重庆市铁路中学2023-2024学年高二年级上册期中 数学试题（含解析）

铁路中学2023-2024学年半期测试

高二（上）数学试题

数学试题卷共4页，考试时间120分钟，满分150分.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.设a=（l,y,2）,=且则'等于（）

A.-1B.1C.-2D.2

2.已知点8（5,7）,则线段A3的垂直平分线所在的直线方程为（）

A.2x+y-5=0B,x+y-8=O

C.x+2y+3=0D.x+y+6=0

3.如图，空间四边形。中，OA=a,OB=b,OC=c，点"在。4上，且满足OM=2MA，

点N为3c的中点，则M0=（）

D.

322

4.直线V=1被椭圆2/+丁=4所截得的弦的中点坐标是（）

5.已知圆C过点47,-2）,8（4,1）,且圆心在x轴上，则圆C的方程是（）

A.(x-5)2+/=8B.(x-6)2+y2=5C.(x-5)2+/=4

D.(x-4)2+y2=13

6.已知不全为0的实数”也。满足2b=a+c,则直线依-勿+c=0被曲线

/+/一2》-2'=0截得的弦长的最小值为（）.

A.0B.1C.2近D.2

7.已知EF是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体表面上运动，则

M尸的最小值为（）

A.-48B.-32C.-16D.0

2\

8.已知0为坐标原点，P是椭圆E：£+£=1（。>%>0）上位于无轴上方的点，F为

右焦点.延长PO,PF交椭圆E于。，R两点，。尸_LFR,|QF|=3|依则椭圆E的离

心率为（）

A.立B・立C.旦D.叵

3234

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2

分.

9.若。=（一1,%—2）,6=（2,〃与〃的夹角为120,则/I的值为（）

A.17B.-17C.-1D.1

10.已知直线/：（帆+2）x+y+m+l=0,圆C:x?+丁+4x-5=0,贝ij（）

A.圆C的圆心为（2,0）B.直线/过定点（—1/）

C.圆心到直线/的最大距离为亚D.无论m取何值，直线/与圆C相交

11.已知空间中三点4（0,1,0）,3（220）,C（-1,3,1）,则（）

A.AB与AC是共线向量

B.直线AB的一个方向向量是（2,1,0）

C.AB与BC夹角的余弦值是-叵

11

D.平面A6C的一个法向量是（1,-2,5）

12.已知人、鸟分别为椭圆C：5+/=1的左、右焦点，不过原点。且斜率为1的直

线与椭圆C交于尸、0两点，则下列结论正确的有()

A.椭圆C的离心率为g

B.椭圆C的长轴长为2夜

C.若点M是线段尸。的中点，则MO的斜率为

D.△。尸。的面积最大值为包

2

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相

应位置上.

13.已知点A(-l,4),8(2,7)在直线/上，则直线/的倾斜角的大小为.

14.已知向量a=(x,4,l),b=(-2,y,-\),c=(3,-2,z),且°〃人hlc，则c

15.已知椭圆C:=+4=l(a>b>0)的焦点分别耳(-3,0)、鸟(3,0),点A为椭圆C的

atr

上顶点，直线整，与椭圆C的另一个交点为B.若忸制=5忸段，则椭圆c的方程为.

16.在平面直角坐标系xOy中，圆O：f+y2=l,圆C：(x-4『+y2=4.若存在过点

产(根，0)的直线1,1被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是—.

四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.已知_ABC的顶点A(-1,5),B(-1,-1),C(3,7).

(1)求边8C上的高AD所在直线的方程；

(2)求边BC上的中线A"所在直线的方程.

18.已知圆E经过点A(0,0),B(l,l),C(2,0).

(1)求圆E的方程；

(2)若P为圆E上的一动点，求一面积的最大值.

19.如图所示，在直三棱柱ABC-A4G中，侧面AAGC和侧面都是正方形且

互相垂直，〃为AA的中点，N为Bq的中点.求证:

(1)MN//平面A&G;

⑵平面平面B8CC.

