高三物理一轮复习教案第4章 曲线运动

第四章：曲线运动

本章内容包括圆周运动的动力学局部和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛顿第

二定律、机械能守恒定律等学问在圆周运动中的详细应用。本章中所涉及到的根本方法及第

二章牛顿定律的方法根本一样，只是在详细应用学问的过程中要留意结合圆周运动的特点：

物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的

方法分析物体的受力状况同样也是本章的根本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指

向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力及加速度的瞬时关系可知，当物

体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出

相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在详细的圆

周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，及物体的运动方向垂直，因此向心力

对物体不做功，所以物体的机械能守恒。

★命题规律

本章学问点，从近几年高考看，主要考察的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀速

圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）

运动的合成及分解。留意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的详细应用，要加深对

牛顿第二定律的理解，进步应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的实力。近几年对人造卫

星问题考察频率较高，它是对万有引力的考察。卫星问题及现代科技结合亲密，对理论联络

实际的实力要求较高，要引起足够重视。本章内容常及电场、磁场、机械能等学问综合成难

度较大的试题，学习过程中应加强综合实力的培育。

从近几年的高考试题可以看出，曲线运动的探讨方法一一运动的合成及分解、平抛运动和

圆周运动；万有引力定律及牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的

运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了现代科技信息及现代科技开展亲密联络是高

考命题的热点。例如2008全国I第17题，山东根本实力第32题，全国Il第25题，广东单科

第12题考察了万有引力定律的应用，2005年全国I、II、In卷以及北京理综、广东物理均考

察了人造卫星在万有引力作用下的圆周运动问题。再如2006全国I卷、江苏物理、天津理综、

重庆理综、广东物理均考察了人造卫星及万有引力定律在天体运动中的应用问题。

预料在今后的高考中平抛运动的规律及其探讨方法、圆周运动的角速度、线速度和向心加

速度仍是高考的热点。及实际应用和及消费、生活、科技联络命题已经成为一种命题的趋向，

特殊是神舟系列飞船的放射胜利、探月安排的施行，更会结合万有引力进展命题。

★复习策略

在本专题内容的复习中，肯定要多及万有引力、天体运动、电磁场等学问进展综合，以便

开阔视野，进步自己分析综合实力。

1.在复习详细内容时，应侧重曲线运动分析方法，可以娴熟地将曲线运动转化为直线运

动。如平抛运动就是将曲线运动转化为程度方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体

运动再进展处理的。对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及学问较多而成犯难点和重点。就

圆周运动的自身而言有一个临界问题，同时又往往及机械能守恒结合在一起命题。在有关圆

周运动最高点的各种状况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点打破内

容，极值分析法、数学分析法是分析处理物理问题的根本方法，也是学生学习中的难点和薄

弱环节。

2.天体问题中，由于公式的形式比拟困难，计算中得到的中间公式特殊多，向心力的表

达式也比拟多，简单导致混乱。所以要求在处理天体问题时，明确列式时根据的物理关系（一

般是牢牢抓住万有引力供应向心力），技巧性地选择适当的公式，才能正确、简便地处理问

题。

3.万有引力定律还有一个重要的应用就是估算天体的质量或平均密度。问题的核心在于:

