人教A版高一数学必修第二册期末复习资料

五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线.符号语言：关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.符号语言：关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。一、线线、线面和面面的位置关系两直线位置关系线面位置关系面面的位置关系二、有关平行的证明线∥线⑴线∥线线∥线（都是直线）⑵线∥面线∥线（相交平面）⑶面∥面线∥线（平行平面）⑷同垂直于一个平面线∥线（线面垂直）线∥面⑴线∥线线∥面⑵面∥面线∥面面∥面线∥面面∥面

三、有关垂直的证明线⊥线线⊥线线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面四、三种角的范围异面直线所成角直线与平面所成角二面角（理科用）五、三角形的四心六、平面几何中结论外心：中位线定理——中位线平行且等于底边的一半内心：线段对应成比例线线平行重心：两组对边平行或一组对边平行且相等的四边形为平行四边形垂心一组对边平行且不相等的四边形为梯形必修第二册常用29个结论1．三点共线的等价转化A，P，B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)2．向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．向量共线的充要条件的两种形式(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).7．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．8．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.9．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.10．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.11．|z|2＝|eq\x\to(z)|2＝z·eq\x\to(z).12．特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面为平),\s\do5(行四边形))eq\x(平行六面体)eq\o(→,\s\up7(侧棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(直平行六面体)eq\o(→,\s\up7(底面为),\s\do5(矩形))eq\x(长方体)eq\o(→,\s\up7(底面边),\s\do5(长相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(侧棱与底面),\s\do5(边长相等))eq\x(正方体)上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．13．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))“三不变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不改变，,与x轴，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))14．正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.15．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．16．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．17．三种平行关系的转化：线线平行eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))线面平行eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))面面性质定理平行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．18．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.19．直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．20．三种垂直关系的转化：线线垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))线面垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))面面垂直21．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．22．证明空间任意四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．23．简单随机抽样和分层抽样在抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样．24．利用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整各层容量，即先剔除各层中“多余”的个体．25．平均数的性质①若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，则ax1，ax2，…，axn的平均数为aeq\x\to(x)；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq\x\to(x)＋b.②若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这(M＋N)个数的平均数是eq\f(MX＋NY,M＋N).③若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别是eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，则x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数是eq\x\to(x)＋eq\x\to(y).26．方差的性质若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的第一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性．27．频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．28．巧用四个有关的结论(1)若x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．29．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．RJA必修第二册常见31个知识误区1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终点．2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．4．平面向量的基底中一定不含零向量．5．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的坐标是指向量的终点坐标减去起点坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．6．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．7．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．8．向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．9．两个虚数不能比较大小．10．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．11．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来，例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．12．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．13．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．14．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线即不平行，也不相交．15．在判断直线与平面的位置关系时最易忽视“线在平面内”．16．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．17．解题中注意符号语言的规范应用．18．证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件．19．两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．20．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．21．在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))①证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内(因为①式只表示eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共面)．22．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．23．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.24．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．25．易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为eq\f(频率,组距).26．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.27．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．28．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．29．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．30．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.31.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．第六章 平面向量设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；②向量的表示：2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b【6.2】平面向量的运算1、向量的加法（1）定义：求两个向量和的运算.（2）运算法则：向量求和的法则图示几何意义三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC（OC是▱OACB的对角线）就是向量a与b的和（3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.（5）一般地我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立.（6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法转化为加法）定义：我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量性质：①对于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算）定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.a－b＝a＋（－b），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.几何意义：a－b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）（1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.③由①可知，当λ＝0时，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a.（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb；特别地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb.（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.