中考数学知识点与经典题型练习 解直角三角形中的母抱子模型(解析版)

专题15解直角三角形中的母抱子模型

【模型展示】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架34米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯

子与地面的夹角为45。，此时梯子顶端8恰巧与墙壁顶端重合.因梯子阻碍交通，故将梯子

底端向右移动一段距离到达。处，此时测得梯子4。与地面的夹角为60%则胡同左侧的通

道拓宽了（）

A.6米B.3米C.（3-夜）米D.（3-6）米

【答案】D

【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、仍，根据正切的定义求出OE,结合图

形计算得到答案.

【详解】解：在RtEgC中，ZBCE=45。,

EC=EB=显BC=显X3>/2=3（米）,

22

BE

在RtABDE中,tanZBDE=——,

DE

DE=1名τκ=∙⅛=G（米），

tanZBDE√3

CD=EC-DE=G-亚米,

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三

角函数的定义是解题的关键.

2.如图，在点F处，看建筑物顶端。的仰角为32。，向前走了15米到达点E即EF=I5米，

在点E处看点。的仰角为64。，则8的长用三角函数表示为（）

A.15sin32oB.15tan64oC.15sin64oD.15tan32o

【答案】C

【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEb是等腰三角形，在M△/）EC中，

利用N。EC的LE弦即可表示出CD的长度.

0o

【详解】VZF=32,ZDEC=Mf

：.ZDEF=?DEC?F32?,

：,DE=EF=15,

由题可知，△3CE为直角三角形，

CD

在RmDEC中,sin?DEC短

CD

即：sin64?—,

15

.*.CD=15g>in64?,

故选：C

【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利

用三角形的外角得出等腰三角形.

3.一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆

顶部A的仰角为45。，然后上到斜坡顶部。点处再测得旗杆顶部A点仰角为37。（身高忽略

不计）.已知斜坡CD坡度i=l：2.4,坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度E尸为1.4米，旗

台底部、台阶底部、操场在同一水平面上.则请问旗杆自身高度AB为（）米.

（参考数据：sin37o≈0.6,cos37o≈0.8,tan37o≈0.75）

A.10.2B.9.8C.11.2D.10.8

【答案】B

【分析】如图，作。，_LFC交FC的延长线于H,延长AB交C尸的延长线TT,作川J∙AT

ΔJ

丁/设AT=Tr=%,在RtΔADJ中，根据tanZAW=方，构造方程解决问题即可.

【详解】解：如图，作DHLFC交FC的延长线于H,延长AB交CF的延长线于T,作DJLAT

于J-

由题意四边形E尸78、四边形。〃"是矩形，

BT=E尸=1.4米，JT=DH,

DH1

在RtZSCCH中，；C£>=2.6米，——=—,

CH2.4

.".DH=∖(米)，CH=24(米)，

VZACT=45o,ZT=90o,

：.AT^TC,

设AT=TC=X.则Zλ∕=7W=(x+2.4)米，AJ=(X-I)米，

AJ

在RtAAZλ/中，：tanNAOJ=茄=0.75,

X—1

--------=0.75,

X+2.4

解得Λ=2,

：.AB=AT-BT=AT-EF=W.2-1.4=9.8（米）,

故选：B.

【点睛】本题考查解宜角三角形的应用-测量高度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造直角三角形解决问题，要熟练掌握仰角，坡度等概念，为中考常见题型.

4.如图,在A处测得点尸在北偏东60。方向上,在B处测得点尸在北偏东30"方向上,若ΛB=2

A.3米B.G米C.2米D.1米

【答案】B

【分析】设点尸到直线AB距离PC为X米，根据正切的定义用X表示出AC、BC,根据题

意列出方程，解方程即可.

【详解】解：设点尸到直线AB距离PC为X米，

PCr-

在Rt∆APC中，AC=-------------=√3x

tanNPAC

在RtaBPC中，BC=———=—x,

tanZPBC3

由题意得，6χ-Bχ=2,

3

解得，Λ=√3（米）,

故选：B.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是

解题的关键.

二、填空题

5.如图所示，为了测量出某学校教学大楼AB的高度，数学课外小组同学在C处，测得教

学大楼顶端A处的仰角为45。；随后沿直线BC向前走了15米后到达。处，F在。处测得A

处的仰角为30。，已知测量器高1米，则建筑物AB的高度约为米.（参考数据：

√2≈1.414,6=1.732,结果按四舍五入保留整数）

【答案】21

【分析】设AG=X米，由NAEG=45。得EG=AG=X,FG=EG+E尸=x+15,根据利用特殊角三角

函数值可得关于X的方程，解之可得答案.

