2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题9.10 平行四边形中常见的四种思想方法专项训练（30道）（苏科版）含解析

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列专题9.10平行四边形中常见的四种思想方法【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中常见的四种思想方法的理解！【类型1整体思想】1.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A关于BE的对称点A′落在CD上，△DEA′的周长为8，△CBA′的周长为18，则A′C的长为__________.2.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于__________.3.（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．4.（2022春·河南南阳·八年级统考期末）在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．5.（2022秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，连接BE、DF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若平行四边形ABCD的周长为26，面积为183，且∠A＝60°，当BE平分∠ABC时，则四边形BEDF的周长为____．6.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．7.（2023春·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【类型2转化思想】8.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AB=4，BC=6，则图中阴影部分的面积为

(

)A.4 B.6 C.12 D.249.如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=3，则S1A.3 B.6 C.12 D.2410.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q，若S△APD=20cm2，S11.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为__________.12.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（）．A．5 B．4 C．3 D．213.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是△GEF面积的____倍．14.（2020秋·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN．若AB=3，BC=2515.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝_____．【类型3分类讨论思想】16.在▱ABCD中，已知AB=6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1:3两部分，则AD的长为__________.17.在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20∘，则∠A的度数为__________.18.已知在▱ABCD中，AE为BC边上的高，且AE=12，若AB=15，AC=13，则▱ABCD的面积为__________.19.（2023春·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为20.（2022春·江苏扬州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m＋1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_____．21.（2019春·福建泉州·八年级校考期末）在直角坐标系内，将横坐标、纵坐标都是整数的点称作“整点”.设A0,0，B3,0，Cm+3,3，Dm,3（22.（2019·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_____．【类型4方程思想】23.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EB//DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是__________.24.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(3,3)，点E、F分别在边BC、BA上，CE=1，若∠EOF=45∘25.（2020春·天津·八年级统考期中）▱ABCD中，两个邻边的比为3：2，其中较长的一边为15cm，则ABCD的周长为______cm．26．（2019春·江苏南通·八年级海安市曲塘中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于23，求CE的长．27．（2020·云南红河·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，点E、F分别在边CD、AB上．（1）若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．28．（2022春·安徽铜陵·八年级统考期末）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．29．（2019春·辽宁大连·八年级期末）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B－C的方向以每秒2个单位长度的速度运动.（1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由.30．（2021春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．（1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，是“等距四边形”的是．（填序号）（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，在菱形ABCD的边上取点F，顺次连接B、E、D、F，使四边形BEDF为“等距四边形”，说明理由，并求线段EF的长．专题9.10平行四边形中常见的四种思想方法【苏科版】考卷信息：本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对平行四边形中常见的四种思想方法的理解！【类型1整体思想】1.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，若点A关于BE的对称点A′落在CD上，△DEA′的周长为8，△CBA′的周长为18，则A′C的长为__________.【答案】5

【解析】由折叠的性质得，EA′=AE，BA′=AB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=DC.

∵△A′DE的周长为8，即DA′+DE+EA′=8，

∴DA′+DE+AE=8，即DA′+AD=8.

∵△A′CB的周长为18，即A′C+BC+BA′=18，

∴A′C+AD+DC=18，即2A′C+AD+DA′=18.

∴2A′C+8=18，

∴A′C=52.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于__________.【答案】8

【解析】

解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为80，∴AB=AD=10，S△ABD=40.∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴12×AB×PE+3.（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．【答案】

