2023-2024学年云南省曲靖市宣威三中高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省曲靖市宣威三中高二(上)开学数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若集合M={1,2},N={2,3},则MUN=()

A.{2}B.{1}C.{1,3}D.{1,2,3)

2.复数Z满足(1+2i)z=5,则在复平面内Z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.命题“VmGR,都有n?一2瓶+3>0”的否定是()

A.∀zn∈R,都有τ∏2-2m+3≤0B.Bm∈R,使得m?—2τn+3≤0

C.3m∈R,使得r∏2_2m+3<0D.3m∈R,使得m?—2m+3>0

4.最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了体温

366/C

365

疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都364

363

要进行体温检测并将结果上报主管部门.某班级体温检测员对362

361

一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示,

则下列结论不正确的是()°I234567H期

A.甲同学体温的极差为0.5。CB.甲同学体温的众数为36.3。C

C.乙同学体温的中位数与平均数相等D.乙同学体温的第60百分位数为36.45。C

5.在AABC中，O为线段AB上一点，且4。=2BO,则%=()

3113

+

4-4-4-4-CBC.∣C½+∣CBD.j^CA+jcB

6.为了得到函数y=sin(2x+g)+l的图象，只需把函数y=sin(2x)的图象()

A.向右平移方个单位长度,再向上平移1个单位长度

B.向右平移方个单位长度,再向下平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

D.向左平移*个单位长度,

O再向下平移1个单位长度

7.已知事件4和B相互独立，且P(4)=g,P(B)=贝IJP(AB)=()

8.国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上

选择了C,D两点，在C,D处测得旗杆的仰角分别为45。、30。.在水平面上测得NBCD=120。且

C、。的距离为15米，则旗杆的高度为多少米？（）

A.13B.13√^^5C.15D.15/3

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.关于复数Z=CoS卑+isin与（i为虚数单位），下列说法正确的是（）

A.∣z∣=1B.W在复平面上对应的点位于第二象限

C.z3=1D.z2+z+1=0

10.设m,n是两条不同的直线，a,S是两个不同的平面，则下列为假命题的是（）

A.若τn_La,n//a,则Tnl.nB.若TnIα,n1/?,贝∣Jα〃/?

C.若a_L。，m1β,则π√∕αD.若n∕∕β,则m_L0

11.下列结论正确的是（）

A.3x∈/?,x2+2x+3=0

B.a>0且b>0是ab>0的充分不必要条件

C.命题“m%6R,使得/+χ+ι<0”的否定是“Vx6R,都有/+X+INO”

D.um<0”是“关于X的方程/-2x+m=O有一正根和一负根”的充要条件

12.已知函数/（X）=COS（3%+合（3>0）的最小正周期为兀，则该函数的图象（）

A.关于点G，0）对称B.关于直线X=，对称

OO

C.关于点60）对称D.关于直线X=答对称

ɔ1Z

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设向量五，万的夹角的余弦值为最且IaI=1,∣ft∣=3.则（2方+石）不=

14.已知一扇形的圆心角为全弧长是兀，则扇形的面积是.

15.某汽车4S店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型

被选到的概率为.

16.在长方体ABC。-4BιGDι中，BC=CC1=1,AB=/,则异面直线BG，所成

的角的余弦值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

某班20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：

(1)求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；

(2)从成绩在［50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在［60,70)中的概率.

ʌlIIII

0Λ5080708090100

18.(本小题12.0分)

已知向量1=(L3),b=(m,2)c=(3,4)>且0-3斤)_1乙

(1)求实数Jn的值；

(2)求向量云与石的夹角8.

19.(本小题12.0分)

正三棱柱ABC—Cl的底面正三角形的边长为2,。为BC的中点，AA1=3.

(1)证明：〃平面ADC1；

(2)求该三棱柱的体积.

20.(本小题12.0分)

从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图

如下：观察图形，回答下列问题：

(1)80〜90这一组的频数、频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、中位数；

(3)从成绩是80分以上的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.

21.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P-ABC中，PB=PC,AB=AC,D,E分别是BC,PB的中点.

