2023年北京五中分校初二（下）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2023北京五中分校初二（下）期中数学一、选择题（本题共20分，每小题2分）1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A． B． C． D．2．下列函数中，是正比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝2x﹣13．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（）A．4 B．3 C．2 D．不确定4．一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．下列各式中，从左向右变形正确的是（）A．＝±2 B．＝3 C．＝ D．6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）92959592方差3.63.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．下列命题中，不正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直且平分 C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．正方形的对角线相等且互相垂直平分8．已知正比例函数y＝（2m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是（）A． B． C．m＞1 D．m＜19．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，满足下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①∠A：∠B：∠C＝3：4：5；②∠A＝32°，∠B＝58°；③a＝7，b＝24，c＝25；④a＝4，b＝3，；⑤b2＝c2﹣a2．A．2 B．3 C．4 D．510．如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．函数y＝中自变量x的取值范围是．12．如果一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过（0，﹣1），且与直线y＝﹣2x平行，那么这个一次函数的解析式是．13．如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得∠A＝30°，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是m．14．如图，直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2）则不等式2x＞﹣x+a的解集为．15．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是．16．如图，已知直线l：y＝x，过点A1（1，0）作x轴的垂线交直线l于点B1，以A1B1为边作正方形A1B1C1A2，过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2A3，…；则点A5的坐标为，点∁n的坐标为．三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17．（5分）计算：．18．（5分）解方程：x2+2x﹣8＝0．19．（5分）已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣3的值．20．（5分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝BF．求证：AF＝CE．21．（5分）如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程．已知：矩形ABCD．求作：▱AGHD，使∠GAD＝30°．作法：如图，①分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E，F；②作直线EF；③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；④以点G为圆心，以AD长为半径作弧，交直线EF于点H，连接DH．则四边形AGHD即为所求作的平行四边形．根据小明设计的尺规作图过程，填空：（1）∠BAG的大小为；（2）判定四边形AGHD是平行四边形的依据是；（3）用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系为．22．（5分）已知：如图，四边形ABCD是矩形，分别延长AD，CD到点E，F，使DE＝AD，DF＝CD，连接AC，AF，EF，EC．（1）求证：四边形ACEF是菱形；（2）连接BE，如果四边形ACEF的周长是，CF＝2，求BE的长．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣2，0），B（1，3）两点．（1）求这个一次函数的解析式：（2）画出一次函数y＝kx+b的图象；​（3）若点C是x轴上一点，△ABC的面积是6，求点C的坐标．24．（6分）为响应“带动三亿人参与冰雪运动”的号召，某校七、八年级举行了“冰雪运动知识竞赛”．为了解学生对冰雪运动知识的掌握情况，学校从两个年级分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．b．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示：c．七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数如下表所示：年级平均数众数中位数七年级7.5n7八年级m8p请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）上表中m＝，n＝，p＝；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对冰雪运动知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校八年级共400名学生参加了此次测试活动，估计八年级参加此次测试活动成绩合格的学生人数．