高中数学讲义（人教A版必修二）：第29讲 直线与平面平行的判定定理（教师版）

第29课直线与平面平行

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课程标准课标解读

1线.面平行的判定定理中，包含要素:两线一面.两线一面

1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初的关系是:一线在面外一线在面内.结论是:线面平行.

步利用定理解决问题2掌握直线与平面平线面平行的性质定理中，包含要素:两线两面.两线两面

行的性质定理，明确由线面平行可推出线的关系是:一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交

线平行..

线，结论是:两线平行。

2.熟记和理解直线和平面平行的判定定理和性质定理，

就能灵活运用实现“线线”“线面”平行的转化

取‘知识精讲

知识点01直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线

文字语言

与此平面平行

符号语言a^a,bUa,a//b^a//a

图形语言

【即学即练1】如图，四边形ABC。是平行四边形，尸是平面ABC。外一点，M,N分别是AB,PC的中

点.求证：〃平面B4D

证明如图，取尸。的中点G,连接GA,GN.

p

VG,N分别是△尸DC的边尸。，尸C的中点,

J.GN//DC,GN=3DC.

为平行四边形ABC。的边AB的中点,

：.AM=^DC,AM//DC,

J.AM//GN,AM=GN,

：.四边形AMNG为平行四边形，

：.MN//AG.

又脑W平面AGU平面出。,

〃平面PAD.

知识点02知识点二直线与平面平行的性质定理

一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交，

文字语言

那么该直线与交线平行

符号语言alla,〃U£,aG£=♦=>〃〃/?

图形语言p-4

/ab/

【即学即练2】如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是平行四边形，AC与80交于点O,M

是尸C的中点，在。M上取一点G,过G和AP作平面交平面于G”，求证：AP//GH.

B

证明如图，连接

p

Jwc

AB

四边形ABCD是平行四边形，

，O是AC的中点.

又是PC的中点，：.AP//OM.

又平面BDM,

OMU平面BDM,

〃平面BDM.

又平面APG8,平面APGHC平面C.AP//GH.

反思感悟线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线

面平行得到线线平行.

（J篦方拓展

考法01直线与平面平行的判定定理的应用

【典例1】如图，在正方体ABC。一4B1C1D1中，E,F,G分别是BC,CCi，8囱的中点，求证：跖〃平

面ADiG.

证明连接（图略）,

在△BCG中,

,；E,尸分别为2C,CG的中点，：.EF//BCi,

)L'：AB//AiBi//DiCi,S.AB=AiBi=DiCi,

四边形ABCiDi是平行四边形，

：.BCi//ADi,：.EF//ADi,又EM：平面ADiG,

ADU平面AUG,〃平面AAG.

反思感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,

常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.

考法02直线与平面平行的性质定理的应用

【典例2］如图所示，在四面体A8C。中，用平行于棱AS,。的平面截此四面体，求证：截面MNP。是

平行四边形.

证明因为AB〃平面MNP。，平面A8CC平面MNPQuMN,且ABU平面ABC,

所以由线面平行的性质定理，知AB〃MN.

同理A8〃PQ,所以MN〃尸Q.

同理可得MQ〃NP.

所以截面跖VP0是平行四边形.

【变式训练】如图，在五面体/石一42。中，四边形所为矩形，M,N分别是BC的中点，则MN

与平面ADE的位置关系是.

答案平行

解析,：M,N分别是BP,BC的中点,

J.MN//CF,

又四边形CDEF为矩形，

J.CF//DE,：.MN//DE.

又平面ADE,OEU平面AOE,

〃平面ADE

考法03线面平行有关的计算

【典例3】如图，直线。〃平面a,点A在a另一侧，点8,C,OGa.线段48,AC,分别交a于点E,

F,G.若8。=4,CF=4,AF=5,贝UEG=.

姣案空

口木9

解析A&z,则点A与直线。确定一个平面，即平面A8D

因为a〃a,且aC平面ABZ）=EG,

AFAF

所以a〃EG,即5D〃EG,所以彳=蒜.

