山东省济宁市兖州区2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省济宁市兖州区2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则的值为（）A.3 B.6 C.9 D.3或6〖答案〗D〖解析〗因为，所以或，解得或.经检验符合题意故选：D2.若X的概率分布列为：X01Pa0.5则等于（）A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.25〖答案〗C〖解析〗由，得，∴．故选：C．3.若函数，则（）A.0 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗，因为，，所以，故选：B．4.一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异.从中不放回地抽取个球，每次只取个.设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则，，则．故选：A．5.某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有3次试验未成功的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，重复进行10次该试验，恰好有3次试验未成功，说明7次成功，3次未成功，所以所求概率为．故选：B．6.随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（）（附：，.）A.0.97725 B.0.84135 C.0.15865 D.0.02275〖答案〗C〖解析〗由题意，，，所以，，所以．故选：C．7.展开式中的系数是（）A.126 B.125 C.96 D.83〖答案〗B〖解析〗由题意原式中的系数；故选：B.8.已知，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则；令，则，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，要使成立，则有，所以，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确有（）A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种B.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种C.抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种〖答案〗ABD〖解析〗根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，则合格品的取法有种，不合格品的取法有种，则恰好有1件是不合格品的取法有种取法；则正确，若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有种取法，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有种取法，则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种，正确；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有种取法，其中全部为合格品的取法有种，则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种取法，正确；若抽出的3件产品中至多有1件是不合格品，用间接法分析：在100件产品中任选3件，有种取法，其中有2件为不合格品的抽法有种，则至多有1件是不合格品的抽法有有种，错误；故选：．10.下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，，，所以所以，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：ABD11.如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（）A.在区间上是增函数B.在区间上是减函数，在区间上是增函数C.是的极大值点D.是的极小值点〖答案〗BCD〖解析〗根据图象知，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确；当时，取得是极大值，是的极大值点，故C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确.故选：BCD.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.依据不动点理论，下列说法正确的是（）A.函数有1个不动点B.函数有2个不动点C.若定义在R上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D.若函数在区间上存在不动点，则实数a满足（e为自然对数的底数）〖答案〗ACD〖解析〗对于选项,令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以所以在上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项正确；对于选项,令，则，所以在上单调递增，所以在上最多有一个零点，即最多只有一个“不动点”，故选项错误；对于选项，因为是上的奇函数，则为定义在上的奇函数，所以是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，所以一定有奇数个“不动点”，故选项正确；对于选项,因为函数在区间，上存在不动点，则在，上有解，则在，上有解，令，则，再令，则，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在，上恒成立，所以在，上单调递增，所以，，所以实数满足为自然对数的底数），故选项正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中任取3球，恰有两个白球的概率是__________．〖答案〗〖解析〗一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中任取3球，恰有两个白球的概率．故〖答案〗为：.14.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗由题意知，在上恒成立，则，解得.故〖答案〗为：．15.1260有__________个不同的正因数.（用数字作答）〖答案〗36〖解析〗，第一步，可以取，共3种，第二步，可以取，共3种，第三步，可以取，共2种，第四步，可以取，共2种，所以一共有种取法，对应36个不同的正因数.故〖答案〗：3616.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答）〖答案〗1560〖解析〗如图所示，用3种颜色涂色，则①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有种，用4种颜色涂色，则①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有种，用5种颜色涂色，则①、③、⑤、②、④异色，所以涂色方案有种，所以涂色方案共有种.故〖答案〗：1560.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知二项式的展开式中第三项的二项式系数为15.（1）求；（2）求展开式中的常数项.解：（1）由题意得，即，化简得，解得或（负值舍去）．所以.（2）由二项展开式的通项得，因为，令，得，所以常数项为．18.求函数，（1）求在处的切线方程；（2）求在区间内的值域.解：（1）由，可得，，故，所以在处的切线方程为，即所求的切线方程；（2）因为，令，解得或.当x变化时，及随x的变化而变化如下表所示．x-23+0-0+8↗极大值↘极小值↗18由上表可知当时，取得最小值；当时，取得最大值18.故在区间内的值域为.19.有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（算出具体数字）（1）排成前后两排，前排3人，后排4人；（2）全体排成一排，女生必须站在一起；（3）全体排成一排，男生互不相邻；（4）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解：（1）分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，所以一共有（种）；（2）将女生看成一个整体，进行全排列，有种，再与3名男生进行全排列有种，共有=（种）.（3）先排女生有种方法，再在空位中插入男生有种方法，故有（种）；（4）7名学生全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有（种）.20.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试,在备选的6道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)得0分.（1）求乙得分的分布列和数学期望;（2）规定:每个人至少得20分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.解：（1）设乙的得分为的可能值有乙得分的分布列为:X0102030P所以乙得分的数学期望为（2）乙通过测试的概率为甲通过测试的概率为,甲、乙都没通过测试的概率为所以甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为21.一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）．（1）求关于的函数表达式；（2）求的值，使体积最大；解：（1）梯形的面积.体积.（2）.令得或，，当时，为增函数；当时，为减函数；当时，体积最大.22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.解：（1）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，