20.已知椭圆E：二+《=1(">6>0)的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为尸(-6,0).

a-h-

(1)求椭圆E的方程；

(2)若A是椭圆£的右焦点,过点F且斜率为1的直线交椭圆E于",N两点，求AMN的

面积.

21.如图，在多面体ABCOE中，平面AC£)_L平面ABC,平面ABC,一ABC和qACZ)

均为正三角形，AC=2,BE=6点M为线段CO上一点.

(1)求证：DEVAM-.

(2)若EM与平面ACD所成角为y,求平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值.

22

22.如图，椭圆G：=+与=1(。>6>0)和圆。2：/+丫2=从，已知圆C?将椭圆G的长

ab

轴三等分，椭圆C1右焦点到右顶点的距离为3-2近，椭圆G的下顶点为E,过坐标原

点。且与坐标轴不重合的任意直线/与圆G相交于点A，B.

⑴求椭圆G的方程;

(2)若直线E4,E8分别与椭圆G相交于另一个交点为点P,M.求证:直线PM经过定点.

1.A

【分析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数y的值.

【详解】由已知可得a包=l-y-2=0,解得y=-L

故选：A.

2.B

【分析】先求出线段A3的中点坐标及直线AB的斜率，再通过垂直求出其垂直平分线的斜

率，最后利用点斜式即可求出方程.

【详解】线段A8的中点为(3,5),L=F=1，则线段A8垂直平分线的斜率为-1,

则线段A8垂直平分线方程为y-5=-lx(x-3),即x+y-8=0.

故选：B.

3.C

【分析】由空间向量基本定理求解即可.

【详解】解：由0M=2MA，点N为8C的中点，

=OM-ON=-OA--^OB+OC^=-OA--OB--OC,

„....-2.1,1

又OA=a,OB=b,OC=c>NM=—a----c.

故选：C.

4.A

【分析】联立方程组，求出弦的中点的横坐标，代入直线方程，即可求出纵坐标.

【详解】设弦为48,4%,凶),8区,力)，

由12/消去y得2f+(x-l)2=4，即3Y_2X-3=0.

[2JT+y=4

/、2/2

A=(-2)~—4x3x(—3)=40>0,x,+x2=-,

所以弦的中点的横坐标是*=三中=!,

23

2

代入直线方程y=x-i中，得

所以弦的中点坐标是

故选：A.

5.B

【分析】根据圆心在x轴上，设出圆C的方程，把点A(7,-2),3(4,1)的坐标代入圆的方程

即可求出答案.

【详解】因为圆C的圆心在x轴上，所以设圆C的方程为(x-ay+y2=/，

因为点47,-2),3(4,1)在圆C上，所以'J,,，解得。=6,产=5,

(4-"+1=产

所以圆C的方程是(x-6)?+y2=5.

故选：B.

6.D

【解析】将代入》=a+c直线方程⑪一力+c=0中，得出直线以一刀+。=0过定点A(l,2),

则当圆心与A(l,2)连线垂直于直线or-by+c=0时，弦长最小，然后根据垂定定理求解.

【详解】因为助=a+c,

所以直线ax-by+c=O可化为a(2x-y)+c(2-y)=0,

则⑪-勿+c=0过定点A(l,2),

又f+y2_2x_2y=0可化为(x-l)2+(y_l)2=2,

因此当圆心C(Ll)与A(l,2)连线垂直于直线ox—by+c=O时，

直线依一刀+c=0被曲线/+/一2》一2、=0截得的弦长最小，

此时最小值为2,2T=2万斤=2.

故选：D.

【点睛】本题考查直线与圆的相交弦长计算问题，考查弦长最值的求解，难度一般，关键在

于分析出直线过定点，然后分析当弦长取得最值时的条件.

7.B

【分析】本题通过基底法，得到MEMF=|MOF-|OE|2,再通过立体图得到0E的值，以

及的最小值，最终代入数据得到最小值.

