河北省唐山市2023届高三年级上册期末数学试题

河北省唐山市2023届高三上学期期末数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.已知集合A=B={^\y=log2(l-x)},则AB=()

A.(0,1)B.(0,1]

C.(』1)D.S，l]

2.已知函数〃力=含丁则其图像大致为（）

3.已知函数/(x)=>/5sin2x-cos2x,则()

A.“X）在单调递增,且图象关于直线x=g对称

6

B.“X）在单调递增,且图象关于直线工=方对称

）在卜单调递减,

C.“X且图象关于直线X=£对称

6

D.“X）在单调递减，且图象关于直线Y对称

4.1-的展开式共有七项，且常数项为20,则。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.直线/：x-y-l=0与抛物线C：V=4x交于A,B两点，则|阴=（）

A.8B.40C.4D.2y/2

6.高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进

行1+2+3+L+100的求和运算时，他是这样算的：

1+1（X）=101,2+99=101,,50+51=101,共有50组，所以50x101=5050,这就是著名

的高斯法，又称为倒序相加法.事实上，高斯发现并利用了等差数列的对称性.若函数

y=〃x）的图象关于点刖对称，S“=（〃+l）高）++/（羔），S,,

为数列｛4｝的前〃项和，则下列结论中，错误的是（）

A./(x)+/(l-x)=2

B.S“=〃(〃+l)

c.s“二^l

“2

7.已知正三棱锥尸-ABC的侧棱长为2,则该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为

（）

A.8兀B.lOnC.12兀D.14兀

8.设。=1111口力=1211-!-,。=-!-,则(

101011

A.a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bD.c<a<b

二、多选题

9.已知i为虚数单位，复数马=a—2i,Z2=2+ai,（awR）,下列结论正确的有（）

A.㈤=%|

B.z,=z2

C.若2（Z]+Z2）=Z]-Z2,则a=2

D.若z?=-i,贝i|a=0

10.已知a,4c是三条不同的直线，a,4,y是三个不同的平面，下列命题正确的有（）

A.若a_Lb,a_Lc,则b〃c

B.若。〃0,a〃c,则6〃c

C.若a，p,a_L/,则夕〃y

D.^a//p,a//y,则/〃y

11.甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将

球传给另外两人中的任何一人.设第左次传球后球在甲手中的概率为“，则下列

结论正确的有（）

试卷第2页，共4页

A.外=0

B.p，=1

3

C.0+2p«+|=l

D.P2023>§

12.己知圆。:/+丫2=4,动点尸小，%),直线/«0%+%、=4,。在/上的射影为点。，

下列结论正确的有()

A.若尸在圆。上，则直线/与圆。相切

B.若尸在圆。内，则直线/与圆。相交

C.若/过点(1,0),与圆。相交于点A,B,则四边形0Ap5面积的最小值为46

D.若「在曲线|x-)，|+|x+y|=2上，则Q的轨迹所围成区域的面积为16+87T

三、填空题

13.已知2a+3,a,2a-3是正项等比数列中的连续三项，则公比<7=.

14.在A8C中，AB=3,BC=2,M,N分别为3C,AM的中点，贝ij

AM-BN=.

15.圆台002中，上、下底面的面积比为人其外接球的球心。在线段。02上，若

4

OO,=200,，则圆台002和球。的体积比为.

16.函数/(x)=/-T，g(x)=x-ln(ar),当x>0时，J.(x)4g(x),则。的取值范围

是.

四、解答题

17.A5c的内角AB,C的对边分别为4b,c,已知cosA=-f.

b

(1)若5=f,求tanC;

(2)求tanC的最大值.

18.已知｛%｝是等差数列，的｝是公比不为1的等比数列，4=4=2,%=&%=4.

⑴求数列｛。〃｝,｛2｝的通项公式；

⑵若集合M=｛0|%,=%,〃Z,Z£N*,且IKAKIOO｝,求M中所有元素之和.

19.如图，在四棱锥P-A8CD中，底面A8C。是菱形，N8A£)=60，PBA.AD,

PA=AB=—PB.

