2023-2024学年广西南宁市横州第二高级中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西南宁市横州第二高级中学高二（上）开学数

学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

I.设集合M=口,3,5,7,9},N={x\2x>7},则MnN=（）

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{135,7,9}

2.计算：sin720cos180+cos72°sin180=（）

A.iB.CC.1D.-1

22

3.已知a,/?是平面，m,n是直线.下列命题中不正确的是()

A.若m〃n,m1a,则九_LaB.若相〃。，an/?=n,则m〃九

C.若?n_La,ml/5,则a〃夕D.若m_La,mu0,则a_L£

4.在△4BC中，若/=45。,8=60。,8c=3。，则AC=()

A.3CB.4<3C.V3D.2<3

5.设Q=log827,b=log050.2,c=log424,则()

A.a<6<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

6.已知向量,=(1,2),3=(1,0)，(3,4).若@+a或J.由则实数a的值为()

7Bl7D-n

7.如图，在三棱锥。-48C中，AC=EBD,尸,分S.别AC是棱1OBDC,,48的中点，则

EF和4c所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量访=(二,一1),n(cosA.sinA).

若沆1元,且acosB+bcosA=csinC,则角4B的大小分别为()

.nn2nTtnnnn

A-6'3Bn6C3,gD313

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知向量向=(1,-2),b=则()

A.若日与3垂直，则m=—1B.若打而则五法的值为—5

C.若m=l,则/—向="/13D.若m=—2,则益与板的夹角为60。

10.设函数/@)='。唱久，下列四个命题正确的是()

A.函数f(x)为偶函数

B.若(fa)=|f(b)|,其中a>0,b>0,a*b,则ab=1

C.函数/X—产+2乃在(1,2)上单调递增

D.若0<a<1,则|/(1+a)|>|/(1-a)|

11.甲，乙两楼相距20m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60。,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30。,

则下列说法正确的有()

A.甲楼的高度为20，？;nB.甲楼的高度为lO/Wm

C.乙楼的高度为D.乙楼的高度为10「加

12.如图，直三棱柱48。-418传1中，4&=2,4B=BC=1,_______________(-

AABC=90°,侧面力&CiC中心为。，点E是侧棱BB］上的一个

动点，有下列判断，正确的是()/「〃

A.直三棱柱侧面积是4+2AT2

B.直三棱柱体积是：

C.三棱锥E-44。的体积为定值

D.AE+EG的最小值为2/7

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若a,b€R,i是虚数单位，a+2023t=2—抗，则c^+bi等于.

14.某防疫站对学生进行身体健康调查，采用按比例分层抽样的方法抽取样本.立德中学共

有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生人数为120人，则该校的女生

人数是.

15.若在区间［—3,2］上随机取一个数x,则事件“1S2,S4”发生的概率是.

16.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为界畤，求：

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(1)2人中恰有1个人译出密码的概率；

(2)2人中至少有1人译出密码的概率.

18.(本小题12.0分)

已知向量d=(-3,2),b=(2,1)-c=(3,-1),teR.

⑴求|五+高|的最小值及相应的t值；

(2)若E-tE与乙共线，求实数t.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=loga(3-x)+loga(x+3)(a>0,且a*1).

(1)求函数f(x)的定义域：

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(3)当a=3时，求函数f(x)的最大值.

20.(本小题12.0分)

如图在三棱锥A-BPC中，APLPC,ACIBC,M为4B中点，。为PB中点，且△PM8为正

三角形.

(1)求证：MD//nAPC；

(2)求证：平面ABC_L平面力PC.

21.(本小题12.0分)

从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).

(1)求抽取的学生身高在［120,130)内的人数；

(2)若采用分层抽样的方法从身高在口20,130),［130,140),［140,150］内的学生中共抽取6人，

再从中选取2人，求身高在［120,130)和［130,140)内各1人的概率.

22.(本小题12.0分)

已知△力BC中，AB=[BC=C，且4c2+248=5.

