2023-2024学年广东省广州市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线y=x+2023的倾斜角为()

兀一兀_2九一3兀

A.-B.—C.—D.—

4334

【正确答案】A

【分析】设直线y=x+2023的倾斜角为e(04e<7t),然后利用斜率公式即可

【详解】设直线y=X+2023的倾斜角为。(04。<兀)，

由y=x+2023可得斜率/=tane=l,即。=色

4

故选：A

2.已知圆C的方程为(X-1)2+/-2=0,则圆心C的坐标为()

A.(-1,0)B.(1,2)

C.(1,0)D.(1,-2)

【正确答案】C

(分析】将圆C的方程转化为标准形式，再得到圆心C的坐标即可.

【详解】圆C的方程为(x-1)2+V-2=0，贝I」圆C的标准方程为(X-if+V=2,

所以圆心C的坐标为(1,0).

故选:C.

3.己知双曲线S-4=l，则该双曲线的离心率为()

169

25门25_5

A.—B.—■C.-D.~

16943

【正确答案】C

【分析】根据双曲线的方程直接求出离心率即可.

【详解】由双曲线=1河知该双曲线的离心率e=

169V164

故选:C.

4.等差数列｛%｝中，已知。3=10，4=-20,则公差d等于

A.3B.-6C.4D.-3

【正确答案】B

【分析】利用等差数列的性质%-⑼九即能求出公差.

【详解】由等差数列的性质，得。8-%=(8-3”=5(

,—20—10

所以d=-------=-6.

故选：B.

本题考查了等差数列的公差的求法，是基础题.

5.已知点尸(-2,1)到直线/:3x-4y+w=0的距离为1,则优的值为()

A.-5或-15B.-5或15

C.5或-15D.5或15

【正确答案】D

【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立关于“的方程，再求出m的值.

【详解】因为点尸(-2,1)到直线/:3丫-勺+〃?=0的距离为1,

13x(-2)-4xl+m\,

所以一/,，，八，一=1,解得a=15或5.

V3+(-4r

故选:D.

6.已知等比数列｛%｝的各项均为正数，公比4=2,且满足&&=16,则％=()

A.8B.4C.2D.1

【正确答案】A

【分析1根据｛/｝是等比数列，则通项为a“=q/T,然后根据条件可解出％=；,进而求

得出=8

【详解】由｛/｝为等比数列，不妨设首项为4

26

由a2a6=16,可得:a2a6=a,-2=16

又〃“>0,则有：6=；

则％；x2,=8

故选：A

7.如图所示，在平行六面体44G。中，E,F,，分别为C4,4G，OE的中点.若

AB=a'AD=b>44I=c，则向量尸〃可用0,6,c表示为（）

L1：1->

B.——。+—b——c

232422

3T1?L2T3T1T

c.—a——b——cD.-a--b+-c

443343

【正确答案】B

【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示所求向量即可.

■•叭1"11'/V1^

【详解】由题意，FH=FC[+C[E+EH=^-A^--AB--DE,

t—-汉-

且4G=Q+b,DE=DD[+D]E=e+~a»

1->1->1->i-►i->i->

/.FH=—（a+b）——a——（c+—a）=——a+—b——c,

2222422

故选：B.

22

8.己知椭圆E:鼻+哀=1（。>6>0）的右焦点厂与抛物线V=16x的焦点重合，过点少的直

线交E于48两点，若的中点坐标为（LT）,则椭圆E方程为（）

A.—+^-=1B.—+^-=1

248259

/V2X2V2

C.—+2-=1D.—+^-=1

3620189

【正确答案】A

【分析】结合中点坐标用点差法求得y=8,/=24.

【详解】：/=16x,故右焦点尸（4,0）,则/=从+16,

设4（演,乂）,8（孙必）,则4+々=2,»+）=-2,

2222

%.必-1%2

且-T-'T"-1，"T"•7"1,

abab

两式相减得小?…％(…y-L,

故3才-妙2b2_Z>2_0+1_1

-2/一/一Q-§

故"2=3〃=/+16,故/=8,r=24,

故椭圆E方程为江+片=1,

248

故选：A.

二、多选题

9.己知非零空间向量则下列说法正确的是()

........

A.若allb,bl/c，则a〃cB.a-b=b-a

C.^a-b\-c=a-(b-c\D.c=xa+yb(x,yeR),则a,6,c不共面

【正确答案】AB

【分析】根据向量共线定理判断A；利用数量积的定义判断B；根据平面向量数量积的定义

和运算律判断C；利用平面向量基本定理判断D

【详解】对于A,因为J,b，；是非零向量，且满足D，dlb，故存在实数人〃使得

a=&>,b=因,故。=〃/c,所以ale,故正确；

对于B,因为九b，5是非零向量，所以4力=卜1・“85,》)=6-4,故正确；

对于C,(a-ft)-c=nzc(OTeR),(6-cj-a=na(weR),a与「未必共线，故不正确；

对于D,由平面向量基本定理可得若c=xa+y“x,yeR),则a,6,c共面，故不正确

故选：AB

10.已知点尸在圆C：X2+/-4X=0±,直线48:y=x+2,则()

A.直线与圆C相交B.直线与圆C相离

C.点P到直线/B距离最大值为20+2D.点P到直线距离最小值为20-1

【正确答案】BC

【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即

可判断.

