2023-2024学年广东省梅州市高二年级上册期末数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年广东省梅州市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.已知直线经过点/。,0）与点8（0,1）,则直线的倾斜角为（）

A.45"B.60"C.120/D.135"

【正确答案】D

【分析】根据已知可得斜率无=-1,然后根据斜率与倾斜角的关系即可求出答案.

【详解】设直线的斜率为左,倾斜角为a.

根据斜率的定义可得％=吴=-1，

由％=tana可得，tana=-1,

又0"4a<180。所以a=135".

故选：D.

2.已知向量。=（2,2,1）,6=（x,2,x-l）,若fj_b，贝”=（）

A.1B.-1C.0D.y

【正确答案】B

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可得出答案.

【详解】由己知可得，a-b=0，所以2x+2x2+lx（x-l）=0,解得x=-l.

故选：B.

3.67是等差数列3,11,19,27,…的第（）项

A.6B.7C.8D.9

【正确答案】D

【分析】由已知得出通项公式为=8〃-5,然后解。“=67,即可得出答案.

【详解】由已知可得，数列｛%｝的首项为卬=3,公差［=11-3=8.

所以，通项公式q,=3+8（〃-l）=8〃-5.

由a“=67可得，8/7-5=67,解得”=9.

故选：D.

72

4.已知双曲线仅>01>0）的两个焦点分别为斗、鸟，点P为双曲线上一点,

ab

\PF{\-\PF2\=69离心率为3,则双曲线C的方程为（）

2

AY『1Bfy

A•-------------=1=1

972729

22

cx/

C.-------------=1D.二上1

9889

【正确答案】A

【分析】根据双曲线的定义以及离心率，即可求出a,b,c的值.

【详解】根据双曲线的定义可知，2〃=6,所以“=3.

又双曲线的离心率为3,所以e=£=3,所以c=9,b2=c2-a2=12.

a

所以，双曲线的方程为X-乙=1.

972

故选：A.

5.某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形,

在轴面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点尸处，已知卫星接收

天线的口径（直径）为4.8m,深度为0.8m,则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点

到顶点的距离为（）

C.1.6mD.1.8m

【正确答案】D

【分析】建立适当直角坐标系，设出抛物线方程，代入点的坐标，即可求出答案.

如图，设口径的轴截面为Z08.

以点。为坐标原点，以的垂直平分线为x轴，过点。作Z5的平行线为V轴，建立平面

直角坐标系.

则由己知可设抛物线的方程为/=2Px(p>0),A点坐标为(0.8,24),

将A点坐标代入抛物线方程可得2.42=2x0.8p,解得夕=3.6.

所以抛物线的焦点到顶点的距离为4=1.8.

故选：D.

6.已知点41,2,3)关于。孙平面的对称点为8,而点B关于x轴的对称点为C,则阙'=()

A.2而B.2713C.2后D.8

【正确答案】B

.lUiir,

【分析】由对称性分别求出8、C,则有8C，即可求得口。

【详解】由题意8=(1,2,-3),则C=(l,-2,3),

故打:(0,-4,6),|SC|'=716+36=2713.

故选：B

7.《孙子算经》是我国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知

数，，问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即：一个整

数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个正整数为。，当ae[l,200]时，符合条件的

所有。的个数为()

A.12B.13C.24D.25

【正确答案】B

【分析】设。=3阳+2=5〃+3,m,〃£?4,推导出3加=5〃+1,检,检验得到只有当

加=5左+2(左EN)时，〃=3左+1,满足〃wN,求出Q=15E+8,满足要求的。为公差为15

的等差数列，列出不等式组，求出％的个数，即满足条件的所有。的个数

【详解】设。=3加+2=5〃+3,〃7,〃wN,则3m=5〃+£N,

当m=5k(keN*)时，〃=3%-1,不满足"wN,

当机=5%+1(%wN)时，n=3k+不满足〃EN,

当m=5%+2(左EN)时，〃=3%+1,满足〃wN,

Q

当m=54+3(%EN)时，〃=34+《，不满足〃EN,

当机=54+4(%EN)时，〃=3七+”，不满足〃EN,

综上：。=3(54+2)+2=15%+8,即满足要求的。为公差为15的等差数列,

令15%+8G[1,200],解得：—=12p

因为％wN,故满足要求的k为0,1,2,,12,共13个,

故满足要求的〃的个数为13个.