⑴求N4BC的值；

(2)若P是△ABC内一点，S.AAPB=y,ZTPB=竿，求tan/PBA.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了交集及其运算，属基础题.

首先化简集合N,然后直接根据交集的定义，求出MCN即可.

【解答】

解：因为N={x\2x>7}={x\x>|},M={1,357,9},

所以MCN={5,7,9}.

故选：B.

2.【答案】C

【解析】解:sin720coslS°+cos720sinl80=sin(72°+18°)=sin900=1.

故选C.

根据正弦的和与差公式直接求解.

本题主要考查正弦的和与差公式的计算.比较基础

3.【答案】B

【解析】【试题解析】

【分析】

本题考查了命题真假的判定，属于基础题.

A,根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；

B,若m〃a,aC\p=n,则m〃n或异面；

C,根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；

D,根据面面垂直的判定；

【解答】

解：对于4,根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确;

对于B,若m〃a,aC0=n,则m〃n或异面，故错；

对于C,根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；

对于。，根据面面垂直的判定，可。正确；

故选：B.

4.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，A=45。,B=60。,BC=3/1，

由正弦定理得，%=券，即岑=」鼻，

sinAsinBsin4S°sm60

解得：AC=3c.

故选：A.

由己知结合正弦定理即可直接求解.

本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：a=loge27=^log227-log23,b=log050.2=-log20.2=log25,c=log424=

夕。比24=log2、24,

因为y=log2%在定义域上是增函数，且3<A/24<5,故a<c<b.

故选：C.

先利用对数的运算法则把a，b,c化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.

本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意可得方+；12=(1+尢24)

(b+Aa)1c>(b+Aa)-c=0>

代入数据可得3(1+A)+4x22=0,

解之可得;1=-得

故选：D.

由题意可得3+4方的坐标，由题意可得@+41)々=0，代入数据可得关于；1的方程，解之可得.

本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的垂直于数量积的关系，属中档题.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题.

取AC的中点G,连接GE,GF,将4C平移到EG,则4GEF(或其补角)为异面直线EF与4c所成的角，

再在RtZiEFG中，求出此角即可.

【解答】

解：取4D的中点G,连接GE,GF,如图:

则GE〃AC,故NGEF(或其补角)就是EF和AC所成的角，

又GF"BD,且ACJLBD,AC=BD,

•••△GEF是直角三角形，且GE=GF

在直角三角形AGEF中，/.GEF=45°.

故选艮

8.【答案】C

【解析】解：根据题意，mln,可得沅下=0,

即V"3cosA—sinA—0，

n

••・i4A=-,

又由正弦定理可得，sinAcosB4-sinBcosA=sin2C,

sinAcosB+sinBcosA=sin(4+8)=sinC=sin2C,

C=%：.B=%

Lo

故选c.

根据向量数量积判断向量的垂直的方法，可得CcosA-s讥4=0,分析可得4,再根据正弦定理

可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C,有和差公式化简可得,sinC=sin2C,可得C,再根据三角

形内角和定理可得8,进而可得答案.

本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法.

9.【答案】BC

【解析】【分析】

根据向量垂直、共线以及模长与夹角的计算公式，逐个计算判断即可.

本题考查平面向量的数量积运算，以及向量的垂直、共线以及夹角等的判断和计算方法，属于基

础题.

【解答】

解：对于4：a1ba-b=—2m—1=0>解得m=—g,故A错；

对于B：3〃3=?nx1=(-2)x(—1)=2，故另=(-1,2)，

故五不=1X(-1)+(-2)X2=-5.故B正确；

对于C：m=l^b=故|五一B|=|(2,-3)|=J22+(-3)2=<15,故C正确;

lx(-l)+(-2)23

对于巾=得石=(一一故cos<a,b>=

D：-21,2)Jl+(-2)2J(-l)2+(-2)25.故。错.

故选：BC.

