2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列三系列专题13.4 期中真题重组卷（考查范围：第7~9章）（苏科版）含解析

2022-2023学年八年级数学下册举一反三系列2022-2023学年八年级数学下册期中真题重组卷（考查范围：第7~9章）【苏科版】一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分）（2022秋·山东菏泽·七年级统考期中）下列调查方式合适的是（

）A．为了了解菏泽市市民保护水资源的意识，采用普查方式B．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式C．对嫦娥三号卫星零部件的检查，采用抽样调查的方式D．为了了解一批手机的使用寿命，采用普查方式．2．(3分）（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级新疆师范大学附属中学校考期中）下列图案中，可以看作中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．(3分）（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）下列事件是必然事件的为（

）A．购买一张体育彩票，中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．2023年元旦是晴天 D．太阳东升西落4．(3分）（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）已知P3,4，将P绕坐标原点顺时针旋转90°后得到P1，则A．P1−3,4 B．P13,−4 C．5．(3分）（2022春·湖南株洲·七年级株洲市景弘中学校考期中）2022年深圳市有11.2万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法：①这11.2万名考生的数学成绩是总体；②每个考生是个体；③200名考生是总体的一个样本；④样本容量是200，其中说法正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．(3分）（2022秋·河北保定·九年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD交于点O.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（

）A．添加“AB//CD”，则四边形B．添加“∠BAD=90°”，则四边形ABCD是矩形C．添加“OA=OC”，则四边形ABCD是菱形D．添加“∠ABC=∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形7．(3分）（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考期中）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的概率稳定在0.2左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（）．A．4 B．10 C．12 D．168．(3分）（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上．∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OAA．2，−2C．−3，39．(3分）（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则A．11+1132 B．11−1132 C．11+1110．(3分）（2022秋·湖南湘潭·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则以下结论：①AF=FH；②∠HAE=45∘；③BD=2FG；④△CEH的周长为8．其中正确的个数是（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）在一个不透明的袋子中装有2个红球、5个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到_______________________色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”)12．(3分）（2022秋·北京·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A(2a−b,−8)与点B(−2,a+3b)关于原点对称，则a=________，b=________．13．(3分）（2022春·安徽芜湖·七年级统考期末）如图，所提供的信息不正确的是______（填序号）．①七年级学生总数最多②九年级的男生数是女生数的两倍③女生总数比男生总数少16人④八年级的学生总数比九年级的学生总数多14．(3分）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，15．(3分）（2022秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，△A1B1C1中，A1B1=4，A1C1=5，B1C1=7．点A2、B2、16．(3分）（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期末）定义：点P与图形M上任意一点所连线段的最小值叫点P到图形M的距离，记为d．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点O为矩形对角线交点，OP=4，当矩形ABCD绕点O旋转时，点P到矩形ABCD的距离d的取值范围是______．三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分）（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）某市为增强学生的卫生防疫意识，组织全市学生参加卫生防疫知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．组别成绩x/分频数A组60≤x<70aB组70≤x<808C组80≤x<9012D组90≤x<10014(1)一共抽取了___________位参赛学生的成绩，表中a=___________；(2)补全频数分布直方图；(3)计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；18．(6分）（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,4，B1,1，(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B19．(8分）（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期中）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：实验次数n2003004005006007008001000摸到红球次数m151221289358429497571702摸到红球频率m0.750.740.720.720.720.71ab(1)表格中a＝；b＝；（精确到0.01）(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为；（精确到0.1）(3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？20．(8分）（2022春·山东威海·九年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，P是CD的中点，连接PA并延长AP交BC的延长线于点E，连接DE，取DE的中点Q，连接PQ，求证：4PQ=BE．21．(8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）▱ABCD中，点E、F分别在C、AD上，且DF=BE．(1)如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；(2)如图2，若E为BC中点，连接BF、DE、EF，AE与BF相交于点G，CF与DE相交于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除▱ABCD和▱AECF以外的所有平行四边形．22．(8分）（2022春·四川自贡·八年级校考期中）在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC，(1)如图（1），当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；(2)当∠BAD=60°时，连接PE，CE，PC交AE于点F，∠CPE=60°，AC=CE=4．①如图（2），若点P在线段BD的延长线上，求BP的长；②如图（3），若点P在线段DB的延长线上，直接写出BP的长．23．(8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）已知：正方形ABCD中，P是对角线BD所在直线上一点．（1）如图1，若P在对角线BD上，连接PC，过点P作PQ⊥CP交AB于点Q．求证：PQ=PC；（2）如图2，在（1）的条件下，若PD=22，AB=6，求BQ（3）如图3，若P在BD的延长线上，连接AP，过点P作PE⊥AP交BC延长线于点E，连接DE，若CE=6，ΔDPE的面积是15，求PE的长．2022-2023学年八年级数学下册期中真题重组卷（考查范围：第7~9章）【苏科版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分）（2022秋·山东菏泽·七年级统考期中）下列调查方式合适的是（

）A．为了了解菏泽市市民保护水资源的意识，采用普查方式B．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式C．对嫦娥三号卫星零部件的检查，采用抽样调查的方式D．为了了解一批手机的使用寿命，采用普查方式．【答案】B【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A、为了了解菏泽市市民保护水资源的意识，适合抽样调查；B、为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，适合采用普查方式；C、对嫦娥三号卫星零部件的检查，零部件很重要，应全面检查；D、为了了解一批手机的使用寿命，适合抽样调查．故选：B．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．2．(3分）（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级新疆师范大学附属中学校考期中）下列图案中，可以看作中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转180°能够与自身重合的图形）判断即可．【详解】解：选项A、C、D中的图案不是中心对称图形，选项B中的图案是中心对称图形，故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义，属于中考常考题型．3．(3分）（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）下列事件是必然事件的为（

