2020-2021学年河北省承德市平泉市九年级（上）期末数学试卷（附答案详解）

2020-2021学年河北省承德市平泉市九年级（上）期末数学试卷

1.在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示

成绩（米）4.504.604.654.704.754.80

人数232341

则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（）

A.4.65>4.70B.4.（55、4.75C,4.70、4.75D.4.70、4.70

2.下列关于x的方程中一•定没有实数根的是（）

A.x2—x-1=0B.4%2—6x4-9=0

C.x2=­XD.x2—mx—2=0

3.抛物线y=-2。-2）2+3的顶点坐标是（）

A.（-2,3）B.（2,一3）C.（-2,-3）D.（2,3）

4.点4（l,yi）、B（3,J/2）是反比例函数y=g图象上的两点，则y1、丫2的大小关系是（）

不能确定

A.yi>y2B.%=y2C.yi<y2D.

5.下面四个高校校徽主刊；图案是中心对称图形的是（）

A北京大学B.中国人民大学

c■北京体育一

C.北爪体口t学D.北京林业大学

6.下列事件为必然事件外）是（）

A.掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为奇数

B.某射击运动员射靶一次,正中靶心

C.打开电视，正在播足球比赛

D.口袋中装有1个红球和2个白球，从中摸出2个球，其中必有白球

7.如图，。。经过正方形的顶点A,分别与A8,AC相交于0

点、E,F,点G是0。上不与E、产重合的任意一点，则NEGF的度数

为（）

A.45。

B.80°或45°

C.80°或135°

D.45°或135°

8.一元二次方程/+6x-5=0配方后变形正确的是（）

A.（x-3）2=14B.（x+3产=4C.（x+6）2=|D.（%+3）2=14

9.某正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为XCVM,当x=2时，y=16,

那么当成本为64元时，边长为（）

A.3cmB.4cmC.9cmD.16cm

10.如图，点A是反比例函数y=：（x>0）图象上任意一点，y,

4B_Ly轴于B,点C是x轴上的动点，则AABC的面积为（）\

A」SUV

-

D.不能确定

11.若关于x的方程/+2x+a=0不存在实数根，则〃的取值范围是（）

A.a<1B.a<1C.a>1D.a>1

12.图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计），4为入口，F,G为出口，其中直行道

为AB,CG,EF,且ZB=CG=EF,弯道为以点。为圆心的一段弧，且就，CD，翁所对

的圆心角均为90。.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口

驶出，其间两车到点O的距离y（m）与时间x（s）的对应关系如图2所示，结合题目信息，下列

说法错误的是（）

图1

A.甲车在立交桥上共行驶8sB.从F口出比从G口出多行驶40,”

C.甲车从G口出，乙车从尸口出D.立交桥总长为160%

13.对于两组数据A,B,如果或>s御且焉=五，贝女）

A.这两组数据的波动相同B.数据B的波动小一些

C.它们的平均水平不相同D.数据A的波动小一些

14.如图，。。的半径为4,G是函数y=/的图象，C?是函数y=-x2的图象，则阴影部分

的面积是（）

A.2兀

15.有一题目：“已知：点。为△力BC的外心，ABOC=110°,求

嘉嘉的解答为：画△4BC以及它的外接圆。，连接。8,OC,如图.由

乙BOC=2乙4=110°,得乙A=55。.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，”

还应有另一个不同的值下列判断正确的是()

A.淇淇说的对，月24的另一个值是125°B.淇淇说的不对，乙4就得55。

C.嘉嘉求的结果不对，应得40°D.两人都不对，44应有3个不同值

16.如图，抛物线G：y=x(x-4),直线/：y=b,针对h的不同取值，I与G的交点个数,

三人的说法如下：

甲：若b=—5,则交点个数为0；

乙：若b=—4,则交点个数为1；

丙：若6=-3,则交点个数为1.

下列判断正确的是()

A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对

17.己知x=1是关于x的方程/+mx+n=0的一个根，则?n+n的值是.

18.如图，平面直角坐标系中，0P经过点4(8,0),0(0,0),

B(0,6),点P关于x轴的对称点是心,点。是OP上的一点.

(1)。「的半径「=;

(2)点D到点鸟的最大距离为.