平行四边形

2+10【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．【详解】解：如图，∵AQ∥BC，CQ∥AP，∴四边形APCQ是平行四边形．当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，∵四边形APCQ是平行四边形，∴AH=HC=12AC，QH=PH=12∵∠ABC=45°，AB=2，BC=22∴AC=2，∠ACB=45°，∵QP⊥BC，∴∠PHC=45°，∴PH=PC=22∴PQ=2，∴QC=PC∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×22+2×102=故答案为：平行四边形；2+【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．4.（2022春·河南南阳·八年级统考期末）在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，连接AG并延长，交CD于F．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若CF＝5，△GCE的周长为20，求四边形ABCF的周长．【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AE∥FC，根据折叠及已知条件得出AE＝GE，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，证明∠FAE＝∠CEB，再根据平行线的判定得出AF∥EC，即可证明结论；（2）由折叠的性质得：GE＝BE，GC＝BC，根据△GCE的周长为20，得出GE＋CE＋GC＝20，即可得出BE＋CE＋BC＝20，再根据平行四边形的性质求出AF＝CE，AE＝CF＝5，即可求出结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC，∵点E是AB边的中点，∴AE＝BE，∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE＝GE，∠CEB＝∠CEG，∴AE＝GE，∴∠FAE＝∠AGE，∵∠CEB＝∠CEG＝∠BEG，∠BEG＝∠FAE＋∠AGE，∴∠FAE＝∠BEG，∴∠FAE＝∠CEB，∴AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：由折叠的性质得：GE＝BE，GC＝BC，∵△GCE的周长为20，∴GE＋CE＋GC＝20，∴BE＋CE＋BC＝20，∵四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE，AE＝CF＝5，∴四边形ABCF的周长＝AB＋BC＋CF＋AF＝AE＋BE＋BC＋CE＋CF＝5＋20＋5＝30．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定，是解题的关键．5.（2022秋·江苏南京·九年级南京市第二十九中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB，点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝CF，连接BE、DF．(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若平行四边形ABCD的周长为26，面积为183，且∠A＝60°，当BE平分∠ABC时，则四边形BEDF的周长为____．【答案】(1)见解析(2)18【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，从而可得DE=BF，然后利用平行四边形的判定方法，即可解答；（2）过点B作BM⊥AD，垂足为M，根据平行四边形的周长和面积可得方程组，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出MB=3AM=32AB，进而可得AD+AB【详解】（1）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）过点B作BM⊥AD，垂足为M，∵平行四边形ABCD的周长为26，面积为183∴2AD+AB在Rt△ABM中，∠A=60°，∴∠ABM=30°∴2AM=AB∴MB=3AM=∴AD+AB=13AD⋅化简得：AD+AB＝解得：AD=4AB=9或AD=9∵AD＞AB，∴AD=9，AB=4，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=4，∴DE=AD-AE=9-4=5，∵∠A=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=4，∴四边形BEDF的周长=2（BE+DE）=18，故答案为：18．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．6.（2021秋·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是_______．【答案】12【分析】由中心对称的性质可得BO＝DO＝6，AO＝OC，可证四边形ABCD是平行四边形，由直角三角形的性质可得AO＝2DO＝12，当AP＝OP时，DP+BQ的值最小，此时P为OA的中点，由直角三角形斜边上的中线性质得出DP、BQ，即可得出结果．【详解】解：∵△AOD和△COB关于点O中心对称，∴BO＝DO＝6，AO＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOD＝60°，∠ADO＝90°，∴∠DAO＝30°，∴AO＝2DO＝12，∵AP＝OQ，∴PQ＝AO＝12，如图，作DK∥AC，使得DK＝PQ＝12，连接∴四边形DPQK为平行四边形，∴DP=KQ，∠BDK=∠BOC=∠AOD=60°，此时DP+BQ＝KQ+BQ＝BK的值最小，∵DK=PQ=BD=12，∴△BDK是等边三角形，∴BK=DB=12，∴DP+BQ的最小值为12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．7.（2023春·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，求△CDE的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.【答案】(1)13(2)23,0【分析】（1）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE，先求出直线CD′的关系式，得出点E的坐标，求出AE=2，根据勾股定理求出CD=（2）将点D向右平移1个单位得到D′（1,2），作D′关于x轴的对称点D″（1,−2），连接CD″交x轴于点F，将点F【详解】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′与x轴交于点E，连接DE∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴D（0，2），C（3，4），D′设直线CD′为y=kx＋b，把C（3，4），得3k＋b=4，b=−2，解得k=2，∴直线CD′为令y=0，得x=1，∴点E的坐标为（1，0）.∴OE=1，AE=2，利用勾股定理得CD=3DE=1CE=2∴△CDE周长的最小值为：13+（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到D′（1,2），作D′关于x轴的对称点D″（1,−2），连接CD″交x轴于点F，将点F理由如下：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，∵DD′∥EF∴四边形DD∴DE=D根据轴对称可知，D′∴DE＋设直线CD″的解析式为y=kx＋b，把C（3，4），得3k＋b=4k∴直线CD″的解析式为令y=0，得x=5∴点F坐标为53∴点E坐标为23【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，将军饮马问题，根据题意作出辅助线，找出最短时动点的位置，是解题的关键．【类型2转化思想】8.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN，若AB=4，BC=6，则图中阴影部分的面积为

(

)A.4 B.6 C.12 D.24【答案】C

【解析】解:点E、F分别是AB、CD的中点,M、N分别为DE、BF的中点,

矩形绕中心旋转180°阴影部分恰好能够与空白部分重合,

阴影部分的面积等于二分之一空白部分的面积,

阴影部分的面积=矩形的面积,

AB=4,BC=6,

阴影部分的面积=12,

故选:C.9.如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=3，则SA.3 B.6 C.12 D.24【答案】C

【解析】如图，过点P作PQ//DC交BC于点Q.

由DC//AB，得PQ//AB，易证△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，

∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB.

∵EF为△PCB的中位线，

∴EF//BC，EF=12BC.

取BC中点M，连接EM、FM，则有△PEF≌△EBM≌△FMC≌10.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q，若S△APD=20cm2，【答案】50

【解析】连接E、F两点，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD.

∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，

∴S△EFC=S△BCF，

∴S△EFQ=S△BCQ.

同理：11.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为__________.【答案】16

【解析】【分析】

此题主要考查正方形的性质，三角形和正方形面积公式，平行线之间的距离，结合图形巧妙转化解决问题．

连接DB，GE，FK，则DB//GE//FK，再根据正方形BEFG的边长为4，可求出S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE，再由S阴影=S正方形GBEF即可求出答案．

【解答】

解：如图，

连接DB，GE，FK，则DB//GE//FK，

在梯形GDBE中，S△DGE=S△GEB(同底等高的两三角形面积相等)，

同理S△GKE12.（2022秋·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（）．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】首先根据平行四边形的性质，平行四边形ABCD和△ADE的高相等，即可得出▱ABCD的面积.【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥∴平行四边形ABCD和△ABE的高相等，设其高为ℎ，S▱ABCD故答案为B．【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行等量转换，即可求得三角形的面积．13.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，G在CD上，E、F是AG、BG的中点，那么四边形ABCD的面积是△GEF面积的____倍．【答案】8【分析】过点G作GH⊥AB交EF于I，垂足为H，根据三角形的中位线的性质进行求解即可．【详解】解：过点G作GH⊥AB交EF于I，垂足为H，如下图：∵E、F是AG、BG的中点，∴EF=12AB，GI=12GH，又∵S▱ABCD∴S△GEF∴S▱ABCD故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线．14.（2020秋·重庆南岸·九年级重庆第二外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM、CN、MN．若AB=3，BC=25【答案】3【分析】利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出S△AEM=S△AMD，【详解】解：∵点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，∴S△AEM=S△AMD，∴图中阴影部分的面积=1故答案为：35【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中线的性质，得出图中阴影部分的面积等于矩形ABCD面积的一半是解题关键．15.（2023春·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，连接AP，若S△PBG＝2，则S四边形AEPH＝_____．【答案】8【分析】由题意根据平行四边形的判定和性质，进行面积的等量代换分析即可求解.【详解】解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形HPFD、四边形PGCF、四边形BGPE是平行四边形，∴S△BEP∵S△PBG＝2，∴S四边形BGPE∵CG＝2BG，∴S四边形PGCF∵S四边形AEPH∴S四边形AEPH故答案为：8.【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．【类型3分类讨论思想】16.在▱ABCD中，已知AB=6，BE平分∠ABC交AD边于点E，点E将AD分为1:3两部分，则AD的长为__________.【答案】8或24

【解析】【分析】

本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线定义、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AB=AE是解题的关键．由平行四边形的性质和角平分线得出AB=AE=6，再由已知条件得出DE=18或DE=2，分别求出AD即可．

【解答】

解：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠BEA=∠CBE，

∴∠ABE=∠BEA，

∴AB=AE=6.

∵点E将AD分为1：3两部分，

∴DE=18或DE=2，

∴当DE=18时，AD=24；

当DE=2，AD=8.

17.在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20∘，则∠A【答案】55∘或35【解析】【分析】

此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键．首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数．

【解答】解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，

∵BE是AD边上的高，∠EBD=20∘，

∴∠ADB=90∘−20∘=70∘，

∵AD=BD，

∴∠A=∠ABD=180∘−70∘2=55∘.

情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，

18.已知在▱ABCD中，AE为BC边上的高，且AE=12，若AB=15，AC=13，则▱ABCD的面积为__________.【答案】48或168

【解析】解：①如图，高AE在△ABC内时，在Rt△ABE中，BE=AB2−AE2=

∴BC=BE+EC=14，

∴S平行四边形ABCD=BC×AE=14×12=168.

②如图，高AE在△ABC外时，BC=BE−CE=9−5=4，

故答案为：48或168.