）A．购买一张体育彩票，中奖 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．2023年元旦是晴天 D．太阳东升西落【答案】D【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A、购买一张体育彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；C、2023年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；D、太阳东升西落，必然事件，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．(3分）（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）已知P3,4，将P绕坐标原点顺时针旋转90°后得到P1，则A．P1−3,4 B．P13,−4 C．【答案】D【分析】连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M，根据旋转的性质，证明△NPO≌△MOP【详解】如图，连接OP，OP1，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1∵点P绕坐标原点顺时针旋转90°后得到点P1∴∠PO∴∠PNO=∠∴∠NOP+∠NPO=90°，∠NOP+∠MOP∴∠NPO=∠P∵OP=OP∴△NPO≌△MOP1∵P3,4∴PN=OM=3,ON=P∵P1∴点P1的坐标为4,−3故选：D．【点睛】本题考查了点绕坐标原点的旋转问题，掌握旋转的性质是解题的关键．5．(3分）（2022春·湖南株洲·七年级株洲市景弘中学校考期中）2022年深圳市有11.2万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法：①这11.2万名考生的数学成绩是总体；②每个考生是个体；③200名考生是总体的一个样本；④样本容量是200，其中说法正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【详解】解：由题意可知，这11.2万名考生的数学成绩是总体；每一名考生的数学成绩是个体；抽取的200名考生的数学成绩是总体的一个样本；样本容量为200；故①是正确的；②错误；③错误；④是正确的．故选：C．【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．6．(3分）（2022秋·河北保定·九年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC，BD交于点O.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（

）A．添加“AB//CD”，则四边形B．添加“∠BAD=90°”，则四边形ABCD是矩形C．添加“OA=OC”，则四边形ABCD是菱形D．添加“∠ABC=∠BCD=90°”，则四边形ABCD是正方形【答案】B【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项．【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC，由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形；C选项添加OA=OC，由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD，∵OA=OC，∴BD也垂直平分AC，∴AB=BC，∴AB=AD=BC=DC，所以四边形ABCD是菱形；D选项添加“∠ABC=∠BCD=90°，由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，由AB=AD，∴四边形ABCD是正方形．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通．7．(3分）（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考期中）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的概率稳定在0.2左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（）．A．4 B．10 C．12 D．16【答案】D【分析】摸出红球的概率是0.2，那么摸出黄球的概率就是1−0.2=0.8，然后乘以袋子里面球的总数就可以求出黄球的个数．【详解】解：袋子中黄球的个数最有可能是：20×1−0.2故选：D．【点睛】本题考查了概率的认识，掌握概率的基本概念是求解的关键．8．(3分）（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上．∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OAA．2，−2C．−3，3【答案】A【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′【详解】解：连接OB，OB′，过点B′作B根据题意得：∠BOB∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB，∠AOB=1∴△OAB是等边三角形，∴OB=OA=2，∴∠AOB′=∠BO∵OE2+∴OE=2∴点B′的坐标为：2故选：A．【点睛】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法．9．(3分）（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则A．11+1132 B．11−1132 C．11+11【答案】D【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，①如图：由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=15，求出AE=52，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：把AB=5，AE=5同理DF=33>5，即F在∴CE=6−523即CE+CF=1+3②如图：∵AB=5，AE=52，在同理DF=33由①知：CE=6−523∴CE+CF=11+11故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．10．(3分）（2022秋·湖南湘潭·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则以下结论：①AF=FH；②∠HAE=45∘；③BD=2FG；④△CEH的周长为8．其中正确的个数是（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF=CF，故需证明FC=FH，可证：AF=FH；②由FH⊥AE，AF=FH，可得：∠HAE=45°；作辅助线，连接AC交BD于点O，证BD=2FG，只需证OA=GF即可，根据△AOF≌△FGH，③可证OA=GF，故可证BD=2FG；④作辅助线，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则IL=HC，可证AL=HE，再根据△MEC≌△MIC，可证：CE=IM，故△CEH的周长为边AM的长．【详解】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．②∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．③连接AC交BD于点O，如图2，可知：BD=2OA，∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH（ASA）．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．④连接EM，延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，如图3，则：LI=HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD=90°，∵∠EAD+∠AED=90°，∴∠DIC=∠AED，∵ED⊥AM，AD=DM，∴EA=EM，∴∠AED=∠MED，∴∠DIC=∠DEM，∴∠CIM=∠CEM，∵CM=MC，∠ECM=∠CMI=45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEH的周长为8．故①②③④结论都正确．故选：D．【点睛】此题考查正方形的性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，在解题过程中要多次利用三角形全等．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）在一个不透明的袋子中装有2个红球、5个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到_______________________色的球的可能性最大．(填“红”、“白”或“黑”)【答案】白【分析】分别计算出摸到红、白、黑球的可能性，比较大小后即可得到答案．【详解】∵袋子中装有2个红球、5个白球和3个黑球，∴摸出红球的可能性是：2÷（2+5+3）=15摸出白球的可能性是：5÷（2+5+3）=12摸出黑球的可能性是：3÷（2+5+3）=310∵12＞310＞∴白球出现的可能性大．故答案为：白【点睛】本题主要考查了求简单事件发生的可能性，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．12．(3分）（2022秋·北京·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A(2a−b,−8)与点B(−2,a+3b)关于原点对称，则a=________，b=________．【答案】

