数学复习顶层设计配餐作业函数模型及其应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精配餐作业（十二)函数模型及其应用(时间:40分钟)一、选择题1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是（）A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得，故选C.答案C2．某家具的标价为132元,若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％(相对进货价)，则该家具的进货价是(）A．118元 B．105元C．106元 D．108元解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10％）－a＝10%·a，解得a＝108。故选D。答案D3．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案。据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量）逐步提高的是()解析选项B中，Q的值随t的变化越来越快。故选B。答案B4．(2017·北京模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18％,经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y＝f（x）的图象大致为(）解析设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%,所以经过x年，绿化面积g(x）＝a（1＋18％）x,因为绿化面积与原绿化面积之比为y,则y＝f(x）＝eq\f(gx,a）＝（1＋18％）x＝1.18x，因为y＝1.18x为底数大于1的指数函数,故可排除C，当x＝0时，y＝1，可排除A，B，故选D。答案D5．某校为了规范教职工绩效考核制度,现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x（正常情况下0≤x≤100,且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y（元）。要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少。则下列函数最符合要求的是（)A．y＝（x－50）2＋500B．y＝＋500C．y＝eq\f(1，1000）(x－50）3＋625D．y＝50［10＋lg（2x＋1）］解析由题意知,拟定函数应用满足:①是单调递增函数,且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500。A中，函数y＝(x－50）2＋500先减后增,不符合要求；B中，函数y＝＋500是指数型函数,增长速度是越来越快的,不符合要求；D中,函数y＝50[10＋lg(2x＋1)］是对数型函数，增长速度是越来越慢的，不符合要求；而C中,函数y＝eq\f（1,1000）(x－50）3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求。故选C。答案C二、填空题6．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f（m)＝1。06(0。5［m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数（如［3］＝3,[3.7］＝3,［3.1］＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元.解析∵m＝6.5，∴［m]＝6，则f（m）＝1.06×(0。5×6＋1）＝4。24.答案4。247．(2016·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2。4万元，同时汽车年折旧率约为10％(即这辆车每年减少它的价值的10%),试问，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费）达到14。4万元？解析设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14。4（1－0。9x)＋2。4x＝14.4。化简得：x－6×0。9x＝0,令f(x)＝x－6×0.9x。因为f（3)＝－1。374〈0,f（4）＝0。0634〉0,所以函数f（x)在(3，4）上应有一个零点。故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元。答案48．（2017·湖南五市联考）有一支队伍长L米,以一定的速度匀速前进.排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回,且往返速度不变。如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为________。解析设传令兵的速度为v′，队伍行进速度为v，则传令兵从排尾到排头的时间为eq\f(L,v′－v)，从排头到排尾的时间为eq\f(L,v′＋v），往返共用时间为t＝eq\f（L，v′－v)＋eq\f(L，v′＋v)，则传令兵往返路程S＝v′t。由于传令兵回到排尾后,整个队伍正好前进了L米，则L＝vt。故t（v′2－v2)＝2v′L，可得t2（v′2－v2)＝2v′tL，即（v′t）2－2L（v′t)－L2＝0，解得v′t＝（1＋eq\r（2))L，故传令兵所走的路程为(1＋eq\r(2))L。答案(1＋eq\r（2)）L三、解答题9.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE＝4米，CD＝6米。为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上.(1）设MP＝x米,PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；（2)求矩形BNPM面积的最大值。解析(1）作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y,EQ＝x－4,在△EDF中，eq\f(EQ，PQ）＝eq\f（EF，FD），所以eq\f(x－4，8－y）＝eq\f(4，2）,所以y＝－eq\f(1,2）x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}。