河南省郑州市中牟县求实学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（含答案解析）

河南省郑州市中牟县求实学校2023-2024学年九年级上学期

第一次月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列判定正确的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形

D.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形

2.下列方程有两个相等的实数根的是（）

A.x2+x+l=0B.4X2+2X+1=0

C.X2+12X+36=0D.x2+x-2=O

3.方程N-4=0的根是（）

A.x=2B.x=-2C.xi=2,X2=-2D.x=4

4.若一元二次方程2x（kx-4）-x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（）

A.-1B.0C.ID.2

5.用配方法解一元二次方程4x-5=0的过程中，配方正确的是（）

A.（x+2）2=1B.（X-2）:1C.（x+2—9D.（JC-2）2=9

6.既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.矩形或菱形

7.如图，G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点，且AG=CE,AE1EF,AE=EF,

现有如下结论：①BE=；GE：②△AGEgZ\ECF；③NFCD=45。；©AGBE^AECH

其中，正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3=0的根，则该三角形的

周长可以是()

A.5B.7C.5或7D.10

9.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的

百分率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确

的是()

A.560(1+x)2=315B.560(1-x)2=315

C.560(l-2x)2=315D.560(l-x2)=315

10.如图，长方形纸片ABCD中，4)=4,AB=\0,按如图的方式折叠，使点8与点。

重合，折痕为EF,则DE长为()

A.4.8B.5C.5.8D.6

二、填空题

11.已知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数比为1:2，则较短的对角线长为,

面积为•

12.方程(2y+l)(2y-3)=0的根是.

13.从3,0,—1,—2,一3这五个数中抽取一个数，作为函数y=(5-M)x和关于x

的一元二次方程(〃?+1)/+〃a+1=0中01的值.若恰好使函数的图象经过第一、三象

限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是.

14.如图，己知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm,ZABC=60°,

15.菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1,0),点B的

坐标为(0，百)，动点P从点A出发，沿A玲B玲C玲D玲A玲B+..的路径，在菱形的边

试卷第2页，共4页

上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为

三、解答题

16.按要求解一元二次方程：

（D4x2-8x+l=0（配方法）；

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）；

⑶3f+5（2x+l）=0（公式法）.

17.如图，菱形中的对角线AC,相交于点。，BE//AC,CE//BD.求证:

四边形08EC是矩形.

18.中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查,

这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件.如果商场计划每月赚得8000元利润，

那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？

19.李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连

各围成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝？

（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2,你认为他的说法正确吗？请说

明理由.

20.在矩形ABC。中，AB=5,A£>=12,尸是上的动点，于点E,PFYBD

21.已知关于x的一元二次方程x2-4x+nz=0.

（1）若方程有实数根，求实数〃，的取值范围;

（2）若方程两实数根为用，始，且满足5打+2丫2=2,求实数，”的值.

22.阅读下列材料.，并用相关的思想方法解决问题.

计算:'444111汨)・

x-+-+-

345

10142_J_

令;+;+;=♦,则原式=（1一）__广—f___

555-5

问题:

（1）计算:

I1111111]1-<4444、,1111、

X—+―+-H—+...-------)x(—I—H----1-...H----------)

"2^3"4"*，，-201423452015201420152342014

（2）解方程任+5*+1）任+5工+7）=7.

23.如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE.

（1）求证：AG=CE；

（2）求证：AG±CE.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案.

【详解】A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；

B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B错误；

C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；

D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；

故选C

【点睛】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质

是解题关键.

2.C

【详解】解：A.方程尤2+彳+1=0,•.•△=1-4V0,方程无实数根；

B.方程4/+2丫+/=0，VA=4-16<0,方程无实数根；

C.方程/+⑵+36=0,*.,△=144-144=0,方程有两个相等的实数根；

D.方程V+x—2=0,方程有两个不相等的实数根；

故选C.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.

3.C

【分析】先移项，然后利用数的开方解答.

【详解】解：移项得9=4,开方得x=±2,

.".xi=2,X2=-2.

故选C.

【点睛】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2—a（a>0）,ax2—b（a,b同

号且"0）,（x+a）（h>0）,a（x+b）2=c（a,c同号且存0）.法则：要把方程化为“左

平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解”；（2）运用整体思想，

会把被开方数看成整体；（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点.

4.D

【详解】2x（履-4）-x2+6=0

答案第1页，共12页

(2A:-1)X2-8X+6=0,

A=(-8)2-4(2A:-1)X6<0,

•'k>—，，上2.所以选D.

6

5.D

【分析】先移项，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案.

【详解】解：X2-4X=5,

X2-4X+22=5+22,

(X-2)2=9,

故选：D.

【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关犍是能正确用配方法解方程.

6.D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】正方形是轴对称图形，也是中心对称图形,有4条对称轴；

矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；

菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴.

故选D.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴,

图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合.