ACAn

EGAEAF_EG

乂丽一瓦'所r以北一丽'

于是旧喏岩号

反思感悟（1）利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度.

⑵通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养.

M分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.如图，一块矩形木板A8CO的一边A8在平面a内，把这块矩形木板绕转动，在转动的过程中，AB

的对边CD与平面a的位置关系是（）

c

A.平行B.相交

C.在平面a内D.平行或在平面a内

【答案】D

【分析】根据线面平行判定定理的条件可得.

【详解】在旋转过程中，CDIIAB,易得CDIIa或COua.

故选：D.

DEDF

2.在空间四边形ABC。中，£,尸分别在AD,CD上，且满足=则直线所与平面ABC的位置关系

EAFC

是()

A.EF平面ABCB.EFu平面ABC

C.所与平面ABC相交D.以上都有可能

【答案】A

DEDF

【分析】由可推出EFAC,再根据线面平行的判定可得出答案.

EAFC

【详解—管嘿

EFAC

文:ACu平面ABC,EF<z平面ABC.

EF:平面ABC.

故选：A

3.如图，正方体ABC。-431GA的棱长为°,动点£、尸在棱人片上，且EF=b,动点尸、。分别在棱A3、

CD上.现有两个命题：①△所Q的面积为定值；②点尸到平面EFQ的距离为定值.则有（）.

A.①②都真；B.①真、②假；

C.①假、②真；D.①②都假.

【答案】A

【分析】根据线线平行和线面平行的判定定理与性质依次判断命题即可.

【详解】对于①，因为CD//4片，所以Q到直线4片的距离力为定值，

而跖为定值，故△MQ的面积为定值，所以①真.

对于②，因为AB//A与，4耳u平面EF。，所以AB〃平面EFQ,

故点P到平面EFQ的距离为定值，所以②真.

故选：A

4.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，M、N、尸分别为其所在棱的中点，能得出AB〃平

面脑VP的图形的序号是（）

A.①③B.①④C.①③④D.②④

【答案】B

【解析】利用线面平行、线面相交的知识对四个图形逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】解：对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知

BC//AD//MN,BD//NP,

由于平面MVP,MNu平面MAP,所以BC〃平面MNP；

由于平面MNP,NPu平面MNP,所以B。//平面MNP；

由于BCBD=B,所以平面ACBD〃平面MAP,所以A5〃平面MNP,所以①正确.

对于②，如图，设BC与。E相交于。，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知

AB//ON,因为QV与平面脑VP相交，所以A3与平面MNP不平行，所以②错误.

对于③，如图，设C是的中点，因为河是8。的中点，所以AB//CW,而CM与平面MNP相交，所以

A3与平面MNP不平行，所以③错误.

对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知AB〃CD〃NP,ABz平

面AW,NPu平面MNP,所以AB〃平面MNP,所以④正确.

综上所述，正确的序号有①④.

故选：B.

5.下列命题中正确的个数是（）

①若直线a上有无数个点不在平面a内，则aIIa；

②若直线aII平面a,则直线a与平面a内的任意一条直线都平行；

③若直线all直线6,直线加I平面a,则直线all平面a；

④若直线aII平面a,则直线a与平面a内的任意一条直线都没有公共点.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断，对于②，由线面平行的性质判断，对于C,由线面平行的

判定定理判断，对于D,由线面平行的定义判断

【详解】对于①，若直线。上有无数个点不在平面a内，则直线。可能与平面a相交，也可能与平面a平

行，所以①错误，

对于②，当直线all平面a时，直线a与平面a内直线平行或异面，所以②错误，

对于③，当直线all直线6,直线加I平面a,则直线all平面a,或直线a在平面a内，所以③错误，

对于④，当直线all平面a时，则直线a与平面a无公共点，所以直线。与平面a内的任意一条直线都没有

公共点，所以④正确，

故选：B

6.已知。，尸是空间两个不同的平面，相，”是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（）

A.a11/3,mlla,则机//〃

B.mHn,n/la,则〃z//c

C.平面。内的不共线三点4B、C到平面£的距离相等，则a与尸平行

D.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行

【答案】D

【分析】aII（3,m/la,则机〃刀或〃zu/7,判断选项A,mHn,nl/a,则〃2〃or或：wua,判断选项B,

当两个面相交时，可以在平面。内找到的不共线三点AB、C到平面力的距离相等，判断选项C,根据平

行的传递性判断选项D.

