北师大版高一数学必修第二册第四章复习及测试题

北师大版高一数学必修第二册第四章复习及测试题第四章三角恒等变换一．同角三角函数的基本关系基本关系基本关系式平方关系sin∝2+商数关系sin∝cos二、两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角三、两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R四、两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R五、两角和与差的正切公式名称公式简记符号条件两角和的正切公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)两角差的正切公式tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)六、二倍角公式三角函数公式简记正弦sin2α＝2sinαcosαS2α余弦cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC2α正切tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)T2α七、半角公式sin

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，cos

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，tan

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).八、辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.cos105°=()A.2-3 BC.2+64解析cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=22答案B2.若α是第二象限角,且sinα=23,则cosα等于(A.13 B.-13 C.53 D解析因为α是第二象限角,所以cosα<0.所以cosα=-1-sin2α答案D3.若sinα+cosαsinα-cosαA.-34 B.34 C.-43解析等式sinα+cosαsinα-cosα=12左边分子、分母同时除以cosα(显然cosα所以tan2α=2tanα答案B4.已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.15 B.55 C.33解析因为2sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因为α∈0,π2,所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,所以5sin2α=1,即sin2α=15因为sinα>0,所以sinα=55.故选B答案B5.(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°=()A.32 B.3 C.34 D.解析原式=(2cos30°sin10°)2+32(sin70°-sin30°=3-3cos20°2+答案C6.tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=()A.33 B.3 C.32 D解析由于tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),故tan23°+tan37°+3tan23°tan37°=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37°)+3tan23°tan37°=3(1-tan23°tan37°)+3tan23°tan37°=3.答案B7.计算2sin14°·cos31°+sin17°等于()A.22 B.-22 C.32 D解析2sin14°·cos31°+sin17°=2sin14°·cos31°+sin(31°-14°)=sin14°·cos31°+cos14°·sin31°=sin(31°+14°)=sin45°=22答案A8.已知锐角α,β满足sinα=55,cosβ=31010,则α+β等于A.3π4 B.C.π4 D.2kπ+π4(k∈解析由sinα=55,cosβ=31010,且α,可知cosα=255,sinβ=故cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=255×31010-55×1010=22.又答案C二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.下列各式中,值为1的是()A.4sin15°cos15° B.cos215°-sin215°C.32+2sin215° D.sin22020+cos2解析因为4sin15°cos15°=2sin30°=1,所以A正确;cos215°-sin215°=cos30°=32,所以B错误32+2sin215°=32+1-cos30°=1,所以Csin22020+cos22020=1,所以D正确.答案ACD10.已知2sinθ=1+cosθ,则tanθ2的值(A.恒为2 B.可能为1C.可能为-12 D.解析2sinθ=1+cosθ,则4sinθ2cosθ2=1+2cos2θ2-1,即2sinθ2cosθ2=cos2θ2,当cosθ2≠0时,tanθ2=12答案BD11.已知函数f(x)=sinx-cosx+π6,则()A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的最小正周期为2πC.f(x)的图象关于直线x=kπ+2π3(k∈ZD.f(x)的值域为[-3,解析因为f(x)=sinx-cosx+π6=sinx-32cosx-12sinx=32sinx-32cos=332sinx-12cosx=3sinx-π6所以f(x)的最小正周期为2π,所以A错误,B正确;由x-π6=kπ+π2(k∈Z)得x=kπ+2π3(k∈Z),即f(x)的图象关于直线x=kπ+2π3(k∈Z)因为x∈R,所以-1≤sinx-π6≤1,所以-3≤f(x)≤3,即f(x)的值域为[-3,3],所以D答案BCD12.已知sinθ+cosθ=15,θ∈(0,π),则(A.sinθcosθ=-1225 B.sinθ-cosθ=C.sinθ-cosθ=75 D.tanθ=-解析因为sinθ+cosθ=15所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125即sinθcosθ=-1225,所以A正确所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0,所以sinθ-cosθ=75,所以B错误,C正确联立sin解得sinθ=45,cosθ=-3所以tanθ=-43.所以D正确答案ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα=.解析因为a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,所以3cosα-4sinα=0.所以tanα=34答案314.cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=.

解析cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)=cos[(36°+α)-(α-54°)]=cos90°=0.答案015.已知A+B=2π3,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是解析因为A+B=2π3,所以cos2A+cos2B=12(1+cos2A+1+cos2B)=1+12(cos2A+cos=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos2π3cos(A-B)=1-12cos(所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值32;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值1答案316.函数f(x)=15sinx+π3+cosx-π3的最大值为.

解析因为f(x)=15sinx+π3+cosx-π3=1512sinx+32cosx+12cosx+32=1+5310sinx+5+31+53102+其中tanφ=5+3因此,函数y=f(x)的最大值为1+53答案26+5四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin(3π+α)=2sin3π2+α,求下列各式的值:(1)sinα(2)sin2α+sin2α.解由已知得sinα=2cosα.(1)原式=2cosα-4cos(2)原式=sin18.(12分)已知0<α<π2<β<π,tanα2=12,cos(β-(1)求sinα的值;(2)求β的值.解(1)因为tanα2所以tanα=2tanα由sinαcosα=43,sin2α+cos2α(2)由(1)知cosα=1-sin2α=1-(45)

2=35,又0而cos(β-α)=210所以sin(β-α)=1-于是sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)=45又β∈π2,π,所以β=3π419.(12分)设函数f(x)=sinx,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;(2)求函数y=fx+π122+fx+π42的值域.解(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ,故2sinxcosθ=0,所以cosθ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=π2(2)y=fx+π122+fx+π42=sin2x+π12+sin2x+π4=1=1-1232cos2x-32sin=1-32cos2x+π3.因此,函数的值域是1-32,1+32.20.(12分)求证:sinx证明方法一:左边=sin=(=2=2=2=右边.方法二:左边=1+sin=1=1=11+sinx+cosx(sinx+1-cosx-cosx-1+=2=右边.21.(12分)已知A+B+C=π.求证:sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cos证明因为A+B+C=π,所以C=π-(A+B),所以C2所以sinA+sinB+sinC=2sinA+B2cosA-=2sinA+B2cosA-B=2sinA+B2cosA-B=2sinA+B2·2cosA2·=2cosC2·2cosA2·cos所以sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cos22.(12分)如图所示,要把半径为R,圆心角为π3的扇形木料截成长方形,应怎样截取,才能使长方形EFGH的面积最大解如图,作∠POQ的