分高AE在△ABC内外两种情形，分别求解即可．

本题考查平行四边形的性质．四边形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

19.（2023春·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP【答案】4或4【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若P'A与AB交于点F，连接A'B，易得S△EFP=12S△BEP=12S△AEP=12S△A'EP，即可得到EF=12BE=BF，PF=12A'P=A'F，从而得到四边形A'EPB是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若【详解】解：∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4，E为斜边AB的中点，∴AB=8，AE=12AB=4①若P'A与AB交于点F，连接A'B，如图1所示，由折叠可得，S△A'EP=S∵点E是AB的中点，∴S△BEP由题意得，S△EFP∴S∴EF=12BE=BF∴四边形A'EPB是平行四边形，∴BP=A'E=4，②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP于H，如图2所示，同理可得GP=12BP=BG∵BE=AE，∴EG=1∴AP=AC=4，∴点P与点C重合，∴BP=BC=43故答案为：4或43【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．20.（2022春·江苏扬州·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m＋1），D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_____．【答案】（﹣12，0）或（32，【分析】先确定模型，设点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d），则中点E坐标为(a+c2,b+d2)．分四边形ABCD【详解】解：模型：如图，设点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d），点E为AB中点，作BC∥x轴，AC∥y轴，过点E作EF∥AC交BC于点F．∵点A坐标为（a，b），点B坐标为（c，d）∴点C坐标为（a，d），∴BC=a-c，AC=b-d，∵EF∥AC，∴△BEF∽BAC，∴BF=1∴中点E坐标为(a+c问题解答：设D（n，0），∵A（﹣1，1），B（2，3），C（m，2m+1），∴以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形可得：①若四边形ABCD为平行四边形，对角线中点坐标为：（−1+m2，1+2m+12）或（2+n2∴{−1+m=2+n解得：{m=∴D（﹣52，0∵D，A，B三点共线，∴此种情况不满足；②若四边形ADBC为平行四边形，对角线中点坐标为：（−1+22，3+12）或（m+n2∴{−1+2=m+n解得：{m=∴D（﹣12，0③若四边形ABDC为平行四边形，对角线中点坐标为：（−1+n2，1+02）或（2+m2∴{−1+n=2+m解得：{m=−∴D（﹣32，0故答案为：（﹣12，0）或（32，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系中线段中点的坐标公式等知识，综合性较强，熟知平行四边形的对角线互相平分，平面直角坐标系中线段中点的坐标公式是解题关键．21.（2019春·福建泉州·八年级校考期末）在直角坐标系内，将横坐标、纵坐标都是整数的点称作“整点”.设A0,0，B3,0，Cm+3,3，Dm,3（【答案】4或5或6.【分析】作出平行四边形，结合图像得到平行四边形中的整数点的个数【详解】解：①当m=0时，ABCD②如图所示,当线段AD与BC分别经过2个格点(含端点)时,平行四边形ABCD内部(不含边界)整点的个数为5；③如图所示,综上可得：平行四边形ABCD内部（不含边界）的“整点”个数可能为5或4故答案为4或5或6.【点睛】本题考查平行四边形的性质与新定义结合，画图解题是本题关键22.（2019·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP、PE，将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一，则此时BP的长为_____．【答案】2或23【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，然后根据勾股定理求出BC．①若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图1，易得S△EFP=12S△BEP=12S△A'EP，即可得到EF=12BE=BF，PF=12A'P=A'F．从而可得四边形A'EPB是平行四边形，即可得到BP=A'E，从而可求出BP；②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP与H，如图2，同理可得GP=BG，EG=12EA'=1，根据三角形中位线定理可得AP=2=AC，此时点【详解】∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，E为斜边AB的中点，∴AB=4，AE=12AB=2，BC=2①若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图1．由折叠可得S△A'EP=S△AEP，A'E=AE=2．∵点E是AB的中点，∴S△BEP=S△AEP=12S△由题可得S△EFP=14S△∴S△EFP=12S△BEP=12S△AEP=12∴EF=12BE=BF，PF=12A'P=∴四边形A'EPB是平行四边形，∴BP=A'E=2；②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP与H，如图2．．同理可得GP=12BP=BG，EG=12∵BE=AE，∴EG=12∴AP=2=AC，∴点P与点C重合，∴BP=BC=23．故答案为2或23．【点睛】本题考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．【类型4方程思想】23.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EB//DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是__________.【答案】78【解析】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD=3.

∵∠A=∠G，∠AEB=∠GED，AB=GD=3，

∴△AEB≌△GED.

∴AE=EG.

设AE=EG=x，则ED=4−x，

在Rt△DEG中，ED2=GE2+GD2，x2+32=(4−x)2，解得：x=78.

故答案为：78

过点D作24.如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(3,3)，点E、F分别在边BC、BA上，CE=1，若∠EOF=45【答案】32【解析】【分析】

本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、解答．如图，延长BC到G，使CG=AF，连接OG，EF.由△OAF≌△OCG(SAS)，推出∠AOF=∠COG，OF=OG，由△OFE≌△OGE(SAS)，推出EF=GE=AF+CE，设AF=x，则EF=1+x，BF=3−x，在Rt△EBF中，根据BE2+BF2=EF2，列出方程即可解决问题．

【解答】

解：如图，延长BC到G，使CG=AF，连接OG，EF.