【详解】如图EF为棱长为8的正方体外接球的一条直径，。为球心，M为正方体表面上的

任一点

则球心。也就是正方体的中心，

所以正方体的中心。到正方体表面任一点M的距离的最小值为正方体的内切球的半径,

它等于棱长的一半，即长度为4,的长为正方体的对角线长，为84，

我们将三角形MEF单独抽取出来如下图所示:

MEMF=(MO+OE)(MO+OF)=(MO+OE)(MO-OE)=|MO|2-|0E|2

=|MO|2-=|MO|2-48

所以MF的最小值为4?-48=-32.

故选：B.

【点睛】将空间向量知识与正方体结合考察最值问题，难度较大，需要一定空间想象能力以

及向量基底法的熟练运用，平时要多加训练.

8.B

【分析】由椭圆的对称性，及QFLFR,得四边形PFQ6为矩形，设归日="，利用椭圆的

定义，及条件所给出的长度关系，可表示出|ER|=2?”，忻用="产，|蹬|=2丁，

利用勾股定理，求出机，推断出点尸的位置，求出离心率.

由题，P,。关于原点对称，所以四边形P/7。E为平行四边形,

又因为QFLFR,所以四边形PFQG为矩形.

设归耳=m,^\QF\=\PF\=2a-m,

又因为|。户|=3陷，则网=笥呵，1KM="产，网=等网，

在RfZXKPR中，归耳『+|冏2=忻耳2,即（2a-城+1”；2而J=（

解得机=。或«7=2°（舍去），故点P为椭圆的上顶点.

由耳尸_LPF,所以〃+/=（2°）2,即/=2/,所以离心率e=

故选：B.

【点睛】解题时注意数形结合，抓住椭圆的对称性，将图形关系用含mh,c的代数式表示

出来，即可求解离心率.

9.AC

【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.

【详解】因为。=（—1,4—2）,b=（2,—1,1）,°与6的夹角为120»

12-2-2-2_-4-21

所以8S120ab

Jl++4x,4+1+1JT~+5x-^629

国军得4=17或2=一1.

故选：AC.

10.BCD

【分析】将圆的标准方程转化为一般方程可判断A,求出直线恒过的定点可判断B,C,D.

【详解】由题可得C：(x+2y+V=9,所以圆C的圆心为(-2,0),故A错误；

由+2)x+y+/??+l=0的2x+y+l+m(x+l)=0,

[2x+y+1=0/、

联立x+；0解得x=-l,y=l,所以直线/过定点(-1,1),故B正确；

直线/过定点为尸(T,l),当CP，/时，

圆心到直线/的距离最大为CP=JiTT=&，故c正确；

因为CP=JIXT=0<3,所以直线/过定点(-Li)在圆内，

所以无论掰取何值，直线/与圆C相交，故D正确；

故选:BCD.

11.BCD

【分析】根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算作答.

【详解】空间中三点A(0,1,0)，8(220),C(—1,3,1),

21

对于A,A8=(2J0),AC=(-1,2,1),显然[W彳，即AB与AC不是共线向量，A不正确；

对于B,因AB=(2,l,0),则直线A3的一个方向向量是(2,1,0),B正确；

…十八ABBC2x(-3)+lxl+0xl屈.

对于C,BC=(-3,1,1),则cos(A8,8C〉=：----L=-----产—产----=------,C正确；

对于D,由选项A知，向量AB=(2,l,0),AC=(-l,2,l)不共线，令〃=(1,-2,5),

则"•AB=2xl+lx(-2)+0x5=0,〃-AC=-lxl+2x(-2)+lx5=0,即〃_LAB,”_LAC,

因此〃=(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量，D正确.

故选：BCD

12.BCD

【分析】AB选项，根据椭圆方程得到“=0,6=1,c=L从而求出离心率和长轴长；C选

项，设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出M点坐标，得到

的斜率；D选项，在C选项基础上，求出|PQ|=g-6^和点。到直线y=x+/i的距离为

〃=白=空，表达出△OPQ的面积，求出最大值.

