广东省揭阳市揭阳岐山中学2023-2024学年九年级上册数学期末统考试题含解析

广东省揭阳市揭阳岐山中学2023-2024学年九上数学期末统考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，边长为1的正方形A5CD中，点E在C8的延长线上，连接交45于点尸，AF=x（0.2Sr<0.8）,EC=y.则

在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（）

2.若3a=5。仅。0）,则下列各式一定成立的是（）

3.若四边形ABCD是。O的内接四边形，且NA:ZB:ZC=1：3：8,则ND的度数是

A.10°B.30°C.80°D.120°

4.某汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示.当它所受牵引力为1200牛时,

A.180千米/时B.144千米/时C.50千米/时D.40千米/时

5.已知点尸在线段A8上，且AP：尸8=2：3,那么A5：08为（）

A.3：2B.3：5C.5：2D.5：3

6.已知二次函数y=ax2+fex+c（a#0）的图象如图所示，则下列结论：①bVO,c>0；②a+b+cVO；③方程的两根

之和大于0;④a-b+cVO,其中正确的个数是（）

C.2个D.1个

7.如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米,斜坡AB的坡角为60。，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为

45。，则调整后的斜坡AE的长度为（)

A.3几米B.3G米(3^/3-2)米D.(3石-3)米

8.如图，半径为3的0O内有一点A,OA=百，点P在。O上，当NOPA最大时，PA的长等于（）

B.V6C.3D.2yfj

9.如图，在A4BC中，A3=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点。为圆心作半圆，使8C与半圆相切，点P,。

分别是边AC和半圆上的动点，连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和是（）

c

A.8B.9C.10D.12

10.将抛物线y=-%2向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是()

A.y=-(x+3)2B.y=-(x-3)2C.y=-%2+3D.y=-x2-3

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.如图，C,。是抛物线y=3(x+1)2-5上两点，抛物线的顶点为E,C0〃x轴，四边形ABC。为正方形，AB

6

边经过点E,则正方形ABB的边长为.

12.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是,m的值是.

13.如图，AABP是由AACD按顺时针方向旋转某一角度得到的，若NBAP=60°,则在这一旋转过程中，旋转中心是

,旋转角度为.

14.已知二次函数y=-x：-2x+3的图象上有两点A(-7,%),B(-8,%),则又▲y,.(用＞、＜、=填空).

15.已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：

X•・・-1012・・・

y•••0343・・・

该二次函数图象向左平移个单位，图象经过原点.

16.用一个圆心角90。，半径为8cm的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为.

17.菱形ABCD中，若周长是20cm,对角线AC=6cm,则对角线BD=cm.

18.已知x=-1是方程x2+ax+4=0的一个根，则方程的另一个根为.

三、解答题（共66分）

19.（10分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价

每增加1元，销售量净减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，定

价为多少元？

20.（6分）如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影

部分）面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长.

21.（6分）已知关于x的方程如2-（2加-l）x+根-2=0；

（1）当加为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）若为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根西，

22.（8分）已知四边形ABCD的四个顶点都在。。上，对角线AC和BD交于点E.

（1）若NBAD和NBCD的度数之比为1：2,求NBCD的度数；

（2）若AB=3,AD=5,NBAD=60。，点C为劣弧BD的中点，求弦AC的长；

（3）若。O的半径为1,AC+BD=3,且AC_LBD.求线段OE的取值范围.

23.（8分）列方程解应用题.

青山村种的水稻2010年平均每公顷产6000Ag,2012年平均每公顷产7260Ag,求水稻每公顷产量的年平均增长率.

24.（8分）有一辆宽为2m的货车（如图①），要通过一条抛物线形隧道（如图②）.为确保车辆安全通行，规定货车

车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5加.已知隧道的跨度A8为8根，拱高为4加.

（1）若隧道为单车道，货车高为3.2机，该货车能否安全通行？为什么？

(2)若隧道为双车道，且两车道之间有0.4加的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高.

->|2m

□

图①

25.(10分)今年我县为了创建省级文明县城，全面推行中小学校“社会主义核心价值观”进课堂.某校对全校学生进

行了检测评价，检测结果分为A(优秀)、8(良好)、。(合格)、0(不合格)四个等级.并随机抽取若干名学生的检测结

果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图.

请根据统计表和统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次随机抽取的样本容量为;

(2)统计表中。=,b=.

(3)若该校共有学生5000人，请你估算该校学生在本次检测中达到“A(优秀)''等级的学生人数.