3

(1)证明：平面2。平面ABC。；

(2)求平面R4B与平面PBC夹角的余弦值.

20.为试验一种新药，某医院把该药分发给10位患有相关疾病的志愿者服用.试验方案

为:若这10位患者中至少有5人治愈，则认为这种新药有效;否则认为这种新药无效.假设

新药有效，治愈率为80%.

(1)用X表示这10位志愿者中治愈的人数，求X的期望E(X);

(2)若10位志愿者中治愈的人数恰好为E(X),从10人中随机选取5人，求5人全部治愈

的概率；

(3)求经试验认定该药无效的概率。(保留4位小数)；根据。值的大小解释试验方案是

否合理.(依据:当P值小于0.05时，可以认为试验方案合理，否则认为不合理.)附:记

P(X=%)=CfoxO.80xO.2i°",&=0,1,2,,10,参考数据如下：

X

<2345678910

0.00010.00080.00550.02640.08810.20130.30200.26840.1074

P

21.已知椭圆E:[+£=l(a>8>0)的离心率为多点P1,当■在E上，不经过点P

的直线/：丫=丘+加与E交于不同的两点AB.

(1)求E的方程；

(2)若直线PA与直线PB的斜率之和为0,求左的值及机的取值范围.

22.已知函数/(x)=(e*—l)x,g(x)=f(x)-a.

⑴求f(x)的极值；

(2)若。>0,证明:函数g(x)有两个零点为x2,且玉+马<0.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】解分式不等式求得集合A,求函数的定义域求得集合8,由此求得AcB.

【详解】-1>1,1--1=1--r^>0,

XXX

解得0<x§,所以4=(0』.

l-x>O,x<l,所以3=(e,l),

所以A8=(0,1).

故选：A

2.D

【分析】利用函数的奇偶性及部分图像最值判断即可.

【详解】由函数的定义域为R,关于原点对称,

又/㈠='^1=告f(明

故函数为奇函数，因此A,B错误,

r/2x_2“2_

当、>。时，

当且仅当x=4=x=l时取等号，即当x>0时，函数有最大值1,

X

所以C错误,

故选：D.

3.B

【分析】化简/(x)的解析式，根据三角函数的单调性、对称性确定正确答案.

【详解】/(X)=>/3sin2x-cos2x=2sin12x-聿J,

兀兀c兀兀

由I于—<x<0,—<2x—<—,

6266

所以/(x)在卜：0)单调递增,

2s呜4士2,所以小)不关于直线x4对称.

答案第1页，共16页

了《卜2sin：=2,所以f(x)关于直线x=^对称.

故选：B

4.B

【分析】根据展开式的项数得到〃=6,进而由展开式通项公式得到q=爆(-4)3=20,求出

。的值.

【详解】因为的展开式共有七项，故〃=6,

且展开式通项公式为&=/=C：产2,，

令6-2r=0,解得：r=3,故7；=c(一姨=20,解得：a=-l.

故选：B

5.A

【分析】联立直线/的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由此求得|A5|.

fx—y—1=0

【详解】由，，，消去y并化简得d-6x+l=0,A=32>0,

[y=4x

设4(5,乂),巩々，%)，则％+工2=6,%32=1,

所以Jl+F-](占一4%占=3xA/36-4=8.

故选：A

6.C

【分析】对于A,利用函数的中心对称性公式即可求解；

对于B,利用倒序相加法求和及A选项的结论即可求解；

对于C,利用B选项的结论及应与S,的关系，结合等差数列的前〃项和公式即可求解；

对于D,利用B选项的结论及裂项相消法求和即可求解.