(1)求证：DE〃平面PAC；

(2)求证：BCI平面PAD.

22.(本小题12.0分)

在锐角△4BC中，a、b、C分别为角4、B、C所对的边，且，2a=2cs讥A

(1)确定角C的大小；

(2)若c=√^7,且AABC的面积为弓I,求a+b的值.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：∙∙∙M={1,2},N={2,3},

：.MUN={1,2,3).

故选：D.

利用并集定义直接求解.

本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题.

由(l+2i)z=5,可得(1-2。(1+2。2=5(1-21),化简整理即可得出.

【解答】

解：(l+2i)z=5,.∙.(l-2i)(l+2i)z=5(l-2i),二z=l-2i.

则在复平面内Z对应的点(1,-2)位于第四象限.

故选：D.

3.【答案】B

【解析】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以命题''Vm∈R,都有n?-2zn+3>0”的否定是,,3m∈R,使得-2m+3≤0w.

故选：B.

任意改存在，将结论取反，即可求解.

本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：根据温度折线图知，甲同学的体温极差是36.6-36.1=0.5。。选项A正确；

甲同学体温数从小到大依次是36.1,36.1,36.3,36.3,36.3,36.5,36.6,所以众数是36.3,选

项B正确；

乙同学体温数从小到大依次是36.2,36.3,36.3,36.4,36.5,36.5,36.6,所以中位数是36.4,

平均数是36.4,中位数与平均数相等，选项C正确；

7X60%=4.2,所以乙同学体温数的第60百分位数是第5个数，为36.5,选项。错误.

故选：D.

根据温度折线图写出对应的温度值，再判断选项中的命题是否正确即可.

本题考查了折线图的应用问题，也考查了数据分析与判断能力，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由AD=2BD,可得力=|四，

则而=CA+AD

一2一

=CA+—√45

_2_._>

=CA>+-(CB-CA)

=诃+∣E

故选：c.

根据点。为AB的三等分点，将而进行线性代换即可.

本题考查平面向量基本定理，属基础题.

6.【答案】C

【解析】解：要得到函数y=sin(2x+今+1,

需把函数y=sin(2x)的向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出y=sin(2(x+^))+

I=Sin(2x+》+l的图象.

故选：C.

由平移变换和伸缩变换求解即可.

本题主要考查三角函数的图象伸缩变换，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：由题意知，

P(AB)=P(A)-P(B)=13=j1,

故选：A.

由题意知P(4B)=P(A)-P(B),代入化简计算即可.

本题考查了概率的乘法公式应用，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：设旗杆的高度为h,

所以BC=正舒=八'BD=石舒=Ch,

⅞E∆BeD中，由余弦定理得BZ)2=BC2+CD2-2BC-CD-cosl20o,

即(C∕ι)2=h2+152-2∕ι×15×(-ɪ),

B∣J2⅛2-15∕ι-225=0,

解得/i=15或九=-7.5(舍去).

故选：C.

设旗杆的高度为无，在ABCC中，利用余弦定理求解.

本题考查了余弦定理的应用，属于基础题.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解.

本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题.

【解答】

解：z—cosɪ+isinɪ=-1+ɪt>

对于A,∣z∣=J(-ɪ)2+(ɪ)2=1,故4正确，

对于8,z=£在复平面上对应的点(一3，-?),位于第三象限，故B错误,

对于C'•••z=-i+ɪi,.∙.z2=-ɪ-ɪi.

二z∙Z?=(-B+(一^—=3故C正确,

对于D，z2+z+l=-∣-^i+(-i+^i)+l=0.故。正确.

故选：ACD.

10.【答案】BCD

【解析】解：若m∙Lα,则m与α内的所有直线垂直，

又九〃α,则α内存在直线Q与几平行，可得m_LQ,则mJ_〃，故A正确；

若nLβ,则α与0的关系不确定，故B错误；

若a1mA.β,则TnUa或m〃Q,故C错误；

若?nJ.7i,九〃夕，则TnU/?或m〃夕或Tn与0相交，相交也不一定垂直，故。错误.

