2023-2024学年青海省西宁市大通县高三年级上册开学摸底考试数学（理科）试题（附答案）

Q

|2023_2024学年青海省西宁市大通县高三上册开学摸底考试数学（理

j科）试题

考生注意：

郑

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

.J应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

i区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

应是符合题目要求的.

:1.已知集合'={xpx2-5x>0},”{0,1,2,3,4},则储）1B=（）

喙

：A.{1'}B.{°，2}c.{123}D.{°」23}

62.已知复数z满足z（2-i）=（2+i）1则在复平面内复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

x+3j^+6>0,

疝<2x+y<0,

教*3.已知2满足约束条件l7+420,则目标函数z=x+2y的最大值为（）

：11_18

A.2B.5C.4D.5

:4.随机变量X服从正态分布若尸（4<XW5）=028,则尸（X<3）=（）

6A.0.22B.0.24C.0.28D.0.36

5.已知夕为第四象限角，且sin6»=2sin26,贝ijtan0=（）

_4s__V|_V15

A.2B.5C.一岳D.15

不6.己知“，尸是两个不重合的平面，且直线/'e,贝卜0:1夕”是“〃勿”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

O

01/21

7.北京地处中国北部、华北平原北部，东与天津毗连，其余方向均与河北相邻，是世界著名

古都，也是国务院批复确定的中国政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心.为了感

受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览北京，计划6天游览故宫、八达岭长城

、颐和园、“水立方”、“鸟巢”、798艺术区、首都博物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点,

且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览

顺序共有()

A.120种B.240种C.480种D.960种

L+COS仅+x]

2【2）

8.函数的图象有可能是

2（2产22

e

a=log2022-,Z）=-,c=2022

9.已知e是自然对数的底数，e，则（）

A.c<a<bga<c<b

C.b<a<cD.ct<b<c

2*s22

s_a+b-c

10.在OBC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,的面积一4

且c=6,则的外接圆的半径为（）

后也

A.6GB.6叵C.3D,3

11.已知抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为-/(4,")(〃>0)为(7上一点,且网=5,直线

/尸交C于另一点记坐标原点为0,则刀•砺=()

02/21

A.5B.-4C.3D.-3

、ex,x>0

/(%)=<2

12.已知函数~(),g()(),若方程小"。)=0恰有三个

不相等的实数根，则实数人的取值范围是()

2

A.(-2,-l)u(e,+oo)B(-2,-l)u(2e,+oo)

C(-3,-1)。伫+00)D(-3,-l)u(2e,+(»)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

22

^-^=l(a>0,b>0)q

13.若双曲线如6的渐近线方程为了=±33则其离心率为.

14.在O8C中，点。是边/C上的一点，4D=2DC,氤P满足BP=3BD,若

AP=XAB+juACjj|[j22+〃=

15.已知球。的表面积为12兀，四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则

当该四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为.

f(x)=^4sin+/〉0,0>0,|司<：色

16.已知函数I2J的部分图象如图所示，且阴影部分的

m\

面积为4兀，若函数/(X)在区间I3上单调递增，则实数加的取值范围是.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.如图是河市某爱国主义教育基地宣传栏中标题为“2015〜2022年基地接待青少年人次”的

统计图.根据该统计图提供的信息解决下列问题.

03/21

（1）求M市爱国主义教育基地所统计的8年中接待青少年人次的平均值和中位数；

（2）由统计图可看出，从2019年开始，M市爱国主义教育基地接待青少年的人次呈直线上升

趋势，请你用线性回归分析的方法预测2024年基地接待青少年的人次.

①参考公式：对于一组数据%匕），&，为），…，（””），其回归直线步=&+@的斜率

nn

-Ea-0）（弘-其）£七匕-加,歹

吞=三一-----------------------

Z（xf-0）〜Vx,2-rix2---

和截距的最小二乘法公式分别为：II,a=y-bx.

（2）参考数据：

/=x-20190123

yf=y-630-300-12090330

18.在等比数列｛“力中，％,%,如分别是下表第一，第二，第三列中的某一个数，且生,

出，与中的任何两个数不在下表的同一行.

第一列第二列第三列

第一行-1-416

第二行2-6-10

第三行5128

⑴写出%,%,%,并求数列包｝的通项公式；

⑵若数列也｝满足%+bgzd,求数列也｝的前〃项和S“.

19.如图，在四棱锥尸-/BCD中，PC,平面/BCD,AB//CD,CD1AD,

04/21

PC=AB=2CD=2,BC=®,£是棱尸g上一点

(1)求证：平面E/C_L平面P3C；

(2)若E是PB的中点，求直线产/与平面E/C所成角的正弦值.

