南华大核反应堆物理讲义

南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材第一章核反应堆的核物理基础在热中子反应堆内，瞬发中子的平均寿期约为10−3至10−4秒，它比自由中子的半衰期短得有时表现为中子波与核的相互作用。中子的波长λ为λ=米（1－1）在实际计算中，一般用中子折算波长λ为：λ=λ=4.55×10−12米（1－2）2πE4.55×10−11米，也和原子的直径相当，但比起平均自由程或宏观尺寸要小许多个数量级。反应堆物理分析中通常按中子能量把它们分为i）快中子（0.1兆电子伏以上ii）超通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材所谓直接相互作用是指：入射中子直接与靶核内的某个核子碰撞（n,p）反应。如果从靶核里发射出来的核子是中子，而靶核发射γ射线，同时由激发态返复合核的形成是最重要的中子与原子核的相互作靶核X吸收形成一个新核――复合核AX。中子和靶核两者在质心坐标系的总动能E。这里号表示复合核处于激发态。激发态的复合核衰变或分解有多种方式。由于激发的能量是统计地n)反应。如果放出中子后，余核X仍处于激发态，然后通过发射γ射线返回基态就称这个获γ射线而衰变，称这个过程为辐射俘获，简称（n,γ)反应。复合核还可以通过分裂成两个较轻的核的方式而衰变，称这一过程为核裂变，简称(n，f)反应。当入射中子的能量具有某些特定值恰好使形成的复合核激发态接近于一个量子能级适用于核在激发态的自发衰变。这个常数称为衰变常数λ。但是，在讨论激发态的衰变时，通常用一个能级宽度Γ的新量来表示衰变常数λ和描述处于激发态的核的衰变，能级宽度Γ的定义为：Γ=hλ电子伏（1－3）通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材 因为一个复合核常常能通过几个方式发生衰变，就是说，可能放出中子、质子或γ射度来表示。例如，发射γ射线的分宽度Γr通常叫做辐射宽度，它表示单位时间内复合核发射γ射线而衰变的几率，Γn叫做中子宽度，它表示单位时间内复合核散射出中子而衰变的度Γ有γnXγnXx如，以放出中子的方式衰变的相对几率便等于ΓnΓ,等散射是使中子慢化的主要核反应过程。它有非弹性散射和弹AXn(AX)*(AX)*AXn(AX)*(AX)*1n在这个过程中，入射中子的一部分（通常为绝大部分）动能通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材核4.437.656.066.1423Na0.452.027Al0.8456Fe0.842.1X+n→(AX)*→X+nX+n→X+n收反应包括有（n,γ),(n,f),(n,α)和(n,p)等四种类型反应。（1）辐射俘获（n,γ)辐射俘获是最常见的吸收反应。它的一般反X+n→(A1X)*→A1X+γ（1－9）生成的核A1X是靶核的同位素，往往具有放射性。吸收反应可以在中子的所有能区发生。但低能中子与中等质量核、重核作用易于发生这种反应。在堆内重要通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材 β-→β−→2U2Np2Pu23分2.3天2Th2Th+γ β−→β−→233Th233Pa233U9022分9127天92H+n→H+γ（1－12）（n,α)反应一般式为X+n→(AX)*→Y+He例如，热中子与硼－10引起的（n,α)反应为1O通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材式中1X,X为中等质量数的核，叫做裂变碎片；ν为每次裂变平均放出的中子数。射俘获反应，如在核反应堆物理分析中通常按中子能量大小把中子分成热中(n,n)(n,n)(n,p)(n,n)(n,p)(n,α)(n,n)(n,γ)(n,n)(n,n)(n,n')(n,p)(n,α)*(n,γ)*(n,n)(n,n)(n,n')(n,p)(n,γ)+取自E.Segre,NucleiandParticles,1977.通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材现在我们来定量地讨论中子与原子的相互作2.1微观截面-2）。如果未放靶时测得的中子束强度是I，放靶后测得的中子束强度是I’，那么I’-I=∆I就等于与靶核发生作用的中子数。因为中子一旦与靶核发生作用（不论是散射还明：在靶面积不变的情况下，∆I正比于中子束强度I、靶厚度∆x和靶的核密度N0即IN∆xN∆x位，1靶等于10−28米2，后面的截面符号带有下角标s、e、in、γ、f、a和t者，分别表σ=σ+aγfn,α,（1－21）aγfn,α,（1－21）σ=σ+σ式中σn,α表示(n,α)反应的微观截面。微观截面由实验测得或理论算出。