加强练07 圆与圆综合专练（解析版）-2023年中考数学二轮复习讲练测（上海专用）

加强练07圆与圆综合专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2022·上海杨浦·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．不能确定【答案】C【分析】根据勾股定理求得的长，根据AD=2CD，求得的长，根据DE∥BC，证明，求得，进而求得的长，勾股定理求得CE的长，进而比较圆心距与半径和，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：连接，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，∴，AD=2CD，AC=6，，．DE∥BC，，，．，．在中，．>．以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交．故选C．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．2．（2023春·上海·九年级名校校内测）如图，在一个边长为3的正方形内有两个互相外切的圆，且两圆都与正方形的两邻边相切，两圆心距为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，利用切线的性质得到OE=R，O′F=r，再根据正方形的性质得到∠BAC=∠BCA=45°，AC=3，所以OA=R，O′C=r，利用两圆外切性质得到OO′=R+r，从而得到R+R+r+r=3，然后求出R+r即可．【详解】解：如图，作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，则OE=R，O′F=r，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=AB=3，∴OA=R，O′C=r，∵⊙O与⊙O′外切，∴OO′=R+r，∴R+R+r+r=3，∴R+r==6-3，即两圆心距为6-3．故选：A．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆外切⇔d=R+r（其中d为两圆的圆心距，R、r为两圆的半径）．也考查了正方形的性质、勾股定理等知识．3．（2022·上海崇明·统考二模）中，已知，以点A、B、C为圆心的圆分别记作圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（

）A．圆A与圆C相交 B．圆B与圆C外切 C．圆A与圆B外切 D．圆A与圆B外离．【答案】D【分析】根据三角形的三边长确定两圆的圆心距，与两圆的半径的和比较后即可确定正确的选项．【详解】∵，∴，∵三个圆的半径长都等于2，∴任意两圆的圆心距都是4，∴圆A与圆C外切，圆B与圆C相交，圆A与圆B外离，故选：D．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的两边的长求得第三边的长，然后根据两圆的半径之和和两圆的圆心距的大小关系确定两圆的位置关系，难度不大．4．（2022春·上海·九年级上海市娄山中学校考期中）已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形，的余弦值为，分别以腰AB、CD为直径作圆，那么这两圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】B【分析】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，利用三角函数求得AB的长度，利用梯形中位线定理，两圆的位置关系判断即可．【详解】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，∵AD∥BC，∴AE=DF，∵对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形，∴AD：BC=2：3，设AD=2k，则BC=3k，∵cosB=，∴AB=5BE．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∴△ABE≌△DCF(HL)∴BE=CF．∵AE⊥BC，DF⊥BC，AE∥DF，AE=DF，∴四边形AEFD是矩形，∴AD=EF=2k，∴BE=，∴AB=5BE==CD．设AB的中点为M，CD的中点为N，连接MN，则MN是等腰梯形ABCD的中位线，∴BE=，∵AB=5BE==CD，∴圆M的半径等于圆N的半径，∴圆M的半径+圆N的半径==MN，故两个圆外切，故选B．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，三角形的全等，矩形的判定和性质，三角函数的应用，两个圆的位置关系，熟练掌握等腰梯形的性质，三角函数是解题的关键．5．（2022春·上海普陀·九年级校考期中）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（

）A．4OB7 B．5OB7 C．4OB9 D．2OB7【答案】A【分析】作⊙A半径AD，根据含30度角直角三角形的性质可得，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A与直线OP相切时的切点为D，∴，∵∠POQ=30°，⊙A半径长为2，即，∴，当⊙B与⊙A相切时，设切点为C，如下图，∵，∴，∴若⊙B与⊙A内含，则OB的取值范围为．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题6．（2023春·上海·九年级名校校内测）如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB＝3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是________．【答案】或．【分析】根据两圆内切时圆心距=两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．【详解】当点O在点A左侧时，⊙O半径r=,当点O在点B右侧时，⊙O半径r=.故填或.【点睛】此题考查圆与圆之间的位置关系，解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量之间的联系.7．（2021·上海·上海市实验学校校考二模）已知两圆半径分别为3和5，圆心距为d，若两圆没有交点，则d的取值范围是___________【答案】或．