【详解】AB选项，由题意得a=0,Z?=l,故（?=_从=],

故椭圆C的离心率为£=正，长轴长为2a=2&，A错误，B正确;

a2

C选项，设不过原点。且斜率为1的直线为y=x+〃，

r23r2

KAL—+y2=lW—+2/?x+/z2-l=0,

22

由△=4〃2-4、5（〃2-1）=6-2川＞0,解得_&＜人＜6，

设P&，X），Q（W，%），则占+9=一事,中2=殳了，

ni24〃〜2〃

则X+必=x^+x2+2h=--—+2/?=—,

h

故M0的斜率为a令=-51,C正确;

"T

D选项，由C选项可知，|PQ|=J1+F.而1+々）2_4中2=及4^~_42,

点。到直线丫="+〃的距离为d=/L=@,

J1+1。2

故△OP。的面积为S=3P@."=L±后方.」2=也历二万

223J23

9

+一，

4

因为-石＜〃＜石，所以04川＜3,

故当好=|时，△OPQ的面积取得最大值，最大值为白，D正确.

故选：BCD

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现儿何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，

再求这个函数的最值或范围.

13.-

4

【分析】根据斜率公式直接计算斜率，进而确定倾斜角.

【详解】直线/的斜率为％=言5=1,

设直线/的倾斜角为a,则tana=l,

IT

因为04a〈乃，所以a=一,

4

故答案为：4-

4

14.(3,-2,2)

【分析】由已知利用向量平行的条件列式求解达「再由向量垂直的坐标运算求得z,可得

答案.

【详解】.〃=(x,4,l),6=(-2,y,-l),且〃h,

・•・存在实数2,使得劝，即(x,4/)=/l(—2,乂—1),

x=-22

4=Ay,国年得4=-l,x=2,y=-4,/./?=(-2,-4,-1),

1=—A.

又c=(3,-2,z),且。_Lc，

...(-2)x3+(—4)x(-2)—z=0,即z=2,c=(3,—2,2).

故答案为：(3,-2,2).

【分析】利用定义和已知先求忸名|,再由相似三角形可得点B坐标，代入椭圆方程可解.

【详解】如图，过点B作x轴的垂线，垂足为M,

由定义知，|%|+|明=2”，因为忸制=5忸段，所以的.

因为F2OAs&F2MB,AF2=a,OA=b,0F2=c=3

所以=所以B(4,-g)

33

»>>■>t)~

将B(4,_,代入?■+方=1得与+耳=],解得/=18

所以/=/一,2=18-9=9

所以椭圆方程为三+£=i.

3

【分析】根据弦长相等得《〜”3有解，即16—3八3,得到心际’根

据G>0,结合公<1可解得m的范围.

【详解】直线1的斜率k不存在或0时均不成立,

设直线1的方程为：kx-y-km=G,

\brA\4k—lan\

圆O(0,0)到直线1的距离圆c(4,0)到直线1的距离4=“/2+,1，

1被两圆截得的弦长相等，所以，2a-d；=2《4-d；,即42-42=3,

16k2+k2m2-Sk2m-k2m2

所以,=3,化为：16Z2-8Z加=3^+3

k2+l

13

心际沁得:m<——

8

加2

13-8m=3/"-<1

乂1+]

1+F------16-8/n

4

即3m2+8机—16<0,解得：-

故答案为(-4怖).

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦长的求法，考查了运算能力，属于

难题.

17.(l)x+2y-9=0

(2)x+y-4=0

【分析】(1)先求直线3c的斜率，结合&=T，求高AO所在直线的斜率，再利

用点斜式求直线方程；(2)先根据中点坐标公式求点M的坐标，再利用点斜式求直线方程.

