安徽专版2023-2024 学年（上）高二年级阶段性测试一数学含答案解析

安徽专版2023—2024学年(上)高二年级阶段性测试(一)

数学

一、单选题(共24分)

1.设集合4={x|log2(x+1)<2},B={x|xW4},则(CR4)nB=()

A.[1,4]B.(-oo,1]u[3,4]

C.[3,4]D.(-oo,-1]n[3,4]

【答案】D

【分析】

先化简集合A,再求出CR4最后根据交集的概念求出结果.

【详解】

由logz(x+1)<2可得一1<x<3,即4={x[—1<x<3},

CRA={x\x4-1或xN3),所以(CR4)nB={x\x4-1或34xW4}.

故选：D

2.在空间直角坐标系O-xyz中，点4(3,4,5)与点8(-3,4,-5)()

A.关于平面xOz对称B.关于y轴对称

C.关于平面yOz对称D.关于x轴对称

【答案】B

【分析】

由空间点关于轴或面对称的性质，判断已知点的对称轴或对称平面.

【详解】

由点4和点B的纵坐标相同，其他坐标互为相反数，故它们关于y轴对称.

故选：B

3.若光线沿倾斜角为120。的直线射向y轴上的点4(0,-4),则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为()

A.y=V3x—4B.y=—\/3x—4

【答案】A

【分析】

由光的反射性质确定反射光线的倾斜角，进而求斜率，应用点斜式写出解析式即可.

【详解】

光线沿倾斜角为120。的直线射向轴上的点4(0,-4),

经y轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60。，则反射光线斜率k=tan60°=遮，且反射光线过点4(0,-4),

故反射光线所在的直线方程为y=V3x—4.

故选：A

4.己知三条直线2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一点，则实数k=()

A.-lB.l

C--D.-

24

【答案】c

【分析】

联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可.

【详解】

^x-y-2=0(y=01即两直线交点坐标为(2.0)，

代入依—y+3=0得：2k—0+3=0=k=—|.

故选：C

5.已知a=3^,b=9W,c=6A，贝Ua,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】

根据指数函数的单调性比较a,b的大小，利用基指数运算可比较a,c大小，即得答案.

【详解】

因为b=£=3=,且丫=3工是R上的增函数，

故b=3s>33=a,又c。=—<a9=33=27,

4

故c<a<b.

故选：D

6.已知向量力以｛&石,引为基底时的坐标为(2,-3,3),则方以｛a-34+/3引为基底时的坐标为()

A(p-pl)B.(-然,1)

C.(l,3,2)D.(l,-3,2)

【答案】A

【分析】

因为向量方以为基底时的坐标为(2,-3,3),所以可以得到方=2a-3b+3c,

又因为户以｛&-初五+53引为基底，所以可以将户设为户=x(d-»)+y(五+治+3zc,

通过空间向量基本定理可以得到关于x,y,z的方程，从而得到户以｛3-b,a+3?)为基底时的坐标.

【详解】

因为向量力以｛&,巨引为基底时的坐标为(2,-3,3),所以日=22—33+3乙

设方=x(a—b)+y(a+b')+3zc=(x+y)a+(y—x)b+3zc,

(5

(x+y=2x=2

由空间向量基本定理可得y-％=-3,解得<v=_L

I3z=32

\z=1

因此，P以｛d-B,a+区3引为基底时的坐标为

故选：A

7.已知欠<0/<0,则———匕的最大值为()

x+2yx+y

A.2-V2B.l

C.3-2V2D.3+2V2

【答案】C

【分析】

对题中代数式进行变形，利用基本不等式进行求解即可.

【详解】

因为x<0,y<0,所以x+y<0,x+2y<0=号>0,

于是有岛一击=y(岛一击)=[a+2y)-a+y)](岛-点)

=3巴且+笔吗43-2立空2…=3-2近

x+yx+2yx+yx+2y

当且仅当％+2y=&(％+y),即尸企时等号成立,

所以原式的最大值为3-2四.

故选：C

【点睛】

关键点睛：本题的关键是进行如下变形：

3一盘=丫（导-；i；）=［（x+2y）_（x+y）］（岛一★）•

8.如图，在棱长为2的正方体48CD-&B1GD1中，点E,F分别是棱BC,CQ的中点，若直线4C与平面4EF交于点M,则线段

01M的长度为（）

C.V5D”

3

【答案】B

【分析】

根据向量共线可得知653）,进而根据空间中点点距离即可求解.