2

2【分析】关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，根据特点列式求出a、b即可求得答案．【详解】解：∵点A2a−b,−8和点B∴2a−b=2a+3b=8∴a=2b=2故答案为：2；2．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键．13．(3分）（2022春·安徽芜湖·七年级统考期末）如图，所提供的信息不正确的是______（填序号）．①七年级学生总数最多②九年级的男生数是女生数的两倍③女生总数比男生总数少16人④八年级的学生总数比九年级的学生总数多【答案】①③④【分析】根据条形统计图给出的数据对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：①七年级学生有：8+13=21（人），八年级学生有：14+16=30（人），九年级学生有：10+20=30（人），则七年级学生总数最少，故原说法错误，符合题意；②九年级的男生数有20人，女生有10人，男生数是女生数的两倍，正确，不符合题意；③女生总人数有：8+14+10=32（人），男生总人数有：13+16+20=49（人），女生总数比男生总数少49-32=17（人），故原说法错误，符合题意；④八年级的学生总数有：14+16=30（人），九年级的学生总数有：10+20=30（人），八年级的学生总数与九年级的学生总数一样多，故原说法错误，符合题意；所提供的信息不正确的是：①③④；故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．14．(3分）（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，【答案】1213【分析】先利用勾股定理求得AC的长，利用平行四边形的性质求得AO=2，在Rt△ABO中，利用勾股定理求得BO【详解】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵AB=3，BC=5，∴AC=B∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=1在Rt△ABO中，BO=∵E是BO的中点，且∠BAO=90°，∴AE=1故答案为：12【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．15．(3分）（2022秋·山东泰安·八年级统考期末）如图，△A1B1C1中，A1B1=4，A1C1=5，B1C1=7．点A2、B2、【答案】1【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2,A2C【详解】解：∵△A1B1C1中，∴△A∵点A2、B2、C2分别是边B1C∴B2C2∴△A2B同理，△A3B…，以此类推，△AnB∴第2022个三角形的周长12故答案是：12【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．16．(3分）（2022秋·安徽芜湖·九年级统考期末）定义：点P与图形M上任意一点所连线段的最小值叫点P到图形M的距离，记为d．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点O为矩形对角线交点，OP=4，当矩形ABCD绕点O旋转时，点P到矩形ABCD的距离d的取值范围是______．【答案】4−5≤d≤3【分析】当矩形ABCD绕点O旋转，矩形四个顶点在OP上时，求出此时d的最小值，当矩形的边AB或CD的中点在OP上时，求出此时d的最大值，即可求解．【详解】解：连接对角线AC，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，由勾股定理，得AC=A∵点O为矩形对角线交点，∴OA=5∵矩形ABCD绕点O旋转，∴当矩形四个顶点在OP上时，此时d值最小，若点A在OP上，如图1，∴d=OP−OA=4−5当矩形的边AB或CD的中点在OP上时，此时d值最大，如AB的中点E在OP上，如图2，连接OA，OB，∵矩形ABCD，点O为矩形对角线交点，∴OB=OA，∵E为边AB的中点，∴AE=12AB=2在Rt△AEOOE=O∴d=OP−OE=4−1=3，∴4−5故答案为：4−5【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，由题意得出当矩形四个顶点在OP上时，此时d的值最小，当矩形的边AB或CD的中点在OP上时，此时d的值最大是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分）（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）某市为增强学生的卫生防疫意识，组织全市学生参加卫生防疫知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．组别成绩x/分频数A组60≤x<70aB组70≤x<808C组80≤x<9012D组90≤x<10014(1)一共抽取了___________位参赛学生的成绩，表中a=___________；(2)补全频数分布直方图；(3)计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；【答案】(1)40，6(2)见解析(3)72°【分析】（1）D组的频数是14，占调查人数的35%，可求出调查人数，进而确定a（2）根据各个组的频数，即可补全频数分布直方图；（3）“B”占调查人数的840，因此相应的圆心角度数占360°的【详解】（1）解：14÷35%a=40−14−12−8=6（人），故答案为：40，6；（2）补全频数分布直方图如图所示：（3）360°×8答：扇形统计图中“B”对应的圆心角度数为72°．【点睛】本题考查频数分布直方图的意义和制作方法，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．18．(6分）（2022春·广东茂名·八年级统考期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,4，B1,1，(1)请画出△ABC关于原点对称的△A1B(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B【答案】(1)图见解析，A1的坐标为(2)图见解析，A2的坐标为【分析】（1）通过找点，描点，连线画出△A1B（2）通过找点，描点，连线画出△A2B【详解】（1）解：如图所示，△A由图可知：A1（2）解：如图所示，△A由图可知：A【点睛】本题考查旋转作图，掌握点的坐标变化规律，找准图形对应点，正确作图，是解题关键．19．(8分）（2022春·黑龙江大庆·八年级统考期中）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：实验次数n2003004005006007008001000摸到红球次数m151221289358429497571702摸到红球频率m0.750.740.720.720.720.71ab(1)表格中a＝；b＝；（精确到0.01）(2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为；（精确到0.1）(3)如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？【答案】(1)a=0.71，b=0.70；(2)0.7；(3)黄球的个数为5个，摸到黄球的概率为14【分析】（1）直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率；（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率；（3）根据题意列出方程求解即可．【详解】（1）a=571÷800≈0.71；b=702÷800≈0.70；故答案为：0.71，0.70；（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近，所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7；故答案为：0.7；（3）设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球x个，根据题意得0.7（x+14）=14，解得：x=6，∴黄色球有6-1=5个，∴摸到黄色球的概率为520【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．(8分）（2022春·山东威海·九年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，P是CD的中点，连接PA并延长AP交BC的延长线于点E，连接DE，取DE的中点Q，连接PQ，求证：4PQ=BE．【答案】见解析．