【分析】两圆相离，可能外离，或者内含，分情况即可求出d的取值范围．【详解】解：两圆相离有两种情况：内含时圆心距大于等于0，且小于半径之差，故；外离时圆心距大于半径之和，故，所以d的取值范围是或．故答案为：或．【点睛】本题考查根据两圆的位置关系判断圆心距与半径之间的关系，熟记概念是解题的关键．8．（2022春·上海静安·九年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）如图，∠MON=,P是∠MON的平分线上一点，PQ∥ON交OM于点Q，以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，如果以Q为圆心，半径为r的圆与⊙P相交，那么r的取值范围是_____.【答案】【分析】过点P作于A，于B，由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA、PB的值，再由两直线平行内错角相等可以得出，则可求出PQ长，最后算出两圆内切和外切时r的值，即可求解．【详解】过点P作于A，于B，∵以P为圆心，半径为8的圆与ON相切，∴B是切点，即，∵∠MON=，P是∠MON的平分线上一点，，，，，，在中，，∴当⊙P和⊙Q相切时，或者，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，切线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，要注意：两圆相切有内切外切两种，掌握圆与圆的位置关系以及切线判定是解题关键．9．（2023春·上海·九年级名校校内测）如图，Rt中,，，与相切，若与相交，则半径的取值范围是________．【答案】【分析】过点作于点，利用勾股定理计算出的长度，再利用等面积法计算出的长度，再根据切线的性质得到为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到，最后解不等式即可．【详解】解：过点作于点，如图，，，，，，与AB相切，为的半径，即的半径为2.4，与相交，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了相交圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，若两圆半径为，圆心距为，两圆相交，则．10．（2022春·上海奉贤·九年级校考期中）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于_____．【答案】3【分析】根据两圆内切的性质求出AB，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵⊙A的半径为2，⊙B的半径为6，⊙A与⊙B内切，∴AB＝6﹣2＝4，过点A作AD⊥BC于D，则BD＝BC＝3，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ABC的面积＝，故答案为：3．【点睛】本题考查了两个圆的位置关系，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握两个圆内切的性质是解题的关键．三、解答题11．（2022春·上海·九年级校考期中）已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6．求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21【分析】（1）连接，过作于点D，设AB与交于点E，由圆的对称性可得AE的长，由勾股定理可求得，从而可得AD的长，由垂径定理即可得AC的长；（2）由勾股定理可求得，从而可得的长，则可分别求得、的面积，则可求得四边形ACO1O2的面积．（1）解：连接，过作于点D，设AB与交于点E，如图由圆的对称性知：，在中，由勾股定理得：∵，AC∥O1O2∴∵∴∴四边形是平行四边形∵∴四边形是矩形，且AD=CD∴，∴AC=2AD=8（2）解：在中，由勾股定理得：∴∴，∴四边形ACO1O2的面积为：【点睛】本题考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握并正确运用是关键．12．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）已知：如图所示，P是∠MAN的边AN上的一个动点，B是边AM上的一个定点，以PA为半径作圆P，交射线AN于点C，过B作直线使∥AN交圆与D、E两点（点D、点E分别在点B的左侧和右侧），联结CE并延长，交射线AM于点F．联结FP，交DE于G，cos∠BAP=，AB＝5，AP＝x，BE=y，（1）求证：BG＝EG；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，求经过B、E两点且半径为的圆O与圆P的圆心距．【答案】（1）见解析；（2）y＝x﹣3+，定义域是x＞；（3）圆O与圆P的圆心距为或．【分析】（1）证明△FBG∽△FAP，得出比例线段，同理可得△FEG∽△FCP，得出，则可得出结论；（2）过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，连接PE，由锐角三角函数的定义及勾股定理可求出答案；（3）由等腰三角形的性质得出y+5＝2x，解方程求出x＝5，分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案．【详解】（1）证明：∵BGAP，∴∠FBG=∠FAP，∠FGB=∠FPA，∴△FBG∽△FAP，∴，∵GEPC，∴∠FEG=∠FCP，∠FGE=∠FPC，△FEG∽△FCP，∴，∴，∵AP＝PC，∴BG＝EG；（2）解：过点P作PK⊥DE于K，过点A作AQ⊥DE于点Q，∴∠AQK=∠QKP=90°，∵DEAP，∴AQ⊥AP，∴∠QAP=∠AQK=∠QKP=90°，∴四边形APKG为矩形，∴PK＝AQ，AP＝QK，∵cos∠BAP＝cos∠ABQ＝，AB＝5，∴BQ＝AB•cos∠ABQ＝×5＝3，∴AQ＝，∴PK＝4，∵AP＝x∴PE=AP=x，∴KE＝，又∵BK＝QK﹣QB＝x﹣3，∴BE＝BK+EG＝，∴y＝，当圆P过点B时，点D与点B重合，过B作BH⊥AP于H，∵AQ⊥AP，QBAH，∴∠Q=∠QAH=∠BHA=90°，∴四边形QAHB为矩形，∴AH=QB=QD=3，AQ=BH=4，在Rt△BHP中，由勾股定理即解得,∴AP＝，∴定义域是x＞；（3）当△BEF是以BF为腰的等腰三角形时，连结OG，直线OG交AC于V，当BF=EF时，点D与点B重合，不成立，∴BF＝BE，∴∠BFE=∠FEB，∵BEAC，∴∠ACF=∠BEF，∴∠AFC=∠ACF，∴AF=AC，∴y+5＝2x，∵y＝，∴2x﹣5＝，整理得,两边平方得,整理得,∴x＝5，∴BE＝5，∴BG=EG＝，∵圆O的半径为，在Rt△BOG中，BO=，根据勾股定理∴OG＝，∴EK=∴PV＝KG=3-GE=3-=，当圆心O在BE下方时，在Rt△PO2V中，由勾股定理∴O2P＝，当圆心O在BE上方时，∴OP＝．