7.B

【详解】解：•••四边形是正方形，

:.NB=/DCB=90。,AB=BC,

"：AG=CE,

:・BG=BE,由勾股定理得：BE=^GE,・••①错误；

2

BG=BE,ZB=90°,

：.ZBGE=ZBEG=45°9

：.ZAGE=135°,AZGAE+ZAEG=45°f

答案第2页，共12页

・・・ZAEF=90°,

VNBEG=45。,

：./AEG+/FEC=45。,

：.ZGAE=ZFECf

在仆GAEaiACEF中，

AG=CE

<NGAE=NCEF,

AE=EF

・••②正确；

・•・ZAGE=ZECF=\35%

：.ZFCD=\35°-90°=45°,・••③正确；

VZBGE=ZBEG=45O,ZAEG+ZFEC=45°,

AZFEC<45°,

•••△GBE和不相似，，④错误；

即正确的有2个.

故选二

8.B

【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形

的腰和底的长，进而求出三角形的周长.

【详解】x2-4x+3=0

(x-3)(x-l)=0,

x-3=0或xT=O,

所以x广3,x2=1.

当三角形的腰为3,底为1时，三角形的周长为3+3+1=7,

当三角形的腰为1,底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，

所以三角形的周长为7.

故答案选B

9.B

【分析】设每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格(1一降价的百分率)，

则第一次降价后的价格是560(1-x),第二次后的价格是560(1-x)2,据此即可列方程

答案第3页，共12页

求解.

【详解】解：根据题意，设每次降价的百分率为X,

可列方程为：560(1-X)2=315.

故选：B

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件,

这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可.

10.C

【分析】设。E=EB=x,在RJAOE中，利用勾股定理列出方程即可解决问题.

【详解】解：：四边形EFC,。是由四边形EFCB翻折得到，

；.DE=EB,

设DE=EB=x,

在RtAADE中，

VZA=90°,AD=4,DE=EB=x,AE=\0-x,

%2=42+(10-X)2,

解得：x=5.8,

，OE=5.8,

故选：C.

【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折中的不变量解决问

题，学会把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型.

11.10cm50>^cm2

【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长,

根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积.

【详解】解：根据已知可得，

菱形的边长/W=8C=C£)=49=10cm,ZABC=60°,/B4D=120。,

二A8C为等边三角形，

答案第4页，共12页

/.AC=AB=10cm,AO=CO=5cm,

在Rl/XAOB中，根据勾股定理得：BO==5>/3(cm),

/-8。=280=10限m,

2

贝ljS*加8co=gxACxBO=；x1()x1()3=50G(cm)；

故答案为：10cm,50^cm2.

【点睛】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合.菱形的面积有两种求法(1)利

用底乘以相应底上的高(2)利用菱形的特殊性，菱形面积=；x两条对角线的乘积.

13

12.yi=--,y2=Q

【详解】(2y+l)(2y-3)=0,

2y+l=0,,2y-3=0,

13

解得y/=-5，y2=~.

13.-2.

【详解】解：•.•所得函数的图象经过第一、三象限，；.5->>0,•••/<5,二3,0,-1,

-2,-3中，3和-3均不符合题意，

将m=0代入(zn+Dx?+蛆+1=0中得，x2+1=0.△=-4<0,无实数根；

将a=-1代入(〃?+1)*2+"a+1=0中得，一x+l=0,x=l,有实数根，但不是一元二次方程；

将加=一2代入(巾+1)/+曜+1=0中得，X2+2x-l=0>△=4+4=8>0,有实数根.

故m=-2.

故答案为-2.

【点睛】本题考查根的判别式；一次函数图象与系数的关系.

14.96

【详解】解：连接AC,BD,相交于点O,如图所示，

答案第5页，共12页

•••E、F、G、H分别是菱形四边上的中点,

，EH=；BD=FG,EH〃BD〃FG,

EF=1AC=HG,

.••四边形EHGF是平行四边形，

:菱形ABCD中，AC1BD,

AEFIEH,

.••四边形EFGH是矩形，

四边形ABCD是菱形，ZABC=60°,

/.ZABO=30°,

VAC1BD,

二NAOB=90。，

，A0=；AB=3,

AC=6,

在RSAOB中，由勾股定理得：OB=JAB2-OT=35

.*.BD=65/3,

VEH=|BD,EF=；AC,

；.EH=36，EF=3,

二矩形EFGH的面积=EF・FG=9gcm2.

故答案为：9G.

15.一旦/(0.5,--)

222

【分析】根据菱形的对角线互相垂直可求出菱形的边长，根据点P的运动速度，当点P运

动2015秒后，找到点P的位置，根据中点坐标公式可求解.

答案第6页，共12页

【详解】解：(1,0),B(0,G),

,,AB=Jr+—2.

•.•点P的运动速度为0.5米/秒，

从点A到点B所需时间=2+0.5=4秒，

...沿ATBTCTO—A所需的时间=4X4=16秒.

