福建省福州市六校联考2023-2024学年度高一年级上册期中联考数学试题【解析版】

福建省福州市六校联考2023-2024学年度高一上学期期中

联考数学试题【解析版】

（满分：150分，完卷时间：120分钟）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.已知集合A={x|-lMx<l},B={-l,0,2},则AB=（）

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,1}D.{-1,0,1,2)

2.函数〃x）=乎?的定义域为（）

A.[l,+oo)B.

C.[1,2)D.[1,2)U(2,4W)

3.下列图象中，表示定义域和值域均为［0,1］的函数是（）

4.是“―2«-1”成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知集合A={Mx=2&-l,&eZ},8={Hx=4Z:+l,ZeZ},贝!]()

A.AB=AB.AuB=B

C.8c&A)=0D,Ac(O8)=0

2I

6.已知a>0,b>0,—+:=1且a+bWm恒成立，则实数机的取值范围是()

ab

A.3+2-72JB.(YO,6]

C.(f7]D.H°,3+

7.己知函数/（幻=尸+（2“：l）x，x”在R上单调递增，则实数。的取值范围是（）

ax+3,x>\

A.—B.（0,+oo）C.—,3D.（0,3]

8.将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为4m2、形状为直角三角形的工艺品框架，

在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（）（注：0=1.414）

A.9mB.9.5mC.10mD.10.5m

二、多选题（本题共4小颗，每小颗5分，共20分.在每小题给出的选项中

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分）

9.如果c<d<0,那么下面一定成立的是（）

dc

A.a+d<Z?+cB.ac>bdC.ac1>be2D.-v—

aa

10.下列说法正确的是（）

A.当owO,不等式恒成立

a

B.当x>l时，x+工的最小值是5

x-1

C.若不等式加+2x+c>0的解集为{xl-l<x<2},则a+c=2

D.不等式以2+云_]>。的解集可以是R

11.已知函数/（x）=w则下列说法正确的是（）

A./（x）的定义域为{x|xH-l}

B./（x）的值域为R

C./（x）在区间（-1,口）上单调递增

D.f⑴+〃2）+〃3）+…+f（2022）+吗卜唱+…+f]/）的值为等

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿

基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”，设xeR,用㈤表

示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：[-3.5]=T,[1.1]=1.已知

f\x)=,则关于函数g（x）="（x）l的叙述中正确的有（)

A./*）是奇函数B.g（x）是奇函数

C.g（x）在区间口,内）上单调递减D.g（x）的值域是{-1,0}

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.命题“VxeR,x3-/+]>o”的否定是.

14.己知嘉函数〃x)=(病-4"+1)乂1在区间(0,+8)上单调递增，则优=.

15.已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，且在(0,+8)上单调递减，若/⑴=0,则不

等式/。-1)>0的解集为.

(x-a)2,x<0

16.设/(幻=1,若/(0)是/⑴的最小值，则。的取值范围是________.

14--,X>0

四、解答题(本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤)

17.已知集合A={x|-34x45},8={x|2，"-l<x<，〃+l}.

⑴当加=—3时，求Au氏低A)cB；

(2)若8=A,求实数皿的取值范围.

18.已知函数/(x)的图象如图所示，其中)，轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一

段.

(1)写出函数f(x)的定义域和值域;

(2)求函数f(x)的解析式并求f的值.

9

19.已知函数f(x)=x+-

x

⑴判断函数f(x)的奇偶性；

(2)根据函数单调性的定义证明函数在区间［3,物)上单调递增；

⑶若函数〃x)在区间［/一6,5a］上单调递增，写出。的取值范围(直接写出结论).

20.已知命题pHxeR,/-x+〃?40是假命题.

(1)求实数相的取值集合B；

⑵设不等式(x-3a)(x-a-2)40的解集为A.若是xeA的必要不充分条件，求实

数a的取值范围.

21.某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通

过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产x(干部)手机，

10%2+100x+800,0<x<50

需另外投入成本R(x)万元，其中R(x)=10000，已知每部手机的

504x+------6450,%>50

x-2

售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.

