2023年北京清华附中初二（下）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京清华附中初二（下）期中数学一．选择题（本大题共24分，每小题3分）1.下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A. B.C. D.2.如图，在中，于点E，，则等于（）A. B. C. D.3.某校规定学生的学期学业成绩由平时成绩和期中成绩、期末成绩三部分组成，依次按照的比例确定学期学业成绩．若小明的平时成绩为90分，期中成绩为80分，期末成绩为94分，则小明的学期学业成绩为（）分．A.86 B.88 C.89 D.904.一次函数y=-2x+4的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角互补 B.对角线互相垂直C.对角线互相平分 D.四边相等6.在英语听说模拟测试中，7名男生的成绩如下：28，22，22，25，23，25，25，则这组数据的众数是（）A.28 B.22 C.23 D.257.点，都在一次函数的图象上，则m与n的大小关系为（）．A. B. C. D.无法确定8.如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（）A. B.4 C.8 D.二．填空题（本大题共16分，每小题2分）9.函数中，自变量x的取值范围是___．10.数据组：28，37，32，37，35的中位数是___．11.一次函数的图象与y轴的交点坐标________________.12.如图，在正方形ABCD内部作等边△CDE，连接BD．则的度数为______．13.如图，一次函数（，k，b为常数）的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集是___．14.如图，在中，，垂足为D，E是的中点，连接，则的度数是________．15.如图，直线（，k，b为常数）与直线相交于点，则不等式的解集为___．16.如图，在矩形中，点B的坐标为，则的长是___．三．解答题（本题共60分，第17－18题每题5分，第题每题6分，第22－25题每题8分）17.如图，中，E、F分别是、的中点，求证：．18.某药研究所开发了一种新药，在实际用药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示．（1）服药后小时，血液中含药量最高，达到每毫升毫克，接着逐渐减弱，小时后血液中含药量为0；（2）服药后10小时，血液中含药量为每毫升毫克．（3）如果每毫升血液中含药量4毫克或4毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是小时．19.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分，BNAN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，AC=16.（1）求证：BN=DN；（2）求MN的长.20.已知直线与x轴交于点，与y轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）若直线上有点C，且满足，求点C的坐标．21.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图，线段、折线分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．（1）线段与折线中，表示货车离甲地的距离y与时间x之间的函数关系．（2）求线段的函数解析式；（3）货车出发多长时间两车相遇？22.在矩形中，连接，延长至E，使，过点E作交延长线于点F．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，，①求菱形的面积，②直接写出线段的长为．23.农业农村经济在国民经济中占有重要地位，科技兴农、为促进乡村产业振兴提供有力支撑．为了解甲、乙两种新品猕猴桃的质量，进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．测评分数（百分制）如下：甲77798080858686878889899091919191919293959596979898乙69877979867987899089909090919092929492959696979898b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：甲0a914乙13b16注：分数90分及以上为优秀，80~89分为合格，80分以下为不合格．c．甲、乙两种猕猴桃测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示：品种平均数众数中位数甲89.491d乙89.4c90根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中a，b，c，d的值；（2）记甲种猕猴桃测评分数的方差为，乙种猕猴桃测评分数的方差为，则，的大小关系为____________；（3）根据抽样调查情况，可以推断____________种猕猴桃的质量较好，理由为____________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24.在平面直角坐标系中，将经过点的直线：向下平移5个单位得直线，直线经过点，（1）求直线的解析式及点B的坐标；（2）直线与y轴交于点C，求的面积；（3）若直线：与线段有公共点，直接写出k的取值范围．25.如图，点E在正方形的边上（不与点B，C重合），点B关于直线的对称点为F，作射线交AE交于点G，连接，过点C作交射线于点H．（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3）用等式表示线段与之间的数量关系．并证明．四、附加题（本题共20分，第26~28题每题3分，第29题4分，第30题7分）26.已知一组数据的方差s2=[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为_____．27.把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为______．28.矩形中，，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接．则线段的长度最大值是___．29.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，动点P、Q分别在线段、上（点P不与点A、C重合），满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是___．30.在平面直角坐标系中，对于点A，记线段的中点为M，若点A，M，P，Q按顺时针方向排列构成菱形，其中，则称菱形是点A的“－旋半菱形”，称菱形边上所有点都是点A的“－旋半点”，已知点．（1）在图1中，画出点A的“－旋半菱形”，并直接写出点P的坐标；（2）若点是点A的“－旋半点”，求的值；（3）若存在使得直线上有点A的“－旋半点”，直接写出b的取值范围．

参考答案一．选择题（本大题共24分，每小题3分）1.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义解答即可．【详解】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；

D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；