故选：B

22

8.已知厂是椭圆。：.x+咚v=1(。>6>0)的一个焦点，若椭圆上存在关于原点对称的A,B

两点满足/力q=90。则椭圆C离心率的取值范围是()

A.例

C.4

【正确答案】C

【分析】设尸(c,0),/(%,%),8(-%,-%).由已知可得°2=焉+*.进而根据椭圆的方程消

2

去儿,得到,2=/+二X：.然后根据椭圆的范围，即可求出从进而求出答案.

a~

【详解】设甘(G。),/(%,%)(%*0)，

则尸/=(乙一。,凡)，FB=

由已知可得，FA-FB=。，即(/-。乂-—弓-野=0,

整理可得/=x；+y；.

因为£+畛=1，所以4=从-逐，

a"ba

所以/=瘾+武=片+从-竽=从+常，

22

又由题意可得X：=/-*_</,所以624c2</.

Xb2=a2-c2,所以24c2</,

2

所以\鸟<1,即3/<1,所以交入〈I.

2a222

故选：C.

二、多选题

9.已知双曲线C：片-或=1(加力>0)的渐近线方程为y=±gx,则该双曲线的方程可以是

mn2

()

A.x2--=1B.---y2=1

44

C.片-==1D.X_X=1

416164

【正确答案】BC

【分析】分别根据各项双曲线的方程，求出渐近线方程，即可得出答案.

【详解】对于A项,一匕=1的渐近线方程为y=±2x,故A项错误;

4

=1的渐近线方程为》=士；'，故B项正确；

对于B项,

2

匕=1的渐近线方程为卜=士;x,故C项正确；

对于C项,4-

16

2

匕x2

对于D项,-=1的渐近线方程为了=±2*,故D项错误.

164

故选：BC.

10.已知圆C|：/+V=4,圆C2：(x-l)2+3-b)2=9©eR),贝|]()

A.两圆可能外离B.两圆可能相交

C.两圆可能内切D.两圆可能内含

【正确答案】ABC

【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.

【详解】圆£：/+/=4的圆心为C"0,0),半径｛=2；圆C2：(x-l)2+(y-6)2=9的圆心

为C2(l,6),半径4=3,

则|CC|=3+严之1，/+々=5,4_彳=1,

当Jl+心>5即白>24时,|GG|"+2，两圆外离；

当1<Jl+/<5即0<2<24时,r2-rt<|C,C2|<z;+r2,两圆相交；

当Jl+/=1即〃=0时,|。。2|=々-小两圆内切；

当Jl+从=5即/=24时，|。。2|=八+4，两圆外切；

综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，可以外切，不能内含.

故选：ABC.

11.将数列｛%｝中的所有项排成如下数阵：

q

«2%4«5

a

。6%。9〃1O\2

已知从第二行开始每一行比上一行多三项，第一列数4，成等差数列，且％=4,

4=6.从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以方为公比的等比数列，第i行

中从左至右第/个数记为与J),第i行的所有项之和记为E，则()

A.%)=2iB.%句=我

C.0100=6(9,6)D.Ss<4i

【正确答案】AD

【分析】根据等差数列的定义即可求出首项、公差，得出通项公式，即可判断A项；由A

项结果，可求出名」)=14,然后根据等比数列的通项公式即可求出生⑹的值；求出各行的项

数，即可得出前8行的项数总和为92,即可判断C项；根据A项和C项得出的结论，可求

出等比数列的首项、公比以及项数，然后根据等比数列的前〃项和求出E，即可得出D项.

【详解】对于A项，设等差数列的公差为d.

由已知，a2-ax=ab-a2=d,BP4-a,-6-4=2,

所以q=2,d=2.所以b(w=%+2(i-l)=2Z,故A项正确；

对于B项，由A可知，%J)=2X7=14.所以％6)=%j)x(；j'=詈看，故B项错误;

对于C项，设c“表示第〃行项的个数.

则｛c“｝是以q=1为首项，公差4=3的等差数列，

所以%=q+(“-1)4=1+3(〃-1)=3〃-2,

则前〃行的项数总和为'~U=—-------1=~―.

222

所以，前8行的项数总和为"*=92.

2

所以，〃100=%,8)，故C项错误；

对于D项，由A知，%])=2,•.由C知，第i行的项数为q=3i—2.

则第i行的所有项构成了以々叫=2/为首项，公比为1的等比数列.

所以S=<4]，故D项正确.

'一,1

1--

2

故选：AD.