【详解】解：圆C：x2+y2-4x=0,即（x-2）2+_/=4,圆心为C（2,0）,半径r=2,

,2+2—0|r—

则圆心C到直线48的距离"=/,/、2=272>r,所以直线N8与圆C相离,

V1+(-1)

又点P在圆。上，所以点P到直线Z8距离最大值为2近+2,点P到直线距离最小值为

2夜-2,故正确的有B、C.

故选：BC

11.设S“为等比数列｛《｝的前”项和，已知的=6,%=48,则下列结论正确的是（）

,

A.%=9B.an=3-2"'

C.5„=3"-1D.S„=3-（2"-l）

【正确答案】BD

【分析】根据等比数列公式得到4=3,q=2,计算得到%=32一，=3.（2"-1）,对比

选项得到答案.

【详解】%=0闷=6,牝=%/=48,解得q=3,q=2,故《,=32，S„=3.（2"-l）,

a,=3-22=l2,故BD正确，AC错误.

故选：BD.

12.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点用在歹轴上，短轴长等于2,离心率为逅，过

3

焦环作J轴的垂线交椭圆C于P,。两点，则下列说法正确的是（）

A.椭圆C的方程为仁+f=lB.椭圆C的方程为片+/=1

33

C|尸。|=半D.归入卜?

【正确答案】ACD

【分析】根据给定条件，求出椭圆C的方程，再逐项计算判断作答.

【详解】依题意，椭圆C的方程为5+，=l（a>b>0）,有6=1,由离心率为逅得：

22

2a-b2

e=——：—=一,

a23

解得“2=3/=3,因此椭圆C的方程为事+/=1,A正确，B不正确；

由椭圆的对称性不妨令耳(0,-五)，直线产。i=-万，由［,2=-/得|刈=且，则

y+3x=33

I尸5=半，C正确：

由选项C知，|尸耳|=乎，由椭圆定义得|/与|=2"-|尸身|=2W-*=W，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13.已知a=(-3,2,5),/)=(1,5,-1),则向量3:二,的坐标为.

【正确答案】(-10,1,16)

【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.

【详解】已知工(-3,2,5),号(1,5,-1),则3〉，13(-3,2,5)-(1,5,-1)=(-10,1,16).

故(-10,1,16)

14.古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1,3,6,10,15,21,…这些数量的(石子)，排成

一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为

三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是.

•••

・•・•••...

••••••••••

I3610

【正确答案】66

【分析】根据给定信息，求出三角形数按从小到大排列构成数列的通项，即可求解作答.

【详解】依题意，三角形数按从小到大排列构成数列口｝,则%=1+2+3++〃=

所以第11个三角形数是%=66.

故66

15.已知抛物线/=6x,直线/过抛物线的焦点，直线/与抛物线交于45两点，弦长

为12,则直线/的方程为

33

【正确答案】y=x--^y=-x^~

【分析】根据题意可得抛物线的焦点厂(|，0),设直线/的方程为…卜-|)=.-|%,

4士,必)，B(x2,y2),联立直线/与抛物线方程，消掉y得关于X的一元二次方程，利用韦达

定理可得士+々，由M8|=12,解得上，即可求解.

【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点尸

根据题意可得直线/的斜率存在，

设直线/的方程为y==,凰国，乂)，B(x2,y2),

联立/==kXx~-2-k,得公/-(3公+6口+2/=0,

y2=6久x4

3公+69

所以玉+工2=一p—，X1X2=~，

-2»2x

因为MM=X]+工2+P=3—3=12,

K

解得公=1,%=±1,

则直线/的方程为N=x-13或"-x+玄3

3.3

故卜=x--^y=-x+--

四、双空题

16.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点月，8距离之比

是常数22>02*1的点M的轨迹是圆.若两定点4-3,0),8(3,0),动点又满足

|M4|=也》四|，点〃的轨迹围成区域的面积为，面积的最大值为.

【正确答案】72兀1872

【分析】设动点A/(x,V),由=结合两点距离公式可得得动点M的轨迹方程为

(x-9)2+y2=72,可得圆心坐标和半径，即可求点"的轨迹围成区域的面积；又

sA^=^\AB\-\yu\,只需iK/max，即可得A48M面积的最大值.

【详解】解：设动点M(x,y),则|A//|=J(X+3)2+y2,|A/8|=J(x-3)2+_/,

由即J(x+3)2+/=④J*_3y+/,

所以V-18x+/+9=0,

所以(X-9)2+J?=72,

所以动点〃的轨迹方程为(x-9>+V=72,

所以点M的轨迹是圆且圆心N(9,0),半径为及=60,

点M的轨迹区域面积S=KR2=72小

SABM=^\AB\-\yM\,又|/8|=6,

所以SABM=3|九|,

而IX"lnm=火=的最大值为］81^•

故72?t；18TL

五、解答题

17.已知圆"的圆心为(2,3),且经过点C(5,-l).