【分析】利用正方形的性质证△ADP≌△ECPAAS，得AD=EC【详解】证明：∵ABCD是正方形∴AD=BC，AD∴∠ADP=∠ECP=90°P是CD的中点，∵PD=CP在△ADP与△ECP中，∠ADP=∠ECP∴△ADP≌△ECP∴AD=EC∴BE=2EC∵Q是DE的中点∴EC=2PQ∴BE=2EC=4PQ即：4PQ=BE【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的证明和性质、中位线的性质；熟练利用中位线和三角形全等的性质转化是解题的关键．21．(8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）▱ABCD中，点E、F分别在C、AD上，且DF=BE．(1)如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；(2)如图2，若E为BC中点，连接BF、DE、EF，AE与BF相交于点G，CF与DE相交于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除▱ABCD和▱AECF以外的所有平行四边形．【答案】(1)见解析，(2)▱BEDF，▱GEHF【分析】（1）由▱ABCD得出AD∥BC，AD=BC，从而证得AF∥CE，（2）利用▱ABCD的性质得出DF∥BE，又因为DF=BE，可得出▱BEDF；利用▱AECF得出BF∥DE，利用▱AECF得出【详解】（1）证明：∵▱ABCD，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵DF=BE，∴AD−DF=BC−BE，∴AF=∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：除▱ABCD和▱AECF以外的所有平行四边形有：▱BEDF，▱GEHF．理由：∵▱ABCD，∴AD∥BC，即∵DF=BE，∴▱BEDF；∴BF∥DE，即∵▱AECF，∴AE∥CF，即∴▱GEHF．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．22．(8分）（2022春·四川自贡·八年级校考期中）在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC，(1)如图（1），当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；(2)当∠BAD=60°时，连接PE，CE，PC交AE于点F，∠CPE=60°，AC=CE=4．①如图（2），若点P在线段BD的延长线上，求BP的长；②如图（3），若点P在线段DB的延长线上，直接写出BP的长．【答案】(1)见解析；(2)①833，②【分析】（1）先证出△ADP≅△CDP，得PA＝PC，再证明PA＝PE，得PC（2）①如图2中，设AC交BD于O．首先证明PC＝PE＝PA，由∠CPE＝60°推出PC＝PE＝CE＝AC＝4，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根据勾股定理和等边三角形的性质求出PO和BO，根据BP＝PO＋OB计算即可；②如图3中，利用①中方法计算BP=（1）证明：如图1中，连接PA．∵∠BAD＝90°，∴菱形ABCD是正方形，在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在△ADP和△DA=∴△ADP∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP，∵∠CPF＝∠EDF＝90°，∠PFC＝∠EFD，∴∠PCF＝∠E，∴∠PAD＝∠E∴PA＝PE，∴PC＝PE；（2）①如图2中，设AC交BD于O，连接CE、AP．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADO＝∠CDO，DA＝DC，∴∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△DA∴△ADP∴PA＝PC，∠PAD＝∠PCD，∵∠CPE＝∠CDF＝60°，∠DFC＝∠PFE，∴∠E＝∠PCD＝∠PAD，∴PA＝PE＝PC，∴△PCE∴AC＝CE＝PE＝PA＝PC＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO在Rt△APO中，∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，BO∵AB∴4BO2∴BP=②如图3中，设AC与BD相交于点O，利用①中方法可知PB=【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．23．(8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）已知：正方形ABCD中，P是对角线BD所在直线上一点．（1）如图1，若P在对角线BD上，连接PC，过点P作PQ⊥CP交AB于点Q．求证：PQ=PC；（2）如图2，在（1）的条件下，若PD=22，AB=6，求BQ（3）如图3，若P在BD的延长线上，连接AP，过点P作PE⊥AP交BC延长线于点E，连接DE，若CE=6，ΔDPE的面积是15，求PE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）58【分析】（1）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，先证明四边形PEBF是正方形，得到∠EPQ+∠FPQ=90°，PE=PF，再证明△CPF≌QPE即可得到答案；（2）先求出BD=AD2+AB2=62，则BP=BD−PD=42，再求出BE=BF=4，则CF=BC-BF=AB-BF=2，由△CPF≌QPE可知CF（3）过点P分别作PG⊥AB交BA延长线于G，PH⊥BE于H，同理可以证明四边形PGBH为正方形，的PG=PH=BG=BH，同理可以证明△PGA≌△PHE，得到AG=EH，可以得到GA=CH=HE，则GA=CH=HE=3，设AB=CD=a，则GP=PH=a+3，根据S△PDE【详解】解：（1）如图所示，过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∴∠PEQ=∠PFB=∠PFC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBP=∠FBP=45°，∠ABC=90°，∴四边形PEBF是矩形，△PEB和△PFB都是等腰直角三角形，∴PE=PF，∠EPF=90°，∴四边形PEBF是正方形∴∠EPQ+∠FPQ=90°，又∵PQ⊥PC，∴∠CPF+∠FPQ=∠CPQ=90°，∴∠CPF=∠EPQ∴△CPF≌QPE（ASA）∴PQ=PC；（2）∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴∠A=90°，AB=AD=6，∴BD=A∴BP=BD−PD=42∵PE=BE，∠PEB=90°，∴PE2+B∴BE=BF=4，∴CF=BC-BF=AB-BF=2由△CPF≌QPE可知CF=EQ=2，∴BQ=BE-EQ=2；（3）如图所示，过点P分别作PG⊥AB交BA延长线于G，PH⊥BE于H，同理可以证明四边形PGBH为正方形，∴PG=PH=BG=BH，同理可以证明△PGA≌△PHE，∴AG=EH，∵BG=BA+AG，BH=BC+CH，AB=BC，∴GA=CH=HE，∵CE=6，∴GA=CH=HE=3，设AB=CD=a，则GP=PH=a+3，∵S△PDE∴DC+PH2∴a+3+a2解得a=4，∴PH=7，∴PE=P【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．专题13.5分式十六大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1分式有意义的条件】 1【考点2分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】 2【考点3分式的值为整数】 2【考点4分式的值为正数或负数】 3【考点5分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】 3【考点6分式的化简求值综合运算（不等式组）】 3【考点7分式的混合运算（作差法比较大小）】 4【考点8分式的化简求值（裂项相消）】 5【考点9分式的化简求值综合运算（通分代入）】 6【考点10分式的化简求值（倒数法）】 6【考点11解分式方程的运用（增根问题）】 8【考点12解分式方程的运用（无解问题）】 8【考点13分式的混合运算（规律问题）】 9【考点14解分式方程与不等式组】 10【考点15解分式方程的运用（新定义问题）】 10【考点16分式方程的应用】 11【考点1分式有意义的条件】【例1】（2022·湖南邵阳·八年级期末）下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（