19.如图，在边长为4的菱形ABC。中，乙4=60。，M是AO边

的中点，若线段M4绕点M旋转得到线段ME.

(1)线段ME的长为；

(2)连接CE,则CE长度的最小值为.

20.题目：解一元二次方程/-4x+□=0.

⑴若“口”表示常数3,请你用配方法解方程M-4x+3=0；

(2)若“口”表示一个字母，且一元二次方程X2-4%+口=0有实数根，求“口”的最大值.

21.在中，/.ABC=90°,/.ACB=30°,将△4BC绕点C顺时针旋转一个角度a得

到△DEC,点A,2的对应点分别为。，E.

(1)若点E恰好落在边AC上，如图1,连接A。，求NZZ4E的大小；

(2)若a=60。，F为AC的中点，如图2,连接BF,DF,BE.

求证：①△ABC^CFD；

②四边形8EDF是平行四边形.

22.中华人民共和国第二届青年运动会(简称二青会)将于2019年8月在山西举行.太原市作

为主赛区，将承担多项赛事,现正从某高校的甲、乙两班分别招募10人作为颁奖礼仪志愿者，

同学们踊跃报名，甲、乙两班各报了20人，现已对他们进行了基本素质测评，满分10分.各

班按测评成绩从高分到低分的顺序各录用10人，对这次基本素质测评中甲、乙两班学生的成

绩绘制了如图所示的统计图.请解答下列问题：

(1)甲班的小华和乙班的小丽基本素质测评成绩都为7分，请你分别判断小华，小丽能否被录

用(只写判断结果，不必写理由).

(2)请你对甲、乙两班各被录用的10名志愿者的成绩作出评价(从“众数”，“中位数”，或

“平均数”中的一个方面评价即可).

(3)甲、乙两班被录用的每一位志愿者都将通过抽取卡片的方式决定去以下四个场馆中的两个

场馆进行颁奖礼仪服务，四个场馆分别为：太原学院足球场，太原市沙滩排球场，山西省射

击射箭训练基地，太原水上运动中心，这四个场馆分别用字母A,B,C,。表示.现把分别

印有A,B,C,。的四张卡片(除字母外，其余都相同)背面朝上，洗匀放好.志愿者小玲从

中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求小玲抽到

的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率.

23.如图所示，抛物线丫=。/+"一3过点4(1,0),B(-3,0),直线交抛物线于点D

点。的横坐标为一2,P(m/)是线段AO上的动点.

(1)求直线AD及抛物线的表达式

(2)过点尸的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段尸。的长度/与〃?的关系式；当，"为

何值时，PQ最长？

24.如图，NBCD=90。，且BC=DC,直线PQ经过点。.设4Poe=a(45。<a<135°),BA1

PQ于点、A,将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90。，与直线PQ交于点E.

(1)当a=60。时，4ABC=。；

(2)求证4c=CE；

(3)若AABC的外心在其内部，直接写出a的取值范围.

P

CB

25.阅读：传说古希腊毕达哥拉斯（Pythagonas,约公元前580年一约公元前500年）学派的

数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究

过1,3,6,10,…由于这些数可以用图中所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形

数，第"个三角形数可以用磅#（几21）表示.

数1数3数6数10

发现：1x8+1=9=32,3x8+1=25=52,6x8+l=49=72,….

结论：任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数.

验证：请你对上述结论加以证明；

拓展：嘉琪说：连续两个三角形数的和也是一个完全平方数.请你对这个结论进行证明.

（温馨提示：用特殊值法证明不得分！）

26.如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=-彳与反比例函数y=（的图象交于A,8两点（

点4在点B左侧），已知A点的纵坐标是2.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）根据图象直接写出—x>§的解集；

（3）在反比例函数y=§图象上有一点求m的值及△ABC的面积.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70,4.75.

故选：C.

根据中位数、众数的定义即可解决问题.

本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题.

2.【答案】B

【解析】解：A、△=5>0,方程有两个不相等的实数根；

B、△=-108<0,方程没有实数根；

C、△=1=0,方程有两个相等的实数根；

D、△=m2+8>0,方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况.没有实数根的一元二次方程，即判别式

的值是负数的方程.