12.如图，棱长为2的正方体N8CD-44GA中，点尸是底面/8C0上的动点,

AP=XAB+pAD^<^<^<ld<\),下列结论正确的有()

A.当4=〃时，则三棱锥尸的体积为定值

B.当儿=；时，4P与平面N8C。所成角的正弦最小值为坐

C.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得4P_LC/

-"7E

D.若与R4的夹角等于7，则动点尸的轨迹是双曲线的一部分

【正确答案】AD

【分析】A.当/=〃时，点尸在线段/C上运动，点P到平面O&G的距离是一个定值，所

以三棱锥尸-。4G的体积为定值，所以该选项正确；B.当2时，设E,尸分别是

的中点，点尸在线段EF上运动，4P与平面/1BCD所成角的正弦最小值为余所以该选项错

误；C建立以点A为原点的空间的直角坐标系，假设存在点P,使得吊尸_L£P,解方程可

判断该选项错误；D.设尸(x,y,0)(04x42,04y42),由题得(y—2)2—f=/所以动点尸的轨

迹是双曲线的一部分，所以该选项正确.

【详解】解：A.当〃时，点P在线段NC上运动，因为4。〃4£，力£<=平面。4£,AC<t

平面。4G，所以NC〃平面。4G，所以点P到平面。4G等于NC到平面的距离,

而NC到平面04G的距离是一个定值，04G的面积是一个定值，所以三棱锥尸4G的

体积为定值，所以该选项正确;

B.当；1=；时，设瓦尸分别是的中点，点P在线段E尸上运动，N4P4就是4P与平

2

面Z8CD所成角，sinN4Pz最小，则tanN4Pz最小，4尸最大，此时点尸在尸处，此

2

.sin/.A,PA=---

r时i।4尸

4,P.

C.如图所示，建立以点A为原点的空间的直角坐标系，设G,“分别是Z。,8c的中点，则

点P在线段G"上运动，4(0,0,2),尸(工1,0),(04x<2),G(2,2,2,；,所以

4方:。,1,-2),。，:。-2,-1,-2),所以4方=，1x(x-2)-l+4=0,;.x=3或x=-l,因为

04x42,所以方程无解，所以不存在点P,使得其尸，所以该选项错误;

D.如上图,设尸(x,%0)(04x<2,Q<y<2),4(0,2,2)，4(0,0,2),所以

"、一—2(y—2)—2y+4

RP=(x,y-2,-2),"4=(0,-2,0),由题得—=、/,；、、-=、/,；…，

22-y]x2+(y-2)2+42x2+(y-2)2+4

所以(y-2)2-x2=4,

所以动点P的轨迹是双曲线的一部分，所以该选项正确.

故选：AD

三、填空题

13.已知直线人的方程为公+3尸4a=0,直线4的方程为2x-y+l=0,若//右，则

【正确答案】-6

【分析】解方程ax(-l)-3x2=0即得解.

【详解】因为所以ax(-l)_3x2=0,;.a=-6.

经检验，。=-6满足题意.

故-6

14.已知椭圆片+己=1的左、右焦点分别为点耳、F2,若椭圆上顶点为点5,且F、BF2为

16m

等腰直角三角形，则机=.

【正确答案】8

【分析】根据月为等腰直角三角形得到/=2万,代入计算得到答案.

【详解】椭圆《+或=1,故/=16,从=N，片86为等腰直角三角形，故6=。，

16m

故/=2/,即16=2m，加=8.

故8

15.如图，两个正方形/BCD,COE"的边长都是3,且二面角4-CQ-E为60”，〃为对

角线/C靠近点A的三等分点，N为对角线。尸的中点，则线段MN=.

【正确答案】巫

2

uuur2ULUr1uuiriuuur

【分析】由已知可得N4DE=60”.进而表示出MN=-；D4+：OC+；DE,即可根据数量积

362

uuir7

的运算性质求出MN2=-,进而即可求出答案.

【详解】由已知可得，DELDC,DALDC,所以/4DE即为二面角力-CD-£1的平面角，

即4QE=60£

uuuuuuuumUUIT1UUIT1zUUlTUUUT.

因为DF=DC+DE，N为对角线。咒的中点，所以DN=QDF=3(DC+DE).

uuuriuuri/Uuiruurx

因为M为对角线ZC靠近点A的三等分点，所以=

uuurumruuuriuuir7uur

所以。河=ZX4+4W=-DC+-DA.