（1）探讨一天体绕待测天体的圆周运动。（2）二者之间的万有引力供应向心力。

4.万有引力定律是力学中一个独立的根本定律，它也是牛顿运动定律应用的一个延长，

学习本局部内容要具有丰富的空间想象建模实力以及学科间的综合实力。

1、记住物体做匀速圆周运动的条件，能推断物体是否做匀速圆周运动。

2、记住匀速圆周运动的V、3、7■、八a、向心力等运动学公式。

3、知道解匀速圆周运动题的一般步骤（及牛顿第二定律解题思中一样）。

4、驾驭几种情景中的圆周运动：

①重力场中竖直面内圆周运动（留意临界条件）。

②天体的匀速圆周运动。

③点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。

④带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动（留意有界磁场中的圆周运动的特点和解法）。

⑤复合场中的圆周运动。

第一模块：曲线运动、运动的合成和分解

［夯实根底学问」

■考点一、曲线运动

1、定义：运动轨迹为曲线的运动。

2、物体做曲线运动的方向：

做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，

就是通过该点的曲线的切线方向。

3、曲线运动的性质

由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动

的速度方向时刻变更。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变更，所以说：曲线运动

肯定是变速运动。

由于曲线运动速度肯定是变更的，至少其方向总是不断变更的，所以，做曲线运动的物体

的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。

4、物体做曲线运动的条件

（1）物体做一般曲线运动的条件

物体所受合外力（加速度）的方向及物体的速度方向不在一条直线上。

（2）物体做平抛运动的条件

物体只受重力，初速度方向为程度方向。

可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向及物体的初速度方向垂直。

（3）物体做圆周运动的条件

物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一

个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）

总之，做曲线运动的物体所受的合外力肯定指向曲线的凹侧。

5、分类

⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。

⑵非匀变速曲线运动：物体在变力（大小变、方向变或两者均变）作用下所做的曲线运动，

如圆周运动。

■考点二、运动的合成及分解

1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速

度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是推断合运动和分

运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。

2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果"分解，

或正交分解。

3、合运动及分运动的关系：

⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；

⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等

（3）独立性：一个物体可以同时参及几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按

其本身的规律进展，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。

⑷运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）

4、运动的性质和轨迹

⑴物体运动的性质由加速度确定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物

体做匀变速运动：加速度变更时物体做变加速运动）。

⑵物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系确定（速度及加

速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动）。

常见的类型有：

（1）α=0:匀速直线运动或静止。

（2）α恒定：性质为匀变速运动，分为：

①1/、α同向，匀加速直线运动；

②V、α反向，匀减速直线运动；

③V、。成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、α之间，和速度V的方向相切，方向渐渐向

α的方向接近，但不行能到达。）

（3）α变更：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变更。

详细如：

①两个匀速直线运动的合运动肯定是匀速直线运动。

②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍旧是匀变速运动，当两者共线时为

匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。

③两个匀变速直线运动的合运动肯定是匀变速运动，若合初速度方向及合加速度方向在同

一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向及合加速度方向不在一条直线上时，则是曲

线运动。

第二模块：平抛运动

f夯实根底学问」

平抛运动

1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从程度初速度开场的运动。

2、条件：

a、只受重力；b、初速度及重力垂直.

3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在变更，但其运动的加速度却恒为重力加速度g,

因此平抛运动是一个匀变速曲线运动。a=g

4、探讨平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是程

度方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直

线运动。程度方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性.