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>00方程有两个不相等的实数根；

(2)△=0=方程有两个相等的实数根；(3)△<0=方程没有实数根.

3.【答案】D

【解析】解：,顶点式y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(九,k),

y=一2(x-2>+3的顶点坐标是(2,3).

故选：D.

直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标.

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中,

对称轴为％=九，顶点坐标为(九,忆).

4.【答案】A

【解析】解：•.・反比例函数y=:中的9>0,

•••经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

又：4(1,月)、8(342)都位于第一象限，且1<3,

为>y2,

故选：4

根据反比例函数图象的增减性进行比较.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系数的关系以及函数图象的

性质是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：C.

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做

中心对称图形，这个点叫做对称中心.

此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心.

6.【答案】D

【解析】解：4掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为奇数，是随机事件，不符合题意；

B、某射击运动员射靶一次，正中靶心，是随机事件，不符合题意；

C、打开电视，正在播足球比赛，是随机事件，不符合题意；

。、口袋中装有I个红球和2个白球，从中摸出2个球，其中必有白球，是必然事件，符合题意;

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条

件下，可能发生也可能不发生的事件.

7.【答案】D

【解析】解：••・四边形ABC。为正方形，

^LEAF=45°,

AEOF=2Z.EAF=90°,

如图，当G在优弧面上时，

D

AEGF=AEAF=45°,

当G'在劣弧群上时，

vZ.ECF+Z.EGF=180",

•••乙EG'F=135°,

NEGF的度数为45°或135°.

故选：D.

分两种情况讨论：当G在优弧面上或当G'在劣弧前上，分别根据圆周角定理和圆内接四边形的

性质即可求出答案.

本题考查了圆周角定理和正方形的性质，

8.【答案】D

【解析】解：原方程变形为：x2+6x=5,

方程两边都加上32,得/+6X+32=14,

2

A(x+3)=14.

故选：D.

先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32,这样方程左边就为完全平方式.

本题考查了利用配方法解一元二次方程a/+bx+c=0(a二0)：先把二次系数变为1,即方程两

边除以“，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半.

9.【答案】B

【解析】解：设y与x之间的函数关系式为y=由题意得:

16=4k,

解得：k=4,

■■y=4x2>

当y=64时，64=4x2,

x>0,

x=4.

故选：B.

设y与x之间的函数关系式为y=k/,由待定系数法求出解析式，再把y=64代入函数解析式,

得到关于x的一元二次方程，解方程就可以求出结论.

本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，一元二次方程的应用，解答时求出函数的解析式是

关键.

10.【答案】B

【解析】解：连接。4如图示:

4B//x轴，

1

SMBC_SFBO=5X|4|=2，

故选：B.

根据同底等高，面积相等及k的几何意义求解.

本题考查了反比例函数系数％的几何意义，同底等高面积相等是解题的关键.

11.【答案】C

【解析】解：••・关于x的方程/+2乂+。=0不存在实数根，

•••b2—4ac=22—4xlxa<0,

解得：a>1.

故选：C.

根据根的判别式得出炉-4ac<0,代入求出不等式的解集即可得到答案.

此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式4

的关系.

12.【答案】D

【解析】解：由图象可知，两车通过诧，①,族弧时每段所用时间均为2s,通过直行道AB,

CG,EF时，每段用时为3s.

因此，甲车所用时间为3+2+3=8s,故A正确，不符合题意；

根据两车运行路线，从尸口驶出比从G口多走长，咒弧长之和，用时为4s,则走40如故B正

确，不符合题意；

根据两车运行时间，可知甲先驶出，应从G口驶出，故C正确，不符合题意；

根据题意立交桥总长为(3x2+3x3)x10=150m,故。错误，符合题意；

故选：D.

根据题意、结合图象问题可得.

本题考查了动点问题的函数图象，解答时要注意数形结合.

13.【答案】B

【解析】

【分析】

根据方差的定义，方差越小数据越稳定.

本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平

均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据

偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【解答】

解：丫s：>SB，

数据8组的波动小一些.

故选：B.

14.【答案】D

【解析】解：由图象可知，

阴影部分的面积正好等于半圆的面积，

••・O。的半径为4,

二阴影部分的面积是：7TX42xj=8TT,

故选：D.