【详解】⑴I•直线BC的斜率即C=Y4=2

-1—3

...边8c上的高AD所在直线的斜率匕=-；，则所求直线方程为y-5=-g(x+l),即

x+2y-9=0

；•边BC上的高AD所在直线的方程为x+2y-9=0

(2);•线段BC的中点M(l,3)

边8c上的中线AM所在直线的斜率kAM=*==-1,则所求直线方程为y-5=-l(x+l),

即x+y-4=0

.,•边8C上的中线AM所在直线的方程为x+y-4=0

18.(1)U-l)2+y2=1(2)匕立

2

【分析】(1)设出圆E的一般方程，把点带入解出方程即可

(2)分别算出直线A8的方程、|AB|、圆心E到直线A8的距离即可

【详解】(1)设圆E的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0

F=0[D=-2

由题：“2+£)+E+尸=0=«E=0

4+20+/=0[F=0

二圆E的方程为V+/一2力=0即(x-1)2+/=1

(2)；A(0,0),8(l,l).,.A8的方程：x-y=0,且|AB|=&

圆心E（1,O）到直线AB的距离为d^=—

V22

二点P到直线AB的距离的最大值为立+1

2

等+1=；x血、（曰+1）=^^

【点睛】圆中的最值问题一般向圆心进行转化，如本题，圆上一点到一直线的距离的最大值

等于圆心到直线的距离加上半径.

19.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定得到平面Age.

然后利用向量的数量积为零得到MN±AA,进而得证;

（2）分别求出平面与平面8月GC的法向量，利用向量的数量积为零得到4_L%,进

而得到平面MBC,，平面BB&C.

【详解】（1）由题意，知AA，AB,AC两两垂直，以A为坐标原点，分别以4AMRAC所在

直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形AA£C的边长为2,则40,0,0),A(2,0,0),8(020),B,(2,2,0),C(0,0,2),C,(2,0,2),

由题意知MJ_4片，A4|1AG,

又因为AGA4=A，AG，AB|U平面A4G，

所以明，平面AB。.

因为M=(2,0,0),MN=(0,T,l),所以MN・A4,=0,即MN_L441.

又因为MNu平面AAG，故MN〃平面AB©.

（2）设平面M3C]与平面BBC。的法向量分别为勺=（不加4）,4=（孙必，22）•因为

MB=(-1,2,0),MC}=(1,0,2),

々•MB=0—X]+2y1=0

所以＜,即

=0xA+2z=0

令玉=2,则平面MBC1的一个法向量为勺=（2,1,T）.

因为64=(2,0,。)，BiC]=(0,-2,2)

%叫=02M=0

可得

=o-2y2+2z2=0

令必=1，则平面BBgC的一个法向量为%=（0,1,1）.

因为〃[•%=2x0+lxl+(-1)x1=0,

所以“工丐，所以平面M3G，平面B4CQ.

20.(1)—+y2=l

4

⑵尬

5

2a=2x2/?

【分析】（1）依题意可得C=&,解得。、b,即可求出椭圆方程；

c2=cr-b2

（2）首先求出直线方程，设M&，X）、N（“2，%），联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定

理，再根据5..=3质川.％-必|计算可得；

2a=2x2b

/—[a=2Y2

【详解】（1）解：依题意c=G,解得,,,所以椭圆方程为二+丁=1；

cJa-2卜=14

⑵解：依题意A（G,0）,过网-K,o）且斜率为1的直线为y=x+G设”（3,乂）、

y=x+G厂

产,消去x整理得5)，2_26丫一1=0,所以y+%=马色，yy=4

NUM，则t2

—+y=155

4

所以sAMN=JAF“M-%|=^\AF\J(y+%)2-4y%

21.（1）证明见解析;

喈.

【分析】（1）取4c中点。，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质证明OE〃（出即可推理

作答.

（2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.

【详解】（1）取AC中点。，连接。。、0B,在正ACD和正一ABC中，AC=2,

则DO1AC,BOLAC,DO=BO=6,而平面ACD±平面ABC,

平面ACOI平面ABC=AC,">u平面AC£>,80u平面ABC,于是平面ABC,BOI

平面ACD,

又BE_L平面4BC,即有。O〃£B,而D0=EB=5因此四边形DOBE是平行四边形，

则。E〃08,

从而DE二平面ABC,AWu平面ADC,

所以。E_LAM.

JT

（2）由（1）知，£>£/平面AOC,为与平面AOC的所成角，即NEMZ）=§,

nv_DE_V3_

在RtAED