【详解】a//j0,mlla,则〃z//£或〃zu4，故选项A错误；

mHn,nlla,则〃?〃a或故选项B错误；

当平面”与平面月相交时，可以在平面。内找到不共线三点4B、C到平面£的距离相等，故选项C错误;

如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直

线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确.

故选：D.

二、多选题

7.«为平面，有下列命题，其中假命题的是（）

A.若直线/平行于平面a内的无数条直线，贝

B.若直线a在平面a外，则。Pa

C.若直线ab,直线则。尸a

D.若直线。〃瓦6〃a,则。平行于平面。内的无数条直线

【答案】ABC

【分析】根据线面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，若直线/平行于平面。内的无数条直线，贝h可能含于a,A为假命题.

B选项，若直线a在平面"外，则可能〃与a相交，B为假命题.

C选项，若直线ab,直线则“可能含于"，C为假命题.

D选项，由于直线不妨设6u4,cc6=c,则＞〃c,所以a〃c,所以。平行于平面a内的无数条直

线，D为真命题.

故选：ABC

8.如图，在透明塑料制成的长方体A3。-4月£口容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC固定

在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（）

A.水的部分始终呈棱柱状

B.水面四边形EFG”的面积为定值

C.棱42始终与水面EFGH平行

D.若EeAA],F旺BB[,则AE+3尸是定值

【答案】ACD

【分析】利用棱柱的定义即可判断选项A,由水面四边形EFG”的边长在变化，即可判断选项B,利用线面

平行的判定定理即可判断选项C,由于水平放置时，水的高度是定值，从而求出AE+3户为定值，即可判断

选项D

【详解】解：由于四边形ABEE与四边形DCG/7全等，且平面平面。CGH,则由棱柱的定义可知,

水的部分始终呈棱柱状，所以A正确，

因为BCIIFG,3c1平面所以FG_L平面,因为EFu平面AB⑸A，所以FG_LEF,因为

FGHEH,FG=EH,所以因为四边形EFG"为矩形，所以水面四边形瓦G”的面积等于EFjG,因为

水面四边形EFGH的边长对不变，E尸在变化，所以水面四边形EFGH的面积在变化，所以B错误，

容器底面一边BC固定在底面上时，BCIIFGH,所以由线面平行的判定定理可知，棱A2始终与水面

四边形EFG"平行，所以C正确，

如图，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值K底面面积不变，所以当一部分上升的同时，

另一部分下降相同的高度。，设BF=h-a,贝UAE=/z+a,所以3尸+AE=/z-a+/z+a=2/?为定值，所以当

M＞尸e鹤时，AE+B厂是定值，所以D正确，

故选：ACD

三、填空题

9.直线a与平面夕的位置关系

位置关系直线在平面内相交平行

公共点个数—

符号表示

图形表示

直线与平面平行的判定定理

文字语言：如果一条直线和此的一条直线,那么和

平行该定理常表述为"若线线平行，则线面平行

图形语言：如图所示.

符号语言：若。b,且_____________,则aPa.

直线与平面平行的性质定理:

文字语言：一条直线和一个平面平行，如果过的平面和相交，那么这条直线与

_____________平行.

图形语言：如图所示.

符号语言：若aPa,且_____________,则ab.

【答案】无数个，1个，0个，aua,aa=P,aPa,

平面外平面内平

行该直线此平面aBa,bua该直线此平面交线au£,ap=b

【分析】略

【详解】略

10.三棱锥A-3C£＞中，AB=CD=1,过线段5c中点E作平面后取汨与直线A3、。都平行，且分别交

BD、AD,AC于尺G、H,则四边形EFGH的周长为.

