北师大版高一数学必修第二册第五章复习及测试题

北师大版高一数学必修第二册第五章复习及测试题第五章复数1.概念：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R)2.复数的分类

对于复数【a，b】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R,是复数集C的真子集，即.

3.复数相等的充要条件

在复数集C=中任取两个数，【a，b，c，d∈R】，

规定：与相等当且仅当a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等时，两个复数才相等。4.对于复数的定义要注意以下几点：①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数?b＝0a＋bi为虚数?b≠0a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠05.复数的模定义：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).6.共轭复数定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.表示：z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi.知识点2复数的加、减运算及其几何意义复数加法与减法的运算法则1.设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数加减法的几何意义如图，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))与复数z1－z2对应.知识点3.复数的乘、除法则复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3复数除法的法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).知识点4.复数的三角表示三角表示及相关概念一般地，任何一个复数z=a+bi,都可以表示为r=（cos+icos）的形式

其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始，向量所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角．r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。

（2)规定：在0≤<2π范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作argz,即0≤argz<2π.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，

=（cos+isin）·（cos+isin）

=（cos+isin）（cos+isin）

=[(coscos-sinsin)]

=[cos（+）+isin（+）

则

(cos+isin)·(cos+isin)

=[cos(+)+isin(+)]

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

复数除法运算的三角表示

设=(cos+isin),=(cos,+isin),且≠.因为

(cos+isin)·[cos(-)+isin(-)]=(cos+isin)，

所以根据复数除法的定义，有，

[cos(-)+isin(-]

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.设复数z=-1+2i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数z在复平面上对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析因为复数z=-1+2i,共轭复数为-1-2i,则其对应的点为(-1,-2),该点在第三象限.故选C.答案C2.若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i解析z=2i1+i=2i(1-i)答案D3.设z=1-i1+i+2i,则|z|=A.0 B.12 C.1 D.解析z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1-i)(答案C4.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量OB对应的复数为()A.-2+i B.-2-iC.1+2i D.-1+2i解析复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量OB对应的复数为-2+i.故选A.答案A5.已知i是虚数单位,在复平面内,复数-2+i,1-3i对应的点分别为A,B,则A,B两点之间的距离为()A.5 B.10 C.5 D.25解析在复平面内,复数-2+i对应的点为A(-2,1),复数1-3i对应的点为B(1,-3),所以AB=(3,-4),即|AB|=32+(-4)2答案C6.已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1·z2为()A.12+32iC.12-32i解析z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos60°+isin60°=12+答案A7.设f(n)=1+i1-in+1-i1+in(n∈N),则f(n)可取的值有(A.1个 B.2个C.3个 D.无数个解析因为f(n)=1+i1-in+1-i1+in=in+(-i)n(f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2.故选C.答案C8.在如图所示的复平面内,复数z1,z2,z3对应的向量分别是OA,OB,OC,则复数zA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由题图知z1=3+2i,z2=-2+2i,z3=1-2i,则z32z1+3z2=1-2i10i=-15-1答案C二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)9.给出下列命题,其中是真命题的是()A.纯虚数z的共轭复数是-zB.若z1-z2=0,则z1=zC.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数D.若z1-z2=0,则z1与z2互为共轭复数解析根据共轭复数的定义,显然A是真命题;若z1-z2=0,则z1=z2,当z1,z2均为实数时,则有z1=z2,当z1,z2是虚数时,z1≠z2,所以B是假命若z1+z2∈R,则z1,z2可能均为实数,但不一定相等,或z1与z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题;若z1-z2=0,则z1=z2,所以z1与z2互为共轭复数,故D是真命题.故选AD答案AD10.已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则下列结论错误的是()A.|z|=3 B.z2≥0C.|z-z|=2 D.z·z=5解析|z|=12+22=5,故A不正确;z2=1+4i2+4i=-3+4i,不能和0比较大小,故B不正确;z=1-2i,|z-z|=4,故C不正确;z·z=(1+答案ABC11.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是()A.z在复平面内对应的点在第一象限B.|z|=2C.z的虚部是iD.z的实部是1解析实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,可化为x+y-2+(x-y)i=0,所以x+y-所以z=x+yi=1+i.z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限,故A正确.|z|=1+1=2,故Bz的虚部是1,故C错误.z的实部是1,故D正确.故选ABD.答案ABD12.已知集合M={m|m=in,n∈N+},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是()A.(1-i)(1+i) B.1C.1+i1-i D.(1解析根据题意,M={m|m=in,n∈N+}中,当n=4k(k∈N+)时,in=1;当n=4k+1(k∈N+)时,in=i;当n=4k+2(k∈N+)时,in=-1;当n=4k+3(k∈N+)时,in=-i,所以M={-1,1,i,-i}.(1-i)(1+i)=2∉M,A不符合题意;1-i1+i=(1-i1+i1-i=(1+i)(1-i)2=-2i∉M,D不符合题意.故选BC.答案BC三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.复数11+i的实部为.解析11+i=1-答案114.12+32i÷3(cos120°-isin300°)=解析12+32i÷3(cos120°-isin300=(cos60°+isin60°)÷3(cos120°+isin120°)=13[cos(60°-120°)+isin(60°-120°=13[cos(-60°)+isin(-60°=1312-32答案1615.已知复数z1=-2+i,z2=a+2i(i为虚数单位,a∈R).若z1·z2为实数,则a的值为;z1-z2=.