∵四边形OABC为正方形，且点B坐标为(3,3)，

∴OA=OC=3，∠A=∠OCG=90∘；

在△OAF与△OCG中，

OA=OC∠OAF=∠OCGAF=CG，

∴△OAF≌△OCG(SAS)，

∴∠AOF=∠COG，OF=OG；

∴∠EOG=∠EOC+∠AOF=90∘−45∘=45∘；

在△OFE与△OGE中，

OF=OG∠EOF=∠GOEOE=OE，

∴△OFE≌△OGE(SAS)，

∴EF=GE=AF+CE，设AF=x，则EF=1+x25.（2020春·天津·八年级统考期中）▱ABCD中，两个邻边的比为3：2，其中较长的一边为15cm，则ABCD的周长为______cm．【答案】50【分析】根据题意可以求得两邻边的较短边为10cm，再根据平行四边形的性质及周长定义可以得到答案．【详解】解：设▱ABCD的较短的一边是x，依题意，得15：x＝3：2，解得x＝10，∵平行四边形的两组对边相等，∴▱ABCD的周长＝2×（15+10）＝50．∴▱ABCD的周长为50cm．故答案为50．【点睛】本题考查平行四边形与比例的综合应用，再求周长时两邻边的和必须乘以2．26．（2019春·江苏南通·八年级海安市曲塘中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于23，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用两组对角相等的四边形是平行四边形进行证明；（2）设CD的长为a，则CE＝12a，，DE＝32a，S△CED＝38a2，由面积关系可得38a2+38【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠DAB+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠DAB＝∠BCD，且∠ABC＝∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝CD，∠BAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝60°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，在Rt△CDE中，设CD的长为a，则CE＝12a，DE＝32a，S△CED＝38因为△CED与△CEB是同底等高的三角形，∴S△CED＝S△CEB，又∵S四边形BCDE＝S△CED+S△CEB＝23，∴38a2+38a2＝2∴a＝22，∴CE＝12a＝2【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，同底等高三角形面积的关系，题中证明S△CED＝S△CEB是解题的关键，由此将不规则四边形的面积转化为三角形的面积，且是直角三角形，降低了解题的难度.27．（2020·云南红河·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，点E、F分别在边CD、AB上．（1）若DE＝BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．【答案】（1）见解析；（2）50【分析】（1）首先根据矩形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，然后根据DE＝BF，可得AF＝CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE＝CE，然后设AE＝CE＝x，表示出DE的长度，根据勾股定理求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AF∥CE，∵CE＝CD﹣DE，AF＝AB﹣BF，DE＝BF，∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AE＝CE＝CF＝AF，∵AB＝CD，AB＝16，∴CD＝16，设AE＝CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝16﹣x，∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝90°，∴在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2又∵x＞0，AD＝12，∴122+（16﹣x）2＝x2，解得x＝12.5，∴C菱形AFCE＝4×12.5＝50．答：菱形AFCE的周长为50．【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是掌握矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质和勾股定理．28．（2022春·安徽铜陵·八年级统考期末）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）EF=213【分析】（1）证明△AOF≌△COE全等，可得AF=EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，假设BE=a，根据勾股定理求出a，从而得知EF的长度；【详解】解：（1）∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO=CO∴∠FAO=∠ECO∴在△AOF和△COE中，∠AOF∴△AOF≌△COE（ASA）∴AF=EC又∵AF∥EC∴四边形AECF是平行四边形；（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，设BE=a，则AE=EC=3-a∴a2+22=（3-a）2∴a=5则AE=EC=136∵AB=2，BC=3，∴AC=22+∴AO=OC=132∴OE=EC2−OC2=∴EF=2OF=213【点睛】此题考查平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．29．（2019春·辽宁大连·八年级期末）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B－C的方向以每秒2个单位长度的速度运动.（1）若动点M、N同时出发，经过几秒第一次相遇？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．在△ABC的边上是否存在一点D，使得以点A、M、N、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）经过t=165s第一次相遇.