33

uur

.........1zuuiruuur、uuir?uurA91uuir1uuur

所以MN=DN-DM=—\DC+DEI--DC+—DA=--DA+—DC+—DE,

2'75)3o2

所以

uujr

uuir2(7[uuir1uuir、2

MN=——DA+-DC+-DE

I362)

Auur,1uuir1uuur,7uur2uurUUT1uuiruuir

=-DA+—DC2+-DE一一DADC一一DADE+—DCDE

9364936

411217

=-x9+—x9+-x9-0一一x9x-+0=-.

9364322

所以附M考，

所以线段=巫.

2

故答案为.如

2

AR

16.已知Z8C中，BC=3,且[7=2,则tan/ZBC的最大值为

AC

【正确答案】正

3

【分析】利用基本不等式结合余弦定理可求得cos44C的取值范围，可得出/48C的取值

范围，进而可求得tan乙48。的最大值.

【详解】由余弦定理可得

4炉+8。2—4。23402+9

cosNABC=

2ABBC12AC2

当且仅当4C==等号成立,

AC

因为0<//8。<兀，则O<45C43，故0<tan//8C4且

63

即tan/ZBC的最大值为比

3

故答案为《

四、解答题

17.已知数列｛*-2〃｝是等比数列，且q=3,a2=l.

（1）求｛凡｝的通项公式；

（2）求数列｛4｝的前〃项和S”.

【正确答案］⑴a-2〃；

“、。3"21

⑵S,,=—+n-+n--,

【分析】（1）设4=%-2〃，根据已知可求出b.=3"T,即可得出答案；

（2）分组求解，分别根据等差数列以及等比数列的前”项和即可得出答案.

【详解】（1）设，=。“-2〃，则也｝为等比数列.

则由已知可得，々=q-2xl=l,4=々-2x2=3,所以2=3,

a

所以｛2｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以"=1X3"T=3"T.

所以%-2H=3"-',所以a,,=2"+3"T.

(2)

2

S„=at+a2+=2+3°+2x2+3'++2〃+3”T=2x0+2++n)+(1+3+3++3"。

c/(〃+l)Jx(l-3")

3-2]_

一NX十=—+n~+〃

21-322

18.己知圆C的圆心。（。力）在直线〃?：y=x上，且圆C经过原点和点尸（2,0）

（1）求圆。的标准方程；

（2）若圆C被斜率为1的直线/截得的弦长为2,求直线/的方程.

【正确答案】（1）（工一1）2+（歹一1）2=2；

（2）y=x+五或,二x—41.

【分析】⑴由已知可推得圆心C在。P的中垂线“1上，联立\［y=x即可求出圆心坐标,

求出半径，即可得出答案;

(2)设直线/的方程为y=x+t,根据已知列出方程，求出，即可.

【详解】(1)因为圆C经过原点。和点尸(2,0),所以圆心C在OP的中垂线x=l上,

又因为圆心C(a,b)在直线m：V=x上,

\y=xa=1

联立方程：E,解得:

b=\

则半径"7(1-0)2+(1-0)2=72.

所以圆C的方程为(x-1)2+。-1)2=2.

(2)依题意可设直线/的方程为y=x+t.

由垂径定理和勾股定理可知，圆心(1,1)到直线I的距离d=7(V2)2-1=1，

而圆心(1,1)到直线/的距离1=上*,

即有：止售=1,

V2

解得：/=±5/2,

所以直线/的方程为y=x+应或y=x-0.

19.已知动点M与点尸(2,0)的距离与其到直线x=-2的距离相等.

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)求点M与点4(6,0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.

【正确答案】⑴_/=8x；

(2)4夜，〃(2,4)或也(2,-4)

【分析】(1)利用抛物线的定义得解；

(2)设〃求出|M=J*®2_i6『+32即得解.

【详解】(1)解：由题意知动点M到尸(2,0)的距离与它到直线x=-2的距离相等,

所以动点W的轨迹为以尸(2,0)为焦点、以直线*=-2为准线的抛物线，

因此动点初的轨迹方程为V=8x.

(2)解：设A/—,m

O

由两点间的距离公式得：卜，£-6)+m2=^-y+36=^(/n2-16)2+32,

当加2=16,即胴=±4时，|朋川mm=4a,

即当“(2,4)或M(2,-4)时，点”与点A的距离最小，最小值为40.

20.如图，直角梯形N5C。中，CD=2AB=2BC,AB1BC,AB//CD,点£为CD的中

点，V/DE沿着NE翻折至V/PE,点A/为PC的中点，点N在线段8c上.