25．（6分）某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表：运力（箱/辆）租金（元/辆）大货车45400小货车35320（1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；（2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+5与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+1与直线l1交于点B，与y轴交于点C．（1）当点B的纵坐标为2时，①写出点B的坐标及k的值；②求直线l1，l2与y轴所围成的图形的周长；（2）当点B的横坐标xB满足﹣3≤xB≤﹣1时，求实数k的取值范围．​27．（7分）点E在正方形ABCD的AD边上（不与点A，D重合），点D关于直线CE的对称点为F，作射线DF交CE交于点M，连接BF．（1）求证：∠ADF＝∠DCE；（2）过点A作AH∥BF交射线DF于点H．①求∠HFB的度数；②用等式表示线段AH与DF之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．例如：点M（﹣2，7）与N（5，6）的“纵2倍直角距离“dMN＝|﹣2﹣5|+2|7﹣6|＝9，（1）①已知点P₁（1，2），P₂（﹣2，，P₃（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是；②已知点P（x，y），点P在第一象限，若点P与原点O的“纵2倍直角距离“dPO＝3，请求y关于x的函数关系式，并在图1中画出所有满足条件的点P组成的图形．（2）若直线上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，直接写出b的取值范围．（3）已知点A（1，1），B（3，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（t﹣，0），D（t，），E（t，0），F（t，）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得dGH＝3，直接写出t的取值范围．​

参考答案一、选择题（本题共20分，每小题2分）1．【答案】A【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A．是最简二次根式，故选项正确，符合题意；B．，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；C．，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；D．，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意；故选：A．2．【答案】A【分析】一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．【解答】解：A选项，y＝2x是正比例函数的形式，故该选项正确，符合题意；B选项，不是整式，故该选项错误，不符合题意；C选项，x的指数是2，属于二次函数，故该选项错误，不符合题意；D选项，y＝2x﹣1是一次函数，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意．故选：A．3．【答案】B【分析】首先由平行四边形的对边相等的性质求得BC＝AD＝6；然后利用三角形中位线定理求得MN＝BC＝3．【解答】解：如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝6．∵M，N分别为BE，CE的中点，∴MN是△EBC的中位线，∴MN＝BC＝3．故选：B．4．【答案】A【分析】因为k＝﹣2＜0，b＝﹣1＜0，根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的性质得到图象经过第二、四象限，图象与y轴的交点在x轴下方，于是可判断一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第一象限．【解答】解：对于一次函数y＝﹣2x﹣1，∵k＝﹣2＜0，∴图象经过第二、四象限；又∵b＝﹣1＜0，∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第三象限，∴一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过第一象限．故选：A．5．【答案】B【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．【解答】解：A．＝2，此选项错误；B．＝|﹣3|＝3，此选项计算正确；C．＝×，此选项错误；D．+＝2+＝3，此选项错误；故选：B．6．【答案】B【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．【解答】解：∵3.6＜7.4＜8.1，∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，∵95＞92，∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．故选：B．7．【答案】B【分析】根据特殊四边形的性质一一判断即可．【解答】解：A、正确．平行四边形的对角线互相平分．B、错误．应该是矩形的对角线相等且互相平分．C、正确．菱形的对角线互相垂直且平分．D、正确．正方形的对角线相等且互相垂直平分．故选：B．8．【答案】B【分析】根据一次函数的性质即可求出当x1＜x2时，y1＞y2时，列出不等式，进而求出m的取值范围．【解答】解：∵正比例函数图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，∴2m﹣1＜0，∴．故选：B．9．