【详解】

如图，连接&C,因为直线41c与4F都在平面&ACG内，

所以直线41c与4F的交点即41c与平面4EF的交点M,

由于EF〃4&且EF故由三角形相似，可得而f=|而，

以。为原点，D4为x轴，DC为y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系，

则4（2,0,0）,F（0,2,l）,Di（0,0,2）,所以而=（-2,2,1）,从而前=（4代）,

所以M的坐标为“6,级），所以QM|=J（5）2+（J）2+（1-2）2=2,

二、多选题（共12分）

9.已知向量a=（1,1,1）/=（-1,0,2）,则（）

A.|a|=yf3

B.与洞向的单位向量为谭片片）

C.a-b=-1

D.cos(a,b)=誉

【答案】ABD

【分析】

由点坐标求向量的模，单位向量的定义求与a同向的单位向量，坐标运算求数量积、夹角判断各项正误.

【详解】

由题设|矶="2+】+12=次,与雨向的单位向量为高=(今今务A、B正确：

由数量积的坐标运算得db=lx(-1)+1x04-1x2=1,C错误；

由|瓦=,(-1)2+22=V5,则cos<a历=*看=誉，D正确.

故选：ABD

10.已知A4BC中，点8(2,1)和C(-2,3),则下列说法正确的是()

A.|fiC|=2V5

B.BC边所在直线的方程为x+2y+4=0

C.边BC上的高所在直线的倾斜角为钝角

D.若4(3,2),则A4BC1的面积为3

【答案】AD

【分析】

A由两点距离公式判断；B将已知点代入验证即可；C两点式求BC的斜率，进而确定对应高的斜率，结合倾斜角与斜率关系判

断；D点斜式写出BC的方程，求点4到直线BC的距离、|BC|,应用三角形面积公式求面积.

【详解】

由|BC|=,(2+2)2+(1-31=275,故A正确；

将(2,1)代入x+2y+4=0,则2+2+4H0,故B错误；

fcsc=2zL=_l,故边BC上的高所在直线的斜率为2,故C错误；

由C分析，边BC所在直线的方程为y-3=-i(x+2)=x+2y-4=0,

点4到直线BC的距离为d=受青1=竟又|BC|=2遍，

所以A4BCt的面积为3,故D正确.

故选：AD

11.已知m€R,直线+y+1=0,%：x-niy+1=0，k与％交于点M，则下列说法正确的是()

A.当m=1时，直线(1在x轴上的截距为1

B.不论m为何值，直线匕一定过点(0,-1)

C.点M在一个定圆上运动

D.直线匕与直线G关于直线y=x对称

【答案】BC

【分析】

A由解析式确定x轴上的截距判断；由方程确定匕与％相互垂直及所过定点坐标判断B、C；根据对称轴为y=x,互换其中一条

直线的x,y判断是否与另一直线方程相同判断D.

【详解】

当m=l时，直线"：x+y+l=O在x轴上的截距为-1,故A错误；

直线h：mx+y+1=0,当x=0时y=—1恒成立，所以匕恒过定点(0,-1),故B正确；

因为不论m取何值，直线。与％都互相垂直，且。恒过定点(0,-1),恒过定点(-1,0)，

所以点M在以(0,-1)和(-1,0)为直径的端点的圆上运动，故C正确：

将方程mx+y+1=0中的x,y互换得到my+x+1=0,与直线。的方程不一致，故D错误.

故选：BC

12.在棱长为2的正方体48CD-&B££>i中，MN分别为棱BC,的么的中点，则下列说法正确的是()

A.M,N,4i，B四点共面

B&MJ.AB1

C.过点公,B,N的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形

D.过MN作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为手

【答案】BCD

【分析】

对于A,画出图形，假设四点共面，由面面平行的性质推出矛盾即可验证；对于B,画出图形，由先证线面垂直，即证明/1员±

平面&BC,由此即可验证；对于C,画出图形，通过观察并简单推理即可验证；对于D,画出图形，若要所得截面的面积最

小，则截面圆的圆心为线段MN的中点，通过数形结合计算即可验证.

【详解】

对于A,如图所示：

四点共面，且由题意有面4BCD〃面&&C1D1，

根据面面平行的性质，可知&NIIBM,

又4也IIBC,

所以4加||4。1，显然不成立，故假设不成立，故A错误;

对于B,如图所示：

•：BC1平面力1A881，ABru平面A1AB81，

：.BC1AB1，

,：AABA.ABlf418nBe=8,且4/u平面&BC,CBu平面48C,

•••ABJ平面ABC,

又&Mu平面48C,从而ABi_L&M,故B正确；

对于C,如图所示：

取CC1的中点p，易得PNIIA1B,所以P,M4，B四点共面,

易知&N=BP,所以四边形&NPB为等腰梯形，故C正确;

正方体外接球的球心在其中心点0处，球的半径R=1V22+22+22=V3,

要使过MN的平面截该球得到的截面面积最小，

则截面圆的圆心为线段MN的中点Q,

连接。M,ON,贝IJOM=ON=&,MN=遍,

所以|0Q|=J|OM|2-(i|MN|)2=f,此时截面恻的半径r="=］研=票

所以可得截面面积的最小值为ITx(早?=g，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是根据题意作出图形，通过数形结合进行推理以及计算，从而顺利求解.

