数学复习顶层设计配餐作业平面向量的概念及其线性运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精配餐作业(二十六）平面向量的概念及其线性运算(时间:40分钟)一、选择题1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反 B．a与λ2aC．｜－λa｜≥|a| D．｜－λa|≥|λ|·a解析对于A，当λ〉0时，a与λa的方向相同，当λ<0时,a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa｜＝｜－λ｜|a｜,由于｜－λ|的大小不确定,故｜－λa|与｜a｜的大小关系不确定；对于D，｜λ｜a是向量，而|－λa|表示长度,两者不能比较大小。故选B.答案B2．已知向量a,b,c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝（）A．a B．bC．c D．0解析依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有（a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0。故选D。答案D3．设M是△ABC所在平面上的一点，且eq\o(MB，\s\up6(→)）＋eq\f(3，2)eq\o(MA，\s\up6(→））＋eq\f（3,2）eq\o（MC,\s\up6（→）)＝0,D是AC的中点,则eq\f（｜\o(MD,\s\up6(→))|,｜\o（BM,\s\up6（→)）|)的值为()A.eq\f（1,3) B。eq\f（1，2)C．1 D．2解析∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD，∴四边形MAEC为平行四边形,∴eq\o（MD,\s\up6（→))＝eq\f（1，2）eq\o（ME,\s\up6(→)）＝eq\f（1,2)(eq\o(MA，\s\up6（→))＋eq\o(MC，\s\up6（→）))。∵eq\o(MB,\s\up6（→））＋eq\f(3,2)eq\o（MA，\s\up6（→）)＋eq\f（3，2)eq\o（MC，\s\up6(→））＝0,∴eq\o(MB,\s\up6(→)）＝－eq\f(3，2）(eq\o（MA，\s\up6（→）)＋eq\o（MC,\s\up6(→）)）＝－3eq\o(MD，\s\up6（→))，∴eq\f(|\o（MD，\s\up6(→)）｜,｜\o(BM，\s\up6(→）)｜)＝eq\f(｜\o(MD，\s\up6（→）)|，|－3\o(MD,\s\up6(→））|)＝eq\f（1，3)，故选A。答案A4．设D，E,F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点,且eq\o(DC，\s\up6（→))＝2eq\o(BD,\s\up6（→))，eq\o（CE,\s\up6(→）)＝2eq\o(EA,\s\up6（→））,eq\o(AF,\s\up6(→））＝2eq\o（FB，\s\up6（→）)，则eq\o（AD，\s\up6（→））＋eq\o（BE，\s\up6(→））＋eq\o(CF,\s\up6(→))与eq\o（BC,\s\up6(→)）(）A．反向平行 B．同向平行C．互相垂直 D．既不平行也不垂直解析由题意得eq\o(AD,\s\up6（→）)＝eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o(BD,\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\f（1,3）eq\o(BC,\s\up6（→）)，eq\o（BE,\s\up6（→)）＝eq\o（BA,\s\up6(→))＋eq\o（AE，\s\up6(→）)＝eq\o(BA,\s\up6(→）)＋eq\f（1,3)eq\o（AC,\s\up6（→)),eq\o（CF,\s\up6（→)）＝eq\o(CB，\s\up6（→)）＋eq\o（BF,\s\up6(→）)＝eq\o(CB,\s\up6(→)）＋eq\f（1，3）eq\o(BA，\s\up6（→))，因此eq\o(AD,\s\up6(→)）＋eq\o（BE，\s\up6(→））＋eq\o（CF，\s\up6(→）)＝eq\o(CB,\s\up6(→））＋eq\f(1，3）（eq\o(BC，\s\up6（→）)＋eq\o(AC，\s\up6（→））＋eq\o（BA,\s\up6(→))）＝eq\o（CB,\s\up6（→))＋eq\f（2，3)eq\o（BC,\s\up6(→))＝－eq\f（1,3)eq\o(BC，\s\up6（→）)，故eq\o(AD，\s\up6（→)）＋eq\o（BE,\s\up6（→）)＋eq\o（CF，\s\up6(→)）与eq\o（BC,\s\up6（→））反向平行。故选A.答案A5．