【答案】2

【分析】根据线面平行的性质定理，结合点E为BC中点可得四边形EFG"各边长，然后可得.

【详解】因为A3P平面EFG”,平面ABCc平面=E”,ABu平面ABC,

所以ABP即，又点E为3c中点，所以即为三角形ABC的中位线，故==

22

同理，EF=FG=GH=-

2

所以四边形EPG”的周长为2.

故答案为：2

11.正方体ABCD-AqCQ中，E,G分别是BC,G2的中点，如图，贝U：EG与平面加0瓦的位置关系

【答案】平行

【分析】取的中点/，连接所，2尸，进而证明四边形EFDfi为平行四边形得2歹//EG,进而证明EG〃

平面BDD{B{.

【详解】解析：如图，取3。的中点八连接即，D.F.

•；E为3c的中点，

•••E尸为△BCD的中位线，

则砂〃DC,B.EF=-DC.

2

•••G为C|2的中点，

.­.26//8且丽=；皿

EF//D、G且EF=D、G,

..四边形口明。为平行四边形，

:.D[F//EG,而2厂u平面80。1耳，EG(Z平面3。。出，

12.如图所示，过三棱台上底面的一边4G，作一个平行于棱8片的截面，与下底面的交线为。E若D、E

V

分别是AB、8c的中点，则产①=______.

^\B{CX-ABC

G

【分析】证得S4%=；SMC，然后结合棱台与棱柱的体积公式即可求出结果.

【详解】因为8耳//平面OEGA,且平面B4GCCI平面。EGA=C1E,所以8耳//Cg,

又因为BIQ//BE,所以四边形8瓦GE为平行四边形，所以B°i=BE,且E分别是BC的中点，所以

Bg=；BC,同理因此S的q=；5钻一设上底面的面积为S,高为h,则下底面的面积为4S,

匕*G-DBE_Sh_3

所以匕向G.ABCg(S+JS-4S+4S)〃7，

,3

故答案为：—■

四、解答题

13.如图，在长方体A8C。-4B1G2中，E为的中点，尸为CG的中点.证明：EF，平面ACQ.

【答案】证明见解析

【分析】取的中点G,连接G凡AG,证明四边形AEPG为平行四边形，进而有AGEF,然后根据

线面平行的判断定理即可证明.

【详解】证明：取G。的中点G,连接GRAG,

D\G

因为G为G。的中点，尸为eg的中点，所以GP8且CD=2GR

又E为A8的中点，AB=CD,ABCD,所以AEGF且AE=GP,

所以四边形AEFG为平行四边形，所以AGEF,

因为AGu平面AC。，ERZ平面AG。，

所以,，平面ACQ.

14.如图，长方体ABCD-AqGR中，|AB|=|四=1,|A4j=2,点p为。2的中点.

⑴求证：直线BDJ］平面PAC-,

⑵求异面直线B1与AP所成角的大小.

【答案】⑴证明见解析

(2)30°

【分析】(1)设AC和3D交于点O,可得PO//BR,根据线面平行的判定定理即可得证.

(2)由尸。〃82,得NAPO即为异面直线8,与AP所成的角.求得各个边长，根据三角函数的定义，即可

得答案.

【详解】（1）设AC和5。交于点0,则。为的中点，连接尸0,

,.1P是。2的中点,

P0IIBD,,

又,/POu平面PAC,BDt<z平面PAC,

：.直线BDXII平面PAC；

(2)由⑴知,P0//BD1,

•••/APO即为异面直线8R与AP所成的角，

,/\PA\=\PC\=yjCD2+PD2=72,|AO|=||AC|=^,且尸O_LAO,

•，,sinZAPO=^4=^=--

|AP|忘2

又乙山0€（0。,90°],

ZAPO=30°

故异面直线BDI与AP所成角的大小为30°.