（4）共线向量定理：向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为0，（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量OA＝a，OB＝b，则∠aOb＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角.当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.如果a与b的夹角是π2，我们说a与b垂直，记作a⊥b（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0（4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（5）投影：如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下变换：过AB的起点a和终点b，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a（6）向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|（7）运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c（8）运算性质：类比多项式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量）条件：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论：对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2、平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.（2）坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对（x，y）叫做向量a的坐标.（3）坐标表示：a＝（x，y）.（4）特殊向量的坐标：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）.（5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆）设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝（x1－x2，y1－y2）重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝（x2－x1，y2－y1）（6）平面向量数乘运算的坐标表示设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（7）平面向量共线的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.（8）中点坐标公式：若P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点P的坐标为（x，y），则x=x1+x22y=y1（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝x2②两点间的距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝（x③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则θ【6.4】平面向量的应用1、平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.2、向量在物理中的应用举例（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量.3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推论（SAS、SSS、SSA）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：；；.在△ABC中，有，推论：（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径.符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（R为△ABC的外接圆的半径）（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；（5）三角形面积公式：．（6）相关术语①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.②方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图1所示）.③方位角的其他表示——方向角正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图2所示）.（7）解三角形应用题解题思路：基本步骤：运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.第七章 复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.（2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.（3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.（4）复数的分类①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：复数实数（②集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）（2）复数的几何意义①复数z＝a＋bi（a，b∈R）一一对应复平面内的点z（a，b）.②复数z＝a＋bi（a，b∈R）一一对应平面向量OZ.（3）复平面上的两点间的距离公式：（，）.（4）复数的模①定义：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值.②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.③公式：|z|＝|a＋bi|＝a2+b2（a，b如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝a－bi.（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。（7）解复数方程若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根.【7.2】复数的四则运算1、复数的加、减运算及其几何意义（1）复数的加法法则①运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数.②复数加法的几何意义：如图，复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ③加法运算律：对任意z1，z2，z3∈c，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.④复数加法的几何意义：两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i（2）复数的减法法则①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数.②复数减法的几何意义：如图，复数z1－z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2、复数的乘、除运算（1）复数的乘法运算①复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.②复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律 z1·z2＝z2·z1乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3结合律（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）（2）复数的除法运算设z1＝a＋bi，,z2＝c＋di（c＋di≠0）），则z复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi.3、几个重要的结论①②③若为虚数，则4、运算律① ② ③5、关于虚数单位i的一些固定结论：①②③④【7.3】复数的三角表示1、复数的三角表示式（1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.（2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.2、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].（2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.r第八章 立体几何初步【8.1】基本立体图形1、多面体（1）空间几何体（我们研究空间几何体就是研究其形状和大小）空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴（2）多面体多面体定义图形及表示相关概念特殊情形棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多边形的直棱柱棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥记作：棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点（3）圆柱、圆锥、圆台、球旋转体结构特征图形表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O′O圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台圆台也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O′O球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径球常用表示球心的字母来表示，左图可表示为球O（4）棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体.（5）简单组合体（“接”和“截”简单几何体就可得到组合体）①定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.②简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.【8.2】空间几何体的直观图1、用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤2、斜二测画法的步骤：①平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；②平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变3、原图与直观图的关系：S直=S原；S原=S直【8.3】简单几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积（1）棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和（2）圆柱的表面积 （3）圆锥的表面积（4）圆台的表面积 （5）球的表面积2、空间几何体的体积（1）柱体的体积 （2）锥体的体积（3）台体的体积 （4）球体的体积3、球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长（a）.（3）球与正四面体的组合体：棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球的半径为.【8.4】空间点、直线、平面之间的位置关系1、平面（1）含义：平面是无限延展的DCBAα（DCBAα①平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长（如图）②平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。2、点、直线、平面之间的基本位置的符号表示文字语言 符号语言点A在直线l上 A∈l点A在直线l外 A∉l点A在平面α内 A∈α点A在平面α外 A∉α直线l在平面α内 l⊂α直线l在平面α外 l⊄α平面α，β相交于l α∩β＝l3、三个基本事实：（1）基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。基本事实1作用：确定一个平面的依据。