26.(10分)已知：AABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每

个小正方形的边长是一个单位长度).

(1)画出AABC向下平移4个单位长度得到的AAiBiCi；

(2)以点B为位似中心，在网格内画出AAzB2c2,使AAzB2c2与AABC位似，且位似比为2：1；

(3)AA2B2c2的面积是平方单位.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、C

1-xy—1

【分析】通过相似三角形4EFB-AEDC的对应边成比例列出比例式丁=--,从而得到y与x之间函数关系式,

1y

从而推知该函数图象.

【详解】根据题意知，BF=1-x,BE=y-1,

VAD//BC,

.'.AEFB^AEDC,

...受产，即马=”,

DCEC1y

.*.y=-(0.2<x<0.8),该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分.

x

A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分.

故选C.

2、B

【分析】由人*0,等式的两边都除以3万，从而可得到答案.

【详解】解：3a=5》仅。0),

二等式的两边都除以：3b,

3a_5b

"3b~3b,

_a_5

故选B.

【点睛】

本题考查的是把等积式化为比例式的方法，考查的是比的基本性质，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键.

3、D

【解析】试题分析：设NA=x,则/B=3x,ZC=8x,

因为四边形ABCD为圆内接四边形，

所以NA+NC=180。，

即：x+8x=180,

.,.x=20°,

则NA=20。，NB=60。,ZC=160°,

所以ND=120。，

故选D

考点：圆内接四边形的性质

4、C

【分析】根据图像可知为反比例函数，图像过点（3000,20）,代入v=1；（k。。）,即可求出反比例函数的解析式，再求

出牵引力为1200牛时，汽车的速度即可.

【详解】设函数为v=与（kH（））,

F

k

代入（3000,20）,得20=-------,得k=60000,

3000

60000

..v=-------,

F

.•.牵引力为1200牛时，汽车的速度为v=^^=50千米/时，故选C.

【点睛】

此题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是找到已知条件求出反比例函数的解析式.

5、D

【分析】根据比例的合比性质直接求解即可.

【详解】解：由题意AP：PB=2：3,

AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3；

故选择:D.

【点睛】

本题主要考查比例线段问题，关键是根据比例的合比性质解答.

6、B

【解析】试题分析：•••抛物线开口向下，...aVO,•.•抛物线对称轴x>0,且抛物线与y轴交于正半轴，...b>0,c>0,

故①错误；

由图象知，当x=l时，y<0,即a+b+cVO,故②正确，令方程ox?+bx+c=O的两根为*、>由对称轴x>0,可

知乜户＞（）,即玉+々＞0,故③正确;

由可知抛物线与X轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：-IVxVO,.•.当x=-l时，y=a-b+cVO,故④正确.

故选B.

考点：二次函数图象与系数的关系.

7、A

【分析】如图（见解析），作于H,在中,由sin/AB”可以求出AH的长，再在RtAAEH中,

由sinNAE”即可求出AE的长.

【详解】如图，作5c于H

AH

在RiMBH中,sinZABH=——

AB

则AH=AB-sinZABH=3百

AH

在RfAAEH中,sinZAEH=——

AE

AH

贝！JAE==3A/6

sinZAEH

故选：A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，熟记常见角度的三角函数值是解题关键.

8、B

【解析】如图所示:

VOA,OP是定值，

.•.在AOPA中，当NOPA取最大值时，PA取最小值,

.•.PA_LOA时，PA取最小值；

在直角三角形OPA中,OA=3dOP=3,

-,.PA=7（9P2-6M2=A/6

故选B.

点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用.解答此题的关键是找出“PA_LOA时，NOPA最大”这一隐

含条件.当PALOA时，PA取最小值，/OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可.

9、C

【分析】如图，设。。与BC相切于点E,连接OE,作OP2_LAC垂足为P2交。O于Q2,此时垂线段OP2最短，P2Q2

最小值为OQ2-OP2,如图当Q2在AB边上时，P2与A重合时，P2Q2最大值，由此不难解决问题.

【详解】解：如图，设。。与BC相切于点E,连接OE,作OP2，AC垂足为P2交。O于Q2,

此时垂线段OP2最短，P2Q2最小值为OQ2-OP2,

VAB=20,AC=8,BC=6,

.".AB2=AC2+BC2,/.ZC=90",

•.•NOP2A=90°,r.OPz/yBC.

TO为AB的中点，...P2C=P2A,OP2=-BC=2.

2

又TBC是。O的切线，/.ZOEB=90°,

.,.OE〃AC,又O为AB的中点，

1

.,.OE=yAC=4=OQ2.