题组B能力提升练

一、单选题

1.a、b、/是直线，。是平面，则下列说法正确的是（）

A./平行于。内的无数条直线，则〃/a

B.〃不在面a,则a//a

C.若a//b,bua,则a//a

D.若a//A,bua,则。平行于〃内的无数条直线

【答案】D

【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理逐个分析判断即可

【详解】对于A,当/平行于。内的无数条直线，若lua,则/与“不平行，所以A错误，

对于B,当。不在面。时，。与々有可能相交，所以B错误，

对于C,当。〃6,bua时，若aua,则。与a不平行，所以C错误，

对于D,当a//b,时，由线面平行的性质可知。平行于4内的无数条直线，所以D正确，

故选：D

2.过平面a外的直线/作一组平面与。相交，若所得交线分别为a,b,c...,则这些交线的位置关系为（）

A.相交于同一点B.相交但交于不同的点

C.平行D.平行或相交于同一点

【答案】D

【分析】对/于。的位置关系进行分类讨论，由此确定正确选项.

【详解】当〃/e时，根据线面平行的性质定理以及平行公理可知：所得交线平行.

当“a=A时，所得交线交于同一点A.

所以所得交线平行或相交于同一点.

故选：D

3.如图，已知正方体ABCD-AAGA的棱长为2,则下列四个结论错误的是（）

c,

A.直线4G与A2为异面直线

4G//平面AC，

三棱锥2-ADC的表面积为6+273

Q

三棱锥2-AOC的体积为£

【答案】D

【分析】根据异面直线的定义即可判断A,根据AC//4G，线线平行证明线面平行即可判断B,根据每个三角

形的面积可得三棱锥的表面积，可判断C,根据体积公式可判断D.

【详解】因为4Gu平面4G,ADt平面aq=A,AD,仁平面AG,AeAG，所以直线4G与AR为异面直

线，故A对.AC//AG，ACu平面ACR,Ag仁平面AC。，二4C一平面ACR,故B对.

5=58=S皿，2x2=2,Sj=1xAC2sin60邛x（2何=2折所以三棱锥A-皿的

表面积为6+2省，故C对.

1114

VS

Dl-ADC=-AOC㈤口=]*y2乂2乂2=§,故D错.

故选:D

4.如图，正方体ABC。-44GA的棱长为1,线段8自上有两个动点E、F,且屏'=；,则下列结论中正

确的是（）

A.线段4A上存在点E、F使得AE//BF

B.砂〃平面ABCD

C.△AEF的面积与△3EF的面积相等

D.三棱锥A-施尸的体积不为定值

【答案】B

【分析】利用异面直线的定义可判断A；根据线面平行判定定理可判断B；根据三角形的高不相等可判断C；

直接计算体积可判断D.

【详解】线段42上不存在点£、/使得AE//BF,

因为A在平面BDR4平面外，E在平面内，

所以AE,所是异面直线，所以A不正确；

连接8。，几何体是正方体，所以EF//BD,3Du平面A3CD,后尸仁平面A3CD,可知所〃平面A3CD,

所以B正确.

B到BR的距离为A到BR的距离大于上下底面中心的连线，

则A到百A的距离大于1,

△AEF的面积大于ZiBEF的面积，故C错误；

A到平面BDD.B,的距离为变，ABEF的面积为定值，

2

二三棱锥A-3E尸的体积为定值，故D不正确.

故选：B.

5.正方体A3。-中，用平行于44的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能

是（）

A.两个三棱柱B.两个四棱台

C.两个四棱柱D.一个三棱柱和一个五棱柱

【答案】B

【分析】根据正方体的性质及棱柱的概念，找出满足题意的截面即得.

【详解】在正方体ABCD-4旦£9中，连接A。,BQ,

因为ABJ/G2，人由<Z平面A£>[C]B,G2u平面A2GB,

所以4片〃平面A2GB,则截面A2c超把正方体截成两个三棱柱;

分别取综M的中点E,£G,H,连接EF,FG,GH,HE,

则可得EV//44//GH,又所u平面EFG”,4月仁平面EFG”,

二44〃平面EFG",则截面EPG"把正方体截成一个三棱柱和一个五棱柱;

分别在83上取点MN使*次,泌［皿

同理可得44〃平面E/MV,则截面£7小3把正方体截成两个四棱柱;

不存在平行于4片的截面将正方体截成两个四棱台.