三、填空题(共12分)

13.已知倾斜角为a的直线/经过点(2,-3),且cosa=*^,则直线I的方程为.

【答案】2x-3y-13=0

【分析】

根据题意，求得直线Z的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得到结果.

【详解】

由题意可得sina=71-cos2a=亚亘,贝ijtana=出吧=：,即直线，的斜率为:，

13cosa33

所以直线，的方程为y+3=1(x-2),BP2x-3y-13=0.

故答案为：2x-3y-13=0

14.已知函数/'(x)=sin(2x+0)(0<<p<三)的图象关于直线x=例■称，则当x£[0,勺时，函数f(x)的值域为___.

263

【答案】漳，1]

【分析】

根据题意，结合三角函数的性质，求得f(x)=sin(2x+4再由xe]0,为结合求得函数f(x)的值域.

63

【详解】

因为f(%)=sin(2x+w)的图象关于直线x=!对称，

6

所以2x二+*=—+kn,(k6Z),可得(p=-4-kir(kGZ),

626f

又因为0v3VB所以p=g即f(x)=sin(2x+5，

266

当xe[O守时，2工+白色由，所以f(x)eE，l].

15.在空间直角坐标系中，若一条直线经过点(xo，yo，z°),且以向量元=(a,b,c)(abc片0)为方向向量，则这条直线可以用方程

工=匕彩=三来表示，已知直线1的方程为x-i=2y-4=z,则点P(3,-1,1)到直线/的距离为.

；答案】V13"

【分析】

根据题意，得到/的方向向量为五=(1，,1),结合向量的距离公式，即可求解.

【详解】

根据题意，直线2的方程可写为？=昼=：,贝肘的方向向量为记=(1,%1),

且过点4(1,2,0),可得|宿=Jl2+(1)2+l2=1,AP=(2,-3,1),则|丽=45,

所以在元上投影向量的模为粤=1,

\n\

故点P到直线，的距离为d=J网2-=V13

故答案为：V13.

16.已知向量标的夹角为。(。为定值)，同=2闷=2,当；l€(0,+oo)时，忖+阖的最小值是右则。的大小为.

【分析】

将怔+阖平方，再结合数量积的运算律，以及怔+词的最小值是：结合二次函数的性质计算分析即可得解.

【详解】

\a+Xb\2=a?+2Xa-b+l2b2=1+41cos0+4A2

cos20cos20

=4（A24-Acos04-

=4（2+^^）+1—cos26=4+siM。,

当入=一手时，|a+2b|min=Isin9|,

因为|Q+4b|min=5所以|sin0|=5

因为6E[0m],所以sine=:所以e%或期

因为cos。VO,所以8=：.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：求向量模的常见思路与方法：

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用彦=忻|2,勿忘记开方；

(2)日4=彦=同2或闷=简，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化;

(3)—•些常见的等式应熟记：如(a±Bp=彦±2日.E+岸，(a+族),(a-3)=a?—岸等.

四、解答题(共36分)

已知函数/'(X)=逐与的图象与y轴交于点P,且点P在直线X+y=1±

17.求a的值；

18.求不等式的解集.

【答案】17.1

18.(-1,2)

【分析】

(I)先求P点坐标，代入/'(x)=获三一可得；

2"T，一a

(2)由/化简整理得(2x2*-1)(2,-4)<0,所以故-1<x<2.

【17题详解】

因为点P在y轴上，且在％+y=1上所以点P的坐标为(0,1),

所以/(。)=/三=1，得。=1

【18题详解】

因为a=l,所以f(%)=3三，

由八外泞，得七叶即会->40,

7X2*-4(2X2X-1)

整理得>0,即-2"+4>0,

7(2X2x-l)7(2X2X-1)

所以(2x2第一1)(2%—4)V0,

即三=2-1V2%<4=22,

2

因函数>=2方在R上单调递增，所以一l<x<2,

故不等式f(x)>；的解集为(-1,2)

如图，在棱长为1的正方体48CD-481C1D1中，E为棱DDi的中点，F为棱的中点.

19.求异面直线4%与GF所成角的余弦值；

20.求直线441与平面4/E所成角的正弦值.

【答案】19.詈

2。彳

【分析】

(1)以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得竭=(-1,0,》福=(0,1,1),结合向量的夹角公式，即可求解;

(2)求得向量丽■=(0,0,1)和平面4B1E的法向量为记=(1,-2,2),结合向量的夹角公式，即可求解.