故选：D．【点睛】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．2.【答案】B【解析】【分析】由在中，，可求得的度数，又由，可求得答案．【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴．故选B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用是解此题的关键．3.【答案】C【解析】【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．【详解】解：小明的学期学业成绩为：（分）．故选：C．【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．4.【答案】C【解析】【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=2x+4中，k=2＜0，b=4＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当k＜0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．5.【答案】C【解析】【分析】A中菱形对角不互补，则错误，B中矩形对角线不互相垂直，则错误，C中平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，正确，D三个图形中，矩形四边不相等，错误．【详解】解：A．菱形对角不互补，故本选项错误；B．矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；C．平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；D．三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要从对角线着手考查的，正方形是平行四边形得最典型的图形．6.【答案】D【解析】【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数．【详解】解：7个数据中，25出现的次数最多，∴这组数据的众数是25，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了众数的定义，解题的关键是熟练掌握众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的那个数．7.【答案】A【解析】【分析】由，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，结合，即可得了．【详解】解：∵，∴y随x的增大而减小，∵点，都在一次函数的图象上，且，∴．故选∶A．【点睛】本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是要牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”．8.【答案】B【解析】【分析】由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出的长度，再根据直角三角形的性质可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．【详解】解：四边形是菱形，，，，在中，点是的中点，．故选B．【点睛】本题主要考查了菱形及直角三角形的性质，合理应用性质进行计算是解决本题的关键．二．填空题（本大题共16分，每小题2分）9.【答案】【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10.【答案】35【解析】【分析】先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可得出答案．【详解】解：把这组数据从小到大排列为：28，32，35，37，37，最中间的数是35，则中位数是35．故答案为：35．【点睛】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．11.【答案】(0，-2)【解析】【分析】根据一次函数与y轴的交点得横坐标等于0，将x=0代入y=x-2，可得y的值，从而可以得到一次函数y=x-2的图象与y轴的交点坐标．【详解】将x=0代入y=x−2，可得y=−2，故一次函数y=x−2的图象与y轴的交点坐标是(0,−2).故答案为（0，-2）【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于一次函数与y轴的交点得横坐标等于012.【答案】15°【解析】【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得出∠BDC、∠CDE的度数，然后根据角的和差计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，∴，∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE-∠BDC=15°．故答案为：15°．【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质等知识，掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．13.【答案】【解析】【分析】找到函数图象在x轴上方（含x轴）对应的x的范围即可．【详解】解：由图象和题意可知：函数图象在x轴上方（含x轴）对应的x的范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系，应从图象入手分析，将不等式与一次函数的关系梳理清楚，即可求得结果．14.【答案】【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质得到，得到，进而得出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，E是BC的中点，∴，，∴，∴故答案为【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．15.【答案】【解析】【分析】根据题意知，直线位于直线下方的部分符合题意．【详解】解：如图，直线与的交点坐标为，∴关于x的不等式的解集为．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．本题要求利用图象求解各问题，根据图象观察，得出结论．要认真体会一次函数与一元一次不等式之间的关系．16.【答案】13【解析】【分析】根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案．【详解】解：连接，过作轴于，点的坐标是，，，由勾股定理得：，四边形是矩形，，，故答案为：13．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出是解此题的关键．三．解答题（本题共60分，第17－18题每题5分，第题每题6分，第22－25题每题8分）17.【答案】见解析．【解析】【分析】由四边形是平行四边形得，且，结合题意易得，且，即可证明四边形是平行四边形可得结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，且，又∵E、F分别是、的中点，∴，，即：，且，∴四边形是平行四边形，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质；解题的关键是由平行四边形的性质得到，且．18.【答案】（1）2，6，18（2）4（3）9【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；（2）直接利用图像中的数据可得结果；（3）求出的解析式，令，求出最有效的开始时间，根据图像得出结束时间，可得时长．