(1)求2023年该款手机的利润V关于年产量x的函数关系式；

(2)当年产量x为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

22.定义：对于定义域为。的函数f(x),若虫°e。，有/(5)=%,则称％为f(x)的

不动点.己知函数/。)=以2+(6-1)》+6-8,。#0.

(1)当a=l,Z?=0时，求函数/(x)的不动点；

(2)若VbeR,函数/(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；

(3)设。e(L3)且/")的两个不动点为8,工，且广y，求实数6的最小值.

1.B

【分析】利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为A={x|-lVx＜l},8={-1,0,2},

所以AB={-l,0）.

故选：B.

2.D

【分析】根据开偶数次发根号里的数大于等于零，分母不等于零计算即可.

【详解】由〃力=经^,

fx—1N0

得＜C八，解得x＞l且x*2,

（x-2x0

所以函数“X）=乂亘的定义域为［1,2）。（2,内）.

X—2,

故选：D.

3.C

【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.

【详解】选项A：定义域为但是值域不是［0,1］故错误；

选项B：定义域不是［0,1］,值域为［0,1］,故错误；

选项C：定义域和值域均为［0J,故正确；

选项D：不满足函数的定义，故错误；

故选：C.

4.B

【分析】根据题意，利充分性以及必要性的定义即可得解.

【详解】当1幻＞1时，取x=2,此时-2令＜-1不成立，故充分性不成立；

当一2〃＜-1时，1＜国＜2,显然|x|＞l成立，故必要性成立；

所以Tx|＞1”是“-2令＜-1”成立的必要不充分条件.

故选：B.

5.C

【分析】通过推理得到8是A的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四

个选项一一进行判断正误.

【详解】A={x|x=2I%eZ}={x|x=4%+l,%eZ2{x|x=4I,ZeZ},

故B是A的真子集，

故力「8=8,A<JB=A,3c(^A)=0,Ac(&3)={Hx=4Z-l,ZeZ}x0,

故A,B,D均错误，C正确.

故选：C.

6.A

【分析】结合基本不等式与不等式求解a+b的最小值即可得实数，〃的取值范围，

21

【详解】因为。>0,b>O-+=1,

fa7b

所以“+〃=(0+6)(|+£|=3+m+,3+2忘，

当且仅当竺=£,即”=历时等号成立，

所以S+6L=3+2夜，

若恒成立，则卜叫3+2忘］.

故选：A.

7.C

【分析】根据/“)在R上的单调递增，可以列出相应的不等式方程组，从而得解.

【详解】因为/(幻=,*’在R上单调递增,

ox+3,x>1

〃>0

所以空见21,解得

22

-1+(2〃+1)<67+3

所以实数〃的取值范围为g,3.

故选：C.

8.C

【分析】设直角三角形的两条直角边为X，)'，从而得到周长为L=x+y+，T7,再利用

均值不等式即可得解.

【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为x,y(x>0,y>0),

则S=g孙=4,则个=8,

此时三角形框架的周长乙=x+y+&77^2而+J^E=4a+4,

当且仅当x=y时，等号成立,

由于上=1.414,所以4点+424x1.414+4=9.656.

故选：C.

9.BD

【分析】用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.

【详解】取〃=c=-2,Z?=d=-l,贝lJa+d=b+c=-3,ac2=-S,hc2=-4,故AC不正确;

因为一。>一〃>0,-c>-d>。，所以ac>bd,故B正确;

因为c<d」<。，所以1<£,故D正确.

aaa

故选：BD

10.BC

【分析】举反例排除AD,利用基本不等式可判断B,利用一元二次不等式的解法判断C,

从而得解.