（2）运动了85s或245s时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；（2）首先根据题意画出图形：如图②，当0≤t≤83时，AN+CN=MB+CN=8；当83＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；当4＜t≤163时，AN+NB=AN+AM=8；当16【详解】（1）由题意得：3t+2t=16，解得：t=165答：若动点M、N同时出发，经过t=165（2）①当0≤t≤83∵四边形ANDM为平行四边形，∴DM=AN，DM∥AN．∴∠MDB=∠C=60°∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∴∠MDB=∠B．∴MB=MD=AN∴AN+CN=MB+CN=8，即：3t+2t=8，t=85此时点D在BC上，且BD=245（或CD=16②当83③4＜t≤163∵四边形ANDM为平行四边形，∴DN=AM，AM∥DN．∴∠NDB=∠C=60°∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∴∠NDB=∠B．∴BN=ND=AM．∴AN+NB=AN+AM=8，2t-8+3t-8=8，解得：t=245此时点D在BC上，且BD=325（或CD=8④当163则BN=16-2t，BM=24-3t，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠C=60°．若MN∥AC,则∠BNM=∠A=60°,∠BMN=∠C=60°∴△BNM为等边三角形，∴BN=BM，即：16-2t=24-3t，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．答：运动了85s或245s时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=24【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．30．（2021春·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校考期中）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．（1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，是“等距四边形”的是．（填序号）（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，在菱形ABCD的边上取点F，顺次连接B、E、D、F，使四边形BEDF为“等距四边形”，说明理由，并求线段EF的长．【答案】（1）②、④；（2）①过点D作DF⊥AB于F，则四边形BEDF为“等距四边形”，②过B作BF⊥AD于F，四边形BEDF为“等距四边形”，图形见详解，EF=4或23【分析】（1）根据平行四边形的性质及特殊平行四边形性质满足对角线互相平分且相等即可判定①、②、③、④中哪些是“等距四边形”；（2）分两种情况，①过点D作DF⊥AB于F，则四边形BEDF为“等距四边形”，证明四边形BEDF为矩形，由在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°,BE⊥CD于点E，可求∠EBC=30°，利用30°直角三角形性质可求EC=12BC=2，根据在Rt△BCE中BE=BC2−CE2=23，再求FB=DE=2，利用勾股定理求解；②过B作BF⊥AD于F，可证△DFB，△DEB均为直角三角形，由面积可得BF=BE，可证Rt△DFB≌Rt△DEB（HL），取BD中点G，连接GE，GF，四边形BEDF为“等距四边形”，可证△ABD与△DCB均为等边三角形，可求DE=DF=2，S四边形DFBE【详解】解：（1）“等距四边形”的是②、④；①平行四边形对角线互相平分，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，但OA=②矩形对角线互相平分且相等，即OA=OB=OC=OD=12AC=③菱形对角线互相平分，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，但OA=④正方形对角线互相平分且相等，即OA=OB=OC=OD=12AC=故答案为②、④；（2）①过点D作DF⊥AB于F，则四边形BEDF为“等距四边形”，∵四边形ABCD为菱形，∴DC∥AB，即DE∥FB，∵BE⊥CD，DF⊥AB，∴DF∥EB，∠DEB=90°∴四边形BEDF为矩形；∴对角线互相平分，∴四边形BEDF为“等距四边形”，∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°BE⊥CD于点E，∴BC=DC=AB=4，∠C=∠A=60°，∴∠EBC=90°-∠C=30°，∴EC=12在Rt△BCE中BE=BC∴DE=CD-CE=4-2=2，FB=DE=2，在Rt△FBE中，EF=BF②过B作BF⊥AD于F，则四边形BEDF为“等距四边形”，∵BE⊥DC，∴△DFB，△DEB均为直角三角形，∵四边形ABCD为菱形，AD=DC∴S菱形ABCD=AD⋅BF=DC⋅BE,∴BF=BE在Rt△DFB和Rt△DEB中BD=BD∴Rt△DFB≌Rt△DEB（HL）∴DF=DE，取BD中点G，连接GE，GF，∴GE=GF=GD=GB，∴四边形BEDF为“等距四边形”∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，∴BC=DC=AB=4，∠C=∠A=60°，∴△ABD与△DCB均为等边三角形，∴BD=AB=4∴∠EBC=90°-∠C=30°，∴EC=12∴DE=DF=CD-CE=4-2=2在Rt△BCE中BE=BC∴S四边形DFBE=2S△DEB=2×12∴EF=23∴EF的长为4或23【点睛】本题考查新定义，矩形判定，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握新定义的内容，抓住新定义的实质是解题关键．专题9.11四边形中动点问题的五大题型专项训练【苏科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对四边形中的动点问题的理解！【类型1面积问题】1.（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△APQ的面积为2.（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）E、F是线段AB上的两点，且AB=16，AE=2，BF=4，点G是线段EF上的一动点，分别以AG、BG为斜边在AB同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D、C，如图所示，连接CD并取中点P，连接PG，点G从E点出发运动到F点，则线段PG扫过的图形面积为______．3.（2022秋·重庆大足·八年级统考期末）如图1，两个等腰直角三角形△ABC、△EDC的顶点C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，连接AE，取AE中点F，连接BF,DF．(1)如图1，当B、C、D三个点共线时，请猜测线段BF、FD的数量关系，并证明；(2)将△EDC绕着点C顺时针旋转一定角度至图2位置，根据“AE中点F”这个条件，想到取AC与EC的中点G、H，分别与点F相连，再连接BG,DH，最终利用△BGF≌△FHD（SAS）证明了（1）中的结论仍然成立．请你思考当△EDC绕着点C继续顺时针旋转至图3位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；(3)连接BD，在△EDC绕点C旋转一周的过程中，△BFD的面积也随之变化．若AC=52,CB=324.（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接AB，点C为AB的中点，OA=OB=12．(1)求点C坐标；(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接AP、CP，点P的运动时间为t秒，△ACP的面积为S，求用含t的式子表示S；(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接BQ，过点A作AD⊥BQ于点D，AD与CP交于点E，与x轴交于点F，当∠BPC=2∠OBQ时，OQ=CE，求此时点Q的坐标．5.（2022秋·吉林·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程x2−8x+16=0的根．点P从点B出发，沿BC－CD向点D运动，同时点Q从点E出发，沿EB−BC向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式；(3)当△AQP是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．6.（2022春·八年级衡水期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E，P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接PA，PE，AC．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形．(2)求四边形ABDE的周长和面积．(3)记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：①7.（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学期末）如图1，点O为长方形ABCD的中心，x轴∥BC，y轴//AB，AB=6，BC=12(1)直接写出A、B的坐标；(2)如图2，若点P从C点出发以每秒2个单位长度向CB方向匀速移动(不超过点B)，点Q从B点出发以每秒1个单位长度向BA方向匀速移动(不超过点A)，连接DP、DQ，在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．(3)如图3，若矩形MNRS中，MN=4，NR=2，M(−8,0)，MS在x轴上，矩形MNRS以每秒1个单位长度向右平移t(t>0)秒得到矩形M'N'R'S'，点M'、N'、R'、S'分别为M、N、R、S的对应点，与此同时，点G从点O出发，沿矩形OEDF的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动(即O→E→D→F→O→E…)连接GM'，GN'，点H为GN'的中点，当△GM'N'的面积为12时，请直接写出t的值及对应的点8.（2022秋·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=10cm，AB=4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿B→A→D的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒1cm的速度沿B→C的方向向终点C运动．以PQ(1)当0＜t＜4时，(2)当点N落在AD边上时，求t的值；(3)当正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．【类型2线段最值问题】9.（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ=2，当BP=（