（2）基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号表示为：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α=>l⊂α基本事实2作用：判断直线是否在平面内（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=l，且P∈l基本事实3作用：判定两个平面是否相交的依据4、基本事实1和基本事实2的三个推论（1）经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面符号表示为：A∉l=>存在唯一的α，使A∈α，l⊂α（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面符号表示为：l∩m=A=>存在唯一的α，使l⊂α，m⊂α（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面符号表示为：l∥m=>存在唯一的α，使l⊂α，m⊂α5、空间中直线与直线之间的位置关系空间的两条直线有如下三种关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点6、空间中直线与平面的位置关系直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a⊄α来表示a⊂α a∩α=A a∥α7、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面有三种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——无数个公共点（在同一直线上）α//β α∩β=aABCD【8.5ABCD1、直线与直线平行（1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：a∥b，c∥b=>a∥c强调：基本事实4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。基本事实4作用：判断空间两条直线平行的依据。（2）空间四边形：顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形。（3）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号表示为：OA∥O’A’，OB∥O’B’且同向=>∠AOB=∠A’O’B’等角定理作用：判定与证明两个角相等。2、直线与平面平行（1）直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a⊄α，b⊂β，a∥b=>a∥α（2）直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β=b=>a∥b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。3、平面与平面平行（1）两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。简记为：线面平行则面面平行。符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a∥α，b∥α=>β∥α证明方法：反证法（2）两个平面平行的判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b=P，a’⊂α，b’⊂α，a’∩b’=P’，a∥α，b∥α=>β∥α（3）平面与平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为：面面平行则线线平行。符号表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b=>a∥b（4）两平面平行的相关性质①若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行（β∥α，a⊂α=>a∥β）②夹在两个平行平面间的两条平行线段相等③平行平面具有传递性及平行于同一平面的两个平面平行（β∥α，β∥γ=>α∥γ）④两条直线被三个平行平面所截截得的对应线段成比例4、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。【8.6】空间直线、平面垂直1、异面直线所成的角①两条异面直线所成的角θ∈（0，π2②当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；l④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。l2、直线与平面垂直αP（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。αP符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a=>l⊥α（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α3、直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角。当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。当直线与平面平行或在平面内时，规定这条直线与该平面成0°角。（2）范围：斜线与平面所成的角θ的范围是0≤θ≤90°（3）求法：作出斜线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。4、直线与平面垂直的性质定理：（1）直线与平面垂直的性质定理1：垂直于平面的直线与平面内任意一条直线垂直。简记为：线面垂直则线线垂直。符号表示：l⊥α，b⊂α=>l⊥b（2）直线与平面垂直的性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行。简记为：线面垂直则线线平行。作用：作平行线。符号表示：a⊥α，b⊥α=>a//b5、点面距、线面距、面面距（1）点面距：过一点做垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离点面距AO范围：AO≥0（2）线面距：一条直线与一个平面平行直线条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离当直线l与平面α相交或l⊂α时，直线l到平面α的距离为O（3）面面距：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等我们把它叫做这两个平行平面间的距离当平面β与平面α相交时，平面β到平面α的距离为O6、平面与平面垂直（1）二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形二面角的记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.（2）平面与平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。符号表示：α⊥β（3）两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简记为：线面垂直则面面垂直。符号表示：AB⊥β，AB⊂α=>α⊥β（4）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。简记为：面面垂直则线面垂直。作用：作平面的垂线。符号表示：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l=>α⊥β第九章 统计【9.1】随机抽样1、在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，把总体中个体的总数叫做总体容量．总体中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．其中个体的个数称为样本容量．2、简单随机抽样：也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。3、简单随机抽样常用的方法：在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。（1）抽签法的一般步骤：将总体的个体编号；连续抽签获取样本号码．适用于：总体中个体数相对较少特点：每个样本单位被抽中的可能性相同（等可能性）；总体中个体数有限（有限性）；从主体中逐个抽取（逐一性）（2）随机数表法的步骤：将总体的个体编号；在随机数表中选择开始数字；读数获取样本号码．适用于：总体中个体数相对较多4、总体平均数与样本平均数（1）总体平均数（总体均值）：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，···，YN，则称Y（2）加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，···，Yk，其中Yi出现的频数fi（i=1，2，···，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y（3）样本平均数（样本均值）：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，他们的变量值分别为y1，y2，···，yn，则称y5、分层抽样（1）分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。抽样比＝（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准：①调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量②保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量③有明显分层区分的变量（3）分层的比例问题：①按比例分层抽样②不按比例分层抽样（4）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，···，XM表示第1层各个个体的变量值，用X1，X2，···，Xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，···，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，···，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：第1层的总体平均数和样本平均数分别为X第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y总体平均数和样本平均数分别为W在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数ω估计总体平均数W，即W6、获取数据的基本途径获取数据的基本途径适用类型注意问题通过调查获取数据对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效地避免抽样过程中的人为错误通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量通过观察获取数据自然现象借助专业测量设备通过长久的持续观察获取数据通过查询获得数据众多专家研究过，其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据去伪存真【9.2】用样本估计总体1、画频率分布直方图的步骤（画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，而不是频率）（1）求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.（2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.（3）将数据分组.（4）列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.（5）画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距.小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率.各小长方形的面积和等于2、其他统计图表扇形图直观描述各类数据占总数的比例条形图和直方图直观描述不同类别或分组数据的频数和频率折线图描述数据随时间的变化趋势3、第p百分位数（1）定义：（第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的特例，百分位数是中位数的推广）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值.（2）计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据第2步，计算i＝n×p%第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数（3）四分位数：25%，50%，75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数4、总体集中趋势的估计（1）众数、中位数和平均数的定义①众数：一组数据中出现次数最多的数②中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数③平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数（2）众数、中位数和平均数的比较名称优点缺点众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感中位数不受少数几个极端数据（即排序靠前或靠后的数据）的影响对极端值不敏感平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大5、总体离散程度的估计（1）一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则数据x1，x2，…，xn的方差为1标准差为1（2）总体方差和标准差如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为Y，则称S为总体方差，S＝S2如果总体中所有个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，总体的平均数为y，则称S为总体方