）A．12x+1 B．x+1x2+1 C．【变式1-1】（2022·山东临沂·八年级期末）已知对任意实数x，式子x−2x2−4x+m都有意义，则实数mA．m>4 B．m<4 C．m⩾4 D．m⩽4【变式1-2】（2022·浙江温州·七年级期末）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（

A．−3 B．−32 C．3【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知分式2x+nx−m（m，nx的取值－22pq分式的值无意义012A．n=2 B．m=−2 C．p=6 D．q的值不存在【考点2分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】【例2】（2022·浙江宁波·七年级期末）将分式x+yx2+y2中xA．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定【变式2-1】（2022·四川凉山·八年级期末）若把分式3ab2a+b中的a、b都缩小为原来的13，则分式的值（A．缩小为原来的13 C．缩小为原来的19 【变式2-2】（2022·贵州毕节·八年级期末）若把分式10xx+y中的x和yA．扩大到原来的10倍 B．扩大到原来的100倍C．缩小为原来的110 【变式2-3】（2022·山东滨州·八年级期末）关于分式2m−6n3m−4n，下列说法正确的是（

A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变【考点3分式的值为整数】【例3】（2022·山东省日照第二中学八年级期末）使分式4x+12x−1的值为整数的所有整数x的和是（

）A．3 B．2 C．0 D．-2【变式3-1】（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）若xx−1x+2x+1的值为0，则xA．−1 B．−2 C．0 D．1【变式3-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）若3a−1表示一个整数，则整数aA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式3-3】（2022·河南漯河·八年级期末）对于非负整数x，使得x2+3x+3是一个正整数，则符合条件xA．3个 B．4个 C．5个 D．6个【考点4分式的值为正数或负数】【例4】（2022·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则xA．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1【变式4-1】（2022·新疆·克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式23−4x的值为负数，则实数【变式4-2】（2022·上海·七年级期末）若分式a2a−1的值总是正数，则a的取值范围是（

A．a>0 B．a>12 C．0<a<12 【变式4-3】（2022·广东·金道中学八年级期末）如果x2【考点5分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】【例5】（2022·广西·柳州二十五中八年级期末）已知x2−10x+25与y−3互为相反数，求【变式5-1】（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）已知实数x、y满足x−3+y2−4y+4=0，求代数式【变式5-2】（2022·四川·九年级专题练习）已知实数x、y满足x−3+y2【变式5-3】（2022·江西赣州·八年级期末）先化简，再求值：x2−2xy+y2x2−【考点6分式的化简求值综合运算（不等式组）】【例6】先化简xx−5−x5−x÷2xx【变式6-1】（2022·四川达州·八年级期末）先化简再求值：a3−2a2a【变式6-2】（2022·全国·八年级课时练习）先化简，再求值：(12−x−1)÷x2【变式6-3】（2022·河南·辉县市太行中学八年级期末）已知A=x−3(1)化简A．(2)若x满足不等式组x−1≥02x−3≤x，且x为整数，求A【考点7分式的混合运算（作差法比较大小）】【例7】（2022·江苏·南京师范大学附属中学树人学校二模）根据不等式的性质：若x−y＞0，则x＞y；若x−y＜0，则【变式7-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）已知m＝a2b，n＝3a2﹣2ab（a≠0，a≠b）．（1）当a＝3，b＝﹣2时，分别求m，n的值．（2）比较n+mba2与2a（3）当m＝12，n＝18时，求1b﹣2【变式7-2】（2022·安徽合肥·二模）观察下列不等式：①122<11×2根据上述规律，解决下列问题：（1）完成第5个不等式：___________；（2）写出你猜想的第n个不等式：_____________(用含n的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比较n+2n+12和【变式7-3】（2022·江西景德镇·八年级期末）阅读理解：已知x≠y,p=x2−y2想法：求p−q．当p−q>0，则p>q；当p−q<0，则p<q；当p−q=0，则p=q．解：∵p−q=x2−用你学到的方法解决下列问题：(1)已知−1<x<1且x≠0,m=x1+x,n=x1−x(2)甲、乙两地相距s(km)，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是a(km/h)、b(km/h【考点8分式的化简求值（裂项相消）】【例8】（2022·安徽宣城·七年级期末）我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如16=12−13,【变式8-1】（2022·广西南宁·八年级期末）观察下面的变形规律：11×2=1−12，12×3=12−13A．100 B．98 C．1 D．1【变式8-2】（2022·安徽合肥·七年级期末）观察下列各式：①11×2=1−②12×3③13×4=④14×5（1）请用以上规律计算：12（2）若1(m+1)(m+2)+1【变式8-3】（2022·江苏常州·八年级期末）（1）读读做做：教材中有这样的问题，观察下面的式子，探索它们的规律，11×2=1-12，12×3=12−（2）问题解决：一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出12L水，第二次倒出的水量是12L水的13，第三次倒出的水量是13L水的14，第四次倒出的水量是14L水的（3）拓展探究：①解方程：13x+115x+135②化简：11×2×3+12×3×4+13×4×5【考点9分式的化简求值综合运算（通分代入）】【例9】（2022·山东滨州·八年级期末）已知1x−1【变式9-1】（2022·湖南邵阳·八年级期末）已知12a+1【变式9-2】（2022·河北·北师大石家庄长安实验学校八年级阶段练习）已知x+1x【变式9-3】（2022·湖南·武冈市第二中学八年级阶段练习）若12y2+3y+7的值为A．12 B．−12 C．17【考点10分式的化简求值（倒数法）】【例10】（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）阅读下面的解题过程：已知：xx2+1解：xx2+1=13知所以x4故x2x4该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知：aa2−5【变式10-1】（2022·江苏徐州·八年级阶段练习）在解决数学问题时，我们常常借助“转化”的思想化繁为简，化难为易．如在某些分式问题中，根据分式的结构特征，通过取倒数的方法可将复杂问题转化为简单问题，使问题迎刃而解．例：已知aa2+1解：∵aa2+1=13，∴(1)请继续完成上面的问题；(2)请仿照上述思想方法解决问题：已知xx2−2x+1【变式10-2】（2022·湖北鄂州·八年级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：若xx2+1=14解：∵xx2+1即x2x+1x＝4，∴x+1x＝4，∴x2+1x材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求xy+z解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝k2，y＝k3，z＝k根据材料回答问题：(1)已知xx2−x+1=1(2)已知a5=b4=c3，（(3)已知x、y、z为实数,xyx+y=−2，yzy+z=43，zx【变式10-3】（2022·四川·隆昌市知行中学八年级阶段练习）阅读下列解题过程：已知xx2+1解：由xx2+1=13，知∴x∴x2x4