(2016·河南中原名校联考）如图,在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC,E为BC边上一点，eq\o(BC，\s\up6(→））＝3eq\o（EC,\s\up6(→）),F为AE的中点,则eq\o(BF,\s\up6（→))＝（)A.eq\f(2，3）eq\o（AB，\s\up6(→)）－eq\f（1，3)eq\o(AD，\s\up6（→））B.eq\f（1,3)eq\o(AB,\s\up6（→))－eq\f(2,3）eq\o（AD,\s\up6(→）)C．－eq\f（2，3）eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\f（1，3）eq\o（AD,\s\up6(→）)D．－eq\f(1,3)eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\f（2,3)eq\o（AD，\s\up6(→))解析解法一:如图，取AB的中点G,连接DG，CG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(GD，\s\up6(→）)＝eq\o(AD，\s\up6(→)）－eq\o（AG,\s\up6（→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→））－eq\f(1,2)eq\o（AB，\s\up6（→))，∴eq\o(AE,\s\up6（→))＝eq\o(AB，\s\up6（→))＋eq\o（BE，\s\up6（→））＝eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\f(2，3)eq\o（BC，\s\up6（→)）＝eq\o（AB，\s\up6(→)）＋eq\f（2，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\o（AD,\s\up6（→)）－\f(1,2）\o(AB,\s\up6(→）)))＝eq\f（2，3）eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\f（2，3）eq\o（AD，\s\up6(→)），于是eq\o(BF,\s\up6（→)）＝eq\o（AF,\s\up6（→））－eq\o(AB，\s\up6(→）)＝eq\f(1,2）eq\o（AE,\s\up6(→）)－eq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\f（1，2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2，3）\o（AB,\s\up6(→）)＋\f(2，3)\o（AD,\s\up6(→)))）－eq\o(AB，\s\up6(→)）＝－eq\f（2，3）eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\f（1,3）eq\o（AD，\s\up6(→))，故选C。解法二：eq\o(BF，\s\up6(→）)＝eq\o(BA,\s\up6(→)）＋eq\o（AF，\s\up6（→））＝eq\o（BA,\s\up6（→)）＋eq\f（1，2)eq\o（AE,\s\up6(→））＝－eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\f(1，2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\o（AD,\s\up6（→)）＋\f(1,2）\o（AB，\s\up6（→）)＋\o（CE,\s\up6(→）)）)＝－eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\f(1，2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6（→)）＋\f（1，2)\o(AB，\s\up6（→）)＋\f(1,3)\o（CB,\s\up6(→））)）＝－eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\f(1,2）eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\f（1,6）(eq\o(CD,\s\up6（→）)＋eq\o（DA,\s\up6(→)）＋eq\o（AB,\s\up6（→)）)＝－eq\f(2，3）eq\o（AB，\s\up6(→））＋eq\f(1，3)eq\o（AD,\s\up6(→））。故选C.答案C6．(2017·天水模拟)A、B、O是平面内不共线的三个定点，且eq\o（OA，\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→）)＝b，点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R，则eq\o(PR，\s\up6(→)）＝(）A．a－b B．2(b－a)C．2（a－b） D．b－a解析eq\o(PR，\s\up6（→)）＝eq\o(OR,\s\up6（→))－eq\o(OP，\s\up6(→)）＝（eq\o(OR,\s\up6（→)）＋eq\o（OQ，\s\up6（→）))－（eq\o（OP,\s\up6(→)）＋eq\o(OQ,\s\up6(→）)）＝2eq\o（OB,\s\up6（→））－2eq\o（OA，\s\up6（→))＝2(b－a)。