【详解】解：由题意可得四边形FDC£,四边形EC8G,四边形H）BG均为矩形

设AG=X米，由N4EG=45°得EG=AG=x,FG=EG+EF=x+l5,

在对AAFG中，tan30°=-=^^-=—

FGx+153

解得：χJ5√∣+15

•.n“"15√3+15.15√3+17

•∙AB=AG+BG=-------+1=-------------≈21

22

故答案为：21

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想

找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件.

6.永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔

顶，俯瞰园博园全貌.如图，在A处测得NCAD=30。，在B处测得/CBD=45。，并测得

AB=52米，那么永定塔的高CD约是X.（√2≈1.4,√3≈1.7,结果保留整数）

BD

【答案】74

【分析】首先证明BD=CD,设BD=CD=X,在Rt∆AC。中，由乙4=30。，推出AD=ECD,

由此构建方程即可解决问题.

【详解】如图，'：CD±AD,NCBD=45。,

：.ZCDB=90o,ZCfiD=ZDCB=45°,

：.BD=CD,设8D=Cf>=x,

在RIZiACD中，VZΛ=30o,

ΛAD=√3CD,

.∙.52+x=√3-v>

52

.,.X=ɪ≈74(w),

故答案为74,

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

7.如图，在一笔直的海岸线/上有相距46〃的AB两个观测站，B站在A站的正东方向上,

从A站测得船C在北偏东60。的方向上，从B站测得船C在北偏东30。的方向上，则船C到

海岸线/的距离是km.

【答案】2√3

【分析】过点C作CD,AB于点D,然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形

的应用即可.求出答案.

ZCBD=90o-30o=60o,

六NACB=NCBD-NCAD=30。，

ΛZCAB=ZACB,

.*.BC=AB=4km,

在Rt∆CBD中,

：.CD=BC∙sin60o=4×—=2√3(Azn)

2

•••船C到海岸线/的距离是26km.

故答案为：2√L

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用一方向角问题，解题

的关键是熟练运用锐角三角函数的定义.

8.如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A,又在河的另一岸边取两个

点B、C,测得Na=30。，Zβ=450,量得BC的长为200米，则河的宽度为.（结

果保留根号）

【答案】（√5+l）m

【分析】直接过点A作ADLBC于点D,利用tan30。=Yl=立，进而得出答案.

x+1003

【详解】过点A作ADLBC于点D,

VZβ=450,NADC=90。，

AD=DC,

设AD=DC=xm,

则tan30°=——-——=—,

X+2003

解得：X=Ioo（6+1），

答：河的宽度为100（√3+l）m.

故答案是：100（√3+l）m.

【点睛】此题主要考查了解直角二角形的应用、特殊角的的三角函数值，正确得出AD=CD

是解题关键.

9.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一

次是阳光与地面成60。角时，第二次是阳光与地面成30角时，已知两次测量的影长相差8

米，则树高AB为多少？一.（结果保留根号）

【答案】4石米

【分析】设A8=x,利用正切的定义以及特殊角的正切值，衣示出BC和8,然后求解即

可.

【详解】解：设AB=X米

在RfABO中，tanZADB=tan60o==ʌ/ɜ,则Bo=3∙x

BD3

在RtABC中，tanZACB=tan30°=—=—,则BC=√ir

BC3

CD=BC-BD,即瓜-且χ=8,解得x=4√5

3

即AB=4石米

故答案为46米

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及正切的定义，解题的关键是掌握正切三

角函数的定义以及特殊角的正切值.

三、解答题

10.某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度.如图所示，在8

处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45。，福塔顶部桅杆天线Az)高120m,再沿CB方向前

进20m到达E处，测得桅杆天线顶部。的仰角为53.4。.求中原福塔CO的总度.(结果精

确到1m.参考数据：sin53.4°≈0.参3,cos53.4o≈0.596.tan53.4o≈1.346)

【答案】中原福塔C。的总高度约为389m.

【分析】设AC为刀m,则CT)=(X+120)m,在Rt∆ACB中，可得BC=AC=X1从而得到CE=X+20,

CD

然后在RsDCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∕DEC=前即可求解.

【详解】解：如图，设AC为Xm,则Cz）=（x+120）m

在Rt∆ACB中，Z48C=45。，

BC=AC=x,

.∙.CE=x+20,

CD

在RtAOCE中，IanZDEC=—,NQEC=53.4°,

解得：x≈269.0,

：.CD=x+\20=389.0≈389米，

答：中原福塔CQ的总高度约为389m∙

【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是

解题的关键.