故选：BCD.

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

11.【答案】BCD

【解析】解：A选项，χ2+2χ+3=0中，21=4-12=-8<0,故方程/+2x+3=0无解，A

错误；

B选项，α>0且b>0,则αb>0,但αb>0可能得到α<0,b<0,

故α>0且b>0是ab>O的充分不必要条件，B正确；

C选项，命题"mx∈R,使得/+χ+1<0”的否定是“7X∈R,都有i+χ+1>o"，C正确；

O选项，/一2x+m=0有一正根和一负根，故｛jzj>θ,解得：m<0,

所以“小<0”是“关于X的方程χ2-2x+Wi=O有一正根和一负根”的充要条件，D正确.

故选：BCD.

4选项，由4<0得到方程无解；B选项，αb>0可能得到α<0,b<0,故8正确；C选项，存在

量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；。选项，求出方程有一正根和

一负根时m的取值范围，从而判断出结论.

本题考查命题真假的判断，考查充分必要条件的应用，考查含有一个量词命题的否定，属于基础

题.

12.【答案】AD

【解析】解：由己知得7=兀，ω=y=2,所以/（x）=cos（2x+",

因为照）=cos（2x^+6=0,所以第0）是对称中心，选项A正确；

因为∕G）=0,所以直线X=*不是对称轴，选项3错误：

OO

因为/③=COS（2XW）≠0,所以岁0）不是对称中心，选项C错误;

因为/砥）=cos（2x引+看）=一1,所以直线X=瑞是对称轴，选项。正确.

故选:AD.

根据周期可计算出3的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各

选项的正误.

本题考查了余弦型函数的对称中心和对称轴应用问题，是基础题.

13.【答案】11

【解析】【分析】

本题主要考查平面向量的数量积，属于基础题.

首先计算方.瓦天的值，然后结合向量的运算法则可得所给式子的值.

【解答】

解：由题意可得胃∙b=1X3X：=1,3-9,

则（2为+3）i=2a-b+bz=2+9=11-

故答案为：IL

14.【答案】y

【解析】解：•••一扇形的圆心角为半弧长是兀，设它的半径为r,

7ΓC

ʌ7Γ=-×r,,・・r=3,

则扇形的面积是:×θ×r2=i×∣×9=^,

故答案为：y∙

由题意，利用扇形的弧长公式求出半径，再利用扇形的面积公式，求得结果.

本题主要考查扇形的弧长公式、扇形的面积公式，属于基础题.

15.【答案】I

【解析】解：在甲、乙、丙、丁、戊5种车型中随机抽取2种，

基本事件总数n=Cj=10,

甲被选中包含的基本事件个数m=clCi=4,

・•・甲被选中的概率P==ɪ=∣.

故答案为：|.

基本事件总数TI=Cl=IO,甲被选中包含的基本事件个数m=d∙C∣=4,由此能求出甲被选中的

概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

16.【答案】华

6

【解析】解法一：在长方体ABCO-&8道1。1中，BC=CC1=1,AB=

以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则4(1,0,0),Bl(I,ʃl,l),Cι(O,<^,l)-

BC^=(-l,O,l)-AB^=(O,√^^2,l)-

设异面直线BQ,4Bl所成的角为O,

则异面直线BG,ABl所成的角的余弦值为：

rnqfj_西硒_]_£6

cos0-IBQIlZeTl-一~6^'

解法二：连接B1D1,^AD1∕/BC1,如图，

则NBlaDl是异面直线Bq,ABl所成的角（或所成角的补角）,

2

•••AD1=√AAj+A1D^=√1+1=√^^2,AB1=√>1B+BB1=√2+1=√-3>BIDl=

-

√A1Dl+A1Bl=√1+2=√3.

••・异面直线BCi，4为所成的角的余弦值为:

∕OΛ∏_4肝+4比-Bl抬一3+2-3一√6

rnς-

COSZ-B1AD1-2XAB1XAD1-2×√3×√7丁

故答案为：冬.