）时，四边形APQE的周长最小．A．3 B．4 C．5 D．210.（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在BC边上，且BE=3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为(

)．A．3 B．4 C．8 D．1011.（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期中）如图正方形ABCD的面积为24，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，要使PD+PE最小，则这个最小值为（

）A．3 B．23 C．26 12.（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期中）在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．713.（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在BC边上，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（

）A．3 B．2 C．1 D．314.（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED（2）如图2，在正△ABC中，AB=4，P、M、N分别是BC,CA,AB上的动点，①PM+MN的最小值为______；②求PM+MN+NP的最小值．（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE=BF，连结DE,DP，求DE+DF的最小值．15.（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）问题提出：(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则PHAP问题探究：(2)如图2，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+23与x轴、y轴分别交于点A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H问题解决：(3)如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B6,8．点D在OA边上，且OD=2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，那么在折痕DE上是否存在点P使得16.（2022春·全国·八年级专题练习）已知∶如图1，点D在△ABC外，∠BAC=90°，AB=AC，射线BD与△ABC的边AC交于点H，AE⊥BD，垂足为E，∠ABD=∠ACD．(1)若∠ABD=30°，CH=4，求DH的长；(2)求证：BE=DC+DE；(3)如图2，若∠ABE=25°，BE=4，点F在线段BC上，且BE=BF，点M、N分别是射线BC、BD上的动点，在点M、N运动的过程中，请判断式子EM+MN+NF的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由．【类型3几何存在性问题】17.（2022秋·四川达州·八年级校考期中）在矩形ABCD中，AB=40cm．动点P从点A开始沿AB边以5cms的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以3cms的速度运动．点P18.（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16厘米，BC=20厘米，点D在BC上，且CD=12厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以4厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t(1)CP=；（用t的代数式表示）(2)连接CE，并运用割补的思想表示△AEC的面积（用t的代数式表示）；(3)是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；(4)当t为何值时，△EDQ为直角三角形．19.（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，AD=6，BC=10，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒1个单位的速度由A向D运动，点Q以每秒2个单位的速度由C向B运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为(1)用含t的代数式表示：AP=______；DP=______；BQ=______；CQ=______．(2)P、Q与四边形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t值．20.（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q(1)当t为何值时，四边形ABQP为矩形？(2)当t为何值时，PQ∥CD？(3)当t为何值时，PQ=CD？21.（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A7a，0，B0，−7a，点C为(1)求∠ABC+∠D的度数．(2)如图1，若点C的坐标为−3a，0，CD=CB，求点D的坐标（结果用含(3)如图2，在（2）的条件下，若a=1，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，点M为线段DF上一点，若第一象限内存在点Nn，2n−3，使△EMN22.（2022秋·山西运城·八年级山西省运城市实验中学期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，动点P，Q分别从点A，C同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，点P到达点D后停止，点Q到达点B后停止．设运动时间为t秒．(1)当S△ABP=1(2)当QB=QP时，求t的值．(3)在点P和点Q的运动过程中是否存在∠BPQ=90°，你的判断是______（填“存在”或“不存在”）．23.（2022秋·江苏连云港·八年级期末）在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止．(1)如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t秒时，正方形ABCD与∠POD重叠部分的面积为y．①求当t=4时，y的值．②求y关于t的函数解析式．(2)如图2，若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止．P、Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度．设t秒时，正方形ABCD与∠POQ（包括边缘及内部）重叠部分的面积为S，S与t的函数图象如图3所示．①P，Q两点在第________秒相遇；正方形ABCD的边长是________；②当t为何值时，重叠部分面积S等于9？24.（2022春·全国·八年级专题练习）如图，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，AB=6，点E、F分别在边AB和射线OB上运动（E、F不与正方形的顶点重合），OF=22BE，设(1)当t=2时，则AE=_________，BF=___________；(2)当点F在线段OB上运动时，若△BEF的面积为94，求t(3)在整个运动过程中，平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点，且以OF为边的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【类型4运动的图象问题】25.（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在边BC上运动，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．设BE=x，CF2=y，则y关于xA． B． C． D．26.（2022秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，点Q同时从点A出发，速度均为2cm/s，点P沿A→D→C向点C运动，点Q沿A→B→C向点C运动，则△APQ的面积Scm2与运动时间A． B．C． D．27.（2022春·八年级衡水期末）如图①，在矩形ABCD的边BC上有一点E，连结AE，点P从顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积ycm2随时间x(s)变化的函数图象，则A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm28.（2022春·八年级衡水期末）如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，BC∥x轴．直线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．平行四边形ABCD的面积为（