【详解】对于A,因为函数y=的图象关于点团对称，所以/„+吗+,=2,

令》=卜，

所以〃x)+/(l—x)=2,故A正确；

答案第2页，共16页

»j>1M_1_1_»

对于B,因为S“=("+l)£/(一S.=(〃+l)X"-----—)>

n+\n+\

所以++/("?)，

ML"+1〃+lJ

因为人二7)+〃竺?)=2,所以2S“=(〃+l)Z,即S,,=〃5+l),故B正确;

n+\n+\

对于C,由题可知，当〃=1时，q=S］=lx(l+l)=2,当〃22时,

an=Slt-Sn_x=7i(n+l)-w(H-l)=2n,取〃=1时，4=2x1=2,%满足此式,

故｛凡｝的通项公式为«„=2〃.所以S“=〃。；)="O'),

而S“=〃(〃+l),所以s,尸丛竽2.故C错误；

对于D,因为5〃=〃(〃+1),所以］=布［1),__1_

nn+1

所以《-+《-+《-+

»31

111111,

因为Q>。，W1--<1，即可+婷婷…+『1，故D正确.

故选：C.

7.C

【分析】利用正三棱锥的特点及体积公式，结合三元基本不等式及正方体的体对角线为正三

棱锥的外接球的直径，然后利用球的表面积公式即可求解.

【详解】设H为底面MC的中心，延长A"交8c于E,连接尸〃，如图所示

因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，

所以P〃_L平面A8C,且AE是8c边上的中线,

设AB=2x,则

An=-A.E——,yjX=x,

333

在Rt△孙〃中，PH=y]PA2-AH2=2.1--x2

答案第3页，共16页

222

所以三棱锥P—ABC的体积为丫=；SABC-AH=^X(2X)x2^1-1x=|.?V3-x,

因为3斤7=2新,六(3田42x/1J=2,

可得V=gsHBC，"=|x2F74g,当且仅当gx2=3-x2,即x=x/5时，等号成立，

当8=后时，正三棱锥P-ABC体积取得最大，

所以正三棱锥尸-ABC的侧棱长为2,底面边长为2夜，

由此可知，该正三棱锥P-ABC的侧面为等腰直角三角形，即侧棱PAP8,PC两两垂直，则

该正三棱锥P-AfiC的外接球为棱长为2的正方体的外接球，

所以该正三棱锥P-ABC的外接球的直径为正方体的体对角线，

即(2R)2=22+22+22,解得R=6，

所以外接球的表面积为S=4TTR2=I27t.

故选：C.

8.D

【分析】根据已知条件构造函数〃x)=ln(l+x)-tanx,x>0,g(x)=-ln(l-x)-x,O<x<l,

再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.

【详解】由a-人=ln(l+4)-tan^j,令/(x)=ln(l+x)—tanx,x>。,

所以=------二，

l+xcosX

因为cosxw|-l,l],---€(-00,-11,

cosX

因为x>0,所以l+x>l,0<±<1,故/'(力<0,

所以/(x)在(0,+8)上单调递减,

又/(O)=ln(l+O)—tan()=O,所以/(《)<〃0)=0，

所以ln(l+」]-tan」<0,即lnU<tan-^-,所以a<b.

令g(x)=-ln(l—x)-x,0<%<1,

所以g'(x)=——-1=/一>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,

1—X1-X

所以g(\]>g(0)=TnI-0=0,

答案第4页，共16页

所以即所以a>c,

综上，c<a<b.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：构造/(%)=ln(l+x)—tanx,x>0,^(x)=-ln(l-x)-x,O<x<l,然

后利用导函数研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可.

9.AC

【分析】根据复数运算、共轲复数、复数相等等知识确定正确答案.

【详解】A选项，区|=77百=卜|，A选项正确.

B选项，Zj=a+2i^z2,B选项错误.

C选项，2(Z]+z?)=2Q+4+(2^Z—4)i,

zl-z2=4Q+(/_4)i,

z、(2a+4=4。

若2(4+Z2)=Z/Z2,则2〃_4=/_“解得。=2,所以C选项正确.

D选项，当a=0时，z?=2x-i,所以D选项错误.

故选：AC

10.BD

【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案.

【详解】A选项，若则6,c可能异面，A选项错误.

B选项，若aHb,aMc,则R/c,B选项正确.

C选项，若戊_1夕,。，7,则a,夕可能相交，C选项正确.