【详解】对于A,当”=一1时，a+-=-2,显然不成立，故A错误;

aa

对于B,因为x>l,BPx-l>0,

44I~A~

所以x+——=x-l+——+l>2J(x-l)----+1=5,

x-\x-1v7x-1

4

当且仅当x-l=—,即x=3时，等号成立，

x-1

所以X+工的最小值是5,故B正确；

X-]

对于C,因为等式分2+2x+c>0的解集为{x|-l<x<2},

所以方程加+2x+c=0的两个实数根为x=-l或x=2,且。<0,

1c2

-1+2=r___2

所以"="=：，即。+。=2,故C正确；

1°c9=4

-1x2=—、

.a

对于D,当x=0时，公2+灰-1=-1<0恒成立,

所以ar2+云-l>()的解集不可能是R，故D错误.

故选：BC.

11.ACD

【分析】变换得到〃尤)=1-W，计算定义域和值域得到A正确，B错误，根据反比例函

数单调性确定C正确，根据+=l计算得到D正确，得到答案.

【详解】/(x)

x+lX4-1

对选项A：函数/("=后的定义域满足x+lwO,即{xlxx-1},正确;

对选项B：/(x)的值域为(F1)。,”)，错误;

对选项C：/(x)在区间(-1,行)上单调递增，正确;

故f（l）+/（2）+…+/（2022）+/（；）+/[£|+…+/（募）=等，正确.

故选：ACD

12.AD

【分析】先利用函数的奇偶性的定义判断A,再利用基本不等式求得了(x)的值域，进而求

得g(x)的值域，从而可判断BCD,由此得解.

【详解】因为/。)=告的定义域为R,

r+1

—XX

又八一幻=(7)2+广__=_"幻，所以/⑴数为奇函数，故A正确；

当x>0时，x+—>2jx--=2,当且仅当工=,，即x=l时，等号成立；

龙、/x

x1]

所以。="=此时g(x)="*)]=O；

XH---

X

当x<0时，*+：=-1-x+5)4-2卜2=-2,当且仅当》=:，即x=-l时，等号成立;

1X1

所以一5=TTi=~~T<°,此时g(x)=[/(%)]=-i；

X-r

X

当x=0时，f(x)=O,此时g(x)="(x)]=O；

综上，g(x)的值域是{-1,0},故D正确；

由上分析可知g(—1)=0,g(l)=l,显然g(—Dw—g(l),故B错误;

且g(x)在□,+»)上恒有g(x)=o,故C错误.

故选：AD.

13.HxeR,%3-x2+1<0

【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出结论即可.

【详解】根据全称命题的否定为特称命题，所以命题“Vx€R,-V+1>0”的否定为玉€R,

x3-x2+l<0.

故答案为：HxeR,x3-x2+l<0.

14.4

【分析】利用基函数的定义与单调性即可得解.

【详解】因为/(X)是基函数，所以加2-4〃2+1=1,

所以帆=4或〃?=0,

当/=4时，/(x)=x\显然/(x)在(0,+8)上单调递增，满足题意；

当旭=0时，.f(x)=x，/(x)在(0,+8)上单调递减，不满足题意；

所以机=4.

故答案为：4.

15.(fO)(1,2)

【分析】先由函数的奇偶性与单调性得到f(x)的性质，再分类讨论x-l的取值情况，得到

关于x的不等式，解之即可得解.

【详解】因为/")为R上的奇函数，且在(0,+8)上单调递减，/(1)=0,

所以“X)在(一8,0)上单调递减，/(-1)=-/(D=O,且"0)=0,

所以对于

当x-l>0,即x>l时、由/(犬一1)>/(1)得x-l<l,解得x<2,故l<x<2；

当x-l<0,即x<l时，由/。-1)得,解得x<0,故x<0；

当x—l=O,即x=l时,-1)=0,不满足题意；

综上,珠x-l)>0的解集为(F,0)J(1,2).

故答案为：(9,0)(1,2).

16.-1<47<0

【分析】利用二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数的最值即可得解.

f(X-6Z)2,X<0

【详解】因为L1八，

当x>0时，/(x)=l+l>l；

X

当xVO时，f(x)=(x—4)2开口向上，对称轴为x=a,

又/(0)是/(x)的最小值，/(0)=。2,

[a<0

所以2,，解得TW。，故。的取值范围为-1W0.

[a<1

故答案为：-l<«<0.

