福建省漳州市部分学校2024届高三下学期普通高考模拟测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省漳州市部分学校2024届高三下学期普通高考模拟测试数学试题一、选择题1.已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，则，两式相减可得：，即，令，可得，且，所以.故选：A.2.在平面直角坐标系中，，，射线逆时针旋转最小角，使得与重合，则（）A.3 B.2 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗设角终边上的点分别为，，，则，射线逆时针旋转最小角，使得与重合，所以，所以.故选：A.3.的展开式中的系数为（）A.48 B.30 C.60 D.120〖答案〗C〖解析〗因为的展开式的通项公式为，令，解得，可得的系数为.故选：C4.已知抛物线：的焦点为，A，是抛物线上关于其对称轴对称的两点，若，为坐标原点，则点A的横坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可知：，设，则，可得，因为，则，解得，即点A的横坐标为.故选：C.5.如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（）A.4 B.2 C.8 D.6〖答案〗A〖解析〗设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，则石磨的侧面积为，解得.故选：A.6.若曲线在点处的切线方程为，则（）A.3 B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗因为，则，由题意可得：，解得，所以.故选：C.7.已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，则，由题意可得，解得，即实数的最大值为.故选：C.8.已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为为奇函数，则，即，两边求导得，则，可知关于直线对称，又因为为奇函数，则，即，可知关于点对称，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8为的周期，可知，所以.故选：D.二、选择题9.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由题意可得：，则，解得，可得，故BCD正确，A错误.故选：BCD.10.某学校举行消防安全意识培训，并在培训前后对培训人员进行消防安全意识问卷测试，所得分数（满分：100分）的频率分布直方图如图所示，则（）A.培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数B.培训前得分的中位数大于培训后得分的中位数C.培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数D.培训前得分的平均数大于培训后得分的平均数〖答案〗AC〖解析〗由频率分布直方图可知：两个频率直方图均为单峰。且培训前直方图在右侧拖尾，培训后直方图在左侧拖尾，可知培训前的中位数小于75，培训后的中位数大于75，所以培训前得分的中位数小于培训后得分的中位数，故A正确，B错误；设培训前每组的频率依次为，则培训后每组的频率依次为，则培训前平均数估计为，培训后平均数估计为，则，可得，即培训前得分的平均数小于培训后得分的平均数，故C正确，D错误；故选：AC.11.已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，直线：与双曲线的右支相交于A，两点（点A在第一象限），若，则（）A.双曲线的离心率为 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由题意可知：，因为直线：，可知直线过右焦点，斜率，设直线的倾斜角为，则，可得，设，由，可得，，，故B正确；在中，可知，由余弦定理可得：，即，解得或（舍去），可得双曲线的离心率为，，故A正确，D错误；在中，可知，由余弦定理，即，解得，故C错误；故选：AB.三、填空题12.若集合，，则______．〖答案〗〖解析〗由题意可得：.故〖答案〗为：.13.在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为______．〖答案〗〖解析〗由直三棱柱可知，平面，又，所以两两垂直，设直三棱柱外接球的半径为R，通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同；过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小，因为，则所求截面面积最小值为.故〖答案〗为：.14.过点作圆：的两条切线，切点分别为A，，若直线与圆：相切，则______．〖答案〗81〖解析〗圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径；由题意可知：，可知点在以为直径的圆上，以为直径的圆为，整理得，结合圆：，两圆方程作差，可得直线的方程为，即，若直线与圆：相切，则，整理得.故〖答案〗为：81.四、解答题15.已知函数，且．（1）证明：曲线在点处的切线方程过坐标原点．（2）讨论函数的单调性．（1）证明：因为，所以，则，，所以在处的切线方程为:，当时，，故，所以曲线在点处切线的方程过坐标原点.（2）解：由（1）得，当时，，则，故单调递减；当时，令则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.16.如图，为圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，，是底面圆弧的三等分点，，分别为，的中点．（1）证明：点在平面内．（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：连接，如图，因为，是底面圆弧的三等分点，，，均为等边三角形，，则四边形为菱形，，因为，分别为，的中点，，，故点在平面内.（2）解：作，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，因为，则，故，设平面的法向量，则，令，得，所以，易知平面的一个法向量为设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为17.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送每个信号数字之间相互独立．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．（1）记发送信号变量为，接收信号变量为,且满足，，，求；（2）当发送信号0时，接收为0概率为，定义随机变量的“有效值”为（其中是的所有可能的取值，），发送信号“000”的接收信号为“”，记为，，三个数字之和，求的“有效值”．（，）解：（1）由题意可知：，，所以.（2）由题意可知：当发送信号0时，接收为0的概率为，接收为1的概率为，可知：的可能取值有0，1，2，3，则，，可得的“有效值”，即的“有效值”约为0.45.18.已知正项数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前项和，证明：．（1）解：因为，则，且，令，则，可得；又因为，则，整理得，可知数列是以首项为4，公差为4的等差数列，则，且，可得，当时，；当时，；可知符合上式，所以.（2）证明：由（1）可得：，当时，，可得；且，综上所述：.19.已知过点的直线与圆：相交于，两点，的中点为，过的中点且平行于的直线交于点，记点的轨迹为．（1）求轨迹的方程．（2）若为轨迹上的两个动点且均不在轴上，点满足（，），其中为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点在轨迹上；②直线与的斜率之积为；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．解：（1）由题意可知：圆：的圆心为，半径，由题意可知：不为x轴，即不在x轴上，因为为的中点，则，又因为∥，则，即为线段的中垂线，则，可得，可知：点的轨迹是以为焦点的椭圆，