D选项，若a〃2,a〃7,则尸〃y,D选项正确.

故选：BD

11.AC

【分析】结合全概率公式和递推数列等知识求得正确答案.

【详解】Pi表示第1次传球后球在甲手中的概率，所以Pi=。，A选项正确.

P?表示第2次传球后球在甲手中的概率，则%=g，B选项错误.

答案第5页，共16页

x0+1-xAAI

/4+i=A(A)2,即P+2P+=1，C选项正确.

iiiiiiifn

A+I=_2A+2,p^'~r~2Pk+2~r-wk~3y

所以数列｛0-1｝是首项为一,公比为-;的等比数列，

所以“一；=_gx(T，P*=9；x1_g)，

p.wTHrwT击<；，D选项错误.

故选：AC

12.ACD

【分析】AB选项，由圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；C选项，

求出点尸和点。到直线的距离，求出弦长|A3],把面积表示出来，再判断最小值；D选项,

通过分类讨论，得到曲线形状，再求。的轨迹，根据图形计算面积.

【详解】圆。：/+丁=4,圆心坐标为。(0,0),半径厂=2,

对于A选项，若P在圆。上，有%2+),；=4,

44

圆心0(0,0)到直线/的距离d=&+y2=3=2=J则直线/与圆。相切，A选项正确;

对于B选项，若P在圆。内，有年+%2<4,

44

圆心0(0,0)到直线I的距离d=J**y<2>5=2=r,则直线/与圆。相离，B选项错误;

对于C选项，若/过点(1,0),则有％=4,此时/：4x+为y=4,尸(4,%),

416+y2-4

圆心0(0,0)到直线/的距离4=J16+y2，点P(4,%)到直线/的距离&=飞6；而.，，弦

长网=2

四边形QLPB面积S=g（4+4）|AB|=gx*2卜一

当为=。时，S有最小值4百，C选项正确;

答案第6页，共16页

对于D选项，曲线,-)'|+卜+日=2等价于

x-y>0x-y<0

■、八时，有x=l,此时_]WyKl；、八时，有y=i,此时—iwxvi；

x+y>0x+y>0

x-y<0-[x—y20

,八时，有户一1,此时T<"1；i‘一八时，有>=一1，止匕时一IWxvl；

x+y<0[x+y<0

曲线k-y|+|x+y|=2表示的图形为一个正方形，如图所示,

%>=4过定点7(4,0),由-IV%41,直线/倾斜角

—兀</a</—3兀,

44

。在/上的射影为点。,则。。与直线/垂直，此时点。轨迹是以07为直径的右半圆，如图

其余类型同理可得，所以点。轨迹如图所示,

所以Q的轨迹所围成区域的面积为16+8兀，D选项正确;

答案第7页，共16页

故选：ACD

13.2--J3

【分析】根据等比中项的知识求得“，进而求得0

【详解】由于2a+3,a,2“-3是正项等比数列中的连续三项，

所以且片=(2a+3)(2a-3),解得〃=百(负根舍去)，

所以4=^3=G=Q+6)Q_6)=2_J3.

故答案为：2-g

14.-4

【分析】由向量的线性运算得AM=BA，BN=；(BA+BM),然后计算数量积可得.

【详解】由已知AM=8M_R4，BN=g(BA+BM),

11.2211211

AMBN=(BM-BA)-(BA+BM)=-{BM-BA)=-(-BC-W9=-x(-x292-392)=-4.

故答案为：-4.

M2175

ID.----

100

［分析］设上底面半径为弓，面积为、，下底面半径为弓，面积为邑,0|。2=h，台体的体积为匕，

2211

球。的半径为R，球的体积为匕，则OOt=-OtO2=-h,OQ=§0.=§力，根据已知条件列出

方程组，找到，i,弓，〃和R的关系，再利用体积公式求解即可.