.♦.P2Q2最小值为OQ2-OP2=4-2=2,

如图，当Q2在AB边上时，P2与A重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，

P2Q2最大值=AO+OQ2=5+4=9,

••.PQ长的最大值与最小值的和是20.

故选：C.

B“马）

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理以及平行线的判定等知识，解题的关键是正确找到点PQ

取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型.

10、B

【分析】原抛物线的顶点坐标(0,0),再把点(0,0)向右平移3个单位长度得点(0,3),然后根据顶点式写出平移后的抛物

线解析式.

【详解】解：将抛物线y=-/向右平移3个单位后，得到的抛物线的解析式y=-0-3)2.

故选：B

【点睛】

本题考查的是抛物线的平移.抛物线的平移可根据平移规律来写，也可以移动顶点坐标，根据平移后的顶点坐标代入顶

点式，即可求解.

二、填空题(每小题3分，共24分)

24

11、一

5

【分析】首先设AB=CZ)=4Z)=3C=a,再根据抛物线解析式可得E点坐标，表示出C点横坐标和纵坐标，进而可得

方程空-5-a=-5,再解即可.

24

【详解】设A〃=CD=AZ)=BC=a,

•抛物线y=*(x+1)2-5,

6

，顶点E(-L-5),对称轴为直线x=-L

...c的横坐标为区-i,。的横坐标为-i-0,

22

•••点C在抛物线y=*(x+1)2-5±,

6

...C点纵坐标为3(--1+1)2-5=—-5,

6224

点坐标为(-1,-5),

•••〃点纵坐标为-5,

♦：BC=a,

・5/

・・-----5-a=-5,

24

24

解得：ai=y,恁=0(不合题意，舍去)，

24

故答案为：y.

【点睛】

此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、正方形的性质.

12、3

cb

【解析】试题分析：根据韦达定理可得：石•/=—=3,则方程的另一根为3；根据韦达定理可得：X,+%,=--=4=-

aa

m,贝！Jm=-4.

考点：方程的解

13、A,90°

【分析】根据条件得出AD=AP,AC=AB,确定旋转中心，根据条件得出NDAP=NCAB=90。，确定旋转角度数.

【详解】解：•••△ABP是由aACD按顺时针方向旋转而得，

.,.△ABP^AACD,

...ZDAC=ZPAB=60°,AD=AP,AC=AB,

.•.ZDAP=ZCAB=90°,

/.△ABP是AACD以点A为旋转中心顺时针旋转90°得到的.

故答案为：A,90°

【点睛】

本题考查旋转的性质，明确旋转前后的图形大小和形状不变，正确确定对应角，对应边是解答此题的关键.

14、>.

【解析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出力与yi的大小

关系：

•.•二次函数y=-X*-lx+3的对称轴是x=-1,开口向下，

.•.在对称轴的左侧y随x的增大而增大.

•.•点A(-7,yD,B(-8,yi)是二次函数y=-x1-lx+3的图象上的两点，且-7>-8,

15、2

【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与X轴另一个交点为(2,0),可得结论.

0+2

【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x=——=1.

2

•.•抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),

...抛物线与x轴另一个交点为(2,0),

二该二次函数图象向左平移2个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移1个单位，图象经过原点.

故填为2.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解

决.

16、1.

【解析】试题分析：扇形的弧长是：三k=4万，设底面半径是L则2乃r=4乃，解得r=2.故答案是：1.

18()

考点：圆锥的计算.

17、1

【分析】先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD的一半，然后即可

得解.

【详解】解：如图，,•,菱形ABCD的周长是20cm,对角线AC=6cm,

1

.'.AB=204-4=5cm,AO=—AC=3cm,

2

又TACJLBD,

*'•BO=yjAB2-AO2=4cm,

.•.BD=2BO=lcm.

本题考查了菱形的性质，属于简单题，熟悉菱形对角线互相垂直且平分是解题关键.

18、-4

【分析】根据根与系数的关系：玉・马=£即可求出答案.

a

【详解】设另外一根为x,

由根与系数的关系可知：-x=4,

，x=-4,

故答案为：-4

【点睛】

本题考查根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型.

三、解答题(共66分)

19、该商品定价60元.

【分析】设每个商品定价x元，然后根据题意列出方程求解即可.

【详解】解：设每个商品定价X元，由题意得:

(x-40)[180-10(x-52)]=2000

解得西=50,x2=60

当x=50时，进货180-10(50-52)=200,不符题意，舍去

当x=60时，进货180-10(60-52)=100,符合题意.

