2023-2024学年安徽省宣城市高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年安徽省宣城市高一上册期末数学试题

一、单选题

1.已知集合A={-1,0,1},集合8={1,2},则集合Au8=()

A.{1}B.{1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2)

【正确答案】D

【分析】直接利用并集的定义运算.

【详解】集合A={-1,0,1},B={1,2},则集合Au8=1,2}.

故选：D

2.已知扇形的半径为2,圆心角为45,则扇形的弧长是()

兀7C

A.45B.-C.-D.90

42

【正确答案】C

【分析】由弧长公式求解即可.

【详解】因为圆心角的弧度数为所以扇形的弧长是?x2=1.

442

故选：C

3.己知函数/(2'+l)=log3X,则〃9)=()

A.-2B.-1C.1D.2

【正确答案】C

【分析】取x=3结合对数和指数的运算求解即可.

【详解】取x=3得出/(23+l)=〃9)=log33=l.

故选：C

4.设4>0,则函数y=|X(x-q)的图象的大致形状是()

【正确答案】B

【分析】确定分段函数的解析式，与x轴的交点坐标为(a,0),(0,0),及对称性即可得

到结论.

【详解】函数y=|x|(x-a),Va>0,

[-x(x-a),x<0

当xNO,函数y=x(x-a)的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为(0,

0),(a,0)

当x<0时，图象为y=-x(x-a)的图象为开口先向下的抛物线的一部分.

故选B.

本题考查分段函数，考查函数的化简，考查数形结合的数学思想，属于中档题.

5.下列选项中，能使“。>〃’成立的一个必要不充分条件是()

A.a2>b2B.«>|/?|

C.a>b+2D.a>h-2

【正确答案】D

【分析】欲求成立的必要而不充分的条件，即选择一个能推出的选项，但不能推

出a>6,对选项逐一分析即可

【详解】a=l>匕=-2不能推出/>〃，故选项A不是。的必要条件，不满足题意；A

不正确；

a=l>6=_2不能推出。>同，故选项B不是的必要条件，不满足题意；B不正确；

a=l>6=-l不能推出a>〃+2,故选项C不是a>厶的必要条件，不满足题意；C不正确；

”>万能推出a>b-2,但。>6-2不能推出。>6,。>6-2是。>6的一个必要不充分条件，

满足题意，D选项正确.

故选：D.

InyP

6.方程-----+1=0的根所在的区间是()(参考数据1。2。0.69,ln3«1.10)

XX

A.(1,2)B.(2,e)C.(e,3)D.(3,4)

【正确答案】B

【分析】由g-£+1=0可得x+lnx-e=O,利用零点存在定理可得出结论.

XX

Inre

【详解】对于方程屮-£+1=0,有x>0,可得x+lnx-e=0,

xx

令/(x)=x+lnx-e,其中x>0,

因为函数'=*-6、y=lnx在(0,+8)上为增函数，故函数/(x)在(0,y)上为增函数，

因为〃l)=l-e<0,/(2)=2+ln2-e<0,/(e)=l>0,

由零点存在定理可知，函数/(X)的零点在区间(2,e)内.

故选：B.

7.已知/(*)=《2“一1)*：34"<1是定义在R上的减函数，则0的取值范围是()

[\ogax,x>l

A-H)B.(0曰C.鬪D./

【正确答案】D

【分析】分段函数为减函数需满足三个条件，一是上支为减函数，二是下支为减函数，三是

下支的最大值小于或等于上支的下界，列不等式组即可解得.

【详解】要使函数/(力=产-1)：：3。，》<1在R上为减函数，

\ogax,x>\

2a-l<0

需满足2a-l+3a>log„l,解得

0<a<l'

故选：D.

8.已知函数/(x)=2Gsinr+acosx图象的一条对称轴为x=(,/(xl)+/(x2)=0,且函数

“可在区间伝,马)上具有单调性，则归+目的最小值是()

A.工B.工C.*D.二

6363

【正确答案】B

【分析】根据辅助角公式得出〃x)=2僞im:+acosx=VE/sin(x+9),即可根据对称轴

列式得出。的值，即可得出〃x)=4sin(x+?J,根据已知得出(xj(xJ)与(々，〃切)关于

1T

对称中心对称，即可列式得出內+*2=24万-彳水€2,即可得出答案.