故选：B.

6.”直线的方向向量与平面的法向量垂直”是"直线与平面平行”的（）

A.充要条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

【答案】C

【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得.

【详解】直线/的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就

不满足，

当直线/与平面。平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，

，前者不能推出后者，后者可以推出前者，

前者是后者的必要不充分条件，

即"直线的方向向量与平面的法向量垂直"是"直线与平面平行”的必要不充分条件.

故选：c

二、多选题

7.如图，在正三棱柱ABC-4BG中，AB=AA]=1,P为线段2/G上的动点，则下列结论中正确的是（）

A.点A到平面A/BC的距离为之B.平面A/PC与底面ABC的交线平行于A/P

2

TT

C.三棱锥P-48C的体积为定值D.二面角4-BC-A的大小为:

4

【答案】BC

【分析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】A选项，四边形ABB,是正方形，所以A瓦，A3,所以

但40与8C不垂直，所以AM与平面4BC不垂直，所以A到平面ABC的距离不是受，A选项错误.

2

B选项，根据三棱柱的性质可知，平面ABC〃平面A4G，所以4产〃平面A3C,

设平面4PC与平面ABC的交线为/，根据线面平行的性质定理可知4尸/〃，B选项正确.

C选项，由于B.G//BC,4G<2平面ABC,3CU平面ABC,所以4G〃平面42c.所以P到平面AXBC的距

离为定值，所以三棱锥尸-ABC的体积为定值，C选项正确.

D选项，设Q是BC的中点，由于aC=A2,AC=AB,所以其。，2cAQ，BC,所以二面角4-BC-A的

7T

平面角为由于所以D选项错误.

故选：BC

8.棱长为1的正方体ABC。-Aq中，P、。分别在棱BC、CG上，CP=X,CQ=y,xe[o,l],ye[0,1]

且V+VwO,过A、尸、Q三点的平面截正方体A3CD-A4GA得到截面多边形，则（）

A.x=y时，截面一定为等腰梯形B.x=l时，截面一定为矩形且面积最大值为近

C.存在X,y使截面为六边形D.存在x,y使与截面平行

【答案】BD

【分析】对A,举反例判断即可；

对B,当X=1时，点P与点8重合，再根据面面平行的性质与线面垂直的性质判断即可;

对C,直观想象根据截面可能的情况判定即可；

11

对D,根据线面平行与截面的性质举例当无=],y=§时成立判定即可

【详解】对A,x=y=l时，截面为矩形，故A错；

对B,当x=1时，点P与点B重合，设过A、P、。三点的平面交于M,则因为平面44QO〃平面即CC,

故尸。〃AM,且A3,P0,此时截面为矩形，当点。与点CI重合时面积最大，此时截面积5=k应=&,

B正确;

对C,截面只能为四边形、五边形，故c错；

对D,当x=；，y时，延长耳B交。P延长线于N,画出截面APQM如图所示.此时因为破=CP,

BN//CQ,故RtNBPN=RtNCPQ,则BN=C。=g.由面面平行的截面性质可得YADM:NPCQ,

21

AD=2PC,故MD=2QC=],此时故MR=BN且MD、〃BN,故平行四边形故

MN〃D出,根据线面平行的判定可知与截面平行，故。正确.

故选：BD

三、填空题

9.若直线/上有三点A、B、C到平面。的距离均为1,则直线/与平面夕的位置关系为

【答案】平行

【分析】由线面的位置关系和点到平面的距离的定义，可得结论.

【详解】解：若直线/上有三点A、B、C到平面。的距离均为1,

则直线/与平面a平行，不可能相交，

故答案为：平行.

10.“直线/与平面a内无数条直线平行"是"直线/与平面。平行"的条件.

【答案】必要不充分

【分析】通过举反例可得充分性不成立，根据直线和平面平行的定义可得必要性成立，从而即可求解.