11.如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度A8,小组成员在专业人

员的协助下利用无人机进行测量，在P处测得A,B两点的俯角分别为45。和30。（即

ZCPA=45°,NCpB=30。）.若无人机离地面的高度PQ为120米，且点Q,A,8在同一

水平直线上，求这条河的宽度A3.（结果精确到1米）.（参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）

c_________________P

-B'"'^AQ

【答案】88米

【分析】在心4APQ和砂ASP。中，利用锐角三角函数，用Po表示出A。、8。的长，然

后计算出AB的长.

【详解】解：CPHQB,

ZCPA=ZPAQ=45o,NCPB=NPBQ=30°,

在心ZiAPQ中，ΛPAQ=45Q,

o

.∙.ZPAQ=ZAPQ=45f

.-.AQ=PQ=no（米），

在RtXBPQ,tanNPBQ=镂,

.∙.QB=吆一犁=12。G…

lanΛPBQ√3（米），

T

AB=QB-QA=12θ6-120=120x（1.732-1）a88（米），

答:这条河的宽度A8约为88米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题.解决本题的关键是用含PQ的

式子表示出AQ和BQ.

12.如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB,小明在斜坡的坡脚。处测得宣传牌底部8的

仰角为45。，沿斜坡Z）E向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31。，已知斜坡OE的坡度

3:4,OE=IO米，f>C=22米，求宣传牌AB的高度.（测角器的高度忽略不计，参考数据：

sin31o≈0.52,cos3—.86,tan31o≈0.6）

【答案】宣传牌AB的高度为2米.

【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C,则CF=EG,CG=EF,然后在RtAEFD、

RlABCD、中解直角三角形即可.

【详解】解：过E分别作C。、AC的垂线，设垂足为尸、G,

则CF=EG,CG=EF,

在RtAEFD中，

斜坡QE的坡度3:4,Z）E=Io米，

.∙.设EF=3x米，DF=4x米，

DE=∖∣EF2+DF2=5x=10>

..X=2,

.∙.EF=6米，OF=8米，

在RtABCD中，ZBDC=45°,

.∙.BC=C。=22米，

:.BG=BC-CG=22-6=16（米）,

在RtΔAEG中，AG=EGtan310=30x0.6=18（米）,

.∙.AB=AG-8G=18-16=2（米）.

答:宣传牌AB的高度为2米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直

角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.

13.如图，山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔高AC=16米，在山脚下点B处测得塔底

C的仰角是30。，塔顶A的仰角是45。，求山高CD（点A,C,D在同一条竖直线上）.（结

果保留根号）

【答案】8√3+8

【分析】分别解RtAABQ和RtBCD,得到45=8/）、CD=^-BD,根据

AD-CD=BD--BD=Xfjm即可求解.

3

AΓ）

【详解】解：在RtzMBQ中，VdnZABD=——=1,

BD

・•・AD=BD^

在RtBCDΦ,tanZC5D=-=—,

BD3

/.CD=-BD,

3

•/ΛC=16m,

/.AD-CD=BD--BD=∖6m,

解得BD=（8√5+241n,

.,∙CD=^-BD=(8√3+8)m.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握正切的定义是解题的关键.

14.二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修

建的纪念性建筑物.学完三角函数知识后，某校''数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的

知识测量二七纪念塔的高度.如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰

角为40。，向塔方向前进38米在E处测得塔顶端A的仰角为60。，求二七纪念塔AB的高度

(精确到1米，参考数据si〃40。≈1.73).

【答案】二七纪念塔AB的高度约为62米

【分析】由题意根据止切的定义分别用AG表示出EGDG,进而根据DG-EG=38列出算

式求出AG的长，计算即可.

A(Z

【详解】解：在Rt/MEG中，tanZAEG=-^；

EG

.∙.EG=———=-AG≈0.58AG,

tanZ.AEG3

AG

在RtADG中，UinAADG=—

・•・DG=———≈"=i.2AG,

tanZADG0.84

.DG-EG=38,

.∙.1.2ΛG-0.58AG=38,

AG≈61.3,

.∙.AB=61.3+1≈62.

答：二七纪念塔AB的高度约为62米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记

锐角三角函数的定义是解题的关键.