【详解】f(x)=2gsinx+acosx=Jl2+/sin(x+6),其中tan0=,

函数/(x)图象的一条对称轴为X=y,

则/"0=2"siny4-aCOSy=±71277,解得：。=2,

则朮2+a2=4>tan。=与,即。=看，

故〃x)=4sin[x+V),

/(芭)+/5)=0,且函数〃x)在区间(步①)上具有单调性，

(西，/(內))与(々，/(%))关于对称中心对称,

471

.-+6+%+6=",厶wz，解得芭+々=2&万一争％eZ,

则％=0时，ki+x2L,„],

故选：B.

二、多选题

9.下列函数中，既是偶函数，又在(兀,2劝上单调递增的是()

A.f(x)-cosxB./(x)=x3

C.〃x)=3*D./(x)=lg|x|

【正确答案】AD

【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性检验各选项即可判断.

【详解】函数〃x)=co屮是偶函数，在(兀,2兀)上单调递增，A选项正确;

函数f(x)=V是奇函数，B选项错误；

函数/(x)=3*非奇非偶，C选项错误；

函数/(x)=lg|H是偶函数，在(兀,2可上单调递增，D选项正确；

故选：AD.

10.已知〃,b,ceR,则下列结论正确的是()

A.若a>b>0,则丄

ab

B.若ac?>be?,则aV，

C.若。>0/>0,2“+3a=2"+4b,则

D.若a>Z?>0,则〃+!</?+丄

ba

【正确答案】AC

【分析】对A,直接作差比较即可证明，对B,首先得。2>0,再根据不等式性质即可判断,

对C,首先放缩得2"+3〃>28+3。，构造函数f3=2*+3x即可判断C,对D,举反例即可.

【详解】对A,---=^—,«>Z?>0,:.ab>0,b-a<0,

abab

.•.♦<0,即丄-：<o,即丄故A正确，

ababab

对B,若a/〉加2,则<?>0,则a>b,故B错误，

对C,若2"+3a=2"+46=2%+3b+b,若a>0,b>0,则2"+3a>2〃+3。，

函数/(x)=2，+3x,根据增函数加增函数为增函数的结论得/(x)在R上单调递增，

.f(a)>f(b),则”>6,故C正确，

对D,若a=2,6=1,则a+丄=2+丄=*,Z>+—=1+—=—,贝ija+丄>。+丄，故D错误，

b22a22ba

故选：AC.

21

IL已知以==18%,c=log43,d=logsd，则下列大小关系正确的是()

A.a>bB.a>dC.c<dD.b<c

【正确答案】ABC

【分析】利用指数函数、对数函数的性质确定各数的范围，再进行比较即可

2||

【详解】33=8在>18%>1，所以

34

51og43=log4243,3=log464<log4243<log4256=4,3<51og43<4,

4

510g54=logs1024,4=log5625<log51024<log53125=5,4<51og54<5,1<J<1；

4

所以

故选：ABC

1,x>0

12.已知符号函数sgn(x)=,O,x=0,则下列说法正确的是()

—1,x<0

A.函数y=sgn(x)的图象关于y轴对称

B.对任意xeR.sgn(e")=l

C.对任意的xeR，W=rsgn(-x)

D.函数y=xsgn(-lnx)的值域为{y|y<-l或04y<1}

【正确答案】BCD

【分析】举反例判断A；由e*>0判断B；讨论x<0、x=0、x>0三种情况，确定

y=fsgn(-x)的解析式，从而判断C；由-Inr的范围得出其值域.

【详解】对于A,若丫=$811(刈的图象关于)，轴对称，则〉=$811(同为偶函数，应该满足

sgn(-l)=sgn⑴，但sgn(-1)=一l,sgn⑴=1,即sgn(-l)xsgn⑴，故A错误；

对于B,因为e*>0,所以对任意xeR,sgn(e')=1,故B正确；

对于C,当x<0时，sgn(-x)=l；当x=0时，sgn(-x)=0；

-x,x<0

当x>0时，sgn(-x)=-l,即一xsgn(-%)=<0,x=0,=>-xsgn(-x)=|x|,故C正确;

x,x>0

对于D,当xe(0,l)时，-lnx>0,y=ASgn(-lnx)=xw(O,l)；

当x=l时，-lnx=0,y=ASgn(-lnY)=0；

当XE(1,+OO)时，-lnx<0,y=ASgn(-Inx)=-xe(^o,-1),

即函数y=xsgn(Tm)的值域为{yly<-l或0<y<l},故D正确；

故选：BCD

三、填空题

13.命题3>0,2*<x+]“的否定是.