A1,—BA/3,

20.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为无轴、了轴，且过1J、I1两

点.

(1)求E的方程；

MP\_\MQ\

(2)若。(4°),过的直线/与E交于河、N两点，求证：NP|\NQ\i

f(x)=xlwc+-+a-2(aeR)

21.已知函数》.

(1)若。=1,求/(X)的极值；

(2)若/(X)有且仅有两个零点，求。的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.在平面直角坐标系中，以。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

2pcos0—=一

GC的极坐标方程分别为夕=2℃OSO+2,I3)2.

(1)求曲线G，02的直角坐标方程；

四+国

⑵若曲线与X轴交于点尸，曲线G和曲线G的交点为48,求1尸8|伊"的值.

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数"X)4T|+|X|.

05/21

⑴解不等式"x)(8；

(2)若"x)的最小值为加，且a+6=27"(a,bwR),求的最小值.

06/21

1.B

【分析】先解出集合/,找到/的补集，再求出和8的交集.

A=(x\2x2-5x>0}=(-oo,0)U|—|4*=0,—

【详解】因为12人所以L2.又5={0,1,2,3,4}

所以（Q/）l5={0,1,2}

故选：B.

2.A

【分析】根据复数乘除法运算化简求出复数再判断所在象限即可.

（2+i）2（3+4i）（2+i）211.

【详解】因为z（2f=（2+i）,所以2-i（2-i）（2+i）55,

在复平面内复数z对应的点为（55人位于第一象限.

故选:A.

3.C

【分析】先画出可行域，数形结合计算即可

【详解】画出满足约束条件的平面区域，

如图所示，易得直线2x+产°与x—+4=°的交点I33人

平移直线x+2y=°,当经过工时，目标函数z取得最大值，

4c8,

Z-+2X=4

ar|max-77

即33.

故选：C.

01/21

4.A

【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性,即可求得

P（X<3）

【详解】•・・随机变量X服从正态分布N(4，02),

・・・正态曲线的对称轴是x=4,

..P(3WX<4)=P(4<X«5)=0.28,

.P(X<3)=0.5-0.28=0.22

故选：A.

5.C

【分析】根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系求解.

【详解】sin3=2sin26>=4sincos0,且°为第四象限角，sin'w°

02/21

6.B

【分析】由线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系，根据面面垂直的判定判断

线面是否平行，再由充分、必要性定义判断条件间的充分、必要关系.

【详解】解：由/‘a,若夕上厂,则可能平行或/u〃，充分性不成立；

由/la,〃/£,由面面垂直的判定知口工尸，必要性成立.

所以“al夕，，是“〃/?，，的必要不充分条件.

故选：B.

7.D

【分析】利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法解决排列问题.

【详解】顺序排列分2步进行，(1)将“水立方”和“鸟巢”看成一个整体，与颐和园、798艺术

区、首都博物馆全排列，有A/：=48种情况，

(2)排好后，有5个空位可用，在其中任选2个，安排故宫和八达岭长城，有A；=20种情

况，则有48x20=960种不同的游览顺序.

故选：D.

8.A

【分析】先判定函数的奇偶性，再求其单调性即可判定选项.

1

人)=；x+cos—+x=—x-sinx

(22

【详解】解:函数的定义域为R,

又f(T)=一己x-(-sinx)=~f(x)

可得/(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项B、D；

易知“X)的导数为,0)=5一8sx，当时，递减;

7171兀

当时，/(x)>0J(x)递增，则/(X)在"3处取得极小值，可排除选项C.

故选:A.

9.D

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及中间值0,1,分析即得解

2,2丫°22,2、。-

e

a=log2022-<log2022l=0,0<b=\-<-=l,c=2022>2022°=l

e

【详解】因为〈Jlej

所以a<0,0vb,所以

03/21

故选：D.

10.D

C=-

【分析】先由正弦定理面积公式和余弦定理进行化简，找到4,再根据正弦定理

sinC求解即可.

a2+b2-c211^,八

8=----------------tzosinC=—x2abcosC

【详解】因为4，所以24，所以tanC=l,

C=1

又°<C<兀，所以4.

2r=—^―=二=6及

sinCV2

设"3C的外接圆的半径为人所以T,解得厂=3收.

故选：D.

11.D

【分析】根据抛物线的焦半径可得P=2,进而可得/0，°），,（4,4）,联立直线”与抛物线

方程可得点14'J,由向量数量积的坐标公式即可求解.