【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．【解答】解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形；②∵∠A＝32°，∠B＝58°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣32°﹣58°＝90°，即△ABC是直角三角形；③∵a＝7，b＝24，c＝25，∴72+242＝252，即△ABC是直角三角形；④∵a＝4，b＝3，，∴，即△ABC是直角三角形；⑤∵b2＝c2﹣a2，∴c2＝b2+a2，即△ABC是直角三角形；∴直角三角形的个数有4个．故选：C．10．【答案】D【分析】分段求出函数表达式即可求解．【解答】解：（1）当点P在AC上运动时，y＝2﹣t，（2）当点P在BC上运动时，y＝t﹣2，（3）当点P在AB上运动时，过点C作CH⊥AB于点H，∵△ABC是等边三角形，∴AH＝1，则CH＝AH＝，当点P在点H右侧时，y＝PC＝＝＝；该函数为一条曲线，当点P在CH左侧时，同理函数为一条曲线；故选：D．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．12．【答案】y＝﹣2x﹣1．【分析】本题通过已知与直线y＝﹣2x平行，可知要求的函数解析式为y＝﹣2x+b，将点（0，﹣1）代入表达式，求出b值，就求出了函数解析式．【解答】解：设这个一次函数的解析式为y＝kx+b，∵该一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，∴k＝﹣2，即函数表达式为y＝﹣2x+b，将点（0，﹣1）代入表达式得，﹣1＝﹣2×0+b，b＝﹣1，函数表达式为：y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．13．【答案】见试题解答内容【分析】由勾股定理可得AC＝80，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到结论．【解答】解：连接BD，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝40，∴AC＝2BC＝80，∵D是AC中点，∴BD＝AC＝40，即边界AC的中点D与点B的距离是40m；故答案为：40．14．【答案】x＞1．【分析】写出直线y1＝2x在直线y2＝﹣x+a上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵直线y1＝2x与y2＝﹣x+a交于点P（1，2），∴不等式2x＞﹣x+a的解集为x＞1．故答案是：x＞1．15．【答案】见试题解答内容【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，∴BN＝ND，∴DN+MN＝BN+MN，连接BM交AC于点P，∵点N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN+MN＝BP+PM＝BM，BN+MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN+MN的最小值是10．故答案为：10．16．【答案】见试题解答内容【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2、C1的坐标，以此类推总结规律便可求出点A5、∁n的坐标．【解答】解：直线y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，1），以A1B1为边作正方形A1B1C1A2，A1B1＝A1A2＝1，OA2＝1+1＝2，点A2的坐标为（2，0），C1的坐标为（2，1），这种方法可求得B2的坐标为（2，2），故点A3的坐标为（4，0），C2的坐标为（4，2），此类推便可求出点点A5的坐标为（16，0），点∁n的坐标为（2n，2n﹣1）．故答案为（16，0），（2n，2n﹣1）．三、解答题（本题共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17．【答案】．【分析】根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可．【解答】解：＝＝＝．18．【答案】见试题解答内容【分析】利用因式分解法解出方程．【解答】解：x2+2x﹣8＝0（x﹣2）（x+4）＝0x﹣2＝0，x+4＝0x1＝2，x2＝﹣419．【答案】﹣1．【分析】先将式子利用完全平方公式变形，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：∵x＝﹣1，∴x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4＝（﹣1+1）2﹣4＝（）2﹣4＝3﹣4＝﹣1．20．【答案】见试题解答内容【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，AE∥CF，推出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AD﹣DE＝BC﹣BF，∴AEFC，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF＝CE．21．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，得到AG＝BG，推出△ABG是等边三角形，于是得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，推出GH∥AD，得到四边形AGHD是平行四边形；（3）设EF与AB交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）连接BG，由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，∴AG＝BG，∵AB＝AG，∴AB＝AG＝BG，∴△ABG是等边三角形，∴∠BAG＝60°；故答案为：60°；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵EF⊥AB，∴GH∥AD，∵GH＝AD，∴四边形AGHD是平行四边形，故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）设EF与AB交于M，∵S2＝AD•AB，S1＝HG•AM＝AD•AB＝AD•AB，∴S2＝2S1，故答案为：S2＝2S1．