5、平抛运动的规律

①程度速度：Vx=VO.竖直速度：Vy=gf

合速度（实际速度）的大小：V=Jvv2+匕2

物体的合速度U及X轴之间的夹角为：

②程度位移：X=%f,竖直位移y=gg/

合位移（实际位移）的大小：S=JX2+.2

物体的总位移S及X轴之间的夹角为：

可见，平抛运动的速度方向及位移方向不一样。

而且tana=2tan8而。≠20

轨迹方程：由X=%/和y=Lg/消去，得到：>=」JX2。可见平抛运动的轨迹为抛物

22v0^

线。

6、平抛运动的几个结论

①落地时间由竖直方向分运动确定：

,,1.2因[2Λ^

由力=lgt得：Z=J—

2Vg

②程度飞行射程由高度和程度初速度共同确定：

③平抛物体随意时刻瞬时速度V及平抛初速度出夹角0«的正切值为位移s及程度位移X

夹角9正切值的两倍。

④平抛物体随意时刻瞬时速度方向的反向延长线及初速度延长线的交点到抛出点的间隔

都等于程度位移的一半。

12

WtSgtX

证明：tana=一=-----=s=一

%S2

⑤平抛运动中，随意一段时间内速度的变更量Au=gAt,方向恒为竖直向下（及g同向）。

随意一样时间内的△口都一样（包括大小、方向），如右图。

⑥以不同的初速度，从倾角为。的斜面上沿程度方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度

及斜面的夹角α一样，及初速度无关。（飞行的时间及速度有关，速度越大时间越长。）

如右图：所以/=及tan。

g

所以tan（α+6）=2tan6,θ为定值故a也是定值及速度无关。

⑦速度n的方向始终及重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，tan。

变大，θ↑,速度V及重力的方向越来越靠近，但恒久不能到达。

⑧从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机

械能守恒。

7、平抛运动的试验探究

①如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A球沿程度方向抛出，同时8球松开，自由

下落，A、8两球同时开场运动。视察到两球同时落地，屡次变更小球距地面的高度和打击力

度，重复试验，视察到两球落地，这说明了小球A在竖直方向上的运动为自由落体运动。

②如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2及光滑程

度板吻接，则将视察到的现象是A、B两个小球在程度面上相遇，变更释放点的高度和上面滑

道对地的高度，重复试验，4B两球仍会在程度面上相遇，这说明平抛运动在程度方向上的

分运动是匀速直线运动。

8、类平抛运动

（1）有时物体的运动及平抛运动很相像，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直

方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运

动。

2、类平抛运动的受力特点：

物体所受合力为恒力，且及初速度的方向垂直。

3、类平抛运动的处理方法：

在初速度%方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度

a=L处理时和平抛运动类似，但要分析清晰其加速度的大小和方向如何，分别运用两个

m

分运动的直线规律来处理。

第三模块：圆周运动

r夯实根底学问」

匀速圆周运动

1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。

2、分类：

⑴匀速圆周运动：

质点沿圆周运动，假如在随意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆

周运动。

物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。

留意：这里的合力可以是万有引力一一卫星的运动、库仑力一一电子绕核旋转、洛仑兹力

一一带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力一一绳拴着的物体在光滑程度面上绕绳的一端旋转、

重力及弹力的合力一一锥摆、静摩擦力一一程度转盘上的物体等.

⑵变速圆周运动：假如物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变更一一如小球

被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动.合力的方向并不总跟速度方向垂直.

3、描绘匀速圆周运动的物理量

（1）轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。

（2）线速度（v）：

①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S和所用时间t的比值，叫做匀速圆周运动的

线速度。

②定义式：V=—

t

③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，事实

上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速

率。

（3）角速度（。，又称为圆频率）：

①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周

运动的角速度。

②大小：⑦=拳=爷”是f时间内半径转过的圆心角）

③单位：弧度每秒（rad∕s）

④物理意义：描绘质点绕圆心转动的快慢

（4）周期（7）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

（5）频率（/,或转速”）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。

各物理量之间的关系：

留意：计算时，均采纳国际单位制，角度的单位采纳弧度制。

（6）圆周运动的向心加速度

①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。

2

2=（为厂=（2球N）

②大小：an=-=ωr（还有其它的表示形式，如：an-vω

③方向：其方向时刻变更且时刻指向圆心。

对于一般的非匀速圆周运动，公式仍旧适用，为物体的加速度的法向加速度重量，r为曲

率半径；物体的另一加速度重量为切向加速度/，表征速度大小变更的快慢（对匀速圆周运

动而言，0r=0）

（7）圆周运动的向心力

匀速圆周运动的物体受到的合外力经常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，

常见的供应向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受

到的合力的法向分力工供应向心加速度（下式仍旧适用），切向分力工供应切向加速度。

2

向心力的大小为：工=，迎“=机上-=根0，（还有其它的表示形式，如:

Fn-mvω-4亍~Jr=/〃（2过1r）；向心力的方向时刻变更且时刻指向圆心。

事实上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的详细表现形式。

五、离心运动

1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消逝或缺乏以供应圆周运动所需向心力

状况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。

2、本质：

①离心现象是物体惯性的表现。

②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出

的运动。

③离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。

3、条件：

当物体受到的合外力工=〃幻“时，物体做匀速圆周运动:

当物体受到的合外力F<nιall时，物体做离心运动

当物体受到的合外力工>〃以“时，物体做近心运动

事实上，这正是力对物体运动状态变更的作用的表达，外力变更，物体的运动状况也必定

变更以适应外力的变更。

4.两类典型的曲线运动的分析方法比拟

（1）对于平抛运动这类"匀变速曲线运动"，我们的分析方法一般是"在固定的坐标系内正

交分解其位移和速度"，运动规律可表示为

（2）对于匀速圆周运动这类"变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是"在运动的坐标系

内正交分解其力和加速度"，运动规律可表示为

『题型解析」

类型题:曲线运动的条件

【例题】（1991年上海高考题）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B,这

时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为一F。在此力的作用下，物体以后的运动

状况，下列说法正确的是（A、B、D）

A.物体不行能沿曲线Ba运动

B.物体不行能沿直线Bb运动

C.物体不行能沿曲线BC运动

D.物体不行能沿原曲线由B返回A

【例题】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力Fl时,

物体可能做（）

A.匀加速直线运动；B.匀减速直线运动；

C.匀变速曲线运动；D.变加速曲线运动。

★解析：当撤去Fl时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于Fi,方向及Fl方

向相反。

若物体原来静止，物体肯定做及Fl相反方向的匀加速直线运动。

若物体原来做匀速运动，若Fl及初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运

动或匀减速直线运动，故A、B正确。

若Fl及初速度不在同始终线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变

速曲线运动，故C正确，D错误。

正确答案为：A、B、C«

【例题】我国"嫦娥一号"探月卫星经过多数人的协作和努力，最终在2007年10月24日晚

6点05分放射升空。如图所示，"嫦娥一号"探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向

N点飞行的过程中，速度渐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（）

★解析：C卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度渐渐减小，则合力方向及

速度方向间的夹角大于90,由轨迹的弯曲方向知，合力必指向其弯曲方向.故选C。

【例题】质点仅在恒力F的作用下，由。点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的

方向及X轴平行，则恒力F的方向可能沿（）

A.X轴正方向

B.X轴负方向

C.y轴正方向

D.y轴负方向

★解析：D根据曲线运动轨迹特点可知：物体的轨迹总是向合外力一方凹陷，而且最终的

速度方向不及合外力方向平行，可知D正确。

【例题】一个物体以初速度Vo从A点开场在光滑的程度面上运动，一个程度力作用在物

体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B为轨迹上的一点，虚线是经过A、B两点并及轨

迹相切的直线。虚线和实线将程度面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法

中正确的是（）

A.假如这个力是引力，则施力物体肯定在④区域中

B.假如这个力是引力，则施力物体可能在③区域中

C.假如这个力是斥力，则施力物体肯定在②区域中

D。假如这个力是斥力，则施力物体可能在⑤区域中

★解析：物体做曲线运动，肯定受到及初速度V。方向不平行的力的作用，这个力及速度方

向垂直的重量起到向心力的作用，使物体运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受

力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体肯定在轨迹两切线的交集处。是

引力时施力物体在轨迹弯曲的内侧（互相吸引，使运动向轨迹内侧弯曲），是斥力时施力物体在

轨迹弯曲的外侧（互相排挤，使物体运动向轨迹内侧弯曲）。

【答案】AC

【例题】如图所示，质量为m的小球，用长为/的不行伸长的细线挂在。点，在。点正下

方,处有一光滑的钉子把小球拉到及钉子0'在同一程度高度的位置，摆线被钉子挡住且

2

张紧，现将小球由静止释放，当小球第一次通过最低点P时（）

A.小球的运动速度突然减小

B.小球的角速度突然减小

C.小球的向心加速度突然减小

D.悬线的拉力突然减小

★解析：在通过位置产前后瞬间，小球作圆周运动的半径分别为/和,，并且小球在通过

2

P点瞬间受到的重力和拉力都在竖直方向上，小球的速度大小不变更。

答案：B、C、D

类型题:I如何推断曲线运动的性质

曲线运动肯定是变速运动，但不肯定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力状况

（或加速度状况）进展推断，若受到恒力（其加速度不变），则为匀变速运动，若受到的不是

恒力（其加速度变更），则为非匀变速运动。

例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g:而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加

速度虽然大小不变，但方向是时刻变更的。

【例题】关于运动的性质，下列说法中正确的是（A）

A.曲线运动肯定是变速运动

B.曲线运动肯定是变加速运动

C.圆周运动肯定是匀变速运动

D,变力作用下的物体肯定做曲线运动

【例题】物体做曲线运动时，其加速度（）

A.肯定不等于零B.肯定不变

C.肯定变更D.可能不变

★解析：AD曲线运动肯定是变速运动，肯定有加速度，所以加速度肯定不为零，A正确；

曲线运动中平抛运动和类平抛运动（带电粒子在电场中的偏转）加速度是不变的，匀速圆周

运动和多数的曲线运动加速度是变更的。

【例题】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（）

A.速度肯定不断地变更，加速度也肯定不断地变更

B.速度肯定不断地变更，加速度可以不变

C.速度可以不变，加速度肯定不断地变更

D.速度可以不变，加速度也可以不变

★解析：B质点做曲线运动，则速度肯定发生变更，但加速度不肯定变更，如平抛运动,

所以，A、C、D错误，只有B项正确。

类型题:I运用运动的独立性解题

【例题】如图所示，一个劈形物体M各面均光滑，上面成程度，程度面上放一光滑小球m,

现使劈形物体从静止开场释放，则小球在遇到斜面前的运动轨迹是（斜面足够长）（）

A.沿斜面对下的直线B.竖直向下的直线

C.无规则曲线D.抛物线

★解析：B小球只受竖直方向的重力和支持力，即合力始终沿竖直方向，故小球只能做

竖直向下的直线运动，所以B正确.