以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：（1）已知xx2+1（2）已知xx2−x+1（3）已知xyx+y=2，yzy+z=4【考点11解分式方程的运用（增根问题）】【例11】（2022·浙江宁波·七年级期末）若关于x的分式方程k+1x2−1【变式11-1】（2022·河北承德·八年级期末）关于x的方程：ax+1x−1－2(1)当a＝3时，求这个方程的解；(2)若这个方程有增根，求a的值．【变式11-2】（2022·上海·七年级期末）若y=1是方程my−1+3y−2=1(y−1)(y−2)的增根，则【变式11-3】（2022·重庆巫溪·八年级期末）已知，关于x的分式方程x+mx−4+3m4−x=3有增根，且mA．1 B．2 C．3 D．4【考点12解分式方程的运用（无解问题）】【例12】（2022·江苏泰州·八年级期末）若分式方程kxx−1−2k−1【变式12-1】（2022·山东潍坊·八年级期末）已知关于x的分式方程x−2x+2−mxx2A．0 B．0或−8 C．−8 D．0或−8或−4【变式12-2】（2022·广东·绿翠现代实验学校八年级期末）在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，但诸如“123456”．生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，例如多项式：x3＋2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x＋1）（x＋2），当x＝18时，x﹣1＝17，x＋1＝19，x＋2＝20，此时可以得到数字密码：171920，191720，201719等．（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（只需写出其中2个）（2）若多项式x3＋（m＋n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值；（3）若关于x的方程1(x−3)(x+1)﹣k(x+1)(x+7)＝【变式12-3】（2022·四川内江·八年级期末）已知关于x的分式方程mxx−2x−6+2x−2A．1 B．2 C．6 D．7【考点13分式的混合运算（规律问题）】【例13】（2022·陕西·九年级期末）解方程：①1x+1=2②2x+1=4③3x+1=6④4x+1=8…（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．【变式13-1】（2022·广西百色·七年级期末）下列一组方程：①x+2x=3，②x+由①得：x+1×2x=1+2，解是x由②得：x+2×3x=2+3，解是x由③得：x+3×4x=3+4，解是x请根据以上小晶发现的规律，回答下列问题：（1）第④个方程是，解是：；（2）若n为正整数，则第n个方程是，解是：；（3）若n为正整数，求关于x的方程x+n【变式13-2】（2022·河北·南皮县桂和中学八年级阶段练习）已知a1=x+1(x≠0，且x≠−1)，a2=11−a（1）根据上述规律，可得a2=______（用含字母（2）当x的值为______时，a2022的值为5【变式13-3】（2022·山东枣庄·八年级期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+1x=2+12方程x+1x=3+13方程x+1x=4+14(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1(2)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1(3)根据上述规律，解关于y的方程y+y+2【考点14解分式方程与不等式组】【例14】（2022·重庆实验外国语学校一模）若整数a使关于x的不等式组3+x2−1≤4a−2x≤−2有解且至多有四个整数解，且使关于y的分式方程2y2y−4＝12A．63 B．67 C．68 D．72【变式14-1】（2022·重庆南开中学九年级开学考试）若关于x的一元一次不等式组x−2>3x−223x−a≤2的解集为x<−2，且关于y的分式方程2yy+1=A．−15 B．−13 C．−7 D．−5【变式14-2】（2022·重庆八中九年级期末）若a使关于x的分式方程ax−2−x−12−x=−1的解为整数，且使关于y的不等式组3(y+1)−2y≥6A．1 B．3 C．4 D．7【变式4-3】（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）若关于x的不等式组x+36≥2x3−1x−a>0至少有2个整数解，且关于y的分式方程A．–3 B．–1 C．0 D．–5【考点15解分式方程的运用（新定义问题）】【例15】（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．(1)下列3组分式：①3aa+1与aa+1；②3aa−1与a+2a−1；③a2a+1(2)若正实数a，b互为倒数，求证3a2a(3)若a，b均为非零实数，且分式3a2a2−4【变式15-1】（2022·河南南阳·八年级期末）定义运算“※”：a※b={2a−b,a>b2b−a,a<b若3※x=1A．1 B．5 C．1或5 D．5或7【变式15-2】（2022·湖南永州·八年级期末）现定义一种新的运算：a※b=a2b−1，例如：3※4=32×4−1=37【变式15-3】（2022·山东菏泽·八年级期末）定义一种新运算“*”：a∗b=aba+b．如：2∗3=65．则下列结论：①a∗a=a2；②2∗x=1的解是【考点16分式方程的应用】【例16】（2022·重庆·巴川初级中学校九年级期末）某学校开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；(2)该学校为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A种品牌足球30个，B种品牌足球20个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了2a%，B品牌足球的售价比第一次购买时降低了a%，如果这所中学第二次购买两种足球的总费用比第一次购买两种足球总费用减少了145a【变式16-2】（2022·辽宁大连·八年级期末）甲、乙两地相距skm，一辆汽车从甲地匀速驶往乙地．(1)若出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40min到达目的地．①当S＝180时，求原计划的速度是多少km/h；②汽车以原计划速度行驶nkm用了mh（0＜m≤1），则以提速后的速度行驶kh走了km（用含n、m、k的式子表示）．(2)若汽车以原计划的速度从甲地开往乙地要用th，若以提速后的速度从甲地开往乙地时间减少了54h，求汽车提速后的速度比原计划的速度快了多少（用含S、t【变式16-3】（2022·浙江舟山·七年级期末）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．(1)求7、8月各购进口罩多少盒？(2)已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b>0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同.①若a+b=30，求a、b的值．②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．专题13.5分式十六大必考点【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1分式有意义的条件】 1【考点2分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】 3【考点3分式的值为整数】 5【考点4分式的值为正数或负数】 7【考点5分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】 9【考点6分式的化简求值综合运算（不等式组）】 11【考点7分式的混合运算（作差法比较大小）】 14【考点8分式的化简求值（裂项相消）】 17【考点9分式的化简求值综合运算（通分代入）】 21【考点10分式的化简求值（倒数法）】 23【考点11解分式方程的运用（增根问题）】 27【考点12解分式方程的运用（无解问题）】 30【考点13分式的混合运算（规律问题）】 32【考点14解分式方程与不等式组】 36【考点15解分式方程的运用（新定义问题）】 39【考点16分式方程的应用】 43【考点1分式有意义的条件】【例1】（2022·湖南邵阳·八年级期末）下列各式中，无论x为何实数，分式都有意义的是：（

