中考数学一轮复习课件圆的性质

圆的性质

圆的有关概念及其性质1.圆的概念（1）圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图

形.这个定点叫做

，定长叫做

，以点O为圆心

的圆，记作“☉O”，读作“圆O”.圆心

半径

（2）平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做

圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线叫做半径.（3）确定圆的条件：①圆心决定圆的位置，②半径决定圆的

大小.2.圆的有关概念（1）连接圆上任意两点的

叫做弦.经过圆心的弦叫

做

，直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径.如图，

线段BC，AC是☉O的弦，其中BC是直径.线段

直径

优弧

半圆

劣弧

重合

（3）半径相等的两个圆是等圆.（4）圆心到弦的距离叫做弦心距.如图，线段OD为弦心距.（5）组成弓形的弧的中点到这条弧所对的弦的垂线段叫做弓

高.如图，线段DE为弓高.3.圆的对称性（1）圆是轴对称图形，任意一条

⁠都是圆的

对称轴；圆的对称轴有无数条.（2）圆是以

为对称中心的中心对称图形.注意点圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意角度，都能和原

来的图形重合.直径所在直线

圆心

垂径定理及推论1.垂径定理：垂直于弦的直径

⁠这条弦，并且平分弦所对

的两条弧.2.推论：平分弦（

）的直径垂直于弦，并且平

分弦所对的两条弧；平分

不是直径

3.其他常见推论：（1）弦的垂直平分线经过

⁠，并且平

分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦

所对的另一条弧；（3）圆的两条平行弦所夹的弧

⁠.圆心

相等

注意点（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直

于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题

过程中的灵活运用.如图，①CE是直径，②CE⊥AB于D，③AD

＝BD，④弧AC＝弧BC，⑤弧AE＝弧BE，“知二推三”.注意点（2）利用垂径定理，通常添加辅助线构造直角三角形进行解

题，常见的辅助线有：①连接半径；②过圆心作弦的垂线；③连接弧的中点与圆心.（3）在半径、弦长、弦心距和弓高四个量中，已知其中两个量

可求另外两个量.

弧、弦、圆心角之间的关系1.圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角.如图，∠AOB为☉O的

圆心角.2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

⁠，所

对的弦也相等.相等

3.推论：同圆或等圆中，（1）两个圆心角相等；（2）两条弧

（对应的优弧或劣弧）相等；（3）两条弦相等.三项中有一项

成立，则其余对应的两项也成立.如图，①∠AOB＝∠COD，

②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.注意点①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距

这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.

圆周角的概念与性质1.圆周角顶点在

上，角的两边都与圆

⁠的角叫做圆周

角.如图，∠ACB，∠ADB，∠AEB均为☉O的圆周角.圆周

相交

圆心角

相等

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是

，90°的圆周角

所对的弦是

.如图，若BE是☉O的直径，那么∠EAB＝

90°.直角

直径

4.圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角

，如图，∠A＋∠BCD

＝

，∠B＋∠D＝180°.互补

180°

（2）圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的

⁠

，如图，∠DCE＝∠A.内对

角

注意点（1）圆中一条弦所对的圆心角有一个，它所对的圆周角有

两个，这两个圆周角互补.（2）利用圆周角定理以及圆内接四边形性质，常见的辅助

线有：①连接半径，转换圆心角与圆周角；②连接弦，利用同弧或等弧转换圆周角；③当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角；④连接弦，构成圆内接四边形，转化角度.

辅助圆模型特征图形定义圆利用圆的定义添补辅助

圆，如图，若AB＝AC，则

可以A为圆心，AB长为半

径作圆

模型特征图形四点共圆①共斜边的两个直角三角形的四

个顶点共圆，圆心为斜边中点，

如图

②共边三角形且边所对角相等的

四个顶点共圆，如图

模型特征图形四点共圆③对角互补四边形的四个顶

点共圆，如图

模型特征图形定弦对定角在☉O中，AB的长度为定值（即定弦），C为动点，且∠C为定值，根

据正弦定理＝2R，可知☉O的半

径R确定可求

特殊地，当∠C＝90°时，定线段AB

是直径

类型一

垂径定理及其推论1.如图，AB是☉O的弦，AB长为8，P是☉O上一个动点（不与

A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD

的长为

⁠.第1题图4

2.（2023·广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的

中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为

37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（B）A.20mB.28mC.35mD.40m第2题图B

A.B.3C.3D.4第3题图D4.如图，AB为☉O的弦，点C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥O

C交☉O于点D，则CD的长为（C）A.B.3C.2D.3第4题图C类型二

弧、弦、圆心角的关系

第5题图75°

6.已知：如图，C，D是以AB为直径的☉O上的两点，且OD∥BC，求证：AD＝DC.第6题图证明：连接OC，如图，∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.7.如图，弦AB＝CD，AB与CD相交于点E，求证：

第7题图

类型三

圆周角定理及圆内接四边形性质8.（2023·吉林）如图，AB，AC是☉O的弦，OB，OC是☉O的半

径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若

∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（D）A.70°B.105°C.125°D.155°第8题图D9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，

AD＝2，AC＝4，则☉O的半径为（D）A.2B.3C.2D.第9题图D

A.40°B.50°C.60°D.70°第10题图A

A.先增大后减小B.先减小后增大C.保持不变D.一直减小第11题图C12.如图，△ABC内接于☉O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，

CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为

⁠.第12题图

13.已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O分别交AC于

D，BC于E，连接ED.（1）求证：ED＝EC；解：（1）证明：∵∠EDC＋∠EDA＝180°、∠B

＋∠EDA＝180°，∴∠B＝∠EDC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC；第13题图

解：（2）连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，又∵AB＝AC，∴BC＝2EC＝4，∵∠B＝∠EDC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△EDC，∴AB∶EC＝BC∶CD，第13题图

类型四

辅助圆及圆的对称性14.如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A＝

35°，则∠D等于（D）A.50°B.65°C.55°D.70°第14题图D15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边

AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线

EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是

（B）A.1.5B.1.2C.2.4D.以上都不对第15题图B16.（2023·菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为

⁠.第16题图

－2

17.如图，已知边长为5的正方形ABCD的中心为O，点P为正方形

内的一点，且∠OPC＝45°，PB∶PC＝3∶4，则PC的长

为

⁠.第17题图4

第18题图

第19题图8

20.如图，分别以A