故选B.答案B7．（2016·日照模拟）在△ABC中，P是BC边的中点，角A,B,C的对边分别是a，b，c,若ceq\o（AC，\s\up6（→）)＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o（PB，\s\up6(→））＝0，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形但不是等边三角形解析如图，由ceq\o（AC,\s\up6（→)）＋aeq\o(PA,\s\up6(→）)＋beq\o（PB，\s\up6（→））＝0知，c(eq\o（PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→））)＋aeq\o（PA,\s\up6（→))－beq\o（PC,\s\up6(→))＝（a－c)eq\o（PA,\s\up6（→))＋（c－b）eq\o（PC,\s\up6（→)）＝0，而eq\o(PA，\s\up6（→))与eq\o（PC,\s\up6（→))为不共线向量，∴a－c＝c－b＝0,∴a＝b＝c。故选A.答案A8．(2016·广东惠州三调)已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA,\f(1，2）)）与向量n＝（3,sinA＋eq\r(3）cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(）A.eq\f（π，6） B.eq\f（π，4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析∵m∥n,∴sinA·(sinA＋eq\r（3)cosA）－eq\f（3,2)＝0，∴eq\f（1－cos2A，2)＋eq\f(\r(3），2)sin2A－eq\f（3，2）＝0,eq\f(\r(3）,2)sin2A－eq\f(1,2）cos2A＝1，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6））)＝1。∵A∈(0，π)，∴2A－eq\f（π，6)∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，6），\f（11π,6））)，∴2A－eq\f（π，6)＝eq\f(π，2)，A＝eq\f（π，3),故选C。答案C二、填空题9．在▱ABCD中，eq\o（AB，\s\up6（→))＝a，eq\o（AD，\s\up6（→)）＝b，eq\o(AN,\s\up6（→))＝3eq\o(NC，\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq\o(MN,\s\up6（→)）＝________(用a，b表示）。解析由eq\o(AN,\s\up6（→)）＝3eq\o(NC，\s\up6（→）），得4eq\o(AN，\s\up6(→）)＝3eq\o（AC，\s\up6(→)）＝3(a＋b)，eq\o(AM，\s\up6(→))＝a＋eq\f（1，2)b，所以eq\o(MN，\s\up6（→））＝eq\f(3，4）(a＋b)－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a＋\f（1,2)b））＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1，4)b。答案－eq\f（1，4）a＋eq\f（1，4）b10.(2017·包头模拟)如图,在△ABC中,AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点,若eq\o（AM,\s\up6（→））＝λeq\o（AB，\s\up6（→））＋μeq\o（AC，\s\up6(→)）,则λ＋μ＝________。解析∵eq\o(AM，\s\up6（→)）＝eq\f（1，2）(eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（BH,\s\up6(→）)）＝eq\f(1，2）［eq\o（AB,\s\up6（→))＋x（eq\o（AB,\s\up6（→）)－eq\o（AC,\s\up6（→))）]＝eq\f(1，2）[（1＋x）eq\o（AB,\s\up6(→）)－xeq\o(AC,\s\up6(→））］,又∵eq\o(AM，\s\up6（→))＝λeq\o（AB，\s\up6(→））＋μeq\o(AC,\s\up6(→）），∴1＋x＝2λ，2μ＝－x,∴λ＋μ＝eq\f（1，2)。答案eq\f(1,2)11．△ABC所在的平面内有一点P，满足eq\o（PA,\s\up6（→））＋eq\o(PB,\s\up6(→））＋eq\o（PC，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6（→））,则△PBC与△ABC的面积之比是________。