根据图形，可以发现阴影部分的面积正好等于半圆的面积，然后计算即可.

本题考查二次函数的图象、圆的面积，解答本题的关键是发现阴影部分的面积正好等于半圆的面

积.

15.【答案】A

【解析】解：如图所示：44还应有另一个不同的值乙4'与乙4互补.

故乙A'=180°-55°=125°.

故选：A.

直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案.

此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键.

16.【答案】C

【解析】解：y-x(x—4)=x2—4x=(x—2)2—4,

•,・抛物线的顶点坐标为(2,-4),

•••甲、乙的说法正确，丙的说法不正确；

故选：C.

求出抛物线的顶点坐标为(2,-4),由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即

可得出结论.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识：熟练掌握二次函数图象上

点的坐标特征是解题的关键.

17.【答案】-1

【解析】解：；x=1是一•元二次方程/+mx+n=0的一，个根，

•1.x=1满足一元二次方程/+mx+7i=0,

■■1+m+n=0,

•••m+n=—1；

故答案为：—1.

根据一元二次方程的解的定义，将％=1代入一元二次方程产+mx+n=0,即可求得m+几的值.

本题考查了一元二次方程的解.正确理解方程的解的含义是解答此类题目的关键.

18.【答案】511

【解析】解：(1)过户作PH1。4于H,PG1OB于G,连接OP,

则四边形PG。”是矩形，OG=^OB,

PG=OH,PH=OG,

•・•点4(8,0),B(0,6),

OA=8,OB=6,

.・・PG=OH=4,PH=OG=3,

・•・OP=VPH24-OH2=732+42=5,

-OP的半径r=5；

故答案为：5；

(2)延长HP交OP于。，则此时，。到点B的距离最大，

•・•点P关于x轴的对称点是匕，

PS=2PH=6,

•••点。到点Pi的最大距离为6+5=11,

故答案为：11.

(1)过尸作PH104于H,PG_LOB于G,连接。P,则四边形PGO/7是矩形，根据垂径定理得到

OH=^0A,OG=^OB,根据勾股定理得到OP=，PH?+。年=，32+42=5;

(2)延长HP交。P于D,则此时，。到点R的距离最大，根据轴对称的性质得到PiP=2PH=6,

于是得到结论.

本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的

关键.

19.【答案】22，7-2

【解析】解：(1)•••M是A。边的中点，

1

：•MA=-?1Z)=2,

・「线段MA绕点M旋转得到线段ME,

：.AM=ME=2,

故答案为：2.

(2)如图,作MFJ.CD于点F,

•・•菱形A5C。中，4力=60°,

・•・Z.ADC=120°,

・•・KFDM=60°,

・・•MF1CF,

・•.Z.DMF=30°,

・•・DF=-DM=1,MF=V_3DF=<3

・•.CF=5,

・•・CM=VMF2+CF2=V3+25=2\T7

当E在MC上时EC最小，则EC长度的最小值为2「一2.

故答案为：2，万一2.

(1)由旋转的性质可得AM=ME=2；

(2)由勾股定理可求MC的长，当E在MC上时，EC有最小值，即可求解.

本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问

题是解题的关键.

20.【答案】解：(1)/一4X+3=0,

x2—4x=—3,

x2-4x+(-2)2=-3+(一2产，即(x-2)2=1,

解得X]—3,%2=1；

(2)设口中为〃?，则4x+m=0,

由题意得4=b2-4ac=(-4)2—4x1-m>0,

解得TH<4,

•••□的最大的值为4.

【解析】(1)按配方法的一般步骤求解即可；

(2)设口中为〃?，根据判别式的意义得到4=(-4)2-4m)>0,然后解不等式求出m的解后找出最

大整数即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+.+c=0(a羊0)的根与d=b2-4ac有如下关系：

当Zl>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当21<0时，方

程无实数根；也考查了配方法解一元二次方程.