15.如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A处测得小岛。在北偏东60。方向，之后轮

船继续向正东方向行驶L5∕ι到达B处，这时小岛。在船的北偏东30。方向36海里处.

（1）求轮船从A处到8处的航速.

（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛。的东南

方向？

【答案】（1）24海里/小时.（2）3+3、小时

4

【分析】（1）过。作OCLAB,利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC

的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；

（2）如图，根据题意可判断AOCD为等腰直角三角形，则CD=OC,进而可得BD的长，

再由时间=路程除速度求解即可.

【详解】（1）过。作Oe∙LAB,

由题意得08=36海里，NoBC=60。，ZOAC=30°,

..OC=CB∙sin60°=18有（海里），

BC=OB∙cos60o=18（海里），

OC186

AC=--------=—f=-=54

tan30o√3（海里），

T

.∙.AB=AC-SC=54-18=36（海里），

,速度：‰=τl=24（海里〃卜时）.

由题意，NCoD=45。，。点在O的东南方向,

ΛΔOCD为等腰直角三角形，

∙∙.OD=OC∙tan45o=18√3（海里），

.∙.BD=BC+CD=18+18^（海里）,

18+18√33+3√3,,ʌ

:.t=--------=----—（z小π时），

244

...经过咨叵小时后到达.

4

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运

用三角函数解直角三角形是解答的关键.

16.如图，在一次空中表演中，水平飞行的歼——IO飞机在点A发现航展观礼台。在俯角

为21。方向上.飞机继续向前飞行了800米到达B点.此时测得点。在点B俯角为45。的方向上.

请你计算当飞机飞到。点的正上方点C时（点A、B、C在同一直线上），竖直高度8约

为多少米？（结果保留整数，参考数值：sin21o≈0.36,cos21o≈0.93,tan21o≈0.38）

【答案】竖直高度8约为490米.

【分析】根据题意直接利用解直角三角形的方法进行求解即可.

【详解】解：如图：NCBD=45°NBCD=90。：,CD=CB

CDCDCD

ZA=21°tan210=-=

ACAB+BCAB+CD

CD

AB=800≈0.38

800+CD

CD=490.32≈490.

答：竖直高度CO约为490米.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，关键是根据题意利用三角函数进行求解即可.

17.科技改变生活，5G时代将对我们的生活产生意想不到的改变.某数学兴趣小组要测量5G

信号塔的高度，如图，在起点M处用高1米（DM=I米）的测量仪测得信号塔AB的顶端B的

仰角为30。，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达尸处，测得顶端8的仰角为63.4。，求

信号塔AB的高度约为多少米?（精确到1米.参考数据：

si”63.4°≈0.89,COS63.4°≈0.45√αn63.4o≈2.00,√3≈1.73）

B

【答案】该信号塔A3的高度约为17米

【分析】本题首先假设AB的长度为X,继而表示BE的长度，利用正切三角函数表示DE,

进一步表示CE,最后再次利用正切三角函数列式求解.

【详解】由已知得：CD=20,DM=AE=I,

设AB为X米，则BE=(X—1)米，

BE

在RfΔDEB中，tan30°=——，

DE

.∙.DE=y∕3(x-l),

.∙.CE=£>£-CD=√3(x-1)-20,

BE

在RfACEB中，tan634=衣.

.cɪ-ɪ

,√3(x-l)-20'

求解得：x≈17(米).

故该信号塔AB的高度约为17米.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于对各种三角函数概念的理解，并

结合具体图形情况，适时选取合适的三角函数以提升解题效率.

18.小明和小华进行社会实践活动时，想利用所学的知识测量某旗杆AB的高度.小明站在

点D处利用测倾器测得旗杆顶端A的仰角为45。，小华在BD之间放置一个镜子，并调整镜

子的位置，当镜子恰好放在点E处时，位于点。处的小明正好在镜子中看到旗杆顶端A,

此时。E的距离为1.4米，已知测倾器的高为1.乃米.请你根据以上信息，计算旗杆AB的

高度.

''45≡Xc

J_____ΣzL

BED

【答案】旗杆48的高度为15.75米

【分析】过点C作C尸于点F,可得四边形F8Z）C是矩形,根据入射角等于反射角可得,

ZCED=NAEB,所以tan∕CEO=tanNAEB,进而可求A尸的长，最后求出AB的长.

