数学复习分类汇编平面向量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第五章平面向量第一节平面向量的线性运算及其坐标表示题型59向量的概念及共线向量1.（2016北京理4）设是向量,则“”是“”的（）.A。充分而不必要条件B。必要而不充分条件C。充分必要条件D.既不充分也不必要条件1.D解析因为,所以由此可知，“"是“”的既不充分也不必要条件。故选D。题型60平面向量的线性表示1.（2013浙江理17)设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________.2。（2014浙江理8）记，,设为平面向量，则(）.A. B.C。D。题型61向量共线的应用1.（2013江苏10）设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为.2．(2015全国2理13）设向量不平行，向量与平行，则实数．2。解析根据向量平行的条件，因为向量与平行，所以，则有解得,所以．3。（2017全国3理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为(）.A．3 B． C。 D．23。解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴,为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是斜边上的高．，即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，,．因为,所以,．两式相加得（其中，），当且仅当，时，取得最大值为3．故选A。解法二:如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线,可得的最大值为3。2。(2017浙江理15）已知向量，满足，，则的最小值是，最大值是.解析解法一：如图所示，和是以为邻边的平行四边形的两条对角线,则,是以为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形，平行四边形．所以．易知当，B，C三点共线时,最小，此时；当时,最大，此时．解法二：（是向量，的夹角）.所以当时，取得最小值4；当时,取得最大值。题型62平面向量基本定理及应用1。（2013天津理12）在平行四边形中，，，为的中点．若,则的长为．2．（2013江西理12）设，为单位向量．且，的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为．3．（2013四川理12）在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________．4。（2014大纲理4)若向量满足：，，，则().A．2B．C．1D．5.（2014广东理5)已知向量则下列向量中与成夹角的是（）。A．B.C.D.6。（2014天津理8）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，.若，，则(）.A.B。C。D。7。(2014新课标2理3）设向量满足，，则（）.A。B。C.D。8。（2014江苏理12）如图,在平行四边形中，已知，，，，则的值是．9.（2014江西理14）已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为,则.10.（2014山东理12）在中，已知，当时，的面积为。11。（2014新课标1理15）已知是圆上的三点,若，则与的夹角为.12．（2015全国1理7）设为所在平面内一点,,则（).A．B．C．D．12．解析由题可得，所以，所以．故选A．13．（2015北京理13）在中，点,满足，。若,则；.13．解析在中，点满足，点满足，则，因此，.14.(2016四川理10)在平面内，定点，,,满足,=﹒=﹒=，动点，满足,,则的最大值是（）.A。B.C.D.14.B解析甴已知易得,.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，，。设，由已知，得。又,所以,所以。因此。它表示圆上的点与点距离平方的，所以.故选.15.(2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量,,的模分别为，,，与的夹角为，且,与的夹角为．若，则．15。解析解法一：由题意（*)而由，得，,．将（＊）式化简为式①加式②，得．故填．解法二（坐标法）：如图所示，以所在的直线为轴,过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系,由题意结合解法一可得，，，由，得，即，解得,故．故填．解法三（解三角形）:由，可得,，如图所示，根据向量的分解，易得，即，即，解得，所以．题型63平面向量的坐标运算1.(2014福建理8）在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（）。A。B.C.D.2。(2014湖南理16）在平面直角坐标系中，为原点,，，，动点满足，则的最大值是________.3.（2014陕西理13）设，向量，若，则_______.4.（2014陕西理18）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域(含边界）上。（1）若，求；（2）设，用表示，并求的最大值.5．(2015年江苏6）已知向量，,若,则的值为．5．解析由题意,从而，解得，故．评注也可以将用与线性表示，如:．6。（2017江苏13）在平面直角坐标系中,点，，点在圆上．若，则点的横坐标的取值范围是．6.解析不妨设，则，且易知．因为，故．所以点在圆上，且在直线的左上方(含直线）.联立，得，，如图所示，结合图形知．故填．评注也可以理解为点在圆的内部来解决，与解析中的方法一致．题型64向量共线（平行）的坐标表示--暂无第二节平面向量的数量积题型65平面向量的数量积1.（2013湖北理6）已知点,，，，则向量在方向上的投影为(）。A．B．C．D．2。（2013福建理7)在四边形中，，，则该四边形的面积为（)。A.B。C.D。3。（2013安徽理9)在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域的面积是（）。A.B。C。D.4。（2013辽宁理3）已知点，则与向量同方向的单位向量为(）.A.B.C.D.5。(2013湖南理6）已知是单位向量，。若向量满足则的取值范围是（).A．B．C．D．6。(2013重庆理10）在平面上，，,。若，则的取值范围是（）。A。B.C。D.7。(2013浙江理7）设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有，则（)。A.B.C。D.12。（2013全国新课标卷理13)已知正方形的边长为，为的中点，则.8。