【详解】设上底面半径为彳，面积为，，下底面半径为0，面积为s2,o,。2=以台体的体积为匕，

球。的半径为R,球的体积为匕，

2211

贝Uoq=-olo2=-h,oo2=-op2=-h,

根据题意可得：

£=工

＜与4,

22

R=OOt+片=OO-：+弓2

答案第8页，共16页

_1

即4

R2=-/i2+r2=-/224-n2

19।92

解得：4=*G=g,

则/?=当，

3

所以匕=I跖2+兀片+(7U：•兀片)/?=^^",

20行兀如

81

则尹喘

故答案为：嚅

16.(0,e]

【分析】当a>e时，/(l)>g(l),不合题意；若0<a4e,当x>0时，可证得/(x)VO,

g(x)>0,满足题意.

【详解】/(x)=^-pg(x)=x-ln(or),当x>0时，由or>0,有a>0.

/(1)=--1,0<aWe时，/(1)<0;”>e时，/(1)>0.

g(l)=l-lna,0<a4e时，g(l)20；a>e时，g(l)<0.

则当a>e时,不满足〃x)4g(x).

若0<a4e,=

exex

设〃(x)=J-x(x>0),/2z(x)=^--l=Ce,

〃(x)<0解得Ovxvl,"(x)>0解得x>l,〃(x)在(0,1)上单调递减，在。,y)上单调递

增，

则"(X)min=〃。)，,当X>0时，/?(X)=--X>ft(l)=O,^—>X>Of可得三

eeex

所以若0<a4e,当x>0时，/(力==一44三一440

exex

若0<〃We,^(x)=x-ln(a¥)>x-ln(ex)

答案第9页，共16页

设*(x)=x_ln(er),(p'{x)=\--=~~~-,

d(x)<0解得0<x<l,d(x)>0解得x>l,S(x)在(0,1)上单调递减，在(1,—)上单调递

增，

/(%)=9⑴，=X-In(ex)*/⑴=0

所以若0<aVe,^(x)=x-ln(ax)>x-ln(er)>0.

综上可得：若0<aVe,当x>0时，/(x)«04g(x)恒成立.

则。的取值范围是(0,e].

故答案为：(0,e]

【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数

的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零

点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中

要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是--种常用技巧.许多问

题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

17.(1)1

⑵包.

4

【分析】(1)由cosA=-f,利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到sinAcosB=12cosAsinB,

b

TT

再根据“彳，得到鹏然后利用两角和的正切公式求解.

tanA+tanB_tanB

(2)结合lark4=-2tan8,,利用基本不等式求解.

tanAtanB-12tan2B+l

【详解】(1)解：由cos4=-：.及正弦定理得cosA=—吗

bsmB

即cosAsinB=-sinC,由sinC=sin(4+8)=sinAcosB+cosAsinB,

代入整理得sinAcos8=—2cosAsin8,

又B=—则taixA=-2tanB=—2,

4f

答案第10页，共16页

tanA+tan8_1

所以tanC=—tan(A+B)

tanAtanB-13

(2)由cosA=-f知，A为钝角，8为锐角,即tanB>0.

b

由⑴知tanA=-2tan5,

1

tanA+tanB_tanB

所以tanC=-tan(A+8)

tanAtanB-12tan25+12tanB+----

tanB

tanB_

_2>/2tan2Bi4

当且仅当2tan2B=1,即tanB=——时，等号成立.

2

所以tanC的最大值为也.

4

18.⑴a,=4”-2,〃=2x3"T

(2)242

【分析】(1)结合等差、等比数列的知识求得｛〃“｝,｛"｝的通项公式.

(2)根据已知条件列不等式，结合等比数列的前〃项和公式求得正确答案.

【详解】(1)设等差数列｛q｝的公差为d,等比数列也｝的公比为夕,4/1,

%=瓦=2

依题意2+d=2q,解得q=3,d=4.

2+4d=2q2

所以勺=4〃-2也=2X3T

(2)设%=为，即2x3'"T=44-2,即3'"7=2左一1,

因为14yo0,所以142左-14199,BPl<3m-1<199,

由于3'<199<3'，所以04机一1«4,解得14m45,weN".

所以M中所有元素之和为［Ml—>)=242.