在文献[7]中给出各种元素对不同能量中子的各种核2.2宏观截面、平均自由程2.2.1宏观截面通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材I(x)=I0e−Nαx,（1－23）式中I0为入射平行中子束的强度，即靶表面上的中子束强度；I(x)为靶厚度x处未经由此可见，未与靶核发生作用的平行中子束强度随进入靶内的深度增加按指数规律衰减（见图1－3衰减速度与核密度和微观截面的乘积Nσ有关Nσ这个量经常出现在反应把Σ叫做宏观截面，它是单位体积内所有靶核的微观截面的总和，它是表征一个中可以看出，它也是一个中子穿行单位距离与核发生相互作用的几率大小的一种度量。宏观截面的单位是米－1。对应于不同的核反应过程有不同的宏观截面，所用的角标符号与N=原子数米3系统内中子的产生率新生一代中子数系统内中子的总消失（吸收+泄漏）率直属一代中子数式中，N0――阿伏加德罗常数，N0＝6.022045×1023原子数摩尔ρ――材料的密度，公斤/米3；A――该元素的原子量。对于由几种元素组成的均匀混合物质或化合物，宏观截面Σ=Niσi式中，σi为第i种元素的某种核反应的微观截面；Ni表示每立方米介质中第i种元素核的数目。对于混合物，设混合物平均密度为ρ,第i种元素在混合物中所占的重量百Ni通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001种元素的原子数目为νi,则(1-27)式中的Ni为Ni=νi103原子数米3(1-29)对于由几种元素和化合物组成的均匀混合介质，其中包含若干种不同的核素，其宏观Ni=νi103原子数米3(1-30)式中，ρ为介质的密度（公斤/米3ωi为含有i种原子核的元素或分子在该介质中个分子中含i种元素的原子数目。体积内水的分子数NH2O和氧的原子核数NO为NH2O=NO=×106=3.343×1028分子米3由于一个水分子中包含有两个氢原子，所以，单位体积内氢原子核数NH为NH＝2NH2O=2×3.343×1028=6.686×1028原子米3所以水的宏观吸收截面Σa,H2O为Σa,H2O=Σa,H+Σa,O=NHσa,H+NOσa,O=2.22米－1靶。确定UO2的宏观吸收截面。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001c5−1N5＝c5NUO2=0.0706×1028原子米3N85NO=2NUO2=4.65×1028原子米328−28)+-28−4=54.16米-12.2.2平均自由程Σxdx（1－32）通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001-ΣxΣdx=1如把中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作用之间穿行的平均距离叫做平均自由程，并用λ表示，那么有λs=1Σs、吸收平均自由程λa=1Σa等等。可以证明λt=1Σt，且有如上面例题1中，水的平均吸收自由程λa,H2O为2.3.1核反应率单位体积内的中子数叫做中子密度，用n表示。在核反应堆内，中子密度一般在过程。在反应堆物理分析中，常用核反应率来定量地描述这种相互作用过程的统在核反应堆内，中子的运动方向是杂乱无章的。设中子以同一速率ν（或者说具有相同的动能）在介质内杂乱无章地运动，介质的宏观截面为Σ,平均自由程为λ,λ=1Σ。此时，一个中子与介质原子核在单位时间内发生作用的统计平均次数为νλ=νΣ。因而每秒每单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数（统计平均率Ra=nvΣa，裂变反应率Rf=nvΣf，等等。对于由多种元素组成的均匀混合的物质，反应率应为中子与各种元素核相互作用的反通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：4210012R=nv1+nvΣ2nvi=Σnvii=1+…i=Niσi，为混合中第i种元素的宏观截面；Ni是单位体积混合物内第i2.3.2中子能量密度度水平。在目前的热中子动力堆内，热中子通量密度的数量级一般约为应该指出，尽管中子通量密度与前述的平行中子束的强度具有相同单位，但它们的物2.3.4平均截面n=nn=n根据中子通量密度的定义，总的中子通量密度φ应为通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ϕ=ϕ= v==v==则 为了以后计算方便，引入平均截面的概念。若用Σ表示平均宏观截面，并令平均宏Σϕ（1－47）ϕϕ(E)dEϕϕ(E)dE可以看出1－47）式意味着，在保持核反应率相等这一点上，Σϕ与（1－46）式2.4截面随中子能量的变化核截面的数值决定于入射中子的能量和靶核的性质。