）A．12x+1 B．x+1x2+1 C．【答案】B【分析】根据分母为零,求x的值，求得解的，都是无意义的，继而判断即可．【详解】∵2x+1=0，∴x=−1故x=−1∵x2故分式恒意义，B符合题意；∵x=0时，分式无意义，故C不符合题意；∵x=1时，分式无意义，故D不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【变式1-1】（2022·山东临沂·八年级期末）已知对任意实数x，式子x−2x2−4x+m都有意义，则实数mA．m>4 B．m<4 C．m⩾4 D．m⩽4【答案】A【分析】把分母配方为(x−2)2+m−4，根据对任意实数x，式子x−2x【详解】解：∵x∵(x−2)2⩾0，对任意实数x∴m−4>0，解得m>4．故选：A．【点睛】本题考查了分式有意义的条件、配方法，解题关键是运用配方法把分母变形，再根据题意，列出不等式求解．【变式1-2】（2022·浙江温州·七年级期末）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（

A．−3 B．−32 C．3【答案】B【分析】先将x=3代入分式x−bx+2b【详解】解：当x=3，x−bx+2b∵分式3−b3+2b∴3+2b=0，∴b=−3故选：B．【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．【变式1-3】（2022·安徽合肥·七年级期末）已知分式2x+nx−m（m，nx的取值－22pq分式的值无意义012A．n=2 B．m=−2 C．p=6 D．q的值不存在【答案】A【分析】根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可．【详解】解：∵x为﹣2时方程无意义，∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确，故分式为：2x+nx+2当x=2时，分式的值为0，故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误，故分式为：2x−4x+2当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6，故p=6，故C正确，当2x−4x+2=2时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则故选：A．【点睛】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．【考点2分式的基本性质的运用（扩大或缩小倍数）】【例2】（2022·浙江宁波·七年级期末）将分式x+yx2+y2中xA．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定【答案】B【分析】根据分式的基本性质对扩大后得到的分式进行化简即可求出答案．【详解】解：将分式x+yx2+y2得：3x+3y3x即分式的值缩小3倍，故选：B．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．【变式2-1】（2022·四川凉山·八年级期末）若把分式3ab2a+b中的a、b都缩小为原来的13，则分式的值（A．缩小为原来的13 C．缩小为原来的19 【答案】A【分析】把分式3ab2a+b中的a用13a、b【详解】把分式3ab2a+b中的a、b都缩小为原来的1则分式变为3×1则：3×13a×所以把分式3ab2a+b中的a、b都缩小为原来的13时分式的值也缩小为原来的故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．【变式2-2】（2022·贵州毕节·八年级期末）若把分式10xx+y中的x和yA．扩大到原来的10倍 B．扩大到原来的100倍C．缩小为原来的110 【答案】D【分析】把x，y分别换为10x，10y，计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：将原式中x，y分别换为10x，10y，得：10⋅10x∴分式的值不变，故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．【变式2-3】（2022·山东滨州·八年级期末）关于分式2m−6n3m−4n，下列说法正确的是（