[19题详解】

解：以。为坐标原点，以04DC,DDi所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则为(1,1,1),E(0,0,1),F(l,l,i),A(1,0,0),C\(0,1,1),4(1,0,1),

可得用=(_l,01),福=(0,1,1)

设异面直线与C/所成角为仇

则cos。=|cos阳丽)|=点勰J=金=嘿,

所以异面直线4%与[F所成角的余弦值为停

【20题详解】

解：由福=(0,1,1),4E=(-1,0,1),A47=(0,0,1).

五.--_1_A7ZXQ

设平面的法向量为元=(x,y,z),则二2",

,n-AE=y+z=0

取z=2,可得==l,y=—2,所以尼=(1,一2,2),

设直线与平面4/E所成角为a,贝Usina=|cos伍工元»=黑您=-^-=|,

所以直线与平面ABiE所成角的正弦值为g.

已知AABC的顶点4(4,-2),顶点C在x轴上，4B边上的高所在的直线方程为x+2y+m=0.

21.求直线4B的方程；

22.若4c边上的中线所在的直线方程为x-y-4=0,求m的值.

【答案】21.2x-y-10=0

22.m=—2

【分析】

(1)求出直线4B的斜率，利用点斜式可得出直线4B的方程；

(2)设点C(t,0),求出线段4c的中点。的坐标，将点。的坐标代入直线x-y-4=0的方程，求出t的值，可得出点C的坐标，再

将点C的坐标代入直线x+2y+m=0的方程，即可求出实数m的值.

【21题详解】

解：由条件知4B边上的高所在的直线的斜率为所以直线4B的斜率为2,

又因为4(4,-2),所以直线4B的方程为y+2=2(x-4),BP2x-y-10=0.

[22题详解】

解：因为C点在x轴上.所以设C(t,0),则线段4c的中点为。(岸,-1),

点D在直线x-y-4=0上，所以1-4=0，得t=2,即C(2,0),

又点C在直线x+2y+m=0上，所以2+m=0,解得m=-2.

在AABC中，记角4,B,C所对的边分别为a,比c,已知VJasinB=2b+bcos4.

23.求角4；

24.若3sinB=2sinC,。为边BC的中点，求tanzBAD的值.

【答案】23.

24.逅

2

【分析】

(1)利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得；

(2)由正弦定理可得3b=2c,设/BAD=0,再由S“BO=S&ACD,

即-sine=汐40sin管-0),即可得到3sin®=2sin(y-6>),由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系计算

可得.

【23题详解】

因为VSasinB=2b+bcosA,

由正弦定理可得VSsinAsinB=2sinB+sinBcosA,

乂B6(0,n),所以sinB+0,所以百sin4—cos4=2,

即2sin(4—*)=2,

又4€(0,TT),所以4-J=三，所以4==.

623

【24题详解】

因为3sin8=2sinC,所以由正弦定理得3b=2c,

设N8AO=8,则4一仇

因为4。为BC边上的中线，所以SMBD=SMCD，

即1c-AD-sin。=-AD-sin(g—8),

即3sinJ=2sin得—J)=2geos。+[sin。),

即2sin8=V5cos。，显然cos。H0,所以tan。=当，

即tan/BA。=—.

2

已知直线/的方程为(m+2)x-y-(1+3m)=0.

25.若l与直线x+2y-3=0垂直，求实数m的值；

26.当l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求1的方程

【答案】25.m=0

26.5x+3y—30=0.

【分析】

(1)根据两直线垂直斜率关系求参；

(2)先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可.

【25题详解】

由已知得2的斜率为m+2,

因为/与直线x+2y—3=0垂直，所以—：x(m+2)=—1,

解得m=0.

【26题详解】

令y=0,得'令x=0,得y=-1一3m,

由虫巴>0且-l-3m>0,解得m<-2.

m+2

所以，与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积S=；x匕等x(-1_3m)=-竽桨

令亡=血+2,则tV0,所以m=t-2,

所以s=-Tx=-i(9t+J-30)=i[(-9t)+^+30]>i(2V9x25+30)=30

当且仅当t=£即加=一号时取等号，此时三角形面积最小

此时1的方程为-gx-y+10=0,即5x+3y-30=0.

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=1,PA=PB=PC=AC=a,0为棱AC的中点

27.证明：平面H4CJ■平面4BC；

28.若点M在棱BC上，且PC与平面P4M所成角的正弦值为手，求二面角M-P4-C的大小

4

【答案】27.证明见解析

28.30°

【分析】

对于(1),通过题目条件，可以分别得到80和P。长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到P0L08和P。，AC,

从而得到PO1平面/BC,从而得到平面P4C_L平面4BC；

对于(2),先建立空间直角坐标系，因为已知PC与平面24M所成角的正弦值为手，同时点M在棱BC