正确答案】C

【分析】设点P为椭圆石上位于第一象限内的点，设耳为椭圆E的左焦点，计算出|尸制、

|尸£|,利用椭圆的定义可得出关于a、C的等式，进而可求得椭圆E的离心率.

【详解】设点P为椭圆E上位于第一象限内的点，设片为椭圆E的左焦点，

因为4OFP是等边三角形，则\PF\=\OF\=\OP\=c,ZPOF=60",

\OP\=\OF\=c,所以，乙OPF、=NO片尸=30”，：.NFPF、=ZOPF+NOPF、=90”,

所以，归耳|=5鹏|2一归歼=&,

由椭圆的定义可得2a=|PE|+1产用=(6+1卜，

C2r~

因此，椭圆£的离心率为e=,=m=6T.

故选：C.

方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得“、。的值，根据离心率的定义求解离心率e

的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于“、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

8.设a=ln3,/>=V3In2(c=&ln3，则。、b、c的大小关系是()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【正确答案】D

。1

【分析】利用函数/（月=一?在（O,e）上的单调性可得到6、c的大小关系，利用对数函

数的单调性可得出。、b的大小关系，即可得出结论.

【详解】构造函数/（x）=2巫，其中x>0,则/"）=2（1锣）,

XX

当0<x<e时，"（x）>0,所以，函数/（X）在（o,e）上单调递增，

因为0<正<e，则/（行）</（6），即2'nJJ旧金,即JJln2<J^ln3,

v2v3

所以，b<c,

o

因为35=243<256=2%故51n3<81n2,即ln3<—ln2〈百ln2,即a<6,

因此，c>b>a.

故选：D.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分）

22

9.已知曲线C：二一+二一=1,则（）

4-7772+加

A,加=2时，则C的焦点是耳倒,后），❷

B.当〃?=6时，则。的渐近线方程为〉=±2x

C.当。表示双曲线时，则加的取值范围为加<一2

D.存在加，使C表示圆

【正确答案】ABD

【分析】AB选项，代入加的值，分别得出是什么类型的曲线，进而作出判断；C选项，要

想使曲线。表示双曲线要满足（4一加）（2+M）＜0；D选项，求出曲线C表示圆时机的值.

【详解】当〃?=2时，曲线C：y+^=l,是焦点在y轴上的椭圆，且。2=4-2=2，

所以交点坐标为耳（0,J5）,g（0,—&），A正确；当加=6时，曲线C：y=l,

是焦点在在y轴上的双曲线，则C的渐近线为y=±2x,B正确；当。表示双曲线时，要

满足：（4一加）（2+加）＜0,解得：〃？＞4或机＜-2,C错误；当4-m=2+相，即心=1

时，x2+y2=3,表示圆，D正确

故选：ABD

10.设直线/：y=丘+1（〃€11）与圆。：》2+夕2=5,则下列结论正确的为（）

A./与C可能相离

B./不可能将C的周长平分

c.当％=1时，/被c截得的弦长为m

2

D./被。截得的最短弦长为4

【正确答案】BD

【分析】求出直线/所过定点的坐标，可判断A选项的正误；假设假设法可判断B选项的正

误；利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】对于A选项，直线/过定点（0,1）,且点（0』）在圆。内，则直线/与圆。必相交，

A选项错误；

对于B选项，若直线/将圆C平分，则直线/过原点，此时直线/的斜率不存在，B选项正确;

对于C选项，当左=1时，直线/的方程为X—夕+1=0,圆心。到直线/的距离为d=丝，

2

所以，直线/被C截得的弦长为2,5—（交〕=3后，C选项错误；

对于D选项，圆心。到直线/的距离为4=41,

“/21+1

所以，直线/被C截得的弦长为2,554,D选项正确.

故选：BD.

方法点睛：圆的弦长的常用求法

（1）几何法：求圆的半径为"，弦心距为d,弦长为/,则/=2,产一屋；

（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式|力同=〃17记卜-马|・

11.如图，在棱长为1的正方体48。-4囱。。|中，点尸在线段8。上运动，则下列判断

中正确的是（）

\.DP//^AB\D\

B.三棱锥力-9PC的体积为」"

12

C.平面尸与平面ZC£>i所成二面角为90。

7T7T

D.异面直线4P与所成角的范围是

【正确答案】ACD

【分析】A利用面面平行的性质证。尸//面/4R；B应用等体积法，根据特殊点：P与B

重合时求/-2PC的体积：c先证明。4_L面/C，，再利用面面垂直的判定定理证面

PBQ1面ACR即可;D由ADJIBC.,根据p在线段BCt的位置，即可确定异面直线4P

与所成角的范围.