(2）设矩形BNPM的面积为S,则S(x)＝xy＝xeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(10－\f(x，2)))＝－eq\f（1，2)(x－10）2＋50,所以S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈［4，8］时,S（x)单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米。答案(1)y＝－eq\f(1,2）x＋10，定义域为｛x|4≤x≤8｝（2)48平方米10．（2016·抚顺模拟）近年来,某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积（单位：平方米)成正比，比例系数约为0。5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式。假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米）之间的函数关系是C(x）＝eq\f（k,20x＋100）（x≥0,k为常数)。记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和。(1)试解释C（0）的实际意义，并建立y关于x的函数关系式;（2）当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？解析(1)C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时，该企业每年消耗的电费。由C（0）＝eq\f(k,100）＝24,得k＝2400,所以y＝15×eq\f(2400，20x＋100）＋0.5x＝eq\f(1800，x＋5）＋0。5x,x≥0.（2）因为y＝eq\f(1800,x＋5）＋0.5（x＋5)－2。5≥2eq\r(1800×0.5）－2。5＝57.5，当且仅当eq\f（1800,x＋5）＝0．5（x＋5)，即x＝55时取等号，所以当x为55平方米时，y取得最小值，为57.5万元。答案（1）C（0)的意义见解析y＝eq\f(1800，x＋5）＋0.5x，x≥0(2）当x为55平方米时，y取得最小值，为57.5万元(时间:20分钟）1．（2017·秦皇岛模拟）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq\r（3)平方米,且高度不低于eq\r(3)米。记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y米。要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为(）A．［2,4］ B．[3，4］C．［2，5］ D．[3，5］解析根据题意知，9eq\r(3)＝eq\f（1，2）（AD＋BC）h，其中AD＝BC＋2·eq\f(x,2)＝BC＋x,h＝eq\f(\r（3），2)x，所以9eq\r（3）＝eq\f(1，2）(2BC＋x）eq\f（\r(3）,2)x，得BC＝eq\f（18,x）－eq\f(x，2），由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r（3),2）x≥\r（3),,BC＝\f（18,x）－\f（x，2)〉0，）)得2≤x<6。所以y＝BC＋2x＝eq\f（18,x）＋eq\f(3x，2）(2≤x〈6），由y＝eq\f（18,x)＋eq\f（3x,2）≤10。5，解得3≤x≤4。因为[3，4]⊆[2,6）,所以腰长x的范围为[3,4]。故选B。答案B2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”。在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据。根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4。00分钟 D．4.25分钟解析由实验数据和函数模型知,二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点（3，0。7），（4，0。8),（5，0.5），分别代入解析式，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0.7＝9a＋3b＋c，,0。8＝16a＋4b＋c,，0。5＝25a＋5b＋c,)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－0.2，，b＝1.5,,c＝－2.））所以p＝－0。2t2＋1。5t－2＝－0.2(t－3。75)2＋0。8125，所以当t＝3。75分钟时，可食用率p最大。故选B.答案B3．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克,根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品日供应量p万千克、日需求量q万千克近似地满足关系：p＝2（x＋4t－14)(t>0），q＝24＋8lneq\f(20,x）。当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格.（1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克?解析(1）由p＝q得2（x＋4t－14）＝24＋8lneq\f（20,x）(16≤x≤24,t〉0)，即t＝eq\f(13,2)－eq\f(1，4)x＋lneq\f（20，x）(16≤x≤24）。因为t′＝－eq\f（1，4)－eq\f（1,x)<0，所以t是x的减函数.所以tmin＝eq\f（13,2)－eq\f(1，4)×24＋lneq\f（20，24）＝eq\f(1，2)＋lneq\f(20，24）＝eq\f(1，2）＋lneq\f(5,6）;tmax＝eq\f（13，2）－eq\f（1,4）×16＋lneq\f（20,16）＝eq\f（5,2)＋lneq\f(5，4），所以值域为eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)＋ln\f（5，6),\f(5，2)＋ln\f（5，4))）。(2)由（1）知t＝eq\f(13，2)－eq\f(1,4)x＋lneq\f(20，x）(16≤x≤2