）A．3 B．32 C．4329.（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级新疆师范大学附属中学校考期末）如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为yA．6 B．6.4 C．7.2 D．830.（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（

）A．6 B．6.4 C．7.2 D．831.（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）如图1，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线B−C−D运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（

）A．2 B．2.5 C．3 D．232.（2022秋·广东汕头·八年级林百欣中学校考期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（

）A． B． C． D．【类型5函数图象中的几何动点问题】33.（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，E是BC的中点，BC=12，点A坐标是(0，4)，CD所在直线的函数关系式为y=−x+9，点(1)当PB=_________________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．(2)在（1）的条件下，点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．34.（2022秋·四川成都·八年级石室中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，OA=1，OB=3OA，直线OC：y=3(1)求直线AB的解析式及C点的坐标；(2)如图1，P为直线OC上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且MQ=32，当S△PCB(3)如图2，将△AOB沿着射线CO方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当DF过O点时，在平面内是否存在H点，在第一象限内是否存在N点，使得以H、N、D、F四个点为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出H点坐标；若不存在，请说明理由．35.（2022春·上海·八年级上海田家炳中学校考期中）已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．(1)求直线BD的表达式．(2)在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．(3)直线BD上是否存在点F，使△AFC为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．36.（2022春·广东东莞·八年级统考期中）如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA,OC分别落在x，y轴的正半轴上，其中AB=10，对角线AC所在直线解析式为y=−53x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC(1)求点B的坐标；(2)求EA的长度；(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，如不存在，请说明理由．37.（2022春·重庆·八年级期中）如图，平面直角坐标系中，直线y＝ax+2a（a＞0）的图象经过A、B两点，点C的坐标是（1，0）．(1)如图1，当S△ABC＝6时，求直线AB的解析式；(2)如图2，以BC、AB为边分别在第一二象限作正方形BCGF和正方形ABDE，连接DF，交y轴于点H，当a的值发生变化时，试判断BH的长度是否发生变化？若没有变化，请求出这个值并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，在a的值发生变化过程中，当直线y＝ax+2a（a＞0）的图象经过点F时，将直线AF向左平移，平移后的直线为A′F′，当直线A′F′经过点D时停止平移，此时在直线A′F′上有一动点P，当PC+PG最小时，在y轴左侧的平面内是否存在一动点Q使得以P、Q、A、C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．38.（2022春·上海青浦·八年级校考期中）已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m．（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x＋6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；（2）直线y＝2x＋b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．39.（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x+6的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．(1)求直线AM的函数解析式；(2)试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S(3)若点N为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．40.（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为坐标原点，顶点A，C分别在y轴、x轴上，顶点B在第二象限内，一次函数y=34x+6的图象分别与坐标轴交于点A(1)如图①，将△ABC折叠使得点C落在长方形的边AB上的点E处，折痕为BD，求点B，E(2)如图②，将△ABC折叠使得点B落在对角线AC上的点E处，折痕为AD，求点D(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点E(除点B外），使得△AEC与△ABC全等？若存在，写出所有符合条件的点专题9.11四边形中动点问题的五大题型专项训练【苏科版】考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对四边形中的动点问题的理解！【类型1面积问题】1.（2022秋·河北邯郸·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，AB=3cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，在点P运动了3秒后点Q开始以2cm/s的速度从D运动到A，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当△APQ的面积为【答案】2或10【分析】分当P在AB上或当P在BC上两种情况,分别计算AQ、AQ边上的高的长，然后再结合三角形面积公式求解即可．【详解】解：①当P在AB