【例题】如图所示，A、B为两游泳运发动隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游的

位置，且A的游泳成果比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应

采纳下列哪种方法才能实现？（A）

A.A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用

B.B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游

C.A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游

D.都应沿虚线偏向下游方向，且B比A更偏向下游

★解析：游泳运发动在河里游泳时同时参及两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划

行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B两运发动只有一

种运动，由于两点之间直线最短，所以选A。

【例题】如图为一空间探测器的示意图，Pi>P2、P3、P4四个喷气发动机，Pl、P3的连钱

及空间一固定坐标系的X轴平行，P2、P4的连线及y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测

器供应推力，但不会使探测器转动.开场时，探测器以恒定的速率Vo向正X方向平动.要使

探测器改为向正X偏负y60。的方向以原来的速率VO平动，则可

A.先开动Pl适当时间，再开动P4适当时间

B.先开动P3适当时间，再开动P2适当时间

C.开动P4适当时间

D.先开动P3适当时间，再开动P4适当时间

★解析：选A.在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即"向正X偏y60。的方向以

原来的速率Vo平动"为合运动，X轴、y轴方向上的运动为分运动.据平行四边形定则，由右

图可得，Uχ<Vo,Vy<Vo,又因为“开场时，探测器以恒定的速率VO向正X方向平动"，所以在X

轴方向上探测器做的是沿正X方向的减速运动，其加速度沿负X方向.由牛顿第二定律，沿X

轴方向的合外力必沿负X方向，所以Pl发动机开动.在y抽方向上探测器做的是沿负y方向

的加速运动，加速度方向沿负y方向，由牛顿第二定律，沿y轴方向的合外力必沿负y方向，

所以P4发动机翻开.本题正确答案为A

【例题】一质点在Xoy平面内从。点开场运动的轨迹如图所示，则质点的速度（）

X

A.若X方向始终匀速，则y方向先加速后减速

B.若X方向始终匀速，则y方向先减速后加速

C.若y方向始终匀速，则X方向先减速后加速

D.若y方向始终匀速，则X方向先加速后减速

★解析：BD从轨迹图可知，若X方向始终匀速，开场所受合力沿一y方向，后来沿+y方

向，如图所示，可以看出应是先减速后加速，故A错，B正确；若y方向匀速，则受力先沿+

X方向，后沿一X方向，如图所示，故先加速后减速，所以C错，D正确.

类型题:I推断两个直线运动的合运动的性质

方法一：根据加速度及初速度的方向关系推断

先求出合运动的初速度和加速度（可以用作图法求），再推断。可以发觉，当上空=幺时,

%2a2

合运动为直线运动，否则为曲线运动.

方法二：通过两个分位移的比例关系来推断

作为一般性探讨，我们可以设两个分运动的规律分别为:

12

v∖ot+^a∖t

令：Z=包Ii=——2l一

SC12

2v20t+-a2t

根据数学学问可以推断出，若k为一常数（即当迎=幺或匕o=%o=O或q=4,=O

v20«2一

时.），则说明物体沿直线运动；若我为时间t的函数（当迎≠幺时），则说明物体将做曲

V02a2

线运动。

如在平抛运动中，Vjfl=O,公=0,4y=g,所以％=旦，即％是时间/的函数，且随时间的

2%

持续而变大，所以合运动的轨迹应是越来越陡的曲线。

【例题】关于运动的合成，下列说法中正确的是（C）

A.合运动的速度肯定比每一个分运动的速度大

B.两个匀速直线运动的合运动不肯定是匀速直线运动

C.两个匀变速直线运动的合运动不肯定是匀变速直线运动

D.合运动的两个分运动的时间不肯定相等

【例题】关于互成角度的两个初速不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是

A.肯定是直线运动

B.肯定是曲线运动

C.可能是直线运动，也可能是曲线运动

D.以上都不对

★解析：两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，确定于它们的合速

度和合加速度方向是否共线（如图所示）。当α和V重合时，物体做直线运动，当。和V不重

合时，物体做曲线运动，由于题设数值不确定，以上两种均有可能。答案选C

【例题】互成角度。（。≠0,。声180）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运

动（）

A.有可能是直线运动B.肯定是曲线运动

C.有可能是匀速运动D.肯定是匀变速运动

★解析：BD互成角度的一个匀速直线运动及一个匀变速直线运动合成后，加速度不变，

是匀变速，且合速度的方向及合加速度的方向不在一条直线上，故其做曲线运动，所以选B、

D,

类型题：BB谢施国

轮船渡河问题：

（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成及分解问题，小船在有肯定流速的水中过河

时，事实上参及了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动

（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

V2

1.渡河时间最少：在河宽、船速肯定时，在一般状况下，渡河时间t=—=—，

qU船SIn夕

明显，当e=90°时，即船头的指向及河岸垂直，渡河时间最小为4,合运动沿V的方向

V

进展。

2.位移最小

若U船＞U水

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为COSe="

。船

若％<丫水，则不管船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的间隔最短呢?

如图所示，

设船头Vwi及河岸成e角。合速度V及河岸成ɑ角。可以看出：a角越大，船漂下的间隔X

越短，那么，在什么条件下a角最大呢？以V木的矢尖为圆心，V册为半径画圆，当V及圆相切

时∙，a角最大，根据COSe=I效船头及河岸的夹角应为

U水

θ=arcco⅛,船沿河漂下的最短间隔为：

丫水

此时渡河的最短位移：S=卫_=史生

CoSeV船

【例题】河宽d=60m,水流速度vι=6m∕s,小船在静水中的速度V2=3m∕s,问：

(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少？

(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少？

★解析：⑴要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间

(2)渡河航程最短有两种状况：

①船速V2大于水流速度Vl时，即V2>V1时，合速度V及河岸垂直时，最短航程就是河宽；

②船速V2小于水流速度Vl时，即V2<Vi时，合速度V不行能及河岸垂直，只有当合速度V

方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以Vl的末端为圆心，以V2的长

度为半径作圆，从Vl的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。

设航程最短时，船头应偏向上游河岸及河岸成θ角，则

最短行程，S=上一=2机=120/77

COSe6

2

小船的船头及上游河岸成60。角时，渡河的最短航程为120m。

技巧点拔：对第一小问比拟简单理解，但对第二小问却不简单理解，这里涉及到运用数学

学问解决物理问题，须要大家有较好的应用实力，这也是教学大纲中要求培育的五种实力之

【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去,

水流速度为V1，摩托艇在静水中的航速为V2,战士救人的地点A离岸边最近处O的间隔为d,

如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离。点的间隔为（C）

dυ

A.rL.B.O

他一/

dυxdυ2

C.------D.-------

★解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运

动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为V2,到达

江岸所用时间t=E；沿江岸方向的运动速度是水速Vl在一样的时间内，被水冲下的间隔，

V2

即为登陆点间隔O点间隔s=y∕="a°答案：C

V2

【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流淌速度肯定，此人过河最短时间为了T"若

此船用最短的位移过河，则需时间为T2,若船速大于水速，则船速及水速之比为（）

(A)/2(B净

加-T；ʃI

T.