10.【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查了对数函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

4根据对数函数的性质显然不是偶函数；

B可得f(a)=|f(b)|=—f(b),利用对数的运算性质可得：/。得(ab)=0,可得必=1；

C求得函数/(-/+2乃的定义域为(0,2),结合复合函数的单调性，即可判断出正误；

。由0<a<1,可得1+a>l-a,/(I+a)<0</(I-a),作差+a)|-|/(1-a)|=

-/(I+a)-/(I-a),化简即可得出正误.

【解答】

解：/(x)=log^tx>o,根据对数函数的性质，A错误；

若f(a)=|/。)|其中a>0,b>0,---a^b,../(a)=|/(fe)|=-/(b)，

logxa+logxb=log^ab)=0,...ab=1,因此B正确；

222

函数/(一/+2x)=logi(-2+2x)=logi[-(x-l)2+1],由一％2>0,解得0<x<2,

2X2+2x

函数+2x)的定义域为(0,2),函数y=-(x-1)2+1对称轴是x=1,

函数y=-(x-I)2+1及丫=在(0,2)上均为单调递减函数，

由复合函数单调性得函数f(-/+2x)在(1,2)单调递增，故C正确；

若0<a<1,11+a>1—a,/(I+a)<0</(I—a),

故If(1+a)|-|f(l-a)|=-/(l+a)-/(I-a)=-log^l-a2)<0,

即，(l+a)|<因此。错误.

故选BC.

11.【答案】AC

【解析】解：如图所示，△4BC中，AC=20m,484c=90。,

AB=AC-tan60°=20cm，BC=40m,

△BCD中，4BCD=30°,BC=40m,^CBD=30°,4。=120°,

由正弦定理得一糕=—扁，

sinl20sinz.CBD

40x|AflJ-Q

所以CD=m.

­

故选：AC.

先画出符合题意的图形，把实际问题中的数据转化为数学图形

中，由已知结合锐角三角函数定义可先求出48,然后结合正弦定理可求CD.

本题主要考查了锐角三角函数定义及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是把实际问题

转化为数学问题.

12.【答案】ACD

【解析】解：直三棱柱ABC-41当口中的底面是等腰直角三角形，侧面

时矩形，所以其侧面积为1*2*2+Q*2=4+27~讶，故A正确；

直三棱柱的体积为：x1义1x2=1,故8不正确；

三棱锥E—44。的高为定值华，底面积为《X/2X2=卒，所以其

242

体积为=3故C正确;

3226

把侧面441GC和侧面CGaB展开在一个平面上，当E为4cl的中点时，4E+EG的最小值等于

■AC】=yj22+(1+I)2=2\/~2i故。正确.

故选:ACD.

通过计算可得到答案.

本题考查了命题真假的判断与应用.属中档题.

13.【答案】4-20231

【解析】解：因为a,6€/?且。+2023?=2-儿，所以解得。=2,b=-2023,

Jb=2023

所以a2+bi=22-2023i=4-2023i.

故答案为:4-2023L

根据复数相等的充要条件得到方程组求出a、b的值，即可得解.

本题考查复数相等的应用，属于基础题.

14.【答案】800

【解析】【分析】

本题考查分层抽样相关知识，属于基础题.

根据题意可知，容量为200的样本，样本中男生人数为120人，则样本中女生为80人，则样本中男

生与女生人数之比为3：2,再结合总人数求出女生的人数.

【解答】

解：根据题意可知，容量为200的样本，样本中男生人数为120人，

则样本中女生为200-120=80人，

则样本中男生与女生人数之比为3：2,

则该校女生人数为2000X|=800人，

故答案为800.

15.【答案】|

【解析】解：由1W2、W4得0WxW2,

则对应概率为并1=3

故答案为：|

根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合几何概型的概率公式进行计算即可.

本题主要考查几何概型的计算，结合不等式的性质求出不等式的等价条件以及利用几何概型的概

率公式是解决本题的关键.比较基础.