【详解】解：如图，

A

F1.......................C

BED

过点C作C凡L48于点F,

可得四边形FBQC是矩形，

，EB=CD=1.75,

FC=BD=BE+∖A,

根据题意，得

NACF=45°,

.∙.AF=CF,

根据入射角等于反射角可知：

ZCED=ZAEB,

tanZCED=tanZAEB,

.CDAB

"^DE~~BE,

.1.75AF+1.75

"^↑A-FC-1.4'

"：AF=FC,

二解得AF=I4,

/.AB=AF+FB=14+1.75=15.75（米）.

答：旗杆AB的高度为15.75米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到入射角和反射角的问题，能够正确理

解正切的含义是解题的关键.

19.周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，Ar）是一攀岩墙，小岚从攀岩墙底部。

处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙3帆的8处，当他到达C处时，妈妈看向他的仰角为30°,

当他到达墙顶A处时，妈妈看向他的仰角为75°（小岚妈妈的身高均忽略不计），此时攀岩教

练开始释放手中的绳子，使小岚以1.5m/s的速度下落到C处，再减速下落到地面，则他从

A处下落到C处需要多长时间？(结果保留整数，参考数据:

r

Siif15°a0.97,CoSlSX0.26,tan^l≤≈3.73,√^≈1.73)30°?

【答案】小岚从A处下落到C处需要6s

【分析】在心ΔBCD中，利用三角函数解直角三角形可得CD；在Z⅛ΔAB。中，利用三角函

数解直角三角形可得AD,进而得到AC的长度，即可求解.

【详解】解：根据题意可知，ZCBD=30°,ZABD=75"

CD

在RΔBC。中，tanZCBD=—

BD

即tan30'=宁

ΛCD=3tan30o≈1.73(m)

ΔΓ)

在RtΛABD中,tan/ABD=-BD

即tan75°=~~

.∙.AD=3tan75°≈11.19(m)

.∙.AC=AD-CD=9.46(∕τ?)

9.46÷1.5≈6(Λ)

答：小岚从A处下落到C处需要6s.

【点睛】此题主要考查利用二角形函数解直角三角形，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题

关键.

20.炎黄二帝巨型塑像位于河南省郑州市西北部三十公里之处的黄河风景名胜区向阳山(始

祖山)上，炎黄二帝巨塑背依邙山，面向黄河.数学活动小组的同学为测量像体的整体高度，

在地面上选取两点A和8,且点A,8及其中像体MN在同一平面内，像体底部N与点A,

B在同一条直线上，同学们利用高Im的测倾仪在A处测得像顶M的仰角为35。，在B处测

得像顶M的仰角为45。，且AS=45m.根据测量小组提供的数据，求该塑像的高度.(结果

精确至IJlm,参考数据：sin35o≈0.57,cos35o≈0.82,tan35o≈0.70.)

【答案】该塑像的高度约为106m.

【分析】延长CD交MN于E,则CE_LMN,NE=BD=AC=Im,NMDE=45。，ZMCE=35o,

CD=AB=45m,在RSDEM中，求出ME=DE,在RtACEM中，利用勾股定理求出ME的

长，即可得出答案.

【详解】延长CO交MN于E,如图所示：

由题意得：CElMN,NE=BD=AC=1m,

ZMDE=45°,Cf)=AB=45m,

ME

在RtDEMψ,tanZMDE=——=1,

DE

∙∙.ME=DE,

在RtZXCfM中，tanNMCE=—ME=EMF--=-EMF-,

CECD+DECD+ME

ME=(CD+ME)×tanZMCE=(45+ME)×tan35o≈(45+ME)×0.7,

解得：ME≈105(m),

.∙.MV=ME+TVE=105+1≈106(m)；

答：该塑像的高度约为106m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角问题；通过作辅助线得出直角三角形，正确

求解是解题的关键.

21.如图，某楼房A3顶部有一根天线8E,为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线

上的三点C,D,A,在点C处测得天线顶端E的仰角为60°,从点C走到点力，测得CL>=5

米，从点。测得天线底端8的仰角为45',已知A,B,E在同一条垂直于地面的直线上，

AB=25米.

（1）求A与C之间的距离；

（2）求天线BE的高度.（参考数据：√3≈1.73,结果保留整数）

【答案】（1）AC之间的距离为30米；（2）天线SE的高度约为27米.

【分析】（1）根据题意，NBAD=90。，/BDA=45。，故AD=AB,已知CD=5,不难算出A

与C之间的距离.

（2）根据题意，在RtAACE中，NAeE=60。，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB,

故EB即可求解.

【详解】（1）依题意可得，在R/AB。中，NADB=45。，

.∙.AZ）=AB=25米，

,8=5米，.∙.AC=AD+CD=25+5=30^.

