2023-2024学年长春市外国语高二数学下学期4月考试卷附答案解析

-2024学年长春市外国语高二数学下学期4月考试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．计算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．5402．若函数在处的导数等于，则的值为（

）A． B． C． D．3．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（

）个A．18 B．36 C．72 D．864．若函数的导函数图象如图所示，则（

）A．的解集为 B．是函数的极小值点C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点5．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（

）A．462 B．630 C．672 D．8827．已知，若存在实数，当时，满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．当时，恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.）9．高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（

）A．B．选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人C．在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D．选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的10．已知函数有两个不同的极值点，则（

）A．的取值范围是 B．是极小值点C．时， D．11．设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．的图象关于对称 D．函数为周期函数，且周期为4第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分；共15分）12．某种动物从出生起活到20岁的概率为0.8，从出生起活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，它能活到25岁的概率为.13．2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是.

14．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数.(1)若在处的切线垂直于直线，求的方程；(2)讨论的单调性.16．某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法．(1)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？(2)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？(3)往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答）17．已知函数．(1)求函数的极值点；(2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．18．已知函数．(1)判断的单调性；(2)设方程的两个根分别为，求证：．19．固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；(3)求的最小值．1．A【分析】利用组合和排列数公式计算【详解】故选：A2．D【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.【详解】由已知得．故选：D．3．C【分析】可先对计数进行全排列，再在连续前三个空隙或后相邻的三个空隙中放入偶数，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，可先对计数进行全排列，共有种排法；再对构成的4个空隙中，连续前三个空隙或后相邻的三个空隙，放入偶数，共有种放法，根据分步计数原理，可得共有种不同的排法.故选：C.4．D【分析】根据导数与函数单调性和极值点的关系，即可判断选项.【详解】对于A，由图可知，的解集即函数的单调递减区间，为，故A错误；对于B，由图，的左右两边，所以不是函数的极值点，故B错误；对于C，由图当时，所以的单调递减区间为，故C错误；对于D，由图当时，单调递减，当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，故D正确.故选：D.5．D【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案.【详解】设，因为，所以，对函数求导，得，因为，所以，所以函数是实数集上的增函数，因此由.故选：D.6．C【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：若用两种颜色涂色，有种涂色方法；若用三种颜色涂色，有种涂色方法；所以有种不同的涂色方法.故选：C.7．D【分析】由函数性质，得，，将问题转化为求的取值范围，构造函数，利用导数求函数的值域即可.【详解】作出函数的图象如图，当时，，由得，由可得，由图可知，，点、关于直线对称，则，点、关于直线对称，则，所以，令，其中，，当时，，在上单调递减，当时，，即函数在上单调递增，所以，当时，，当时，；当时，，则，所以的取值范围为.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点.8．D【分析】根据题意，化简得到在上恒成立，令，求得，得到在上单调递增，转化为在上恒成立，令，利用求得函数的单调性和最大值，得到，即可求解.【详解】由题意，当时，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，所以在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为.故选：D.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．9．AC【分析】结合统计结果对选项逐一分析即可得.【详解】对A：由，则，故A正确；对B：由选择化学的有39人，选择物理的有36人，故至少有三人选择化学并选择了历史，故选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生最多有9人，故B错误；对C：确定选择化学后，还需在物理、历史中二选一，在生物、地理、政治中三选一，故共有种不同的选考科目组合，故C正确；对D：由于地理与政治选考该科人数不确定，故该说法不正确，故D错误.故选：AC.10．BCD【分析】根据已知条件，求导得出有两个不同正实根，设，根据单调性和极值，就能判断选项ABC；利用极值定义得到两个式子，两式相除即可判断D.【详解】因为，所以，因为有两个不同的极值点，则有两个不同正实根，即有两个不同正实根，设，则，所以在上单调递增，在上单调递减，且时；时，.所以有两个不同的极值点时，的取值范围是，A错误；当时，，，在上单调递减，当时，，，，在上单调递增，故是极小值点，B正确；当时，，，，C正确；由及，得及，两式相除得，D正确.故选：BCD11．AC【分析】对于A，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D，根据和为偶函数找到的关系，求出周期；B：根据的性质，取特值求解；C：根据已知推导出.【详解】A：因为为偶函数，所以，所以，令，则，所以，故A正确；D：因为，所以，用代替原来的得，①又为偶函数，所以，用代替原来的得：，②由①②得，③又，用代替原来的得：，④由③④联立得：，⑤用代替原来的得：，⑥⑥减去⑤得：，故为周期函数，且周期为，用代替原来的得：，⑦因为，用代替原来的得：，⑧因为，用代替原来的得：，⑨由⑦⑧⑨得：，用代替原来的得：，所以为周期函数，且周期为，故D错误；B：因为常函数为满足题意得一组解，但，故B错误；C：由，则，即，又，则，即，故C正确；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数可任意赋值（符合已知条件）得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性取特值代入求解.12．【分析】利用条件概率的计算公式即可得出.【详解】设事件A表示某动物活到20岁，则；事件B表示该动物活到25岁，则，所以.故答案为：.13．36【分析】先根据甲乙选的景点其他人是否选分成两类情况，①无人再选，按照分组计算方法数；②还有人选，按照部分平均分组计算方法数.最后用分类加法原理计算总的方法数即可.【详解】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：，若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：，所以不同的选法总数为:.故答案为：36.14．【分析】由基本不等式可得.利用导数证明不等式，进而，则，解出a、，得，再次利用基本不等式计算即可求解.【详解】由基本不等式，得，即，当且仅当，即时等号成立.设，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即，令，得，所以，解得，由，得．所以，当且仅当时，取得等号．故的最大值是．故答案为：15．(1)(2)答案见解析【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得参数m的值，即可求得答案；（2）求出函数导数，分类讨论m的取值，结合解不等式，求得导数大于0和小于0时的解，即可求得答案.【详解】（1）由题意得；因为在处的切线垂直于直线，所以，即，解之得；又，所以的方程为，即.（2）的定义域为，由（1）得；所以当时，令得，令得，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，令得或，令得，所以在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令得或，令得，所以在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.16．(1)14400(2)30960(3)20160【分析】（1）分2步进行分析，先排列三个发言以外节目，产生6个空，再从6个空位中任选3个，安排三个发言节目即可；（2）分励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个和励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在最后一个求解；（3）根据题意共有8个的先后位次，往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，从8个位置选2个放置，其它位置任意排列求解.【详解】（1）解：根据题意，分2步进行分析：①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有6个空位，②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况，则三个发言不能相邻的排法有＝14400种；（2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为：种情况，励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为：种情况，共有：＝30960种情况．（3）根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．共有8个的先后位次；往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位置选2个，有种方法，其它位置，任意排列，共有的方法数：＝20160种情况．17．(1)(2)证明过程见解析【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点的定义进行求解即可；（2）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可.【详解】（1），令，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以函数的极值点为；（2）由（1）可知：，而，所以切线的方程为，由，或，当时，，此时，与有公共点，当时，设，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，当且仅当时取等号，所以由，即，此时