17.(1){x[—7<x45}；—7<x<—3j

(2)/n>—1

【分析】(1)利用集合的交并补运算即可得解；

(2)分类讨论B=0、BH0,列不等式或不等式组即可得解.

【详解】(1)当机=一3时，B={x|-7<x<-2},

又A={x|-34x45},

则AuB={x|-7<x45},々A={MX<-3或x>5},

所以的A)cB={x|-7c<-3}.

(2)因为B=A,

若5=0,则2加-12〃?+1=>m22,满足题意；

2m-1<zn+1

若3W0,贝ij2加一12-3

m+\<5

综上，m>-\.

18.⑴〃x)的定义域为[-2,3],值域为12,2]

x+2,-2<x<07

⑵〃x)=

X2-4X+2,0<X<3；-4

【分析】（1）由函数/（x）的图象可得出函数f（x）的定义域和值域;

（2）求出函数的解析式，代值计算可得f的值.

【详解】（1）由图可知，函数“X）的定义域为[-2,3],值域为[-2,2].

（2）当—24x40时，设/（力="+①则八.,解得「

[f[0）=b=2

当0Wx<3时，可设/（x）=a（x—2）2—2,贝ij/（。）=4。-2=2,解得°=1,

所以,"周|\，

贝uf13=2一;=|,因此，/[/(4]]=/®=r6+2=-^

19.(l)f(x)为奇函数

(2)证明见解析

3

(3)-1<a<或3Wa<6

5

【分析】（1）利用函数奇偶性的判定方法即可得解；

（2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；

（3）结合（1）（2）的结论，利用函数奇偶性与单调性得到关于〃的不等式，解之即可得解.

【详解】（1）/（X）为奇函数，理由如下：

因为/（x）=x+B的定义域为（y,0）U（0,M）,

又/（-x）=-x+《=-（x+j）=—/（x）,所以f（x）为奇函数.

（2）任取丹,三43,4<»）,不妨设药<覆，

因为〃为）-/（制7+2-々-2=的二2）（中222）

石X2内用2

因为34王<々，所以为一/〈0，玉々>°，X］X2-9>0,所以国一♦）（色日—―<0,

%9

所以/&)一/(々)<0,即〃3)</("),

所以“X）在区间［3,4W）上单调递增.

（3）由（2）同理可得，“X）在区间（0,3］上单调递减,

又f（x）为奇函数，所以〃x）在区间3］上单调递增，在［-3,0）上单调递减,

因为Ax）在区间［/-6,5可上单调递增,

a2-6<5a„仁？，解得一一4一|或3d6,

所以uc或

5a<-3

3

所以。的取值范围为-1<a<-一或3<。<6.

5

1

20.⑴8=mm>—

4

(2)ci>—

12

【分析】（1）根据假命题的否定是真命题，利用二次不等式恒成立即可得解;

（2）对“分三种情况讨论，结合充要条件与集合的包含关系即可得解.

【详解】（1）因为命题0:小€氏/-》+m40是假命题，

则命题-'P：WxeR,£-x+m>0是真命题，

所以△=l-4〃z<0,解得〃?>1，

4

故8=

（2）因为xeB是xeA的必要不充分条件，则A是B的真子集，

而不等式（x-3a）（x-a-2）<0,

当3a>2+a,即“>1时，其解集A={x［2+a4x43a},

17

则a+2>—,g|Ja>—,又”>1,故a>l；

44

当3a=2+a,即“=1时，其解集A={3},满足题意;

当3a<2+a,即a<l时，其解集A={x|3“4x42+a},

1

贝

J为>此时。>二，又a<1,故一<a<l；

U4-

1212

综上‘1r

-10x2+400x-1050,0<x<50

21.(i)y=(A10000

-4x+--+--6-200,x>50

(x-2

（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.

【分析】(1)根据利润等于收入减去成本即可求出结果：

(2)根据(1)求出的函数关系式直接求最大值即可.

【详解】(1)当0<x<50时，y=500%-(1收+100*+800)-250=-10、2+400x-1050,

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