甘肃省定西市临洮县2024届高三下学期开学假期学习质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省定西市临洮县2024届高三下学期开学假期学习质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，.故选：D.2.已知函数的图象在点处的切线方桯为.则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗函数，则，函数的图象在点处的切线方桯为，所以，解得，则.故选：C.3.已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为命题“，”为真命题，所以，命题“，”为真命题，所以，时，，因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号.所以，时，，即实数的取值范围是故选：C.4.在正项等比数列中，是的等差中项，则（）A.16 B.27 C.32 D.54〖答案〗D〖解析〗设数列的公比为，则，∴，解得，（舍去），∴.故选：D.5.已知，则取得最小值时的值为（）A.3 B.2 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗，则，当且仅当，即时等号成立.故选：A.6.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.7.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.或〖答案〗B〖解析〗因为双曲线的渐近线方程为，所以选B.8.已知以圆：的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为的圆心所以以为焦点的抛物线方程为，由，解得，抛物线的焦点为，准线方程为，如图，即有，当且仅当在之间）三点共线，可得最大值，故选：A.二、多项选择题9.若函数是奇函数，则（）A. B.是R上的减函数C.的值域是 D.的图象与函数的图象没有交点〖答案〗ACD〖解析〗A选项，的定义域为R，又为奇函数，故，即，即，解得，A正确；B选项，，任取，且，故，因为在R上单调递增，，故，所以，即，所以是R上的增函数，B错误；C选项，因为，所以，，所以的值域是，C正确；D选项，令，即，，无解，故的图象与函数的图象没有交点，D正确.故选：ACD.10.如图，在正方体中，，分别是的中点，则（）A.四点，，，共面B.∥C.与平面相交D.若，则正方体外接球的表面积为〖答案〗BCD〖解析〗对于选项，连接和，则∥，因为在正方体中，是的中点，所以也是的中点，所以因为是的中点，所以所以点，，在平面中，因为点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；对于选项，由选项A可知是的中点，因为是的中点，所以∥，又因为∥，所以∥，即选项正确；对于选项，因为∥，所以点，，都在平面，因为平面，平面，所以与平面相交，即与平面相交，所以选项正确；对于选项，因为为的中位线，且，所以正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为，则，即，则外接球的表面积为，即选项正确；故选：BCD.11.设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗由函数，作出函数的图象，如图所示，因为关于x的方程有四个不同的解，且，结合图象，可得，且，则，其中，所以，所以A不正确根据图象，要使得方程有四个不同的解，可得，所以B正确；因为，且，可得，所以，可得，又由，当且仅当时，等号成立，显然，所以，所以C正确；令，可得，结合图象，可得，所以D不正确.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12.若为虚数单位，复数满足，则___________.〖答案〗1〖解析〗因为，所以所以故〖答案〗为：1.13.已知向量，若，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，因为，所以，解得故〖答案〗为：.14.若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，,则__________.〖答案〗〖解析〗由是定义在上的奇函数，为偶函数，可得，，即，所以，可得，则的最小正周期为4，当时，，则．故〖答案〗为：．四、解答题15.已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和解：（1）在比数列中，设等比数列的公比为，由，得，∴，∵，，成等差数列，∴，从而有，得，∴；（2）由，且，得，∴，.16.2020年3月，因为新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能在网上在线学习，为了研究学生在线学习情况，市教研院数学学科随机从市区各高中学校抽取120名学生对线上教学情况进行调查（其中，男生与女生的人数之比为3：1），结果发现：男生中有40名对于线上教学满意，女生中有10名表示对于线上教学不满意.（1）请完成如表2×2列联表，并回答能否有95%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；态度性别满意不满意合计男生女生合计120（2）采用分层抽样的方法，从被调查的对线上教学满意的学生中，抽取6名学生，再从这6名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求所选取的2名学生性别不同的概率.附：参考公式及临界值表，其中P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由题意可知抽取120名学生中男生有人，女生有人，则列联表如下表态度性别满意不满意合计男生405090女生201030合计6060120则有95%把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”（2）由分层抽样的性质可知，抽取的6名学生中，男生4人，女生2人记4名男生分别为，2名女生分别为从这6名学生中抽取2名学生的所有情况为：，，，共15种，其中所选取的2名学生性别不同的共有8种，则所选取2名学生性别不同的概率.17.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中点.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.因为平面，所以；因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.因为平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：连接，由题意可得的面积.因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.由（1）可知平面，则三棱锥的体积因为是棱的中点，且，所以，则.由（1）可知平面,平面，则，从而的面积.设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.因为，所以，解得，即点到平面的距离为.18.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）．步骤1：设圆心为E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为4，按上述方法折纸．（1）以点F、E所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆C的标准方程；（2）若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点，使得直线TM，TN的斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，设为椭圆上一点，由题意可知，，所以点轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，因为，，所以，，则，所以椭圆的标准方程为；（2）由已知：直线过，设的方程为，由题意必定是存在的，联立两个方程得，消去得，得，设,，,，则，，，将代入上式，可得上式可得，要使为定值，则有，，又，，此时，存在点，使得直线与斜率之积为定值；综上，椭圆的标准方程为，存在点，使得直线与斜率之积为定值．19.已知函数．（1）若，求函数的极值和单调区间；（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．解：的定义域为，因为，（1）当时，，令，得，又的定义域为，，随的变化情况如下表:10单调递减极小值单调递增所以时，取得极小值为．的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）因