对许多元素，考察其反应截面随通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材2.4.1微观吸收截面a＝常数。所以，对吸收截面σ(0.0253)，那么，对能量为E时的中子，其微观吸收aaEσi(EiaaEav(E)av(E)表查得。重核和中等质量核在低能区有共振吸收现象发生，其吸收截面偏离1v律，例如，对于多数轻核，在中子能量从热能一直到几千电子伏甚至兆电子伏的能区，其吸收截面仍都近似地遵守1v律。2.在中能区，对于重核，如铀－238核，在某些物定能量附近的小间隔内σ对于轻核，由于激发态的能量比重核高，所以轻核在中能区一般不出现共振峰。要在共振吸收在反应堆的核计算中具有重要的意义，因此在下一小节中我们将场专门的予3.在高能区，对于重核，随着中子能量的增加，共振峰间距变小，共振峰开始重叠，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材2.4.2微观散射截面大的核，阈能愈低。当中子能量小于阈能时，σin为零；而当中子能量大于阈能时，σin随σσ2.4.3微观裂变截面σf的吸收截面的变化规律类似，也可分三个能区来讨论σf＝583.5成铀－236。辐射俘获截面与裂变截面之比通常用α表示：σγα=fσf通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材与反应堆分析中常用到另一个量，就是燃料核每吸收一个中子后平均放出的中子数，称为有效裂变中子数，用η表示。对于易裂变同位素，如铀－235，2.5核数据库核数据，特别是核截面数据的选择和处理，是反应堆核计算的出发点和重要依据。为是非常重要的，它是取得正确计算结果的重由于核计算中要涉及到大量的同位素，以及在各个能量区域内中子截面反应中放出的中子、质子、γ射线和α粒子等的能量和角分布等等。通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材能区的截面曲线上均可见到这种共振吸收现象。对于轻核一般要在比较高的能区（一般要在距就越小，因此在低能区的共振峰是一个个的孤立峰。随着中子能量的增加，共振峰开始重叠，慢慢变的不可分辨。最后σ(a)(E)曲线变成平缓的曲线了。当从实验上测量中子截面变化时，受到实验仪器能量分辨率的限制，只能测量到共振能区低能段的一些共振峰的共振参根据发生核反应的类型，有俘获共振、散射共振、裂变面的变化特性。这些参数是：共振能E0，峰值截面σmax(E0)[或σ0(E0)]和能级宽度Г。能级宽度Г在数值上等于在共振截面曲线上，当σ=σmax(E0)/2时所对应的能量宽度（图Br,eVГa,eVГ,eV6.6821.036.880.83.1共振截面—单能级布勒特-魏格纳公式通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材 Γ xσX(E)Γ xΓΓxΓ=ΓnΓxE0EΓ222σ0=σx(E0)=4πλ20gΓnΓ其中，Γ、Γn、Γx分别为总宽度、中子宽度、X分宽度，实际上最重要的是辐射俘获共振和裂变共振，此时Γx分别为Γr和Γf；对于辐射俘获共振，σr（E）为ΓrE0Γ2σr0ΓE4(E−En)ΓrE0Γ2在吸收共振为主的情况下，此时Γn≤Γr，于是σa(E)近似为E0Eσa(E)≈σE0E2 Γ2截面σs（E）为上式右边第一项为共振散射项，第三项为势散射项，即为共振散射和势散射过程产生的中通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材在推导（1-55）式时，中子与原子核相然而这是不严格的。实际上，原子核由于具有热能而处于不停的热运动中，同时式中的能量E严格地讲应由中子与核的相对运动速度或相对能量Er确定。如中子的能量。因而由于靶核的热运动，对于本来具有单一能量E0的中子将使共振峰的宽度展宽而共振峰的峰值降低。这种现象称为多普勒效而增大。因此，共振峰的展宽随温度的上升而加大，同时伴随着峰值高度的进一步降低。考虑到靶核的热运动后，实际上测到的中子截面乃是中子与处于热运动的靶核相互作在反应堆计算中，通常假设靶核的动能(或速度)服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布。基于这σx(E,T)=σ0ψ(ζ,X)(1-59)其中，ψ(ζ,X)的定义如下：ψ(ζ,X)=2π∞ψ(ζ,X)=2π∞0)c0)ζ=4kTEA ,A4kTE0,A∆叫多普勒宽度。ψ(ζ,X)叫多普勒函数，σx(E,T)与温度的关系就包含在ψ(ζ,X)函数通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材内。多靶已制成表(见附录6)。可见，在反应堆计算进必须考虑多普勒效应，应采用(1-59)式而不是采用(1-52)式。