(C)-L-(D)-

★解析：设船速为匕，水速为乙，河宽为d,则由题意可知：（=4①

当此人用最短位移过河时，即合速度V方向应垂直于河岸，如图所示，则。=r-d一②

联立①②式可得：ZL=JU「2,进一步得

T2V,

【例题】小河宽为d,河水中各点水流速度大小及各点到较近河岸边的间隔成正比，

v/K=kx,Z=%,X是各点到近岸的间隔，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为％,

d

则下列说法中正确的是（A）

A、小船渡河的轨迹为曲线

B、小船到达离河岸9处，船渡河的速度为、历%

C、小船渡河时的轨迹为直线

D、小船到达离河岸3d∕4处，船的渡河速度为J历％

类型题:I绳联物体的速度分解问题

指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中探讨的绳都是不行伸长的，杆都是不行伸

长和压缩的，即绳或杆的长度不会变更，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于

绳（杆）和平行于绳（杆）两个重量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小一样求解。

合速度方向：物体实际运动方向

分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）

垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动

速度投影定理：不行伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影一样。

这类问题也叫做：斜拉船的问题一一有转动分速度的问题

【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度VO拉程度面上的物体A,当绳及程

度方向成e角时，求物体A的速度。

★解析：解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运

动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳

长缩短的速度即等于％二是随着绳以定滑轮为圆心的摇摆，它不变更绳长，只变更角

度e的值。这样就可以将VA按图示方向进展分解。所以匕及匕事实上就是”的两个分速度，

如图所示，由此可得

解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来

求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。

设船在。角位置经At时间向左行驶间隔，滑轮右侧的绳长缩短△!_,如图2所示，当

绳及程度方向的角度变更很小时，AABC可近似看做是始终角三角形，因此有ΔL=Δxcos6,

两边同除以At得：-=-cosθ

∆r∆r

即收绳速率％=LCOSe,因此船的速率为：

总结："微元法"。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移

是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间

速度大小的关系。

解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子

的拉力为F,则对绳子做功的功率为《=∕⅞°;绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉

力大小也为F,则绳子对物体做功的功率为P,=/乙COS。，因为4=A所以L=——。

CoSe

评点：①在上述问题中，若不对物体A的运动仔细分析，就很简单得出L=%cos6的

错误结果；②当物体A向左挪动，e将渐渐变大，”渐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体

A却在做变速运动。

总结：解题流程：①选取适宜的连结点（该点必需能明显地表达出参及了某个分运动）；

②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速

度的实际运动效果从而根据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，找

寻速度关系。

【例题】如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体.用绳子跨过定滑轮C,由地面上的

人以匀称的速度V。向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走间隔S

到达B处，这时物体速度多大？物体程度挪动了多少间隔？

★解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。

［全解］设人运动到B点时,绳及地面的夹角为。。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：

V0COS^o物体的运动速度及沿绳方向的运动速度一样，所以物体的运动速度为

物体挪动的间隔等于滑轮右端绳子伸长的长度，

答案：V=/IlIS=，d=yjs2+Ii2—h

y∣s2+h2

［小结］分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向

前的运动是实际的运动，是合运动；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运

动的物理意义是明确的，从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直

于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动，人同时参及了这两个运动，其实际的运动（合运动）

即是程度方向的运动

【例题】如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面上升.问：当滑

轮右侧的绳及竖直方向成B角，且重物下滑的速率为V时，小车的速度为多少？

★解析：方法一：虚拟重物M在ZIt时间内从4移过4/7到达。的运动，如图（1）所示，

这个运动可设想为两个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴。点做圆周运动到8,位移为

Asi,然后将绳拉过万2到C

若仇很小趋近于0,那么Agf0,则4sι=0,又OA=OB,ZOBA=∣（180-Δ^）→90°.

亦即ZISl近似J_ZS2，故应有：∆s2-∆h-cos∂

,∙ΔSCoSe

因ms为。=——-2=--------=υcosθzl

∆r∆z

所以∕=v∙cosι?

方法二：重物/W的速度V的方向是合运动的速度方向，这个V产生两个效果：一是使绳的

这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率J

运动，如图（2）所示，由图可知，/=VCOSI?.

【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B,如图所示，设汽车和重物的速度的大小分

别为以，小，则（BD）

A、VA=%B、VA>Vli

C、VA<vβD、重物B的速度渐渐增大

【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和π⅛的两个小球A和B（可视为质点）。

将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆及槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度为VA,

求此时B球的速度VB?

★解析：A球以VA的速度沿斜槽滑下时.，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为

VAI;一个使杆绕B点转动的分运动，设其速度为VA2。而B球沿斜槽上滑的运动为合运动，设

其速度为VB,可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为VBI,VBI=VA1;一个使杆摇摆的