(1)求圆M的标准方程；

(2)已知直线/：3x-4y+16=0与圆〃相交于48两点，求|/现

【正确答案】(l)(x-2『+(y-3)2=25

(2)\AB\=242\

【分析】(1)根据条件求出圆”的半径，再结合圆心坐标求出标准方程即可;

(2)求出圆心〃到直线/的距离，再由垂径定理求出|力8|.

【详解】(1)因为圆〃的圆心为(2,3),且经过点。(5,-1),

所以圆M的半径r=|〃C|=J(5-2『+(-l-3『=5,

所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=25.

(2)由(1)知，圆"的圆心为(2,3),半径r=5,

|3'2-4'3+16|_2

所以圆心”到直线/的距离d

T?M7

所以由垂径定理，得阈=2尸牙=2炉茨=2而

18.已知数列也,｝的前“项和为知，且S.=/+方

(1)求｛4｝的通项公式

(2)求证数列19｝是等差数列

【正确答案】⑴〉=2〃+1

(2)证明见解析

[S,,/?=1

【分析】(1)根据。“=:c、”代入即可求出通项公式，注意检验力;

[Sn-Sfl_vn>2

(2)由题意得出｛中｝的通项公式，用后一项减前一项为定值来证明是等差数列即可.

【详解】(1)解:由题知5“=1+2",

>>S]—47|=3,

当〃N2时,4=S,-S,T

=n2+2n-(«-1)'-2(n-1)

=2〃+1,

将〃=1代入上式可得％=3,

故〃=1时满足上式，

'•%=2"+1;

(2)证明:由题知S,=川+2«,

=n+29

n

nn-\')'

且｝=3,

是以3为首项,1为公差的等差数列.

19.如图，在棱长为2的正方体/88-44GA中，E,尸分别为的中点.

（1）求证：-LCtE；

（2）求点A到平面C£尸的距离.

【正确答案】（1）证明见解析;

⑵：.

【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.

（2）利用（1）中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离.

【详解】（1）在棱长为2的正方体/38-44£口中，分别以8C,84网为x,%z轴，建

立空间直角坐标系，如图，

则E(0,1,0),*1,0,0),4(0,2,2),储(2,0,2),///=(1,-2-2),C,£=(-2,1,-2),

所以&尸•GE=lx(-2)+(-2)xl+(-2)2=0,即有吊尸

所以邛”心

(2)由(1)知，40,2,0),则以：(1,-1,0),FG=(1，0,2),Z£10,T,。，

“',、〃•EF=x-y=0、

设〃=(x,y,z)是平面C尸的法向量，则XT，令z=-l,得〃=(2,2,-1),

n•FC、=x+2z=0

所以点A到平面GE尸的距离d=殴以=2=1

|n|V4+4+13

20.已知4(1,2),8(2,4),且乂〃€江)在直线“3上，其中凡是数列｛风｝中的第〃项.

(1)求数列｛对｝的通项公式；

(2)设bn=Tan,求数列他,｝的前〃项和T„.

【正确答案】⑴勺=2〃；

【分析】(1)根据给定条件，求出直线的方程，再代入求解作答.

(2)由(1)求出“，再利用错位相减法求和作答.

【详解】(1)因为工(1,2),8(2,4),则直线48的斜率为的B=£=2,直线力8的方程为：

2—1

—=2(1),即y=2x,

又因为eN*)在直线48上，则有4=2〃，

所以数列仇｝的通项公式是。,,=2”.

(2)由(1)知，"=2小2"=62川，

则7；=1x22+2x23+3x2"++nx2n+1,

于是得2q=1x23+2x2"++(n-l)x2n+'+«x2"+2,

两式相减得：-<=22+23++2,,+1-«x2"+2=2Mx2"+2=(1-n)x2"+2-4,

所以数列帆｝的前〃项和(=(〃一1)2-2+4.

21.如图，PAD^ABCD,EDL底面4BCD,四边形488是正方形，AP=AD=2DE=2.

E

J/\[/

(1)证明：。£7/平面Z8P；

(2)求直线CP与平面DCE所成角的正切值.

【正确答案】(1)证明见解析；

⑵乌

2

【分析】(1)利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理作答.

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即可求解作答.

【详解】(1)因为尸4_L底面/BCD,EZ〃底面Z8CZ),则P/〃DE,P/u平面/8P,DEB

平面ABP,

所以。£7/平面48尸.

(2)依题意，两两垂直，

以A为坐标原点，第4Mp所在的直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，如图,

则£>(0,2,0),C(2,2,0)0(0,2,1)/(0,0,2),c/i(-2,-2,2),=(0,2,0),

而。E_LAD,DC±AD,DEcDC=D,DE,£>Cu平面DCE,即ADJL平面DCE,

则平面OCE的一个法向量为4。=(0,2,0),

I4=6

设直线CP与平面DCE所成角为0,则sin0=cos(AD,CP)\=瓜点

\AD\\CP\2x2-733

则cos6=Jl-sin*=Jl—-=—>tan9=-S^n-=,

'(3J3cos。2

所以直线CP与平面。CE所成角的正切值为显.

2

22