湖南省岳阳市岳阳楼区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市岳阳楼区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，因为，所以.故选：B.2.设，向量，，且，则（）A. B. C.10 D.〖答案〗D〖解析〗由向量，，因为，可得，解得，所以，所以故选：D.3.复数满足，则的模等于（）A. B.0 C.1 D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以.故选：C.4.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗∵，∴或，即或，∴，∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A.5.已知，则下列说法正确的是（）A.有最大值0 B.有最小值为0C.有最大值为－4 D.有最小值为－4〖答案〗B〖解析〗由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立，故，有最小值0.故选：B.6.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径，圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圆柱、圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，所以陀螺的表面积是.故选：B.7.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗16可以拆成共有15种情况，其中拆成的和式中加数全部为质数的有：共有4种情况，所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率为.故选：C.8.已知函数（），．若，在上有三个零点，则a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗①当时，因为，所以1为一个零点，又，因为，所以，所以，所以1为的一个零点；②当时，，，所以在上无零点；③当时，，在上无零点，所以在上的零点个数是在上的零点个数，因为，，函数在上有两个零点，即函数在上有两个零点，所以，，又，即时，在上有两个零点；综上，a的取值范围为.故选：A.二、多项选择题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为 B.是偶函数C.在上单调递增 D.当时，的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗由题意知，，对于A项，，故A项正确；对于B项，的定义域为，，所以为偶函数，故B项正确；对于C项，因为，，解得：，，所以单调递减区间为，，又因为，，所以在上单调递减，故C项错误；对于D项，由C项知，在上单调递减，，，所以的值域为，故D项正确.故选：ABD.10.已知实数满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗∵，∴即，故项正确，选项不正确；∵∴，故选项正确.故选：AC.11.将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（）A.事件甲与事件丙是互斥事件B.事件甲与事件丁相互独立事件C.事件乙包含于事件丙D.事件丙与事件丁是对立事件〖答案〗AB〖解析〗由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1有：，事件乙：第二次掷出的数字是2有：，事件丙：两点数之和为8的所有可能为：，事件丁：两点数之和为7的所有可能为：，其中，对于A中，事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，所以A正确；对于B中，由，所以，所以事件甲与事件丁是相互独立事件，所以B正确；对于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C错误；对于D中，根据对立事件的定义，可得事件丙与事件丁不对立，所以D错误.故选：AB.12.在棱长为1的正方体中，点为底面的中心，点是正方形内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（）A.B.点存在无数个位置满足平面C.直线与平面所成角的余弦值为D.三棱锥体积的最大值为〖答案〗ABD〖解析〗对于选项A，根据题意作图如下：在正方体中，易知，因为，所以平面，即，故A正确；对于选项B，根据题意作图如下：在正方体中，易知，因为平面，平面，所以平面，同理可得：平面，因为，所以平面平面，易知平面，当时，平面，故B正确；对于选项C，根据题意作图如下：在正方体中，易知，因为，所以平面，即，同理可得：，因为，所以平面，连接，易知，则为直线与平面所成角，在中，，因为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故C错误；对于选项D，根据题意作图如下：在正方体中，易知当点与点重合时，三棱锥体积取最大值，设点到平面的距离为，则，由选项B可知，则，可得，则三棱锥体积取最大值：，故D正确.故选：ABD.三、填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知，，则______．〖答案〗〖解析〗由，可得，所以.故〖答案〗为：.14.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位岳阳市居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的85%分位数是______．〖答案〗9〖解析〗，从小到大排列后，取第9个数作为这组数据的85%分位数，第9个数是9.故〖答案〗为：9.15.已知圆台上下底面半径分别为3，4，圆台的母线与底面所成的角为45°，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为______．〖答案〗〖解析〗由题意，作出圆台的轴截面如下图示，故，设球心为，球半径为，由于，则，可得，所以该球体积为．故〖答案〗为：.16.已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗因为，的角平分线交于点，且，因为，即，即，即，所以，，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题.（本题共6个小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在正方体中.（1）求证：面；（2）求异面直线和所成角的大小.解：（1）证明：因为为正方体，所以ABCD为正方形，所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面，所以平面．（2）因为，所以异面直线和所成角，即与所成的角或补角，又三角形为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为．18.已知平面向量．（1）若，且，求坐标；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．解：（1）由，所以，设，因为，所以，因为，所以，解得，或，所以的坐标为或.（2）由，所以，因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，，解得且，即实数的取值范围为.19.我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．（1）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？解：（1）第一组的频率为，第二组的频率为，第三章的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，所以中位数在第三组，不妨设为，则，解得，平均数为.（2）根据题意，“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，所以分层抽样得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，将三名优秀学生分别记为，两名良好的学生分别记为，则这5人中选2人的基本事件有：共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种，所以至少有一人是“优秀”的概率是.20.在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，且，求周长.解：（1），由正弦定理得，，，或，是锐角三角形，.（2）由余弦定理得，，，，所以的周长.21.在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响.（1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率；（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.解：（1）依题意记甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件，则，，所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为.（2）依题意甲队总得分为分的概率为，得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；乙队总得分为分的概率为，得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.22.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.（1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；（2）求二面角的平面角的正切值.解：（1）当F是AC的