【正确答案】“Vr>0,2*Nx+l”

【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.

【详解】命题“3%>0,2,<x+1”的否定是“Vx>022x+1”。

故Vx>0,2*2x+l

14.已知函数/3=(裙一2根-2b3"+3是鼎函数，且在(0,+8)上单调递增，则实数

【正确答案】-1或3

【分析】由题意利用事函数的定义和性质，求得机的值.

【详解】函数/(x)=(>-2"-2卜"""3是事函数，且在(0,+8)上单调递增,

m~-2m-2=\亠

则有，2，解得机=3或m=一1.

m+〃z+3>0

故-1或3

15.已知角a的终边经过点尸(x,2),且cosa=-g,则实数x=

【正确答案】-三Q

【分析】由三角函数的定义得出x.

x4

【详解】由三角函数的定义可得cos”—二-歹则x<°'整理得9/=64'解得

8

X-——

3

砧

故-§8

16./(X)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=4x+g-3a+5,若/(x)—a+2N0对

一切x20成立，则实数〃的取值范围是

【正确答案】-p2

【分析】由奇偶性得出xWO的解析式，当x=0时，得出“42,当x>0时，令

g(x)=4x+g(x>0),求出其最小值，得出实数”的取值范围.

【详解】y=/(x)为定义在R上的奇函数，二/⑼二。,

当x=0时，/(O)—Q+220对一切工=0成立，得出QW2.

当x>0,-x<0J(-x)=-4x--3〃+5=-f(x),

x

/(工)=4工+丄+3。-520-2对一切1>0成立，

即4x+丄2—2〃+3对一切x>0成立，

x

令g(x)=4x+$x>0),由对勾函数的单调性知：g(x)在(0，；)上单调递减，在(；，+，(上

单调递增，

即g(x)mm=g(g)=4，故42-2a+3,a2-g.

综上，“e一于2

故答案为：-［，2.

四、解答题

17.(1)计算：3喝4+27$+lg5+lg20；

71“亠2sina+cosa…上

(2)若tan—+a=3,求-------；—的值.

2cosa-sina

【正确答案】⑴%(2)1

【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果;

首先对匕川,+aJ=3化简求出tana,再将2sina+cosa利用齐次式分子分母同时除以

cosa-sina

cosa,将tana的值代入即可求得.

【详解】(1)原式=4+3"3+坨100=4+3+2=9；

所以tana=--

3

18.已知集合A={x|Iog5(x+1)K1},8=Wx2-(a\)2x+2a(^a2+1)<o1.

⑴若a=2,求AuB；

(2)若Ac8=0,求实数”的取值范围.

【正确答案】⑴

(2){ala=1或2}

【分析】(1)由对数的运算性质及对数函数的性质计算出集合A,再将a=2代入集合8中，

解出集合8,再由并集的定义即可求得AuB.

(2)由(1)求得集合A,再对集合B化简，由题意知Ac3=0,则对集合B中的。分类讨论

即可求得满足条件的实数。的取值范围.

【详解】(1)若a=2,则3={削/-9》+20<0}={》|4<彳<5},A={x|-l<x<4},

则Au8={dT<x<5}

(2)B=卜|(x-2a)[x-(“2+川<o}={x[2a<x<a2+ij,

当8=0时，2a=a2+i,即a=l,Ac8=0,符合题意；

当3x0时，即awl,若Ac3=0,贝！]2aN4或/+14一1,^a>2

综上，实数。的取值范围为伍I。=1或422}

19.已知函数f(x)=Gcos(2x-1)-sin2x.

jrSjr

⑴求函数f(x)在上的单调递增区间；

(2)若/(£|=g,求cos(2£_?的值.