A．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值也扩大2倍B．分子、分母的中m扩大2倍，n不变，分式的值扩大2倍C．分子、分母的中n扩大2倍，m不变，分式的值不变D．分子、分母中的m、n均扩大2倍，分式的值不变【答案】D【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：A、2×2m−2×6n2×3m−2×4n=2×(2m−6n)2×(3m−4n)=B、2×2m−6n2×3m−4n=2m−3n3m−2n，故分子、分母的中C、2m−2×6n3m−2×4n=2m−12n3m−8n，故分子、分母的中D、2×2m−2×6n2×3m−2×4n故选：D．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．【考点3分式的值为整数】【例3】（2022·山东省日照第二中学八年级期末）使分式4x+12x−1的值为整数的所有整数x的和是（

A．3 B．2 C．0 D．-2【答案】B【分析】由整除的性质可知，2x−1是4x+1的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可．【详解】解：∵4x+12x−1∵32x−1∴2x−1=±1或±3，解得x=0或1或2或−1，所以所有整数x的和为：0+1+2−1=2，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．【变式3-1】（2022·上海市民办新北郊初级中学七年级阶段练习）若xx−1x+2x+1的值为0，则xA．−1 B．−2 C．0 D．1【答案】A【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．【详解】∵xx−1∴xx−1x+2=0解得：x=0或x=−2或x=1．故x的值一定不是−1．故选：A．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的分母不为零是解题关键．【变式3-2】（2022·江苏无锡·七年级期末）若3a−1表示一个整数，则整数aA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可．【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，∴a＝0或2或﹣2或4，故选：C．【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键．【变式3-3】（2022·河南漯河·八年级期末）对于非负整数x，使得x2+3x+3是一个正整数，则符合条件xA．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【分析】将x+3看作一个整体，把代数式中的分子x2【详解】解：x2=(x+3)=x+3−6+12=x−3+12∵x为非负整数，x2∴x的所有可能取值为0,1,3,9，即符合条件x的个数有4个，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题关键．【考点4分式的值为正数或负数】【例4】（2022·辽宁·丹东市第五中学八年级期末）若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则xA．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1【答案】C【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案．【详解】解：原式=x+2x−1当x≠1时，（x-1）2＞0，当x+2＞0时，分式的值为正数，∴x＞-2且x≠1．故选：C．【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．【变式4-1】（2022·新疆·克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式23−4x的值为负数，则实数【答案】x>34【分析】根据题意易得3−4x【详解】解：由分式23−4x的值为负数，可知：∴x>故答案为x>【点睛】本题主要考查分式的值及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式的解法是解题的关键．【变式4-2】（2022·上海·七年级期末）若分式a2a−1的值总是正数，则a的取值范围是（

A．a>0 B．a>12 C．0<a<12 【答案】D【分析】分两种情况分析:当a>0时2a−1>0;或当a≺0时,2a−1≺0,再分别解不等式可得．【详解】若分式a2a−1当a>0时，2a−1>0，解得a>1当a≺0时，2a−1≺0，解得a<12，此时a的取值范围是所以a的取值范围是a<0或a>1故选：D．【点睛】考核知识点：分式值的正负.理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母的值同号，分式的值为正数．【变式4-3】（2022·广东·金道中学八年级期末）如果x2【答案】x>6.【分析】根据分式的值为负数，分子的最小值为1，得出分母小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【详解】∵x2+16−x∴6−x<0，解得x>6.故答案为x>6【点睛】本题考查分式的值.分式的值要为负，那么分母和分子必须异号，在本题中分子已经为正，那么分母只能为负.【考点5分式的化简求值综合运算（非负性与二元一次方程组）】【例5】（2022·广西·柳州二十五中八年级期末）已知x2−10x+25与y−3互为相反数，求【答案】3【分析】先化简分式，再由x2−10x+25与y−3互为相反数得x、【详解】解：原式=y=y∵x2−10x+25与∴x2∴x−52∴x=5，∴原式=35−3【点睛】本题主要考查分式的化简求值、相反数的应用，掌握相关运算法则是解本题的关键．【变式5-1】（2022·山东·东平县实验中学八年级阶段练习）已知实数x、y满足x−3+y2−4y+4=0，求代数式【答案】5【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．【详解】解：根据题意，则∵x−3+∴x−3+∴x−3=0，y−2=0，∴x=3，y=2；∴x2−=(x+y)(x−y)=x+y∴x+yx【点睛】本题考查了分式的乘除运算，以及求代数式的值，非负数的性质，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．【变式5-2】（2022·四川·九年级专题练习）已知实数x、y满足x−3+y2【答案】5【分析】根据分式的乘除法法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x、y，代入计算即可．【详解】解：x==x+y∵x−3+∴x−3+∴x=3，y=2，∴原式=3+2【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．【变式5-3】（2022·江西赣州·八年级期末）先化简，再求值：x2−2xy+y2x2−【答案】化简的结果为−1【分析】根据二次根式有意义的条件分别求出x、y，根据分式混合运算法则把原式化简，把x、y代入计算即可【详解】解：要使x−2有意义，必须x−2≥0，即x≥2同理：2−x≥0，即x≤2∴x=2∴y=-1原式====-1=-1=-1【