从图中曲线可以看出，考虑靶核热运动后，共振峰值降低，共振宽度变宽。对(1-59)进行积分便可求出截面曲线下面积。由于共振峰附近截面急剧下降，对积分起主要贡献的有0r0r2σs(E,.T)=ψ(ζ,x)+σ0χ(ζ,x)+σp式中χ(ζ,x)定义如下：4.1裂变能量的释放、反应堆功率和中子通量密度的关系4.1.1裂变能量的释放为热能。裂变中子动能大部分都在堆内被各种材料减速和吸收转换为热能。β射线只能在通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材而发生（n,γ)反应，这要释放出3至12兆电子伏的能量，能。故通常把（n,γ)反应的γ射线能量也归入裂变能量。可利用的裂变能量中大约95瞬发γ能量7裂变产物γ衰变-缓发γ能量7裂变产物β衰变-缓发β能量8迟是不同的。平均每次裂变的衰变功率Pd（每秒释放的能量）与延迟时间的关系为−1.2兆电子伏τ秒时刻裂变产物β射线和γ射线释放的总功率为Pd(Pτ停堆后，由于裂变产物的β和γ衰变仍会产生衰变热，而且持续时间较长（通常在停需进行冷却和屏蔽。这种衰变热的导出是反应堆安全研究4.1.2核反应堆的功率与中子通量密度的关系假如取铀-235核每次裂变释放出的可利用的能量为200兆电（1-70）若用Rf表示堆内裂变反应率，Rf=Σfφ,因而堆芯内任一点r的功率密度或通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材fΣfφ(r)=瓦米3（1-71）式中，Σf为堆芯的宏观裂变截面；φ(r)为堆芯内 φ=3.12x1010P中子米2.秒VΣf率为Fr=3.12x1010P，F=Faff10P FA aN0x1034.2裂变产物与裂变中子的发射4.2.1裂变产物通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材几乎在所有的情况下，这些裂变碎片都具有过大的中子－质子列β衰变，将过剩中子转变为质子才成为稳定核。裂变碎片和它的变产物都叫裂变产物。贮存都带来一系列特殊的困难和问题。这也是在利用裂变能时必须考虑的重要问题。4.2.2裂变中子v235v239χ(E)=0.453e−1.036Esh实际上不同裂变同位素的裂变谱χ(E)是不同的，但差别不大。因此，在近似计算时可以认为产生发射中子的子核氪-87，通常叫做缓发中子先驱核组半衰期Ti秒产额1)βi平均寿期2)li秒1通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001236.008.6642.233.22561)缓发中子在裂变中子中所占的份额用β表示，对铀－235核的热裂变，有表中，ßi为第i组缓发中子在全部裂变中缓发中子的能谱不同于瞬发中子的能谱，缓发中子的平均能量要比瞬发中子的低（见表N(v)=4π32v2e−mv2/2kT(1-81)N(E)=e−EkTEv01/2通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材00kT=4.3×10−5TkTkT2T1/2米/秒(1-86)0v=mmm（1）在反应堆中，所有的热中子都是从较高的能量慢化出来，尔有麦克斯韦谱的分布形式[见（1-82）式]，只不过热中子最可几能量Eo=kTn/2、平均能量为TTMεΣs通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材式中，εΣs为介质或栅格的慢化能力（详见第三章1.2节它是表征介质对中子慢化的TnMTnM2AΣa(kTM)ΣsΣs为介质的超热中子宏观散射截面。 σ(E)N(E)vdEσ(E)N(E)dEN(E)vdEN(E)EdE 通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材T T aσ为an σa=gann例题3已知铀-水栅格的宏观吸收截面Σa(kTM)为7.19米- 核按麦克斯韦谱平均的热中子吸收截面σa。Σa(kTM)]|nM|LεΣs「7.19]nn通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材 变反应的装置。它能够以一定的速率将蕴藏在原子核内部的核能沧海横流掉的中子数，则链式裂变反应会自续地进给定系统，新生一代的中子数和产生它的直属上上式的定义是直观地从中子的“寿命-循环”观点出发的。然而，该式在实用上是不太显然，有效增殖系数与系统的材料成分和结构(例如，易裂变同位素的富集度，燃料-慢化剂的比例等)有关。同时，它还与中子的泄漏程度。或反应的大小有关。当反应堆的尺通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材系统内中子的产生率k∞=系统内中子的吸收率率为Pl，它的定义是Pl=系统内中子子的泄漏率根据心目的讨论，立即可以选出反应堆维持自续链式裂变反(1-101)式称为反应堆的临界条件。