【详解】A：连接。8,DC},AB],D&1,由于BC、"AD\,DB//D,B\,由面面平行的

判定定理，可证明面Z8QJ/面,又DPu面BDC1,所以。P//面工用。，正确:

B：VA_D^PC=VC_AD]P,因为C到面Z。/的距离不变，且的面积不变，所以三棱

锥C-ZOf的体积不变，当P与B重合时得VC_ADB=Vc=1x'x1x1x1=',错误;

,326

C：由三垂线定理，可证明,再由线面垂直的判定定理可得。与J■面

ACD、,又£＞用＜=面尸片£＞,则面尸片。，面ZCj,正确：

D：由异面直线4P与NA所成角即为//与8G所成角，又V48G为等边

三角形，当P与线段8cl的两端点重合时，40与所成角取最小值t，当P与线段8G

JTTTTT

的中点重合时，4。与所成角取最大值故4尸与/功所成角的范围,正

确.

D

12.己知抛物线_/=4x的焦点为尸，过原点。的动直线/交抛物线于另一点P,交抛物线

的准线于点。，下列说法正确的是（）

A.若。为线段尸。中点，则归目=2B.若归曰=4,则|0P|=2后

C.存在直线/,使得PFLQFD.△PFQ面积的最小值为2

【正确答案】AD

【分析】对于A,求出P点的横坐标，再根据抛物线的定义求出|PE|,即可判断：

对于B,根据抛物线的定义求出P点的横坐标，再求出|。尸|,即可判断，

对于C,P（a2,2a）,则《一1,一/），判断而是否有解，即可判断；

对于D,根据5秒.2=（・|。口|・|力一坨|，结合基本不等式即可判断.

【详解】解：抛物线_/=4x的准线为x=—1,焦点厂（1,0）,

若。为尸。中点，所以与=1,所以PE=%+1=2,故A正确；

若忸目=4,则巧,=4—1=3,所以|（9尸］=6""=1君+4项,=后,故B错误;

设尸（片,2a）,则所以加:（二一i,2a）,求（2,：）,

所以RP-QE=2a2-2+4=2a2+2>0，所以尸尸与尸。不垂直，故C错误；

S也=；・|。叩力_%卜;Xlx勿+2=同+1之2,

IatI

当且仅当14=百，即4=±1时，取等号，

所以△PF0面积的最小值为2,故D正确.

故选：AD.

第n卷

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.圆G:x2+V—2x+10y—24=0与圆。2：/+歹2+2》+2y一8=0的公共弦所在直

线的方程为.

【正确答案】x-2y+4=0

【分析】利用两圆的一般方程相减即可得出结果.

x2+y2-2x+1-24=0

【详解】联立两圆的方程得

x2+y2+2x+2y-S=0

两式相减并化简，得工-2歹+4=0,

所以两圆公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.

故答案为.x-2y+4=0

14.函数/(x)=e'+：在其图象上的点(l,e+1)处的切线方程为.

【正确答案】y=(e-l)x+2

【分析1对/(x)=e'+g求导，求出/'(l)=e-l,再由点斜式方程即可得出答案.

【详解】/'(力=砂一★,=又切点为(l,e+l),

切线斜率左=/'(l)=e-l,即切线方程为y-(e+l)=(e-D(x-l),

即N=(e-l)x+2.

故答案为.y=(e—1)%+2

5y432

15.己知(2x-1)=a5x+a4x+a3x+a2x+a}x4-tz0,则

同+同++同=.

【正确答案】243

【分析】利用赋值法，根据方程思想，可得答案.

【详解】令%=1,得%+%+。3+“2+。】+。0=1，①

令x=—1,得—%+。4—。3+。2—+。0=-243,②

②+①，得2(%+%+〃0)=-242,即为+出+〃0=一121.

①一②，得2(%+4+6)=244,即生+/+6=122.

所以同+同++|a5|=122+121=243.