【详解】由题意得，抛物线0号2=2。，（。>0）的准线为'一一万，因为“（4"）为C上一点,

I\r|^477|=4+—=5,H2=8p„n>0

且MAr=5,所以「2”,解得p=2o,"=4A,

故抛物线U「=4x,焦点为尸a°），*（4,4）,所以北的方程为'一1°一1）,

（2”—（x-1）2=4x,x=—

代入C"=4x,得9,整理得4x2-17x+4=0,解得4或x=4,

y\=4x—_.

因为B为C上一点，则-4,由于A在第一象限，所以%=T,所以14）,所以

OAOB=l-4=-3

故选:D.

12.A

/、ex,x>0

/（x）=<2

【分析】方程/GAgG'n。恰有三个不相等的实数根可转化为卜（X+2）+5,尤（°与

g（x）=&（x-l）的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.

04/21

ex,x>0

/（X）=<2

【详解】作出卜（x+2）+5,x<°与g（x）=%（x-l）的图象，如图,

当尤>0时，设且自”左卜一口与,二二相切于点2（占,必），

则1苞一1%-1,解得玉=2,所以上二e?,

由图象可知，当后>e?时，86）=左（*一1）与'=6'有2个交点，与y=_（x+2>+5（xW0）有］

个交点，即8（"）="（'一1）与>=/（幻有3个交点.；

当尤W0时，设g（x）=Mx—1）与>=-（工+2）2+5（》40）相切于点。（%,%）,

7八y—0—xi—4X+1

/y-2%-49=—广9

由y__2x.4可知，x2-lx21,

,1-0,

解得X2=T或工2=3（舍去），此时心=-2,而“。一0一/,

由图象知，当-2（人<-i时，g（x）=M》T）与了=/0）有3个交点.

综上，-2<%<-1或%>e?时图象有3个交点，即方程/（X）一gG）=°恰有三个不相等的实数

根.

故选：A

13.M

b

【分析】由渐近线方程得。，进而求得离心率.

22

土-匕=1、”3

【详解】因为双曲线/b2的渐近线方程为^=±3苫，所以。，

e=—T=V10

双曲线的离心率为Y〃

故答案为.而

05/21

14

14.V

【分析】根据向量的线性运算可用方，%表示的，结合平面向量基本定理求出九必的值后

可得答案.

―►2—►

4D=—AC

【详解】因为点。是边/C上的一点，NO=2DC,所以3,

AP=AB+BP=AB+-BD=AB+-(AD-AB}=-AB+-x-AC=-AB+-AC

所以3733339.

2214

又万=2万+〃％,所以'一3'"一所以2'+"一9.

14

15.1

【分析】先得到圆的内接四边形中，正方形面积最大，从而得到当四棱锥的高〃一定时，要

使体积「最大，则要底面四边形面积S最大，此时四棱锥的底面为正方形，表达出

V=--h3+2h

3,利用导函数得到其单调性，从而得到极值和最值情况，得到答案.

【详解】首先说明圆的内接四边形中，正方形面积最大，过程如下：如图1,四边形N2CD

为圆内接四边形，面积为S,设NAMB=6,圆的半径为乙

由三角形面积公式得：5=S-AMB+S^CMB+S^MD+S.CMD

=-AMMBsinAAMB+-MC-MBsmACMB+-AM-MDsmAAMD+-CMDMsinZCMD

2222

06/21

=^AM-MBsin0+^MC-MB0)+^AM-MDsin(it-0)+^CM-DMsind

=-AM-MBsin0+-MC-MBsin0+-AM-MDsind+-CM-DMsin0

2222

=-(AM+CM)(MB+MD)sin9=-AC-BDsm.6

22,

因为/CK2r,5OK2〃,0<sine〈l,

ii

S=—/CBDsinew—(2尸)9xl=2户

所以22—,

当且仅当为圆的直径且/Cl8。时，等号成立，

此时四边形N8CD为正方形，

即半径为r的圆内接四边形中，正方形面积最大，最大面积为2r\

如图2,设球的半径为A,贝1]4位?2=12兀，解得：&=6,

V=-Sh

该四棱锥。底面积为S,四棱锥的高为力，则其体积为3,

当〃一定时，要使厂最大，则要S最大，此时四棱锥的底面AB。为正方形,

222

因为。4=R=6,OE=h,由勾股定理得：AE=^OA-OE=^3-h；

23

S=L（2/E）2=2（32）V=Lsh=-（3-h\h=--h+2h

所以2、/I433<J3,

所以，=一2*+2,当1<为<百时,r=-2/Z2+8<0,

当时，r=-2/Z2+8>0,

2

V=——h^+lhL

即3在0<〃<l单调递增，在1〈力<6上单调递减，

V=--h3+2h

3在〃=1时取得极大值，也是最大值.