【详解】解：由“直线/与平面。内无数条直线平行"不能推出"直线/与平面。平行”，因为直线/可能在平面

a内；

由“直线/与平面。平行”，根据直线和平面平行的定义可得"直线/与平面"内无数条直线都平行

所以"直线/与平面。内无数条直线平行"是"直线/与平面a平行”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

11.下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点求理的图是.

【答案】①②③

【分析】由正方体、正四面体的结构特征，结合点线、线线位置关系判断四点是否共面.

【详解】图①：PS//AC,QR//AC,WPSIIQR,即四点共面，满足;

图②：RSIID'C,若E为中点，则尸E//£>'C,故RS//PE,即氏S,尸,E共面,

而QE//AC,PS//AC,故QEIIPS,即Q,S,P,E共面,

且S,P,E三点不共线，故氏。,S,P,E共面，满足；

图③：由题设PQ〃BC,RS/IBC,故PQ//RS,则民Q,S,尸共面，满足;

图④：若E为中点，%\PR"BQ,SE//BQ,故依〃SE,即P,氏S,E共面，

而PRu面尸理S,8Q<Z面尸理S,则〃面PRES,

又QWBQ,且尺S,尸三点不共线，故面即为面PRS,故。e面PRS,即氏。,5,尸不共面，不满足;

故答案为：①②③

12.如图，四边形EFG”为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形，AB=4,CD=6,

则四边形瓦G”的周长的取值范围是.

【答案】(8,12)

【分析】依题意可得团〃AB,EF//CD,设EH=x,EF=y,求出x、V的关系式，再求四边形EFGH

的周长/的取值范围即可.

【详解】解：四边形EFG”为平行四边形，，硒〃尸G；

EHC平面ABO,FGu平面

,四〃平面48。；

又'E”u平面ABC,平面ABCc平面=

EHIIAB,同理可得£F〃CD；

设EH=x,EF=y,

EH_CEEF_AE

"AB~CA'CD~AC'

EHEFCEAEAC

ABCDCAACAC

Xy

又AB=49CD=6,F—=1,

46

=—且0vxv4；

二•四边形EFGH的周长为/=2(%+y)=2[x+6(1-

4

=12—x,

/.8<12-x<12；

二•四边形EFG"周长的取值范围是(8,12).

故答案为：(8,12)

四、解答题

13.已知正方体A3C。-4耳GA,求证：4c〃平面4QG.

【答案】证明见详解

【分析】根据题意，结合线面平行的判定，即可证明.

【详解】证明：在正方体ABC。-44GA中，易知an〃BC，因为ADu平面AQG，8cz平面

所以与c〃平面ar)G.

14.四面体ABC。如图所示，过棱AB的中点£作平行于A。，BC的平面，分别交四面体的棱瓦)，DC,

C4于点EG,H.证明：E、F、G、X四点共面且四边形斯G8是平行四边形.

【答案】证明见解析

【分析】根据线面平行的性质定理，分别证得E"UBC,FGIIBC,则得FG,从而可证得E、F、

G、X四点共面，同理可证得所IIHG,再根据平行四边形的判定定理可得结论

【详解】因为3CII平面EFG”,平面EPGH平面BDC=FG,平面ER3HI平面ABC=£H,

所以3cliFG,BCIIEH,

所以EHIIFG,

所以E、F、G、H四点共面，

同理可证得£FIIAD,HGIIAD,

所以£FIIHG,

所以四边形EFGH是平行四边形.

题组C培优拔尖练

1.如图，在四棱柱ABC。-44GA中，点M是线段42上的一个动点，E,尸分别是8CCM的中点.

⑴设G为棱C£＞上的一点，问：当G在什么位置时，平面GEP/平面?

（2）设三棱锥C-比不的体积为匕，四棱柱ABC。-4gGR的体积为匕，求

V2

【答案】（1）G为C£＞中点时，平面GEF■平面瓦兀（4；

f

【分析】（1）G为CD中点时，先证EF平面BDD[B],再证GE平面BDDXBX,