（2013山东理15）已知向量与的夹角为,且，,若，且,则实数的值为____________。9。（2014安徽理10）在平面直角坐标系中，已知向量，，,点满足.曲线，区域.若为两段分离的曲线，则(）。A.B.C。D.10。（2014辽宁理5）设是非零向量,已知命题：若,，则；命题：若，，则，则下列命题中真命题是（）.A．B．C．D．11。（2014四川理7）平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角,则()。A．B．C．D．12.（2014重庆理4）已知向量，且，则实数()。A.B。C.D。13.（2014北京理10）已知向量,满足，，且,则________。14.(2014湖北理11)设向量，，若，则实数________.在中，内角的对边，且。已知，，。求：（1）和的值；（2）的值.15．（2015安徽理8)是边长为的等边三角形,已知向量,满足，，则下列结论正确的是（）。A．B．C．D．15．解析解法一：对于选项A，因为，故，所以，选项A错误;对于选项Ｂ，因为,，所以与不垂直，选项B错误；对于选项C,因为，选项C错误；对于选项D，因为，选项D正确．故选D．解法二：对于选项D，过点作于点，则点为的中点，所以．故选D．16．（2015福建理9）．已知，若点是所在平面内一点,且，则的最大值等于（）.A．13B．15C．19D．2116．解析以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示,则，,，即，所以，，因此．由题可得,所以，所以的最大值等于13，当，即时，等号成立．故选A．17．（2015全国1理5）已知是双曲线上的一点，,是的两个焦点，若，则的取值范围是（）。A．B．C．D．17．解析由题可得，，且，即，所以，解得．故选A．18．（2015山东理4）已知菱形的边长为，，则(）。A． B． C． D．18．解析解法一：如图所示,在菱形中，，各边长均为,,，所以．故选D．解法二：由题可求得，与的夹角为,所以．故选D．19．（2015陕西理7）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）．A．B．C．D．19．解析解法一:，矛盾,B不正确。故选B.解法二：从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得，，B不正确。故选B.20．（2015四川理7)设四边形为平行四边形，，.若点满足，，则（)。A.B。C。D。20．解析，，所以。故选C.21．（2015重庆理6）若非零向量，满足,且，则与的夹角为(）。A。B.C。D。21．解析设与的夹角为，根据题知，得，所以，，在由，得，，即．故选A．22．（2015年湖北理11）．已知向量，,则．22．解析因为,所以即，，故填9。23．(2015天津理14）在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为。23．解析因为，，，，，，当且仅当，即时，的最小值为.24．(2015浙江理15）已知是空间单位向量,,若空间向量满足，且对于任意,,则,,．24。解析由已知可得，,。如图所示，空间向量在确定的平面内的射影是，则，设，则,在中,由余弦定理得，解得。。25．（2015年广东理16）在平面直角坐标系中，已知向量，。若，求的值；若与的夹角为，求的值。25．解析（1）因为,，且,所以,所以，所以．（2)由（1)依题知，所以．又因为，所以,即．26。（2016全国丙理3)已知向量，，则（）.A.B.C.D.26.A解析由。又，所以.故选A.27。（2016全国甲理3）已知向量，，且,则（).A。 B。 C.6 D。827.D解析因为，且，所以，解得.故选D．28.（2016山东理8）已知非零向量，满足，.若，则实数的值为（）。A．B．C．D．–28.B解析因为,由,所以，即，所以—4.故选B.29.（2016天津理7）已知是边长为1的等边三角形，点,分别是边，的中点,连接并延长到点，使得,则的值为（）。A。B。C.D。29。B解析由题意作图，如图所示.则。故选B。30.（2016全国乙理13)设向量，，且，则.30.解析因为，故，即.所以，得。31。(2016上海理12）在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是．31.解析表示单位圆的上半圆（包括端点）,不妨设，，，．32。（2016江苏13）如图所示，在中，是的中点，是上两个三等分点，,，则的值是．32.解析解法一（基底法）：令，,则，,，则，,，，，，故，,因此，．故．解法二(建系法）:可以考虑以为原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设,，则，，．则，,,，，，由题意，，因此，。故．评注特别地，可以假定,建立特殊的直角坐标系．这类问题以前也遇到过，比如下面一题．在平面四边形中,点，分别是边，的中点，且，,．若，则．解析解法一（配凑）：由题意得,，从而，平方整理得．（或)．故．解法二(建系）:建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设,，从而，,．由题意，从而,即通过，求解,①②得，即④，而③即为⑤，⑤④得，即．可见,强制建系归根结底转化为恰当的代数（强烈的目标意识）处理，而合理的建系会对运算起到简化作用．33。（2016浙江理15）已知向量,，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是．33.解析由题意可得,由于为任意的单位向量，有①,.当与平行时，①式第一个小于等于号可取等号。当时，有.取与的夹角余弦值的与，与平行时，上述等号都成立,可取到.34。（2017天津理13）在中，，，。若，，且,则的值为___________。34.解析解法一:如图所示，以向量，为平面向量的基底,则依题意可得。又因为，则，则，解得。解法二：以点为坐标原点，以所在的直线为轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得，，，,,.则可得，,于是有,解得.35。（2017北京理6）设，为非零向量,则“存在负数，使得”是“”的（）。A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C。充分必要条件 D.既不充分也不必要条件35.解析若,使,即两向量方向相反，夹角为,则.若，也可能夹角为，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A。36。（2017全国1理13）13.已知向量,的夹角为，,,则。36。解析，所以。37.（2017全国2理12）已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是(）。A.B。C。D。37.解析解法一（几何法）:如图所示，取的中点,联结，取的中点,由,则，当且仅当，即点