22．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据DE＝AD，DF＝CD，可知四边形ACEF是平行四边形，根据矩形的性质可得∠ADC＝90°，即可得证；（2）根据菱形的性质可得CD＝1，AC＝，根据勾股定理，可得AD的长，进一步可得AE的长，根据矩形的性质可得AB＝CD＝1，再根据勾股定理可得BE的长．【解答】（1）证明：∵DE＝AD，DF＝CD，∴四边形ACEF是平行四边形，在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∴四边形ACEF是菱形；（2）解：在菱形ACEF中，CD＝DF，∵四边形ACEF的周长是，∴AC＝，∵CF＝2，∴CD＝1，在Rt△ADC中，根据勾股定理，得AD＝＝2，∴AE＝2AD＝4，在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝CD＝1，根据勾股定理，得BE＝＝＝．23．【答案】（1）y＝x+2；（2）见解答；（3）（2，0）或（﹣6，0）．【分析】（1）把A与B的坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出解析式；（2）描出A、B点的坐标，然后作出直线AB即可；（3）设C（x，0），表示出AC＝|x+2|，进而表示出三角形ABC面积，根据已知面积求出x的值，即可确定出C坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（1，3）两点代入y＝kx+b得，解得，则一次函数解析式为y＝x+2；（2）画出函数y＝x+2的图象如图：（3）设C（x，0），则有AC＝|x+2|，∵S△ABC＝AC•OB＝6，即|x+2|×3＝6，∴|x+2|＝4，解得：x＝2或x＝﹣6，则C的坐标为（2，0）或（﹣6，0）．24．【答案】（1）7.5，7，7.5；（2）八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高；（3）360名．【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可；（2）从中位数、众数的比较得出结论；（3）求出八年级学生成绩为“合格”的所占的百分比即可．【解答】解：（1）m＝＝7.5（分），七年级20名学生成绩中出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7分，即n＝7，将八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7.5（分），因此中位数是7.5分，即p＝7.5，故答案为：7.5，7，7.5；（2）八年级的成绩较好，理由：八年级学生成绩的中位数是7.5分，众数是8分，都比七年级高；（3）400×＝360（名），答：该校八年级共400名学生中成绩合格的大约有360名．25．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案．【解答】解：（1）由题意可得，y＝400x+320（8﹣x）＝80x+2560，即y与x的函数关系式为y＝80x+2560；（2）由题意可得，45x+35（8﹣x）≥340，解得，x≥6，∵y＝80x+2560，∴k＝80，y随x的增大而增大，∴当x＝6时，y取得最小值，此时y＝3040，8﹣x＝2，答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元．26．【答案】（1）①（﹣1，2），3；②＝4+；（3）≤k≤3．【分析】（1）①将y＝2代入直线l2：y＝﹣x+1，求出x，得到点B的坐标；把B点坐标代入直线l1：y＝kx+5，即可求出k的值；②根据直线l1的解析式，求出A（0，5），根据直线l2的解析式，求出C（0，1）．利用三角形面积公式即可求出S△ABC；（2）将两条直线的解析式联立得到方程组，解方程组求出点B的坐标，根据点B的横坐标xB满足﹣3≤xB≤﹣1，分别计算xB＝﹣3与xB＝﹣1时k的值，即可得到实数k的取值范围．【解答】解：（1）①∵直线l2：y＝﹣x+1过点B，点B的纵坐标为2，∴﹣x+1＝2，得x＝﹣1，∴点B的坐标为（﹣1，2）．∵直线l1：y＝kx+5过点B，∴2＝﹣k+5，解得k＝3；②∵k＝3，∴直线l1的解析式为：y＝3x+5，∴A（0，5）．∵直线l2的解析式为：y＝﹣x+1，∴C（0，1）．∴AC＝5﹣1＝4，∴直线l1，l2与y轴所围成的图形△ABC周长＝AC+AB+BC＝4+；（2）解方程组，得，∴点B的坐标为（﹣，）．∵点B的横坐标xB满足﹣3≤xB≤﹣1，∴当xB＝﹣3时，﹣＝﹣3，解得k＝，当xB＝﹣1时，﹣＝﹣1，解得k＝3，∴实数k的取值范围是≤k≤3．27．【答案】（1）证明见解析部分；（2）①45°；②结论：DF＝AH．证明见解析部分．【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；（2）①连接CF，证明CB＝CF＝CD，证明∠BFD＝135°，可得结论；②结论：DF＝AH．过点A作AT⊥DH于点T．证明△CMD≌△DTA（AAS），推出DM＝AT，再证明AT＝AH，DM＝FM，可得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∵D，F关于CE对称，∴CE⊥DF，∴∠ECD+∠CDM＝90°，∠ADF+∠CDM＝90°，∴∠ADF＝∠DCE；（2）解：①连接CF．∵D，F关于CE对称，∴CD＝CF，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCB＝90°，∴CB＝CEF＝CD，∴∠CBF＝∠CFB，∠CDF＝∠CFD，∵∠CBF+∠BFD+∠CDF+∠BCD＝360°，∴2∠CFB+2∠CFD＝270°，∴∠CFB+∠CFD＝135°