新高考数学一轮复习题型归类与强化测试27简单三角恒等变换2

专题27简单三角恒等变换

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题题型一：三角函数式的化简

型题型二：给角求值

归题型三：给值求值

类题型四：给值求角

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单

的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.

【考点预测】

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2a：sin2a=2sinacosa.

(2)公式C2a：cos2a=cos2a—sin2s=2cos2a—1=1-2sin2a.

(3)公式T2a：tan2a=/tan：

1-tan%

【常用结论】

—cosa=2sin2p1+cosa=2cosg.(升塞公式)

f.a(£\

SmtCS

2.1±sin«=l?°J,(升嘉公式)

1—cos2a1+cos2a,1—cos2a,女声八#、

9ot,cos9(X,tan9a•(Xxj)

221+cos2a

【方法技巧】

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子

和三角函数公式之间的共同点.

3.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角

的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.

4.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角

与特殊角之间总有一定的关系，解题时，栗利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且

消除特殊角三角函数而得解.

5.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：

[o-1

(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是I2)

选正、余弦皆可；

(2)若角的范围是(0,7i),选余弦较好；若角的范围为1一2'2」，选正弦较好.

6.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为

义x)=Nsin(0x+e)+b的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意

利用整体思想解决相关问题.

二、【题型归类】

【题型一】三角函数式的化简

0

[典例1】2cos58+sin280=()

“cos28°

A.一3B.lC.加

2cos4x—2cos2x+~

2

【典例2】化简：

2tan14fJsin214十tl

【典例3]（tan10°-^3）-£2^=________.

sin50

【题型二】给角求值

【典例1]sin40°（tan10。一加）等于（）

A.2B.-2C.1D.-1

【典例2]cos20°-cos40°-cos100°=.

【典例3】——0。：40。的值为

cos25%/l—sin40°

A.1B.^3C矩D.2

【题型三】给值求值

f0+-lI则sij2人工

【典例1]已知=Vw

cost4j-io

【典例2】若tanaH——=~,ae]'2j,贝Usin12*4j+啦cos2a的值为_______.

tana3

【典例3】已知a,夕为锐角，tana=g,cos(a+A)=—

⑴求cos2a的值;

(2)求tan(a一份的值.

【题型四】给值求角

【典例1】在平面直角坐标系X0中，锐角呢夕的顶点为坐标原点。，始边为x轴的非负半轴,

终边与单位圆。的交点分别为尸，0.已知点尸的横坐标为?，点。的纵坐标为得，则2a

一用的值为•

【典例2】已知cosa=；,cos(a—份=：,且贝1必=.

【典例3】已知a,用弓(0,兀)，且tan(a—份=[,tan£=—3，则2a—'6的值为.

三、【培优训练】

【训练一】已知函数/(x)=sin[2xl)+2sin2x.

(1)求“X)的最小正周期;

nSu

(2)当正修6」时，求真x)的值域.

【训练二】如图，有一块以点。为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形Z5CO

开辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点5,C落在半圆的圆周上.已知半圆的

半径长为20m,如何选择关于点。对称的点Z,。的位置，可以使矩形Z8CD的面积最大,

最大值是多少？

【训练三】已知函数八x)=/cos(：+》，xGR,

(1)求2的值；

(2)设a,好。N卜+幻一言幻寸求c°s(a+「的值.

【训练四】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：

“今有池方一丈，葭生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其

意思为“今有水池1丈见方(即8=10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺.将

芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少？"设。=NA4C,

现有下述四个结论：

①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan；=；；④tanl+J：—；.J{//I

其中所有正确结论的编号是()1/

A.①③B.①③④AB

C.①④D.②③④

【训练五】已知。为正整数，tana=l+lga,tan』=lga,且a=£+j,则当函数义x)=asin。

—3cos6(ee[0,兀])取得最大值时，。=()

,7Tc27c5兀4冗

A-B.——C.——D.坐

2363

【训练六】若sin2a=日,.X710,且£兀

sinC5-ot)--，际,则a+4的值是()

A1B-z

四、【强化测试】

【单选题】

4tan-

1.计算：-----)

3tan2---3

12

A.现

3

「23

C.—

9

2.若tan(a+80°)=4sin420。，则tan(a+20。)的值为()

啦cos2。_

3.若产+3=35由2仇则sin28=(

cost4J

2

AB.

-I3

1

c.--D.

33

4.已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合,在a的始边上有一点/,

sin20+2sin20

终边上有一点8(一机，2m)(m>0),满足=若/0AB=8,-----------二()

1+cos20

门19兀-23兀

C.电或生D.——•或——

66

6.计算：—一［os4。。等于（）

cos80°\1—cos20°

A-fB2Cf°

7.设aGg3/J。，且tana=l±。顺）

COSB

A.3a—£=：B.2a—£=：

C.3a+£=；D.2a+4=：

8.若sin2a=（,sin伊且a©|_4，"J，2J,则a+4的值是（）

【多选题】

9.下列各式中值为1的是（）

-2cos275°

B.sin135°cos15°—cos45°cos75°

C.tan20°+tan25°+tan20°tan25°

Dcos35°^l-sin20°

/cos20°

10.函数人x）=sinxcosx的单调递减区间可以是（）

kL近,kn—~

A._44>FZ）

B.（左©Z）

2E+%2E+匹、

C.L42>,ez）

,叫，

D.（左GZ）

11.已知“¥）=；（1+cos2x）sin2x（x@R）,则下列结论正确的是（）

A.八x)的最小正周期T=；

B.小)是偶函数

C.八x)的最大值为:

D.於)的最小正周期T=K

12.下列说法不正确的是()

A.存在x£R,使得l—cos3x=log2士

B.函数y=sin2xcos2x的最小正周期为兀

C.函数尸cos21+月的一个对称中心为H°]

D.若角a的终边经过点(cos(—3),sin(—3)),则角a是第三象限角

【填空题】

13.若q，sin则tan2a=.

14.已矢口sina=cos2a,但兀J〕,则tana=_________.

15.已知t他an+U3J=3,贝！Jsin2。一2cos2。=.

^3tan120-3

16.-----------------=_________.

(4cos212°—2)sin12°

【解答题】

17.已知函数｛

⑴求的值；

(2)若a©[°'3],求cosa的值.

18.如图，点尸在以4B为直径的半圆上移动，且45=1,过点尸作圆的切线尸C,使尸C=L

连接5C,当点尸在什么位置时，四边形Z5C尸的面积等于1?