分运动设其速度为VB2；

由图可知：

Vβl=Vβsin«=VAI=VAcosa

类型题:I面接触物体的速度问题

求互相接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然

后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进展分解，令两物体沿弹力方向的

速度相等即可求出。

【例题】一个半径为R的半圆柱体沿程度方向向右以速度VO匀速运动。在半圆柱体上搁置

一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆及半圆柱体接触点P及柱心的连线

及竖直方向的夹角为a求竖直杆运动的速度。

★解析：设竖直杆运动的速度为必，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V。、

Vl在C）P方向的投影相等，即有匕Sine=KCos。，解得

Vi=Vootanθ

【例题】一根长为L的杆。端用钱链固定，另一端固定着一个小球4靠在一个质量

为高为h的物块上，如图所示，若物块及地面摩擦不计，试求当物块以速度V向右运动

时，小球A的线速度v“（此时杆及程度方向夹角为9）。

★解析：解题方法及技巧：选取物及棒接触点B为连结点。（不干脆选A点，因为A点

及物块速度的V的关系不明显）。因为8点在物块上，该点运动方向不变且及物块运动方向一

样，故8点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；8点又在棒上，参及沿棒向A点滑动的

速度均和绕。点转动的线速度V2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由

速度矢量分解图得：V2=VSin%

设此时OB长度为a,则a=h∕sinθ0

令棒绕。点转动角速度为3,则：

ω=V2∕a=vsin2θ∕ho

故A的线速度VA=ωL=vLsin2θ∕ho

类型题：解图

1.常规题的解法

【例题】如图所示，某滑板爱好者在离地h=1.8m高的平台上滑行，程度分开A点后落在

程度地面的B点，其程度位移S∣=3m。着地时由于存在能量损失，着地后速度变为“4m∕s,

并以此为初速沿程度地面滑行S2=8m后停顿，已知人及滑板的总质量m=60kg。求:

（1）人及滑板分开平台时的程度初速度。

（2）人及滑板在程度地面滑行时受到的平均阻力大小。（空气阻力无视不计，g取IOm/S?）

★解析：（1）人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为%,飞行时间为3

S3

解得v=-ɪ='m/s=5m∕s

0Vlh∕f2×1.8

Vgʌlɪ

（2）设滑板在程度地面滑行时受到的平均阻力为/,根据动能定理有-»2=0-

22

E,=下mv60×4xtT

解得/=k="cO-N=60N

25,2×8

本题主要考察的学问点是动能定理和平抛运动的规律。滑行者共参及了两个运动：在AfB

段做的是平抛运动；在B玲C段做的是匀减速运动.由动能定理可求出平均阻力，而根据平抛

运动的规律可求出人分开平台时的速度

【例题】如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置程度射出的，飞镖A及竖直

墙壁成53。角，飞镖B及竖直墙壁成37。角，两者相距为d,假设飞镖的运动是平抛运动，求

射出点离墙壁的程度间隔？（Sin37。=0.6,cos37t5=0.8）

★解析：设射出点离墙壁的程度间隔为S,A下降的高度hi，B下降的高度h2,根据平抛

运动规律可知：（根据反向沿长线是中点）

学问链接：本题的关键是理解箭头指向的含义——箭头指向代表这一时刻速度的方向，而

不是平抛物体的位移方向。理解两个重要的推论：

推论1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向及程度方向

的夹角为。，位移及程度方向的夹角为α,则tanθ=2tanα

推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体随意时刻的瞬时速度的反向延长线肯定通过此时程度

位移的中点。

【例题】如图所示，排球场总长为18m,设球网高度为2m,运发动站在网前3m处正对球

网跳起将球程度击出。

（1）若击球高度为2.5m,为使球既不触网又不出界，求程度击球的速度范围；

⑵当击球点的高度为何值时，无论程度击球的速度多大，球不是触网就是越界?

★解析：（1）排球被程度击出后，做平抛运动

若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间：

由此得排球越界的临界速度

若球恰好触网，则球在网上方运动的时间：

由此得排球触网的临界击球速度值

使排球既不触网又不越界，程度击球速度V的取值范围为：3√10m∕5<v≤12√2w∕5o

（2）设击球点的高度为h,当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临

界状况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有：

即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网

【例题】抛体运动在各类体育运动工程中很常见，如乒乓球运动。现探讨乒乓球发球问题，

设球台长2L、网高力，乒乓球反弹前后程度分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且

不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。（设重力加速度为g）

（1）若球在球台边缘。点正上方高度为/h处以速度Vl程度发出，落在球台的PI点（如图

实线所示），求Pi点距。点的间隔Xi。

（2）若球在O点正上方以速度"2程度发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点（如

图虚线所示），求V2的大小。

（3）若球在。点正上方程度发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台