故答案为.243

16.已知甲、乙两人的投篮命中率都为p(O<p<l),丙的投篮命中率为1-2，如果他们

三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为.

23

【正确答案】—

【分析】利用对立事件概率公式可求得P（N）=l-p（l-2）2,利用导数可求得尸（Z）的最

小值.

【详解】设事件A为“三人每人投篮一次，至少一人命中”，则尸（彳）=?（1一夕）2,

.♦.尸（Z）=l-P（l-P）2,

设/（2）=1-2（1-夕）2，O<P<1，

则/'（p）=-（l-p）2+2p（l-p）=-（3p-l）（p—l）,

.•.当0<p<；时，/'（2）<0；当:<P<1时，/"（'）>0；

二/（0）在（（）,§）上单调递减，在上单调递增，；./（p）mM=./=1--X—=—>

23

即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为

27

23

故答案为.—

27

思路点睛：利用相互独立事件求复杂事件概率的求解思路为：

（1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；

（2）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的

积事件；

（3）代入概率的积、和公式求解.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步聚）

+《）的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大.

17.已知|2x2

（1）求展开式中第三项系数；

（2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）.

【正确答案】（1）240；

（2）64”，160x5，x-2.

【分析】（1）根据二项式系数的性质可知N=6,求出展开式通项（句，令，=2可求第三项

系数;

（2）根据展开式通项，当r=0,3,6时为有理项，代入计算即可.

【小问1详解】

由题可知，77=6,

6r2

则二项展开式通项为1+1=C>（2x2）6[=C'6-2--x~,

\7

展开式中第三项系数为：C>2^2=240；

【小问2详解】

展开式中有理项为r=0,3,6时，

即7；=《.26-2=64”,

7；=C<26'3-X5=160X\

7；=C<26-6X-2=X_2.

18.设数列｛4｝满足q=3,an+1=3an-4n.

（1）计算外,%，猜想｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛2"4｝的前〃项和S,,.

【正确答案】（1）%=5,%=7,an=2n+\

（2）S„=（2»-l）-2n+1+2

【分析】（1）根据递推关系计算，并结合等差数列猜想求解即可；

（2）结合（1）得=（2〃+1>2”,进而根据错位相减法求解即可.

【小问1详解】

解：因为数列｛%｝满足q=3,%=3%-4〃，

所以，。2=3[-4=9一4=5,a3=3%-8=15-8=7,

所以，由数列｛6,｝的前三项可猜想数列｛%,｝是以3为首项，2为公差的等差数列，即

an=2〃+1.

【小问2详解】

解：由(1)知an=2〃+1,代入a„+1=3a„-4n检验知其满足,

n

所以，=2/1+1,an-2=(2n+l)-2",

所以，S,=3x2+5x22+7x23++(2〃一1).2"T+(2〃+1>2",①

2s,=3x22+5x23+7x24++(2〃-1>2"+(2〃+1>2向，②

由①一②得，—S“=6+2X(2?+23++2")-(2〃+1>2"

=6+2x*(5)

-(2M+1)-2fl+I=(1-2n)-2n+1-2,

所以，S“=(2〃—1>2用+2.

19.如图,直三棱柱的侧面菱形，B.CVA.B.

B

（1）证明：4£_1_50；

（2）设。为3c的中点，CA=CB,记二面角。—/4―C为。，求|cose|的值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵当

【分析】（1）连接利用菱形的性质可得Bq_L81C,利用线面垂直的判定定理可得

gC_L平面43C；,即可证明结论；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求

出平面"A。和平面/片。的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【小问1详解】

证明：如图，连接5G,因为侧面8CGa是菱形，

则BC1151C,

因为61CJ_48,48c6G=B,A]B,BC[u平面NfG,

则8c，平面48G,

因为4Gu平面48G,

所以8C_L4G；

【小问2详解】

因为直三棱柱NBC-44G中，

由⑴可得，B,c1AC,

又B]CcCCi=C,B、C,CC,u平面BCC[B],则4CJ_平面BCC.5,,

故以点c为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设ZC=2,则。(1,0,0),〃(0,2,0),5,(2,0,2),C(0,0,0),

所以。4=(一1,2,0),DB{=(1,0,2),CA=(0,2,0),CB,=(2,0,2),

设平面ABQ的法向量为片二(x,乂z),

n-DA怎-x+2y=0

则〈Xr*，

n-DB{=x+2z=0

令x=2,贝ijy=l,z=-1,故5二(2』,一1),

设平面AB、C的法向量为加=(a,Ac),

(A八

m-CA=2b=0

则〈X,

tn-C5(=2a+2c=0

令a=l,贝!|c=-l,故加=(1,0,—1),

AAf-

XX

所以|cos<n>|=

n\~76x^2-2'

20.选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛中获胜的概

率为|,乙获胜的概率为g,如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为g.