可以看出，要使反应堆维持临界称为临界大小，在临界情况下反应堆所装载的燃料数量叫做临6.2热中子反应堆内的中子循环(2)燃料吸收热中子引起的裂变；(3)慢化剂以及结构材料等物质的辐射俘获；(4)慢化过程中的共振吸收；(I)慢化过程中的泄漏：(II)热中子扩散过程中的泄漏。反应堆内中子数目的变化取决于上述五种过程竞争的结果。其中前两个过程将使反应通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材(2)有效裂变中子数它的定义是：燃料每吸收一个热中子所产生平ΣfΣa，若设每次裂变所产生的平均裂ΣfΣfη=vΣf,Σa分别为燃料的热中子宏观吸收截面和宏观裂变截面，为铀-235(3)热中子利用系数它表示被燃料吸收的热中子数占被芯部中所有物质(包括燃料在内)燃料吸收的热中子数被吸收的热中子总数f=被吸收的热中子总数Σa,faa,fa,Ma,ca,s式中，和分别为燃料、慢化剂、冷却剂和结构材料的热中(5)不泄漏几率这是中子在慢化过程和热中子在扩散过程中不泄漏几率的乘积。=lsd=lsd所以只有nεpfηPsPd个中子能够逃脱共振吸收而慢化成热中子。如果考虑到中子的泄漏损失，那么，实际上被吸收的热中子数目将只通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ll由(1-106)式可以看出k∞=εpfη(1-107)式称为四因子公式。上面对热中子反应堆内中子平衡的分析殖系数数值，它对堆芯燃料管理的计算有着关于上述各个参量的计算和讨论将在下面各通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材和运动方向Ω的函数，即中子密度的分布可以用函数n(r,v,Ω)――中子角密度来表示。我们的任务是要求出反应堆内中子密度的分布。自然可以想到，情况下，才能求出其解析解。关于输运方程的有关理论，将留待下册中详细讨但是，如果中子通量密度的角分布是接近于各向同性的（例如在大无关，这样可以不考虑运动方向这个变量而只讨论标量中子通量密度φ(r,v)的分布就可以模型。然后在第三章将讨论多能中子的扩散－年龄近似。和多群扩中子扩散方程是研究中子在研究中子在介质内运动以及反应堆理论的重要工具和基1.单速中子扩散方程通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材便和物理概念的清晰起见，下面我们仍从中子扩散的物理过程考虑如图2－2所示的坐标系，x-y平面上有一小面积dA并设处有一体积元向散射的中子，实际能到达dA的几率为eΣtr，其中，Σt是介质的宏观总截面，Σt=Σa+Σs。由于假设介质为弱吸收介质，即Σa<<Σs，因而Σt可以近似用ssΣsφ(r)e−ΣsrdVdV=r2sinθdrdθdψ,因此通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材JdA=πφ(r)e−Σsrcosθsinθdrdθdϕ（2－4）数展开。设对应于r处的直角坐标为（x,y,z）,则有+y0式中各项的下角标“0”表示取它们在原点A处的数值。把x,y,z用x=rsinθcosϕ)ysϕ（2－6）〈)rcosθsinθcosθdrdθdϕ0（2－7）π/2到π,经过计算可以得到z46Σs(∂Z)J+z46Σs(∂Z)同样，可以求出沿x方向穿过y-z平面上面积元的净中子流密度为通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材α,β和γ角度，那么单位时间穿过这一单位面积的净中子数J便等于三个分量之和J=−cosα+cosβ+cosγ（2－12）在满足前面假设的条件下，这个方程在介质任意点都是J=J•n（2－13）J=Jxi+Jyj+Jzk=−gradφ（2－15）矢量J称为中子流密度，Jx,Jy和Jz便是它在x,y和z轴上的投影。平均自由程λs。这样斐克定律可以写成心下形式通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材其中，λtr为输运平均自由程，它等于（见第九章）核，µ0首选计算中子的泄漏率。如图2－4所示，设在某一点（x,y,z）处有一个小体积元(Ja+dz−Jz)dxdy=dzdxdy=dVz+dz+DzdxdydV或−DdV通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材V2V2=22+和dV或−DdVL=++=divJ（2－22）=−divDgradφL=−D++=−D∇2φ（2－24）V2=22+22+22V2222r22球坐标系V2=++sin+A=aφ3设每秒每单位体积内产生的中子数为S(r,t)(中子/秒•米3因此(2-21)式便可写成2φaφ2φaφ通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材扩散方程（2－28）式是一个微分方程，它适用于普遍情况，在它的普遍解中将包含xxxx和xxcJ−A=J−xxcφAx46dxJ−x46dxx=0这个条件可以写成更方便的形式。