解析因为z1·z2=(-2+i)(a+2i)=(-2a-2)+(a-4)i为实数,所以a-4=0,解得a=4.则z1-z2=-2+i-(4+2i)=-2+i-4-2i=-6-i.答案4-6-i16.若|z-1|=|z+1|,则|z-1|的最小值为.

解析设z=a+bi(a,b∈R),则|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi|.所以(a即a=0,所以z=bi(b∈R),所以|z-1|min=|bi-1|min=(-1故当b=0时,|z-1|的最小值为1.答案1四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i(i为虚数单位),试求实数m分别取什么值时,z分别为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解(1)由m2+2m所以当m=-2时,z是实数.(2)由m2+2m+1>0,m2+3m所以当m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)时,z是虚数.(3)由题意得m即m2+3m+2≠0,m2+2m18.(12分)计算:(1+解原式=32=2=62-19.(12分)已知i是虚数单位,O为坐标原点,向量OA对应的复数为3+2i,将向量OA向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,将得到的向量记为O'A'(1)向量O'A(2)点O'对应的复数;(3)向量A'O解(1)如图所示,O为原点,点A的坐标为(3,2),向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度后,点O'的坐标为(-2,3),点A'的坐标为(1,5),坐标平移不改变OA的方向和模.(1)向量O'A'对应的复数为(2)点O'对应的复数为-2+3i;(3)向量A'O'对应的复数为-320.(12分)已知关于x的方程x2-ax+ab=0,其中a,b为实数.(1)设x=1-3i(i是虚数单位)是方程的根,求a,b的值;(2)证明:当ba>14,且a>0解(1)因为x=1-3i是方程的根,所以1+3i也是方程的根,由根与系数的关系得1-3i+1+3i=a,得(1-3i)(1+3i)=ab,解得a=2,b=2;(2)证明:因为ba>14,所以因为a>0,所以4a(4b-a)>0,即4ab-a2>0,所以Δ=a2-4ab<0,所以原方程无实数根.21.(12分)已知z是复数,z-3i为实数,z-5i2-i为纯虚数(1)求复数z;(2)求z1-解(1)设z=a+bi(a,b∈R),由z-3i=a+(b-3)i为实数,可得b=3,又由z-5i解得a=-1,即z=-1+3i;(2)z1-i=所以z1-i=|-2+i22.(12分)已知复数w满足w-4=(3-2w)i(