V2015-16=125...15,

...移动到第2015秒时，点P恰好运动到AD的中点,

£)(0,-扬，4(1,0)

0+1_1_6+0_6

'_2-='T

•••尸(卜季

故答案为：(，-*)♦

【点睛】本题考查菱形中点的坐标，熟练掌握菱形的性质、坐标与图形性质、图形的规律是

解决本题的关键.

16.(1)%=1+乌*2=1-且；

22

c26

(2)Xj=---,x2=—；

-5+加-5-V10

【分析】(1)根据配方法的步骤解一元二次方程即可;

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)公式法解方程即可.

【详解】(1)解：4X2-8X+1=0，

•,4x2—8x=—1>

：.X2-2X+\=--+\,即：(x-l)2=-,

44

・・x-1=±—,

2

答案第7页，共12页

（2）7x（5x+2）=6（5x+2）,

.♦.7x（5x+2）-6（5x+2）=0,

/.（7x-6）（5x+2）=0,

，5x+2=0或7x-6=0,

・.・X=——2=—6；

5-7

（3）3x~+5（2x+1）=0,

；•3X2+10X+5-0.

/.a=3,b=10,c=5,

AA=102-4X3X5=40>0,

.-10±5/40-5±>/i0

•・X=-----=----，

2x33

.-5+V10-5-710

【点睛】本题考查解一元二次方程.解题的关键是掌握解一元二次方程的方法,正确的计算.

17.见解析

【分析】由菱形的性质可得AC1BD,由平行线的性质可得NBOC=NOCE=NOBE=90。,

即可得证.

【详解】证明：•••菱形A8C。中的对角线AC,83相交于点0,

AC1BD,

VBE//AC,CE//BD,

：.ZBOC=Z.OCE=NOBE=90°,

四边形OBEC是矩形.

【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质、矩形的判定，熟练掌握菱形的性质、平行

线的性质、矩形的判定是解题的关键.

18.当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫.

【详解】试题分析：利用总利润=单件利润X总销售件数，列一元二次方程，一元二次方程

有两个解，需要分类讨论.

试题解析：

答案第8页，共12页

设涨价4x元，则销量为(500-40x),利润为(10+4x),再由每月赚8000元，可得方程，

解方程即可.

解：设涨价4x元，则销量为(500-400,利润为(10+4%),

由题意得，(500-40x)x(10+4x)=8000,

整理得，5()00+2000x-400x-160『=8000,

解得：xi=|-,%2=y>

当xi=|■时，则涨价10元，销量为：400件；

当X2=g时，则涨价30元，销量为：200件.

答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫：售价定为80元时，每月应进200件衬衫.

19.(1)李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；(2)李明的说法正确，理由见解析.

【分析】(1)设剪成的较短的这段为xcm,较长的这段就为(40-x)cm.就可以表示出这

两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；

(2)设剪成的较短的这段为mcm,较长的这段就为(40-%)cm.就可以表示出这两个正

方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的

说法错误，否则正确.

【详解】解：(1)设其中一段的长度为xcm,两个正方形面积之和为scnR

V-

B|J5=---5x+100(其中04<40),

8

当s=58时，

x2

58=——5x+100,

8

解得％=12,X2=28,

・・・应将之剪成12cm和28cm的两段;

(2)两正方形面积之和为48时，

2

48=---5x4-100,

8

整理得：X2-40X+416=0,

(-40)2-4x1x416=-64<0,

答案第9页，共12页

该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2,李明的说法正确.

【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的应用，理解题意，列出相应方程及函数关

系式是解题关键.

【分析】连接PO,过。作人AC于M,求出AC、DM,根据三角形面积公式得出

PE+PF=DM,即可得出答案.

【详解】解：连接P。，过。作。M工AC于

•••四边形ABCD是矩形，

AZADC=90°,AB=CD=5,AD=\2,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

:.OA=OD,

由勾股定理得：AC=4AB2+BC2=>/52+122=13-

二OA=OD=6.5,

VS=-xl2x5=-xl3xDM,

ADC22

：.DM=—,

13

・・S_Q_1_Q

•^AOD-0APO丁0DPO，

：.-xAOxPE+-xODxPF=-xAOxDM,

222

PE+PF=DM=—,

13

故答案为：—.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是求出长和得

出PE+PF=DM.

21.(1)/n<4；(2)m=-l2.

【分析】(1)若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2-4ac>0,建立关于〃，的不等

式，求出”的取值范围；

答案第10页，共12页

(2)根据根与系数的关系得到X/+/2=4,又5打+2垃=2求出函数实数根，代入机=打式2,

即可得到结果.

【详解】(1)・・,方程有实数根，

/.J=(-4)2-4/n=16-4ni>0.

；・m<4.

(2)•・•方程两实数根为打,xi,

/.xi+x2=4fX]X2=mf

*/5X/+2^2=2,

5X/+2X2=2(X/+X2)+3X/=2X4+3X/=2,BPx/=-2,

/•X2=6,

tn=xiX2=-12.

【点睛】本题考查了一元二次方程62