07/21

2兀7兀

T'T

16.

【分析】先根据图像及阴影面积求出周期，再结合三角函数单调性求出加的范围即可.

【详解】由图可知4=2.连接E28C,

则根据三角函数图象的对称性，知阴影部分的面积等于平行四边形班CO的面积，

2兀

4xT=4K,T=兀，〃>=——=2

易知EB=T,所以T,

所以"x）=2sin（2x+°）.

因为函数/（x）的图象过点I12'人且该点位于/（X）的递增区间,

、(p—^=2kn(A:GZ)cp-2kn+^-(A：GZ)

H<-(p=-/(x)=2sin2x+?

因为2,所以当％二°时，6,则V6

2kn——<2x+—<2kit+—（A：GZ）flat--,kK+—CkGZ)

于是由262V得函数八3的单调递增区间为36v7

2兀7兀

当k=1时，函数/（X）的一个单调递增区间为I3'6

2兀12兀7兀

T，-6"

所以

2兀,7兀

——<m<——

由题意知，实数加的取值范围是36

2兀7兀

T51-

故

17.(1)401.25人次,290人次

08/21

(2)1365人次

【分析】（1）根据统计图，分别利用平均数和中位数公式求解;

（2）令x'=x-2019,了=尸630,分别求得P,进而求得第a,得到岁关于£的回

归方程求解.

110+150+180+250+330+510+720+9600

---------------------------------------------------------=401.25

【详解】（i）平均数为8（人次）,

250+33。=29。

中位数为2（人次）.

(2)

X2019202020212022

y330510720960

简化变量:

x'=x-20190123

yf=y-630-300-12090330

44

^x,＞；=1050Zx,"=14

7=1.5,y=oz=lz=l

4_____

1050

b=i=l=210

为xj一4/Hxl.52

=「—

Z=1,egP=0—210x1.5=-315

/=210y-315

当尤=2024时，y=5,/=735；所以5-630=735,所以夕=1365

即2024年接待的游客约为1365人次.

18.⑴""=(7)

2+(-2)田

S“=+??(1+77)

⑵3

【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到%=2,%=4,%=8,进而求

得通项公式;

（2）由⑴知6"二（T）""2”+2〃，再利用等差和等比数列求和.

09/21

【详解】（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到%=2,«2=

即数列是首项为2,公比为-2的等比数列，故""=2x（-2）'"=（-1）”"2〃

4

（2）因为2=“"+1°4*=（T）"'.2"+log22*=（一I）"・2"+2〃，

X］丫-12〃J，I

数列《一）,,是首项为2,公比为-2的等比数列，｛2"｝是首项为2,公差为2的等差数列,

所以

S_2[1-(­2)"]!2»(1+/7)

+〃(1+〃)

"-1+22

19.（1）证明见详解

V2

⑵3

【分析】（1）要证平面"CL平面P2C,可证NC,平面网0,即设法证

AC±BC,AC1PC.

（2）以07为x轴，8为了轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面E/C法向量，结

合线面角的正弦公式即可求解.

［详解］（1）因为/5〃CO,CD1AD,AB=2CD=2,BC=6,作中点尸，连接

CF,贝|JCF1A8,CF=AD=y/BC2-BF2=1,AF=1,贝0HC=，CD2+=叵,

BC2+AC2=AB2,所以/C/5C,又尸C，平面4BCD,所以尸c，/c,

PCcBC=C,R?F面CuPBC,所以/C，平面P3C,又/Cu平面E4C,所以平面

及1C_L平面P8C；

（2）易知C〃，CD,CP三垂直，故以CF为无轴，CD为V轴，。尸为z轴建立空间直角坐

标系，则。（0,0,0）皿，1，0），8（10）,尸（0,0,2）,则方=（1』,-2）

n-CA=Q

C2=(1,1,O),CE=^,-1,1则1在=°

设平面E/C法向量为"=（x，％z）

\x+y=0

即1x-y+2z=0,令工=1,则”（「LT）,设直线尸4与平面E4C所成角为8,

10/21

V2

，故直线尸/与平面E/C所成角的正弦值为3.