解析因为eq\o（PA,\s\up6（→）)＋eq\o（PB,\s\up6(→））＋eq\o(PC，\s\up6（→））＝eq\o（AB,\s\up6（→)），所以eq\o（PA，\s\up6(→）)＋eq\o(PB,\s\up6(→）)＋eq\o（PC，\s\up6(→）)＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→）),所以eq\o(PC，\s\up6(→）)＝－2eq\o（PA，\s\up6（→)）＝2eq\o(AP,\s\up6（→）)，即P是AC边上的一个三等分点,且PC＝eq\f（2，3）AC，由三角形的面积公式可知，eq\f(S△PBC,S△ABC）＝eq\f（PC，AC)＝eq\f(2,3）。答案eq\f(2,3）12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足｜eq\o(OB，\s\up6（→))－eq\o（OC，\s\up6(→）)|＝｜eq\o(OB，\s\up6（→)）＋eq\o(OC，\s\up6（→））－2eq\o（OA，\s\up6（→)）|，则△ABC的形状为________。解析eq\o(OB,\s\up6（→))＋eq\o（OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA，\s\up6(→)）＝eq\o(OB，\s\up6（→））－eq\o（OA，\s\up6（→)）＋eq\o（OC,\s\up6（→))－eq\o(OA，\s\up6（→））＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o（AC，\s\up6（→))，eq\o(OB,\s\up6（→))－eq\o（OC，\s\up6（→)）＝eq\o(CB，\s\up6（→）)＝eq\o(AB，\s\up6(→））－eq\o（AC,\s\up6(→）),∴｜eq\o(AB，\s\up6(→)）＋eq\o(AC，\s\up6(→）)|＝|eq\o(AB，\s\up6（→））－eq\o（AC,\s\up6（→））｜。故eq\o（AB，\s\up6(→)）⊥eq\o（AC,\s\up6（→）），△ABC为直角三角形。答案直角三角形（时间：20分钟)1．（2016·石家庄一模)A，B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→)）＝λeq\o（OA，\s\up6（→））＋μeq\o(OB,\s\up6(→)）（λ，μ∈R）,则λ＋μ的取值范围是（)A．(0，1） B．（1，＋∞）C．（1，eq\r（2)] D．（－1，0)解析设eq\o（OC，\s\up6(→））＝meq\o(OD,\s\up6(→）)（m>1)，因为eq\o(OC，\s\up6(→）)＝λeq\o（OA,\s\up6(→）)＋μeq\o(OB，\s\up6（→））,所以meq\o(OD，\s\up6(→))＝λeq\o(OA，\s\up6(→)）＋μeq\o（OB,\s\up6（→）），即eq\o（OD，\s\up6（→)）＝eq\f（λ，m)eq\o（OA，\s\up6（→)）＋eq\f(μ，m)eq\o（OB,\s\up6(→）)，又知A，B，D三点共线，所以eq\f（λ，m)＋eq\f(μ，m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ〉1，故选B。答案B2．（2016·安徽十校联考)已知A、B、C三点不共线，且eq\o(AD，\s\up6(→）)＝－eq\f（1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)）＋2eq\o（AC，\s\up6（→)），则eq\f（S△ABD，S△ACD）＝（)A。eq\f（2,3) B。eq\f（3,2）C．6 D。eq\f（1,6）解析如图，取eq\o（AM，\s\up6（→））＝－eq\f（1，3)eq\o(AB，\s\up6(→）)，eq\o（AN，\s\up6(→））＝2eq\o(AC，\s\up6（→))，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN。此时eq\o（AD,\s\up6(→)）＝－eq\f(1,3）eq\o（AB,\s\up6(→））＋2eq\o（AC,\s\up6（→)）。由图可知S△ABD＝3S△AMD,S△ACD＝eq\f（1,2)S△AND，而S△AMD＝S△AND,∴eq\f（S△ABD,S△ACD)＝6，故选C。答案C3．(2016·蚌埠质检)已知AC⊥BC，AC＝BC,D满足eq\o（CD，\s\up6(→））＝teq\o（CA,\s\up6（→））＋(1－t）eq\o(CB，\s\up6（→))，若∠ACD＝60°，则t的值为（）A.eq\f（\r（3)－1,2） B.eq\r（3)－eq\r(2)C。eq\r（2）－1 D.eq\f(\r（3）＋1，2）解析由题意，知D在线段AB上，如图,过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，设AC＝BC＝a，则由eq\o（CD,\s\up6（→）)＝