如果我们从交界面处将中子通量通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材dd2λtrx=0φ3φ=即的情况，可以求得d=0.7104λt最后必须强调指出，这个边界条件仅仅是为了简化扩散方程的首选，我们假定了扩散介质是无限的，这样2－4）式是对整个空间积分。但是，J−J+其次，我们在推导中把中子通量密度展成泰勒级数并只取到一阶项（实际上，保留二阶项，其结果也是一样的，因为二阶项在积分中或是等于零，或者在通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材a<<2.非增殖介质内中子扩散方程的解2φ−Σaφ+S=0（2－35）2φ−k2φ=0（2－36）2φ−=0（2－37）L=L==k2a-1中列出了在一些经常遇到的简单几何情况下波动方程的普遍解。下面我们讨论几种特殊情况下扩散方程的解，它将帮助我们掌握扩散方程的求解和边界条件的应注：分别是第一类和第二类零阶贝塞尔函数；分别是第一类和第二通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材球，小球的表面积为4πr2，于是通过小球表面的净中子数就应当等于源强S。这样2-r/Lr→0r→0（L)r→0r→0（L)S通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001(ii)中子源条件把上式代入中子源条件(ii)式便可求得(ii)中子源条件：limJ(x)=S/2由边界条件(i)得通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材−a/LSLe−x/L考虑到系统的对称性，用|x|代替上式中的x，就可以得出对于所有x值均适用的中子通量如用ea/2L乘上式的分子和分母，并应用双曲函数的性质：eueu2Dch(a/2L)在包含两种不同介质的系统中，在不同介质的交通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材-φdx2(ii)中子源条件：limJ(x)=S/2φ和φ2ex/L2（2－53）条件(i)知，C2必须为零。利用边界条件(ii)得出C12可以分别利用边界条件(iii)和(iv)求出， 2D1AA23.扩散长度通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材L2L2 DλaaΣ3a λaλs1 这便是扩散长度的计算公式。对于混合物，则（2－58）式中的Σa,Σs和µ0等都是指对混合物的平均值。对于热中子（在反应堆物理中，与原子核牌热平衡状况的所有中子式中的Σa和Σs应该是对热中子能谱的平均值。Σa=Σa,0ga其中Σa,0是能量为En=0.0253电子伏的中子的宏观吸收截面，Tn为中子温度，开，gaL203πΣtrΣa,0g对于H2O和D2O则是例外。这两种慢化剂的散射截面在热能区内按下面经验公m这里D(E0)0S(E0通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材-89）式可得到对于热中子的扩散系数为 ∞D ∞DN(E)dE0 0 10|n0|nΣaΣa,0ga（293.4)2(m+Γ(Σa,0扩散长度是核反应堆物理中一个极其重要的参数。为了进一步阐明扩 2义，我们讨论热中子从产生地点到被吸收地点穿行距离的均方值r。考虑无限介质内有一热中子点源情况，设φ(r)为距离点源r处的中子通量密度，于是在r处中子的吸收率是Σaφ(r)2dr成 2r22Σaφ(r)r=4πr2Σaφ(r)dr2通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材或L2224＊.反照率堆芯部外面围以反射层的工作原理。反射层的效率可以通过反射系数或反照β=（2－67）对于无限平板反射层，这时反射层内中子通量密度 L通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材部以内的中子通量密度分布；因而，如果能够精确地知道水反射层的反照率β的数值，那么在作芯部计算进可以在芯部与反射层的分界面上应用下列边界条J−反照率的边界条件还可以写成另一种形式。根据（2－68）式在源介质与反射层的分5＊.扩散方程的积分形式任意分布的各向同性源所形成的稳态中子通量密考虑一个包含有任意分布的各向同性中子源的无限介质。