6

法一：以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BCi,4Bl所成的角的

余弦值.

法二:连接力。1，B/1，则4DJ/BC］,贝/Bv45是异面直线BC1，ABl所成的角(或所成角的补

角)，利用余弦定理能求出异面直线BQ,ABl所成的角的余弦值.

本题考查长方体的结构特征、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解：(1)∙.∙(2α+3α+7α+6α+2α)X10=1,.∙.α=0.005,

由频率分布直方图可知：这次数学考试学生成绩的众数为75,

平均数为(55×2×0.005+65×3×0.005+75×7×0.005+85×6×0.005+95×2×

0.005)×10=76.5；

(2)由(1)得：成绩在［50,60)的人数为20X2X0.005X10=2,记为4,B,

成绩在［60,70)的人数为20X3X0.005X10=3,记为a,b,c,

从上述5人中,任选2人，则有(AB),(4a)，(A⅛).(A,c),(B,Q),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),

(b,c),共10种情况，

其中2人的成绩都在［60,70)中的情况有：(a,b),(a,c),(b,c),共3种，

2人的成绩都在［60,70)中的概率P=ɪ.

【解析】(1)由频率和为1可求得a；根据频率分布直方图估计众数和平均数的方法直接计算可得结

果；

(2)根据频率可求得成绩在［50,60)和［60,70)的人数，列举出所有基本事件，并找出满足题意的基

本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

18.【答案】解：(I)•••方=(1,3),1=(τn,2),C=(3,4)，

.∙.a-3K=(1,3)-(3m,6)=(1-3m,—3).(2分)

V(a-3fe)1c.

.∙.(a-3K)-c.=(1-3m,-3)∙(3,4)=3(1-3m)+(-3)×4=-9m-9=0(5分)

解得nι=-1.(6分)

(Il)由(I)知五=(1,3),b=(-1,2).

.∙.a-b=5>(7分)

'c°s9=j⅛=T⅛∣=^∙(l°分)

Vθ∈[0,π],

∙∙∙e=(.(i2分)

【解析】由已知首先求出五-3石的坐标，然后利用向量的数量积公式关于Tn的方程，解之：然后

利用数量积公式求夹角.

本题考查了平面向量数量积的坐标运算以及向量垂直的性质运用；属于基础题.

19.【答案】解：(1)证明：连接4C,设ZiCnAG=E,连接DE,如图所示:

•••ACClAl是正三棱柱的侧面,

4CCι√lι为矩形，

E是&C的中点，

ʌDE是4C&B的中位线，

.∙.DE∕∕A1B,

乂AlBu平面ADC1，DEU平面ADC1，

.∙.〃平面

(2)在正三棱柱48C-&B1G中，底面正三角形的边长为2,。为BC的中点,

BC=2,AD=ABsin60o=√-3,

故SMBC=∙BC=口

又AAl1平面ABC,AA1=3,

.∙∙正三棱柱的体积V=SΔABC∙ΛΛ1=√^3×3=3√^3.

【解析】(1)根据棱柱的结构特征连接&C,设4ιCn4Q=E,连接DE,由中位线得到线线平行，

即可证明结论；

(2)求出底面正三角形的面积，利用棱柱体的体积公式求解，即可得出答案.

本题考查棱柱的结构特征和直线与平面平行，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属

于中档题.

20.【答案】解：(1)根据题意，50〜60的这一组的频率为0.015X10=0.15,

60〜70的这一组的频率为0.025X10=0.25,

70〜80这一组的频率为0.035X10=0.35,90〜Ioo的这一组的频率为0.005×10=0.05,

则80〜90这一组的频率为[1-(0.15+0.25+0.35+0,05)]÷2=0.1,

其频数为40×0.1=4；

(2)这次竞赛的平均数为45X0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.35+85×0.1+95X0.05=

68.5,70(分)左右两侧的频率均为0.5,则中位数为70；

(3)记“取出的2人在同一分数段”为事件E,

因为80〜90之间的人数为40x0.1=4人，设为a、b、c、d,90〜IOO之间有40x0