21.【答案】(1)解：如图1中，•・,△4BC绕点C顺时针旋转a得到AOEC,点E恰好在AC上，

•••CA=CD,乙ECD=4BCA=30°,4DEC=/.ABC=90°,

•••CA=CD,

：.4DAE=Z.CDA=j(180°-30°)=75°：

(2)证明：①如图2中，•••/B=90。，AACB=30°,

•••AC=2AB,Z-A=60",

•••CA=CD,^ACD=60°,

44=NDCF=60°,

•••F为AC的中点，

AF=CF=AB,

.•.△ABgACF0(S4S)；

②如图2中，•.•点F是边AC中点，

1

・・・BF="C,

•・・Z.ACB=30°,

1

^AB=^AC,

・•.BF=AB,

•・•△ABC绕点。顺时针旋转60。得到△DEC,

・•・乙BCE=Z.ACD=60°,CB=CE,DE=AB,

・•.DE=BF,△4CD和△BCE为等边三角形，

.・・BE=CB,

•.•点尸为△ACD的边4c的中点，

:.DF1AC,

•••△CFD也△ABC,

DF=BC,

DF=BE,

而BF=DE,

二四边形尸是平行四边形.

【解析】(1)如图1,利用旋转的性质得以=CD,乙ECD=ABCA=30。，&DEC=4ABe=90°,

再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出从而利用互余和计算出44DE的度数；

(2)①根据S4S证明三角形全等即可；

②如图2,利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF=：4C,利用含30度的直角三角形三边的

关系得到4B=^AC,则BF=AB,再根据旋转的性质得到48CE=乙4CD=60°,CB=CE,DE=

AB,从而得到DE=BF,△4C0和△BCE为等边三角形，由△CFD丝△4BC得到DF=BC,然后

根据平行四边形的判定方法得到结论.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了平行四边形的判定.

22.【答案】解：(1)小华在甲班是第11名，不能录用；小丽在乙班是第10名，可以录用；

(2)从众数来看，甲乙两班各被录用的10名志愿者的众数分别为8分、10分，说明甲班被录用的

10名志愿者中8分最多，乙班被录用的10名志愿者中10分最多；

从中位数来看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的中位数分别为9分、8.5分，说明甲班被录

用的10名志愿者成绩的中位数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的中位数；

从平均数看，甲乙两班被录用的10名志愿者成绩的平均数分别为8.9分、8.7分，说明甲班被录用

的10名志愿者成绩的平均数大于乙班被录用的10名志愿者成绩的平均数.

(3)画树状图如下：

ABCD

/l\/|\/1\/l\

BCDACDABDABC

由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的有2种结果,

所以抽到的两张卡片恰好是“A”和“B”的概率为之=：.

【解析】(1)判断小华和小丽在各自班级的名次即可得出答案；

(2)分别得出甲乙两班的众数、中位数和平均数，再判断大小即可得；

(3)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须

认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

23.【答案】解：⑴将力(1,0),B(-3,0)KAy=ax2+bx-3,得

解得；；

3=2

••・抛物线的解析式为y=/+2x-3,

当x=-2时，y=-3,

。点的坐标为(-2,-3),

设直线AD的解析式为y=kx+c(k*0),

代入点4(1,0),0(—2,-3),得：｛£c二Z_3,

解得：产=L，

lc=-1

，直线的解析式为y=x—l；

(2)n)在线段上，

n=m—1,

:.P(m,m—1),

・•・Q(m,m2+2m—3),

=m—1—(m2+2m—3)=—m2—m+2,

1Q

即/=—(m4--)+-(—2<m<1),

.•.当7n=一：时，线段尸。的长度有最大值，最大值为*

【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；

(2)设—1),则Q(7n,7n2+2巾一3),可得1=-m?-m+2,则当7n=-g时，线段P。的

长度/有最大值，最大值为*

4

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性

质是解题的关键.

24.【答案】60

【解析】(1)解：在四边形BADC中，Z.B+Z.ADC=360°-^BAD-Z.DCB=180°,

而乙4DC+NEOC=180°,

/.ABC=Z.PDC=a=60°,

故答案为：60；

(2)证明：v^ECD+Z.DCA=90°,^DCA+^ACB=90",

•••Z-ACB=乙ECD,

又BC=DC,由(1)知：AABC=APDC,

.•.△ABC妾AEDC(AAS),

•••AC=CE；

(3)当乙4BC