答：当该商品定价60元，进货1()()个.

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，关键是设出未知数然后列方程求解即可.

20、截去的小正方形的边长为2cm.

【分析】由等量关系：矩形面积-四个全等的小正方形面积=矩形面积X80%,列方程即可求解

【详解】设小正方形的边长为xcm,由题意得

10x8-1X2=80%X10X8,

80-1x2=61,

1x2=16,

x2=l.

解得：X1=2,X2=-2,

经检验xi=2符合题意，X2=-2不符合题意，舍去；

所以x=2.

答：截去的小正方形的边长为2cm.

21、(1)加>一；且/%。0;(2)X=.1+后-x2=~~•

【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根，可得A=bZ4ac>(),继而求得m的取值范围；

(2)因为最小正整数为1,所以把m=l代入方程。解方程即可解答.

【详解】解：⑴A=-4m(/n-2)=4m+l

•••原方程有两个不相等的实数根

二/>0,即4机+1>0

1

，m>——

4

又,:原方程为一元二次方程，,mH0

综上，加的取值范围是加>一，且mH0；

4

•••最小正整数，

Am=L把m=l代入方程如2-（2加-1）%+加一2=（）得:

x2-x-l=O，

解得：％1±2叵，％上卫・

,2-2

【点睛】

本题考查根的判别式、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握根的判别式.

22、(1)120°；(2)—；(3)@SOEW巫

324

【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补构建方程解决问题即可.

（2）将AACD绕点C逆时针旋转120。得ACBE,根据旋转的性质得出NE=NCAD=30。，BE=AD=5,AC=CE,求

出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；

（3）由题知AC±BD,过点。作OMLAC于M,ONJLBD于N,连接OA,OD,判断出四边形OMEN是矩形，进

而得出OE2=2-（AC2+BD2）,设AC=m,构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可.

【详解】解：（1）如图1中，

图1

,:四边形ABCD是。O的内接四边形，

.•.ZA+ZC=180°,

VZA：ZC=1：2,

.•.设NA=x,NC=2x,贝！|x+2x=180。,

解得，x=60°,

AZC=2x=120°.

(2)如图2中，

A

\0\

Jc

图2

,:A、B、C、D四点共圆，NBAD=60。，

.".ZBCD=180°-60°=120°,

•••点C为弧BD的中点，

.,.BC=CD,NCAD=NCAB=，NBAD=30。，

2

将4ACD绕点C逆时针旋转120。得aCBE,如图2所示：

则NE=NCAD=NCAB=30。，BE=AD=5,AC=CE,

.,.ZABC+ZEBC=(180°-ZCAB-ZACB)+(180°-NE-ZBCE)=360°-(ZCAB+ZACB+ZABC)=360°

-180°=180°,

:.A、B,E三点共线，

过C作CM_LAE于M,

VAC=CE,

/.AM=EM=—AE=—(AB+AD)=-x(3+5)=4,

222

AM_4_873

在RtZkAMC中，AC=cos30o=^=^--

T

(3)过点。作OM_LAC于M,ONJLBD于N,连接OA,OD,

VOA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=-AC,DN=-BD,AC±BD,

22

二四边形OMEN是矩形，

/.ON=ME,OE2=OM2+ME2,

.*.OE2=OM2+ON2=2--(AC2+BD2)

4

设AC=m,贝!|BD=3-m,

T。。的半径为1,AC+BD=3,

l<m<2,

1131137

OE2=2--[(AC+BD)2-2ACxBD]=--m2+-m--(m--)2+-,

4224228

3,7

:.一<OE2<一,

48

图3

【点睛】

本题主要考查的是圆和四边形的综合应用，掌握圆和四边形的基本性质结合题目条件分析题目隐藏条件是解题的关键.

23、10%

【分析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设增长率是x,则2012年的产量是6000（1+x）2,据此即

可列方程，解出即可.

【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,

依题意得6000（1+x）2=7260,

解得：xi=0.1,4=-2.1（舍去）.

答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是利用增长率表示出2012年的产量是6000（1+x）2,然后得出方程.

24、（1）货车能安全通行，理由见解析；（2）最大安全限高为2.29米

【分析】（1）根据跨度求出点B的坐标，然后设抛物线顶点式形式y=ax?+4,然后把点B的坐标代入求出a的值，即

可得解；

（2）根据车的宽度为2,求出x=2.2时的函数值，再根据限高求出货车的最大限制高度即可.

【详解