【小问1详解】解：由图象可得，服药后2小时，血液中含药量最高，达到每毫升8毫克，接着逐渐减弱，从2小时开始，每小时减弱(毫克)，∴还需(小时)，降为0，∴18小时后血液中含药量为0，故答案为：2，6，18；【小问2详解】由图象可得，服药后10小时，血液中含药量为每毫升4毫克，故答案为：4；【小问3详解】当时，设与之间的函数关系式为，，得，即当时，与之间的函数关系式是，将代入，得，由图象可知，当时，，故这个最有效时间（小时）的范围是（小时），故答案为：9．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．19.【答案】（1）见详解；（2）3.【解析】【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）由（1）知AB=AD，则CD=，再判断MN是△BDC的中位线，从而得出MN=，即可得到答案．【详解】证明：（1）∵AN平分∠BAC∴∠1=∠2，∵BN⊥AN∴∠ANB=∠AND=90°，在△ABN和△ADN中，∴△ABN≌△ADN（ASA）∴BN=DN；（2）由（1）知，△ABN≌△ADN∴AD=AB=10，DN=NB，∴CD=AC-AD=16-10=6，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴MN=CD=3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线定理，关键是根据全等三角形的判定证明△ABN≌△AND，从而得到边关系.20.【答案】（1）（2）点C的坐标是或【解析】【分析】（1）设直线的解析式为，利用待定系数法将点A和点B代入求解即可；（2）设点C的坐标为，根据列方程求解即可．【小问1详解】设直线的解析式为，∵直线过点、点，∴，解得，∴直线的解析式为；【小问2详解】设点C的坐标为，∵，∴，解得或，∴或，∴点C的坐标是或．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，熟练掌握待定系数法，并注意分类讨论是解题关键．21.【答案】（1）（2）（3）4小时【解析】【分析】（1）根据题意可以分别求得两个图象中相应函数对应的速度，从而可以解答本题；（2）设段的函数解析式为，将，两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；（3）根据题意可以求得对应的函数解析式，从而可以解答本题．【小问1详解】解：线段表示货车货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，理由：（千米时），，，轿车的平均速度大于货车的平均速度，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系．故答案为：；【小问2详解】设段函数解析式为．，在其图象上，，解得，段函数解析式：；【小问3详解】设线段对应的函数解析式为，，得，即线段对应的函数解析式为，，解得，即货车出发4小时两车相遇．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22.【答案】（1）见解析（2）①20；②【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得到，结合已知证明平行四边形，再利用即可证明菱形；（2）①根据矩形和菱形的性质求出，再利用面积公式计算；②求出的长度，利用勾股定理计算即可．【小问1详解】解：在矩形中，，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；【小问2详解】①在矩形中，，∵，，∴，∵四边形是菱形，∴，∴菱形的面积为；②在菱形中，，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的判定方法，灵活运用菱形的性质．23.【答案】（1），，，（2）（3）甲，理由见解析【解析】【分析】（1）根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．（2）按照方差的计算公式，分别计算出甲，乙的方差，然后比较大小即可．（3）根据甲和乙的平均数，中位数，众数，方差进行综合分析，判断，注意至少从两个不同的角度说明推断的合理性．【详解】（1），，，（2）则，的大小关系为；（3）可以推断甲种猕猴桃的质量较好，理由为①甲种猕猴桃测评分数的众数、中位数都大于乙种猕猴桃测评分数②也就是甲猕猴桃测评分数的方差小于乙种猕猴桃测评分数的方差，质量均匀较好；【点睛】本题主要考查了平均数，众数，中位数，方差在实际问题中的正确运用，熟练掌握定义和计算公式，是解题的关键．24.【答案】（1），（2）（3）或【解析】【分析】（1）将点A代入中求出b值，得到的解析式，再根据平移的性质得到的解析式，将点B坐标代入，可得m值；（2）在中令求出点C坐标，再利用割补法计算面积即可；（3）分别将点A和点B代入：中，求出对应k值，再根据与线段有公共点，结合图像得出结果．【小问1详解】解：将代入中，得：，解得：，∴：，向下平移5个单位后，得：：，即，将代入中，得：，∴；【小问2详解】在中，令，得，∴，∴；【小问3详解】当：经过点A时，得，解得：；当：经过点B时，得，解得：；∴当直线：与线段有公共点时，或．【点睛】本题考查了一次函数的表达式，求一次函数的自变量和函数值，一次函数与坐标轴的交点问题，以及综合问题，解题的关键是利用数形结合思想，从图像角度出发求出k的取值范围．25.【答案】（1）见解析（2）（3），证明见解析【解析】【分析】（1）依据题意补全图形即可；（2）连接，根据对称的性质得到，利用等边对等角得到，，结合四边形内角和求出，可得；（3）过C作，垂足为T，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得出，结合对称的性质，可得结果．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】连接，∵B，F关于对称，∴垂直平分，∴，在正方形中，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；【小问3详解】，理由是：过C作，垂足为T，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，在正方形中，，，∵，∴，∵，∴，∴，又，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．四、附加题（本题共20分，第26~28题每题3分，第29题4分，第30题7分）26.【答案】24【解析】【分析】根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．【详解】∵s2=[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，∴这组数据的总和为4×6=24．故答案为24．【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，解题关键是对方差公式的理解．27.【答案】4【解析】【分析】先利用勾股定理求得此菱形的另一条对角线的长，再求得菱形的面积，进而可得阴影的面积是边长为10的正方形的面积减去菱形的面积．【详解】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，AC=16，AD=10，∴OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，OB=OD=，∴BD=2OD=12，∴菱形的面积=×12×16=96，图2正方形的面积=，∴阴影的面积=-96=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握菱