综合以上可得OP的长为或．【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，掌握三角形相似判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，列函数解析式，定义域，等腰三角形判定与性质，解无理方程，圆心距，利用辅助线准确构图是解题关键．13．（2022·上海长宁·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点，(1)当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系；(3)如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标【答案】(1)(2)相离,见解析(3)P【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）根据题意求得的坐标，计算的半径以及的长，即可判断⊙A和⊙C的位置关系；（3）根据抛物线的性质，以及的位置可得当且仅当时，△BAC与△AOC相似，分情况讨论，①当时，②当时，根据相似三角形的性质列出比例式，根据的坐标可得，联立解方程求得，的值，进而求得抛物线解析式，即可求得顶点的坐标(1)解：∵A（3，0），B的坐标为（﹣5，0），代入y＝﹣x2+2bx+c解得∴抛物线的解析式为：(2)由，令，解得，即的半径为,的半径为⊙A和⊙C的位置关系；相离(3)解：，对称轴为在抛物线上，则令，即解得点A在点B的右侧,∵△BAC与△AOC相似，而是直角三角形，又在轴上，在轴上，且在轴负半轴，∴当且仅当时，△BAC与△AOC相似①当时，则或解得或无解②当时，则或以上两个方程都无解综上所述，当时，抛物线解析式为，此时顶点坐标为当时，，不合题意，舍去综上所述，顶点P坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合，圆与圆的位置关系，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．14．（2022·上海闵行·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段于点E，交抛物线于点F，过点F作直线的垂线，垂足为点G.(1)求抛物线的表达式；(2)以点G为圆心，为半径画；以点E为圆心，为半径画.当与内切时.①试证明与的数量关系；②求点F的坐标.【答案】(1)(2)①，证明见解析；②【分析】（1）将抛物线的解析式可以写成的形式，与对比即可求出a，b的值，进而求出抛物线的表达式；（2）①画出大致图形，证明点B是与内切时的切点，即可得到；②设点F的坐标为，用含m的代数式分别表示出和，列等式即可求出m的值．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，，∴抛物线的解析式可以写成的形式，即，∴，，∴，，∴抛物线的表达式为．（2）解：由题意作图如下，①∵的圆心为G，的圆心为E，∴GE是与圆心的连线，∵两圆相切时，圆心的连线经过切点，∴当与内切时，GE经过切点，∵点B是线段GE延长线上的点，且在上，∴点B是与内切时的切点，∴点B在以点E为圆心，为半径的上，∴，②在中，令得，∴抛物线与y轴交于点C的坐标为，设直线BC的解析式为，将和的坐标代入，得，∴，∴设直线BC的解析式为．∵点F在抛物线上，∴设点F的坐标为，由题意轴，∴点E的坐标为，∵点F在BC的上方，∴，∵抛物线的对称轴为直线：，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵轴，∴，∴，∴．∵点E在线段BC上，∴，∴,∵，∴，整理得，，解得或3，当时，点E，F，B重合，此时不存在，故不合题意，应舍去，∴，当时，，∴求点F的坐标为．【点睛】本题考查求一次函数、二次函数的解析式，圆与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标的特征，三角函数解直角三角形等知识点，证明点B是与内切时的切点，进而得到是解题的关键．15．（2021·上海杨浦·统考二模）如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝15，cot∠BAC＝，点P是射线AB上一点，联结PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．（1）当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径；（2）当圆心O到直线AB的距离为时，求线段AP的长；（3）试讨论以线段PQ长为半径的⊙P与⊙O的位置关系，并写出相应的线段AP取值范围．【答案】（1）；（2）3或6或；（3）当⊙O与⊙P内含时，0＜AP＜12．当⊙O与⊙P内切时，AP＝12．当⊙O与⊙P相交时，12＜AP＜18【分析】（1）解直角三角形求出PA即可．（2）分两种情形：如图，当点O在射线AB的上方时，，当点O在射线AB的下方时，分别利用相似三角形的性质求解即可．（3）求出两圆内切时AP的值，条件⊙O与AC相切于时A时，AP的值，即可判断．【详解】解：（1）如图，∵点O在PA上，PQ是⊙O的切线，∴PQ⊥AP，∵cot∠PAQ＝＝，∴可以假设PA＝3k，PQ＝4k，则AQ＝5k＝15，∴k＝3，∴PA＝9，PQ＝12，∴⊙O的半径为．（2）如图，当点O在射线AB的上方时，过点Q作QK⊥AB于K，过点O作OH⊥AB于H．∵PQ是⊙O的切线，∴∠PHO＝∠OPQ＝∠PKQ＝90°，∴∠OPH+∠QPK＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∴△PHO∽△QKP，∴设PA＝2m，则AH＝PH＝m，PK＝9﹣2m，∴解得，m＝或3，经检验，x＝，3是分式方程的解，且符合题意．∴AP＝3或6．如图，当点O在射线AB的下方时，同法可得AP＝．综上所述，满足条件的AP的值为3或．（3）如图，当⊙P与⊙O内切时，由△PHO∽△QKP，可得,∵OH⊥AP，∴AH＝PH，∴AP＝2PH，QK＝2PH，∴PA＝QK＝12，如图，当⊙O与AC相切于点A时，∵∠OAQ＝∠OPQ＝90°，