函数S(r)表示任意分布的各通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材r−r−r'Gpt许多点源组成那样来处理。因此，r处的中子通量密度为−r−r'/LdV'−/Ler−r'−/Lerr−r'−/Ler−r'−/Ler−r'-75）式可以把（2－74）式写成如下形式：全部空间SptGpt2+扩散核的形式决定于中子源的几何形状。对于平面源则利用平面扩散核[见（2－44）式]pt2D-x-x'/Lpt2Dplpt将点扩散核Gpt的表达式代入上式则有通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材在快中子反应堆内没有慢化剂。慢化过程并不占重要地位，大部分中子的能量是在0.1因为，如第一章所述，非弹性散射阈能特点的（另一方面，当反应堆处于稳态时，在慢化过程中，对内种子密度（或中子通量密度）能量范围的平均截面，这就要用到中子慢化能谱φ(E)。自然，反应堆内中子的能量分要知道近似的能量分布就可以了。例如，对于高能范围(E>0.1兆电子伏φ(E)可以近似地用裂变谱λ(E)来表示，而在E小于1电子伏的热能区中，则可以认为φ(E)服(1电子伏-0.1兆电子伏）内中子的近似慢化能谱分布。在粗略估计中子慢化能谱的许多近似方法中，所用的最简单的模型是：把反应堆种子本章讨论中子的慢化过程。首先讨论弹性散射过程中中子能量的变化，然后讨论无限1.中子的弹性散射过程在热中子反应堆内，中子的慢化主要靠中子与慢化剂核的弹性散射。当中子的能量比通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材此时可以认为中子是与静止的,自由的靶核发生散射碰撞。关于考虑到核的热运动和化学键影响的低能中子的散射问题，将在下册第十章后，其动量和动能守恒，并可用经典力学的方法来处理。讨论弹性碰撞时通常采用两种:坐VCM=11)(m1)v11mmvcVcmv+MV=0通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材1mv,21MV,21mv1mv,21MV,21mv21MV22c2c2c2cV1vc′=v1c上，故靶核也必定沿着与它原来运动方向成θ0角度的方向反冲。′c′221CM21CM′2′ccVCMcosθc′2E′v1A2+2Acosθc+1′ccosθc或 A2+2Acosθc+1令通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材(i)θc=0时，E′→Eax=E，此时中子没有能量损失；(ii)θc=1800时，E′→Ein。′Emin=αE′f(θc)dθc示碰撞前中子能量为E，碰撞后中子能量在E撞后，中子的能量在E′附近dE′内的几率必定等于对应的散射角在θc附近dθc内的几f(E→E′)dE′=f(θc)dθc布函数f(E→E′)。在热中子堆内，s波中子散射是主要的。实验表明：当E<10A23通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ccθ+dθ之间的角锥元，见（图3-3）内的几率为cc)dθc==)dθcdθc2dE,=E(1C)sinθc这样，碰撞前中子能量为E，碰撞后中子能量落在E和CE之间的任一能量E,处的几碰撞后能量E,大小无关，并等于常数。或者说，散射后的能量分布是均匀的。由于散射后为了计算方便，在反应堆分析中还常用一种无量纲的量叫做“对数能降”（过去称为或式中E0为选定的参考能量，一般E0=2兆电子伏（裂变中子的平均能量或取uu,=eΔu大的对数能降增量，用γ表示，为通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材若令f(u喻u,)du,表示碰撞前中子的对数能降为u,碰撞后中子的对数能降出现在u,附近du,范围内的几率。由于对数能降与能量之间有对应关系，因而f(u喻u,)和f(E喻E,)之间应当满足下列关系式：Δu,Δu,,f(u喻u,)du,=f(E喻E,)dE,从式中我们可以看出，散射后中子的对数能降落在某一特定对数能量间隔内的几率与散射前后中子的对数能降落在某一特定对数能降间隔内的几率与散射前后中子的对数能降uu+γf(u喻u,)du,=1u在研究中子慢化过程时，有一个常用的量，就是每次碰撞中子能量的自然对数值（或对数能降）的平均变化值，叫平均对数能降增量。用ε来表示，ε为 ε=ElnE,)f(E喻E,)dE,=2ln()2ε=3关。各元素的ε值可查附录表3。若用Nc表示中子从初始能量E1慢化到能量E2所需要的平均碰撞次数。