1-3

19.(1)证明见解析

⑵半

答案第11页，共16页

【分析】（1）取A。的中点。，连接。8、0P,证明出A0,平面P08,可得出POLA。，

利用勾股定理逆定理可证得P。，08,利用线面垂直的判定定理可证得结论成立：

（2）以点。为坐标原点，04、OB、0P所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

利用空间向量法可求得平面乃$与平面PBC夹角的余弦值.

【详解】（1）证明：取AD的中点。，连接。8、0P.

因为四边形ABCD为菱形，则=ZBAD=60,则△至£>为等边三角形，

。为49的中点，则

ADLPB,PBOB=B,PB、08u平面PO8,，A。J_平面POB,

POu平面PQ8,:.POLAD,

设d=2,则AB=4）=2,..OB=ABsin60=6

又因为PB=与PA=娓,PO=yJp/c-AO2=>/3>

PO2+OB2=PB2,则PO1OB,

OBAD=O,OB、

POu平面PAD,所以，平面PA£>_L平面ABC£）.

（2）解：因为尸0工平面ABC。，OBLAD,

以点。为坐标原点，。4、。8、0P所在直线分别为X、）'、z轴建立如下图所示的空间直

则A（1,O,O）、B（0,6,0）、C（-2,后0）、尸（0,0,6）,

设平面RW的法向量为，"=（x”“zj,AB=（-1,^,0）,AP=（-l,O,g）,

thAB=-x,+V3y.=0r-u

则广，取王二百，可得加

m-AP=一X]+V3Z|=0

设平面PBC的法向量为"=（X2，%，Z2），CB=（2,0,0）,8P=（O,-6,6）,

答案第12页，共16页

n-CB=2X=0

2取为=1,可得与=（0[1），

n-BP=-6丫2+^z2=0

mn2A/10

所以,8ss…丽=FT可，

因此，平面B4B与平面PBC夹角的余弦值为叵.

5

20.（1）8

⑵；

（3）答案见解析

【分析】（1）利用二项分布的期望公式即可求解；

（2）利用组合数及古典概型的计算公式即可求解；

（3）根据已知条件及参考数据，得出随机变量的取值范围并求出相应的概率，然后进行比

较即可求解.

【详解】（1）将10位患者服用新药视为10重伯努利试验，在每次实验中，每位患者治愈的

概率为0.8,且每位患者是否治愈相互独立，

则X5（10,0.8）,故E（X）=10x0.8=8.

（2）设4="任选5位志愿者全部治愈”，则P（A）=3=[.

Jo9

（3）设8=”经过试验该药被认定无效”，事件B发生等价于{XW4},则

4

<l0-t

p=p（B）=p（X<4）=^Cfox0.8x0.2=0.0001+0.0008+0.0055=0.0064.

k=0

所以。值小于0.05,可以认为试验方案合理.

21.（1）—+/=1

2

（2"=等；加的取值范围为卜仓0卜（0,&）.

【分析】（1）利用椭圆的离心率公式及点在椭圆上，结合椭圆中a，/7，c三者的关系即可求解；

（2）根据（1）的结论及已知条件，将直线与椭圆方程联立，消去》得到关于x的一元二次

方程，利用直线与椭圆相交的条件及韦达定理即可求解.

答案第13页，共16页

~----T=]

a22b2

【详解】(1)由题意得~=~~~，解得〃=0,〃=l,c=l,

a2

a2=b2+c2

丫2

所以椭圆E的标准方程为—+/=1.

2

(2)设4(%,%),以孙％)，则

y=kx-\-m

由"X2>得(1+2公卜2+4Z7nr+2〃z2-2二°，

,T+>-1

因为直线/与椭圆E相交，

所以△=16代加2—4（1+2公）（2加-2）=8（1+2/一加2）>0,

4km2

所以玉+电=-2m-2

1+2氏21+2-

00

kx.4-/H------kx、+m一一

所以k+k_）r।2।-2

KK

PA~PB一[十]一—

x,-1x2-1X1-1X21

2（2k2+2km+