16.【答案】［9,+8)

【解析】【分析】

本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.

先根据基本不等式可知a+b22S，代入题设等式中得关于，益不等式，进而求得，益的范

围，则ab的取值范围可求.

【解答】

解：若正数a,b满足ab=a+b+3,

则ab=a+b+3》2，ab+3,当且仅当a=b时取等号，

所以(，■石)2—21^一3)0,

解得/ab>3或Vab<—1(舍)，

则ab>9,ab的取值范围是［9,+8).

故答案为：［9,+8).

17.【答案】解：(1)由题意得，2人中恰有1个人译出密码的概率为：x,+|x9=卷；

(2)2人中至少有1人译出密码的概率1-(1-如1一｝=p

【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式求解即可；

(2)根据相互独立事件的乘法公式求得无人破译出密码的概率，再利用对立事件的性质求解即可.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运

用.

18.【答案】解：(1)71=(-3,2),1=(2,1)，c=(3,-1),

.,•五+tb=(-3,2)+t(2,l)=(-3+2t,2+t).

|五+t9|=d(-3+2t)2+(2+t)2=45t2—81+13

=J5(t_^2+«>琵=3门(当且仅当1=机寸等号成立).

(2)H—tb—(—3,2)—t(2,l)—(—3—2t,2—t)»

又苍一t石与,共线，

•••(-3-2t)x(-1)=3x(2-t),解得t=

【解析】(1)利用求模公式表示出|4+I，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；

(2)利用向量共线定理可得关于t的方程，解出即得t值；

本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题.

19.【答案】解：(1)要使函数有意义，则有

解得一3<x<3.

所以函数/Xx)的定义域为(-3,3).

(2)函数/O)为偶函数.

理由如下：

因为Vx€(—3,3),都有—x€(—3,3),

且/(-x)=loga(3+x)+loga(-x+3)=loga(3-x)+loga(x+3)=/(x),

所以f(x)为偶函数.

2

(3)当。=3时，/(x)=log3(3-x)+log3(x+3)=log3[(3-x)(x+3)]=log3(9-x).

令t—9——,且％e(—3,3),

易知，当x=0时t=9-/取得最大值9,此时/。93(9-/)取得最大值log39=2,

所以函数/"(X)的最大值为2.

【解析】(1)由对数函数的真数大于0,建立不等式组，解出即可得到定义域；

(2)运用奇偶性的定义直接判断；

(3)通过换元，利用对数函数的性质直接得解.

本题考查对数函数的图象及性质，考查奇偶性的判断及极值求法，属于基础题.

20.【答案】证明：(1)・；”为4B中点，。为PB中点，

MD//AP,

又MDC平面APC,APu平面4PC,

•••MD〃平面4PC.

(2)为正三角形，且。为PB中点，

MD1PB.

又由(1)知MC〃4P,

•••AP1PB.

又已知4P1PC,PBCPC=P,

AP_L平面PBC,而BCu平面P8C,

•••AP1BC,

又4c1BC,而4PnAC=A,

BC_L平面4PC,

又BCu平面ABC,

.,•平面ABC11平面PAC.

【解析】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题.

⑴•••M为中点，。为PB中点，由中位线定理得MD〃4P,由线面平行的判定证得MZ)〃平面力PC；

(2)先证得4P1BC,又有4C1BC,通过线面垂直的判定证出BC1平面APC,再由面面垂直的判

定证出平面ABC1平面PAC.

21.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：

学生身高在[120,130)内的频率为：1-(0.005+0.035+0.020+0.010)x10=0.3,

•••学生身高在[120,130)内的人数为:100X0.3=30.

（2）采用分层抽样的方法从身高在［120,130）,［130,140）,［140,150J内的学生中共抽取6人，

则从口20,130）内的学生中抽取：6X003+黑+001=3人,

从［130,140）内的学生中抽取：6x°良器|行,=2人,

从［1