利用平均对数能降增量可以容易地求出Nc为通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材clnE1−lnE2εlnE1 2 2ε中子与核发生弹性散射后，若散射角为θ,那么,cosθ就叫做散射角的余弦。由（3-18） µc=cosθcf(θc)dc=cosθcsinθcdθc=0若用µ0表示L系内的平均散射角余弦，则µ0为µ0=cosθf(θ1)dθ1式中f(θ1)dθ1表示碰撞后中子的散射角在θ1附近dθ1内的几ccf(θ1)dθ1=f(θ)dθccµ0因而，尽管在C系内的散射是各向同性的，但在L系内的散射却是各向异性的，并且µ0 便表征散射各向异性的速度。µ0随着靶核质量数减小而增大，故靶核的质量 从中子慢化的角度来看，慢化剂应为轻元素，它应具有大的平均对数能降增量ε值。此外，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ε。通常把乘积εΣ叫作慢化剂的慢化能力。表3-1给出常用的四种慢化剂的慢化能力。除了要求有大的慢化能力外，显然还要求慢化剂具有小的吸收截面。否则，在堆内也是不宜采用的。为此，我们定义一个新的量εΣΣα,把它叫做慢化比。从反应堆为了观点来看，它是表示慢化剂优劣的一个重要参数，好的慢化剂不仅应具有较大的εεΣs值，从3-1可以看出，重水具有良好的慢化性能，但是其价格高。水的慢化能力εΣs值在无限介质内，裂变中子由裂变能E0慢化到热能ET所需要的平均时间，称为慢化λs(E)能量为E的中子的散射平均自由程。由于每次碰撞的平均对数能降增量等于ε。因此，在dt时间内对数能降u的增量du等于λs(E)或于是，由E0慢化剂到ET所需的慢化时间ts便等于sE0εvEETλssE0εvE如果λs与能量无关或我们用一个适当的平均值λs来代替，同时由于v=，通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材ts快中子慢化成热中子后，将在介质内扩散一段时间。我们定义无限介质内热中子在其被俘获以前所度过的平均时间，称为扩散时间，也叫做热中子平均寿期，用符号td表示。如果λα(E)为中子的平均吸收自由程，那末具有这种能量的中子的平均寿期为对于1v吸收，有Σa(E)v=Σ∂0(E0)v0,于是(3-40)式给出t(E)=式中Σ∂0是当v0在反应堆动力学计算中往往需要用到快中子裂变产生到慢化成为热中子，最后被俘获sd（3-41）2.无限均匀介质内中子的慢化能谱在前面一章节中，讨论了弹性散射过程中中子能量的变化。在这一节将讨论慢化过程化能力和吸收性等特性有关，严格讲它还是空间坐标r的函数，并与反应堆的泄漏大小有通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材2.1无限均匀介质内中子的慢化方程的总次数，记作F(r,E)F(r,E)=(Σa+Σs)φ(r,E)F(r,E)=Σt(r,E)φ(r,E)=Σt(r,E)φ(r,E)（3-42）对于物吸收介质,Σa=0则F(r,E)F(r,E)=Σsφ(r,E)。显然可以看到，这里所它是描述慢化过程的另一个极为重要的量，我们用符号q(r,E)来表示。它的定义是：每秒发生散射的次数为Σs(r,E′)φ(r,E′)，而散射函数f(E→E′)表示能量为E′的中Σs(r,E′)f(r;E′→E)φ(r,E′)dE而根据定义慢化密度q(r,E)应等于E′>E的所有能量中子慢化到E以下的中子数q(r,E)=q(r,E)=dE′Σs(r,E′)f(r;E′→E)φ(r,E′)dE这样，慢化密度q(r,E)给出了r处中子被慢化并通过某给定能量E的慢化率。用φ(E)来表示。我们观察能量E处dE能量间隔内的中子平衡。由于中子与介质Σs(E′)φ(E′)dEf′(E′→E)dE。因而每秒散射到dES(E)dE，其中S(E)为中子源强分布函数。那么根据中子平衡的稳态条件：每秒、每通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材被吸收的中子总数，这样可以写出稳态无限介质内的中子慢Σt(E)φ(E)2Σt(E)φ(E)=αdE′+S(E)同样，对于慢化密度q(E)3-43）式便可以表示成q(E)=αdE′′dE′′Σs(E′)φ(E′)dE′应该指出，在多数情况下，慢化方程（3-46）是无法求得其精确解的。只有在很有限2.2在含氢介质内的慢化首先讨论氢慢化剂和重吸收剂组成的系统内中子为简单起见，我们讨论初始能量为E0，源强为S0的单能平均分布中子源情况。这时单能S(E)=S0E0(0≤E≤E0)通讯地址：湖南省衡阳市常胜西路28号南华大学核科学技术学院邮编：421001南华大学《反应堆物理》精品课程电子教材式中，Σ(E)是氢的宏观散射截面，宏观吸收截面Σa(E)为了解出φ(E)，首先将该式两边微分，得0φ(E)=×exp0Σ(E′)dEΣ(E′)下面计算含氢介质内的慢化密度。它由两部分构成：一部分是由源中子经另一部分慢化密度