20.(1)42

(2)证明见解析.

【分析】（1）设椭圆后的方程为加,+利2=1,将点A、B的坐标代入椭圆E的方程，可得出

关于加、〃的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆后的方程;

（2）分两种情况讨论：①直线/与x轴重合，直接验证结论成立；②直线/不与x轴重合,

设直线/的方程为x="+l,设点初（X”乂）、N6，力）,将直线/的方程与椭圆£的方程联立,

列出韦达定理，计算得出上9+心°,可得出x轴平分NMQN,利用角平分线的性质可证

得结论成立.综合可得出结论.

（1）解：设椭圆£的方程为加/+"=1

3।1

m+—n=1m=—

24

1

3m+—n=1n=—

将点A、B的坐标代入椭圆E的方程可得2,解得2

1

因此，椭圆E的方程为42.

（2）证明：若直线/与x轴重合，则河、N为椭圆£长轴的端点,

MP\_1\MQ\_2MP_\MQ\

不妨设点“（2,0）,则点"（-2,0）,则猫「3,|N0「6,和一|N0|成立;

若直线/不与x轴重合，设直线/的方程为x=）+l,设点初（与必）、"（乙，%）,

x=ty+l

x2+2/=4可得(r+2»2+2力-3=0,A=4z2+12(r+2)>0

联立

2t3

>1+%=—?-----

由韦达定理可得♦”+2

11/21

乂।%_必।%_23跖-3（乂+%）

%—4x2—4ty^—3ty?—3（勿1—3）（共2—3）

6t6t

=厂+2产+2=o

@-3）（%-3）,

S^MPQKIMQ

...X轴平分NM0N,...SAWI阿NQ

MP\_\MQ\

综上所述，西二的.

【反思】求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.(1)极小值为0,无极大值

(2)(°,)

【分析】(1)先求出导数，再令"(龙)^'^),二次求导后可得"G)>°,则可得尸(X)在

(0,+“)上单调递增，由于/'(1)=0,从而可得/(x)在(°，1)上单调递减，在°，+8)上单调递

增，进而可求得极值,

1a-2a/、ia-2a

InxH-----\--=0/n(p(x)=InxH------H—

(2)问题转化为1"在J内有两个不等实根，令N》

求导后分兄，°,">°讨论函数的单调性及最值，当。>°时，求出函数的最小值，然后分

a>l,。=1和0<。<1判断函数的零点，从而可求得结果.

a=\,f{x}=x\nx+--\/'(x)=l+lnx-4-,/\=rz\

【详解】⑴若了,所以/，令/⑺,

12

则"o丁了>°在(°，+0上恒成立，

所以“(尤)在(0+°0)上单调递增,即f(x)在(°，+8)上单调递增，

又/'（l）=l+lnl-l=0

所以当0Vx<1时，/'(x)<。，当x>l时，/

所以/(x)在(0』)上单调递减，在Q+00)上单调递增.

又所以/(X)的极小值为0,无极大值.

12/21

山+"2+a_0

（2）若）（X）有且仅有两个零点，即+X+X2~在（°，+"）内有两个不等实根,

、1a-2a

（pz\x）=lnx+----+丁

令xx,

0，(x)J一『'上2-(Q-2)X2Q(X+2)(X-Q)

则\/XX-X3

当〃,,o时，"（'）＞°在（°，+"）上恒成立，所以。G）在（°，+"）上单调递增,

所以°（无）在（°，+°°）上至多有1个零点，不符合题意;

当a＞0时，令。'（x）＞。，解得x＞a,令。'（x）＜。，解得0＜x＜a

所以。（x）在（°，。）上单调递减，在3+8）上单调递增,

a一

夕(x)min=9(a)=lna+：

所以

/\ici—1

0(x)min=Ina+--->0,所以0a）在（°什"）上无零点，不符合题意;

若"1,则a

/、ia—\

O(x)min=Ina+---=0，所以°。）在（"+"）上有且仅有一个零点，不符合题意;

若°=1,则a

/、1ci—1

O(X)min=I11"+---<0

若0＜。＜1,则a,

/、ia-2ae2+«e-2e+tz

6?(e)=men--------F-=

又ee2e2

所以。(x)在3+s)上有且仅有一个零点；

H(X)=lnx-l+—u'(x)=--\=^—^-

令X,所以—X/X2,

令解得X>1,令解得0<x<i,

所以“a）在（°』）上单调递减，在a+“）上单调递增,

所以“（X）..."（i）=o,即1nx“y,

iaa-2a,1a-2