(1)证明：EM工平面PBC；

BN

(2)若平面平面/8CE,平面与平面尸48的夹角为30”，求初;的值•

BC

【正确答案】(1)证明见解析：

叫.

【分析】(1)根据已知可证得4E_L平面PEC,进而得出/E_LEM.然后证明区“_LPC,根

据线面垂直的判定定理即可得出;

(2)以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系.设£4=2,CN=a.写出各点的坐标，求出

平面后初呼与平面PN8的法向量勺,〃2，根据cos30"=即可求出。的值,

进而得出答案.

【详解】(1)由题意可得，PELAE,CELAE.

因为尸£CE=E,PEu平面PEC,CEu平面PEC,

所以AE_L平面PEC.

因为EA/u平面PEC,所以/E_LEM.

因为8c〃/E,所以EMJ.BC.

因为PE=EC,M为PC的中点,

所以EM，PC.

因为PCc8C=C,PCu平面P8C,8Cu平面P8C,

所以EM1平面PBC.

(2)因为平面尸NE_L平面/8CE,平面P/E平面/8C£=/£,

PELAE,PEu平面P4E,

所以尸E_L平面/8CE.

以点E为坐标原点，以E4,EC,EP分别为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系，不

妨设E/=2,设CW=a,

则P(0,0,2),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),TV(a,2,0).

设"i=(x,y,z)是平面P/8的一个法向量，=(0,2,0),4P=(-2,0,2),

••，、V、

则敷&=2y=0,

APn]=-2x+2z=0

令z=l,得平面尸48的一个法向量7=(1,0,1).

设〃2=(々,%*2)是平面£'加¥的一个法向量，=(0,1,1),EN=(«,2,0),

则隘&、=%+%=0,

157V•n2=ax2+2%=0

取马=2,可求得平面EUN的一个法向量为〃;1(2,-a,a).

由题意可得cos30"=后*「卜1z=夕=络，解得。=1.

|A?I|,|^21V^xj4+a~+a~a+22

所以空的值为;.

zA

21.市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式：

①等额本金：在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所

产生的利息，因此，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月

还款额的差均相同；②等额本息：银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金：利

息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但

月供总额保持不变.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2021年7月8日

贷款到账，则2021年8月8日首次还款).已知该笔贷款年限为25年，月利率为0.4%.

(1)若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还5500元，最后一个还款月应还

2510元，试计算该笔贷款的总利息.

(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一

半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他

因素).参考数据.LOOT。％3.31

(3)对比两种还款方式，你会建议小张选择哪种还款方式，并说明你的理由.

【正确答案】(1)元；

(2)小张该笔贷款能够获批；

(3)建议小张选择等额本息的还款方式，理由见解析.

【分析】(1)等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为｛%｝，用5“表示数

列｛%｝的前〃项和，求出S300即得解；

(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，求

出x即得解；

(3)从节省利息的角度来考虑，从前几年付款压力大小的角度来考虑，即得解.

【详解】(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成等差数列，记为｛““｝，

用s”表示数列｛4｝的前〃项和，则q=5500,%oo=251O,

3OOx(55OO+251O)=i2oi5oo;

贝焰00=

2

故小张的该笔贷款的总利息为1201500-750000=451500(元).

(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列,

则x+x(1+0.004)+x(l+0.004)2++x(l+0.004)299=750000x(l+0.004)3°°,

所以x-一-----=750000X1.OO4300,

11-1.004)

75OOOOxl.OO4Mox0.004750000x3.31x0.004

即anx=----------而--------a-------------------«4298，

1.OO4300-13.31-1

因为4298<10000x1=5000,

2

所以小张该笔贷款能够获批.

(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为4298x300-750000=539400(元),

因为539400>451500,

所以从节省利息的角度来考虑，建议小张选择等额本金的还款方式.

也可以回答：

因为以等额本息方案，每月还款只需要均还4298元，

而以等额本金在前面的10年内还款金额都比这个金额高，

,5500-2510,八5500-4300

d=----------=10,-----------=120

29910

对于小张可能会造成更大的还款压力，

因此从前几年付款压力大小的角度来考虑，建议小张选择等额本息的还款方式.

22.已知点P是圆0:》2+/=4上的动点，过点P作x轴的垂线段尸。，O为垂足，点用满

足潟茄，当点P运动时，设点M的轨迹为曲线E.

2

⑴求曲线E的方程；

(2)证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线E恒有两个交点A、B,

且O4_L0B(O为坐标