华大新高考联盟2024届高三下学期3月教学质量测评数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1华大新高考联盟2024届高三下学期3月教学质量测评数学试卷一、选择题1.若，则z的虚部为（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗依题意，得，，则复数z的虚部为：，故选：C．2.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，由，得，又在上单调递增，所以，即，，则，图中阴影部分表示的集合是集合A中的补集，故阴影部分表示集合为，故选：D．3.对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，故曲线的对称轴在曲线的左侧，排除C、D；由，故曲线比曲线瘦高，曲线比曲线矮胖，排除A.故选：B．4.已知，，若，则λ＝（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，所以，所以，则，故，解得（正值舍去）.故选：A．5.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，得，则，，故.故选：D．6.已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为P，过点F的直线l′与C交于M，N两点，若，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗记直线l′的倾斜角为θ，不妨设，则，即，得，则，则，解得，故，故选：A．7.已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称；由于时，曲线方程为，即，故结合曲线对称性，作出曲线C如图：而表示曲线C上的点到直线的距离，可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，当时，曲线的方程为，即，此时d的最小值为，当时，曲线的方程为，即，此时d的最大值为，故的最小值与最大值之和为，所以的最小值与最大值之和为，故选：C．8.已知正方体的边长为4，其中点E为线段的中点，点F，G分别在线段，上运动，若恒成立，则实数λ的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意知正方体的边长为4，其中点E为线段的中点，，即四边形为平行四边形，作点E关于线段的对称点，则，E在平面内，连接，则，过点作，AB的垂线，垂足分别为，H，则共线，且，则，当三点共线时取等号，又平面，平面，故,而，则，同理，则，，设，则，故，，故实数λ取值范围为，故选：A．二、选择题9.已知正数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗对于选项A，，则，当且仅当时等号成立，故A正确；对于选项B，应用重要不等式得：（时取得等号），接选项A中，当时取得等号，（当时能取得等号），即的最小值为，与矛盾，故B错误；对于选项C，因为，则，其中，当取得等号，则，即的最小值为，且，故C错误；对于选项D，，且，得：，而，当且仅当时等号成立，即，故D正确；故选：AD．10.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）A.该正八面体结构的表面积为 B.该正八面体结构的体积为C.该正八面体结构外接球表面积为 D.该正八面体结构的内切球表面积为〖答案〗ACD〖解析〗对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故A正确；对B：连接，则，底面，故该正八面体结构的体积，故B错误；对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；对D：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确；故选：ACD．11.若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（）A. B. C. D.2〖答案〗AB〖解析〗依题意，在上恒成立，当时，，令，则，，故当时，，当时，，故，故，则不等式成立；当时，令，因为，，故在内必有零点，设为，则，则，故，不合题意，舍去；综上所述，.故选：AB.三、填空题12.若函数的图像关于原点对称，则m＝________．〖答案〗〖解析〗因为的图像关于原点对称，则为奇函数，且为奇函数，则为偶函数，即，，则，则．故〖答案〗为：13.已知平面凸四边形ABCD的对角线分别为AC,BD,其中,，则________；若，则四边形ABCD的面积的最大值为________．〖答案〗12〖解析〗，则有，，得，在中，由正、余弦定理可知，，整理得，故；因为，故；又，则，而，故，当且仅当时等号成立．得四边形ABCD的面积的最大值为12.故〖答案〗为：；12.14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，且，，若点Q也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________．〖答案〗〖解析〗依题意，而O为线段的中点，且，所以P是的中点，所以OP是中位线，所以，又，则，由，所以点P在双曲线C的右支上，由，令，则，又，所以点Q在双曲线C的左支上，由，又P是的中点，所以，所以，在中，由勾股定理可得，，即，整理可得，在，由勾股定理可得，，即，化简，又，所以，则．故〖答案〗为：四、解答题15.小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动．若参与A游戏，则每次胜利可以获得该商场150元的代金券；若参与B游戏，则每次胜利可以获得该商场200元的代金券；若参与C游戏，则每次胜利可以获得该商场300元的代金券．已知每参与一次游戏需要成本100元，且小甲每次游戏胜利与否相互独立．（1）若小甲参加4次A游戏，每次获胜的概率为，记其最终获得450元代金券的概率为，求函数的极大值点；（2）在（1）的条件下，记小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为，，．若小甲只玩一次游戏，试通过计算说明，玩哪种游戏小甲获利的期望最大．解：（1）依题意，小甲获胜3次且失利1次，则，故，令，解得，故当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值点；（2）由（1）可知，小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为，，，记代金券金额，若小甲参加A游戏，则；若小甲参加B游戏，则；若小甲参加C游戏，则；因为，故小甲选择C游戏获利的期望最大．16.已知三棱台如图所示，其中，．（1）若直线平面，且，求证：直线l⊥平面ABC；（2）若平面ABC与平面之间的距离为3，求平面与平面所成角的余弦值．（1）证明：依题意，，，，如图所示，延长三条侧棱交于点D；由可得，，且分别为线段DA，DB，DC的中点，取AB的中点M，则；由可得，则，又，；，则，故，即，而，且平面，故平面，又平面，故平面平面；而直线平面，，平面平面，故直线平面；（2）解：以C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过点C作垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系；则，则不妨设为平面的一个法向量；由求得平面的一个法向量，不妨设为平面的一个法向量；由求得平面的一个法向量，而，所以平面与平面所成角的余弦值为．17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点P，Q在椭圆C上，P，Q异于，．（1）若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求的值；（2）若P，Q，三点共线，且的内切圆面积为，求直线PQ的方程．解：（1）如下图所示：依题意可得，，，；设，则，即；直线，令，则；直线，令，则；故；（2）设点，依题意知直线PQ的方程为；与椭圆联立，消去x整理得；显然成立，故，，由椭圆定义得的周长为；而的内切圆半径为，则的面积；又由，得；从而得，即，整理得，解得，故，即直线PQ的方程为．18.已知函数．（1）若，求证：；（2）讨论关于x的方程在上的根的情况．（1）证明：当时，，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）解：依题意，，令，求导得，令，求导得，当时，，，则，当时，，，则，于是在上单调递减，①当时，时，，函数单调递增，而，因此仅有1个零点；②当时，，，存在唯一的零点，且，当时，，单调递增；当时，，单调递减；而，则在上有唯一的零点0，又，则当，即时，在上有唯一的零点，函数在上有2个零点；若，在上无零点，在上有1个零点；③当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则，当且仅当时取等号，因此仅有1个零点0；④当时，显然，则，且，又，则函数存在唯一的零点，．当时，，单调递增；当时，，单调递减，而，则在上有唯一的零点0，显然，则，且，又，因此在上有唯一的零点，此时有两个零点；所以当且时，有两个零点；当或时，有一个零点．19.定义:已知数列满足．（1）若，，求，的值；（2）若，，使得恒成立．探究：是否存在正整数p，使得，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；（3）若数列为正项数列，证明：不存在实数A，使得．（1）解：依题意，，显然；故；，即或，则或．（2）解：依题意，为数列的最大项，而，又