（1）若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？

（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手

实力对比赛结果的影响？

O1

【正确答案】（1）甲、乙比赛甲获胜的概率一，甲、丙比赛甲获胜的概率;；（2）甲、乙

1252

比赛，甲获胜的概率0.68256,甲、丙比赛，甲获胜的概率0.5；答案见解析.

【分析】（1）分甲获胜的可能分2:0、2:1两种情况分计算出两场比赛甲获胜的概率，即可

得解；

（2）分甲获胜的可能有3:0、3:1或3:2三种情况，分别计算出两场比赛甲获胜的概率，

即可得出结论.

【详解】（1）采用3局2胜制，甲获胜的可能分2:0,2:1,

因为每局的比赛结果相互独立，

aa/\2Qo1

所以甲、乙比赛甲获胜的概率E=±x±+C；x-x-=—f

1

5525125

甲、丙比赛甲获胜的概率j

（2）采用5局3胜制，甲获胜的情况有3:0、3:1或3:2,

甲、乙比赛，甲获胜的概率£+C；x沁

甲、丙比赛，甲获胜的概率与=［；）xg+C：

+C；

因为片=0.648<鸟，所以甲、乙比赛，采用5局3胜制对甲有利,

鸟=乙，所以甲、丙比赛，采用5局3胜制还是3局2胜制，甲获胜的概率都一样，

这说明比赛局数越多对实力较强者有利.

思路点睛：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：

（1）首先确定各事件是相互独立的：

（2）再确定各事件会同时发生；

（3）先求出每个事件发生的概率，再求其积.

22

21.己知双曲线。：♦一方=i（a>o,/）>o）的左、右焦点分别为片，F2,渐近线方程是

y=±半X，点4（0力），且△/斗鸟的面积为6.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）直线/：»=h+加（左。0,加。0）与双曲线C交于不同的两点尸，Q,若|40|=|4。|,

求实数机的取值范围.

【正确答案】（1）--4=1

54

98

（2）m<——或0<加<一・

29

【分析】（1）根据题意，由条件结合双曲线。c的关系，列出方程，即可得到结果；

（2）根据题意，设。（西,弘），联立直线与椭圆方程结合韦达定理，由|/尸|=|4。|

知，列出不等式即可得到结果.

【小问1详解】

由题意得2=2叵，①

a5

X

^^AFXF2=~2CXZ）=6,②

/+/=M，③

由①②③可得/=5，〃=4,

•・•双曲线C的标准方程是E-d=l.

54

【小问2详解】

由题意知直线/不过点4

设尸（石,弘）,线段尸0的中点为£＞（%,%）,连接

将夕=日+力与工一匕=1联立，消去V,

54

整理得（4—5女2卜2—1OQ”X—5/-20=0,

4-5左270

由4一5乙。且A〉。叫80-5d+4）＞。'④

10km5m2+20

厂・须+

x22玉Z=

~4-5k4-5k2

xx+x2_5km4m

・・XQy=kx+tn=

2~4-5k2Q04-5k2

由|ZP|=M0|知，ADVPQ,又4(0,2),

4m2

L=止2=4一斗--=-1化简得10左2=8—9加，⑤

X。5kmk

4—5左2

98

由④⑤，得——或加>0.由10人28—9m〉0，得加＜§.

2

98

综上，实数〃7的取值范围是加<一一或0〈加〈一.

29

22.已知函数/(力二1一八+lnx(x〉0).

(1)若/(x)40在(0,+力)上恒成立，求。的取值范围；

(2)在(1)的条件下证明:对任意〃wN*，都有1+，+」++，>ln(〃+

23n

⑶设g(x)=(x-l)2e"讨论函数尸(x)=/(x)