【正确答案】⑴和

o12JL"6

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为f(x)=sin(2x+如，由xe苧可求

得2x+1的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数/(x)在上的单调递增

区间；

(2)由已知可得出sin[,+：)=；,利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得

COSQY)的直

【详解】（1）解：由题意得

—cos2x+-sin2x-sin2x=—cos2x+-sin2x=sin(2x+0

/(x)=

2222I3

因为xe,所以2x+1e[0,2兀],

_66J3

令解得—^4x4^,

32o12

令当42》+弓42兀，解得準x冷,

2312o

所以函数/a）在「J,当上的单调递增区间为曰和得¥

L66」1612J|_126

（2）解：由（1）知/（f）=sin（夕+今）=：.

20.宣城市旅游资源丰富，知名景区众多，如宣州区的敬亭山风景区、绩溪县的龙川景区、

旌德县的江村景区、宁国市的青龙湾景区、广德市的太极洞景区、郎溪县的观天下景区、泾县

的查济景区等等.近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业将迎

来复苏.某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成

本300万元，若该项目在2023年有游客x万人，则需另投入成本R（x）万元，且

25,0<%,5

R（x）=，V+20x700,5<%,20,该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该

61XH---------565,x>20

.%

公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x

万元.

（1）求2023年该项目的利润W（x）（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润=收入-

成本）；

（2）当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

60x-325,0<x<5

【正确答案】（l）W（x）=—x~+40x—200,5<xK20

900…“

—x----F265,x>20

x

（2）游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元

【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本，分段写出其解析式即可；

（2）分段求出利润最大值及对应的人数，最后比较得出利润最大值即可.

【详解】（1）该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入10x万元，共60X万元收入,

60x-300-25,0<x<5

贝lj利润W(x)=,60x-300—(/+20x-100),5<X420

60x-300-f61x+--5651x>20

60x-325,0<x<5

化简得卬3H-丁+40x-200,5<x<20；

900…”

—x-----F265,x>20

（2）当0<x45时，此时W（x）单调递增，

卬（*）3=卬（5）=-25,

40.

当5<xW20时，二次函数开口向下，对称轴为》=-又帀=20,

则W（x）a=W（20）=200,

当x>2（）时，x+—>60,当且仅当x=?也，即x=30时等号成立，

XX

・•・W（x）3=卬（30）=-30一箸+265=205，

综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为205万元.

21.如图，矩形ABC。中，AB=6,BC=2,点M,N分别在线段（含端点）上，P

为AO的中点，PMLPN,设NAPM=a.

AD

(1)求角a的取值范围；

⑵求出，PMN的周长/关于角a的函数解析式/(a),并求的周长/的最小值及此时

a的值.

7T7T

【正确答案】(1)

03_

⑵/(a)J+sma+cosa,aJgH；当a=J时，.PMN的周长/取得最小值为2啦+2

sinacosa634

【分析】(1)由图形可知当点M位于点B时，角a取最大值，当点N位于点C时，角a取

最小值，求解即可.

(2)结合图形中的直角三角形，利用三角函数和勾股定理，把PMV的三条边用角口表示,

可求出了(。)，再利用换元法，通过函数单调性求最小值.

【详解】(1)由题意，当点M位于点8时，角口取最大值，此时tana=G，

7T7T

因为所以a=3,

当点N位于点C时，由对称性知NDPN取最大值角a取最小值=

3236

兀71

所以角a的取值范围是T-T

o3

(2)在直角△弘〃中，|PM|=——，

cosa

在直角中，cos/OPN=cos径-a]=sina=维且俨£)|=1,所以|PN|=」一

12丿PN''sina

在直角PMN中,由勾股定理得，|仞N『=|PM『+|PN|2=—^+——]

11cosasmacos2asin2a

因为aw，所以sina>0,cosa>0,所以|M/V|=------；—

63cosasina

所以f(0)=」一+」一+—-——1+sina+cosan兀

-------------------,aw—，一

sm。coscrsmcrcoscrsinacosa63

因为ae，所以r=+

63I4丿2

▽宀・r2-l

H3sinacosa—,

2

m=f+i=2

可得以‘尸戸'=口，且g(r