即AC之间的距离为30米.

（2）在RIACE中，ZAeE=60。，AC=30米，

.∙.AE=30tan60o=30√3（米），

AB=25米，/.BE=AE-AB=（30√3-25）.

由6≡≈1∙73.并精确到整数可得27米.

即天线BE的高度约为27米.

【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题

的关键.

（2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键.

22.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图，正在执行

巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60。

方向上，海监船继续向东航行1小时到达8处，此时测得灯塔P在北偏东30。方向上.

（1）求B处到灯塔P的距离；

（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

*“.反

【答案】（1）B处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的

【分析】（1）作PD,AB丁D.求出NPAB、ZPBA.NP的度数，证得^ABP为等腰三角

形，即可解决问题；

（2）在Rt∆PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定.

【详解】（1）过点P作PDLAB于点D,

.∙.PB=AB=60（海里），

答：B处到灯塔P的距离为60海里；

（2）由（1）可知NAPB=∕PAB=30°,

.∙.PB=AB=60（海里）

在Rt∆PBD中,

PD=BPsin60o=60×^=30√3（海里），

2

,/30√3>50.

•••海监船继续向正东方向航行是安全的.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注

方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键.

23.如图，在港口A处的正东方向有两个相距6h〃的观测点B、C,一艘轮船从A处出发,

北偏东26。方向航行至D处，在B、C处分别测得NABO=45。，NC=37。求轮船航行的距

离AD(参考数据：sin26o≈0.44,cos26o≈0.90,tan26o≈0.49,sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,

tan37o≈0.75)

北

D

ABC

【答案】20km

【分析】过点。作O"LAC,垂足为H,通过解∕⅛ΔDCH和∕⅛ΔDBH得C”=—也一和

tan37°

DH

BH=——,根据BC=C求得DH,再解∕⅛ΔD4”求得AD即可.

tan45°

【详解】解：如图，过点。作。垂足为H

北

DH

tan37°

~CH

DH

・•.CH=

tan37°

在Rfx)BH中,ZDBH=45°

DH

tan45°

~BH

.∙.BH=

BC=CH-BH

DHDH/

tan37otan45o

.∙.JD∕7≈18

在用ΔDV∕中，ZADH=26°

cos26°=—

AD

.∙.AD=——≈20(km)

cos26°

因此，轮船航行的距离AD约为20km

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理.作出辅

助线构造直角三角形是解题的关键.

24.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面

一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22。，然后沿

MP方向前进16加到达点N处，测得点A的仰角为45。.测角仪的高度为1.6m,

（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1加.参考数据：

sinXΓ≈0.37,COS22°≈0.93√an22°≈0.40,√2≈1.41）；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为12.6%,请计算本次测量结果的误差，并提出一条减

小误差的合理化建议.

【答案】（1）12.3m；（2）0.3m,多次测量，求平均值

【分析】（1）过点A作AEMN交MN的延长线于点E,交BC的延长线于点D,根据条

件证出四边形BMNC为矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为宜角

三角形，设AD的长为xm,则CD=AD=xm,BD=BC+CD=（16+x）m,在RtZ^ABD中，

解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可：

（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值.

【详解】解：（1）如图，过点A作AELMN交MN的延长线于点E,交BC的延长线于点

D,

设AD的长为xm,

VAE±ME,BC〃MN,

ΛAD±BD,ZADC=90o,

,.∙ZACD=450,

ΛCD=AD=xm,BD=BC+CD=(16+x)m,

由题易得，四边形BMNC为矩形，

VAElME,

.∙.四边形CNED为矩形，

，DE=CN=BM=ISm,

∆∣yr

在RIAABD中，tanZABD=——=-------=0.40,

BD16+x

解得：X≈10.7,

即AD=10.7m,AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m,

答：观星台最高点A距离地面的高度为12.3m.

(2)本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m,

减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解

答此题的关键.

25.学完三角函数知识后，某校“数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量纪念塔

的高度.如图，是高为Im的测角仪，在。处测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前进

40m在E处测得塔顶端A的仰角为63.4°,求纪念塔AB的高度(结果取整数).

参考数据:sin40≈0.64,cos40≈0.77,tan40≈0.84,tan63.4≈2.00.

A

【答案】纪念塔A8的高度约为59m.

【分析】根据正切的定义分别用AG表示出EG、DG,再在在RtZXAEG中列出算式求出AG

的长，计算即可.

【详解】解：根据题意，ZADG=40°,