山东省青岛市2023-2024学年高二上学期期末学业水平检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市2023-2024学年高二上学期期末学业水平检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设直线的倾斜角为，，由直线的一个方向向量为，得，则.故选：C．2.已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（）A. B.或 C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗，，由与互相垂直，有，解得或．故选：C．3.已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，，焦点为，则，解得，又，则双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离为．故选：B．4.正四面体各棱长均为，E，F，G分别是的中点，则（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因为E，F，G分别是的中点，四面体是正四面体，且棱长，所以.故选：D．5.点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（）A.与无关 B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设点，，因为动点在椭圆上，则，因为点到直线的距离为，所以，又，所以．故选：C．6.过三点，，的圆交轴于，两点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设圆的方程为，则

，，，∴，令，可得，

，

．故选：D．7.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列，所以，所以，由对勾函数性质可得：函数在上单调递减，在上单调递增，又为正整数，所以最小值为，故选：B8.已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（）A.准线的方程是 B.以为直径的圆与轴相切C.的最小值为 D.的面积最小值为〖答案〗C〖解析〗对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误.对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得，则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误.对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由，得，得，，，，易知直线的方程为，由，得，，，综上所得，的最小值为，故C正确．对于D：当直线的斜率不存在时，易得，，所以；当直线的斜率存在时，，故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误．故选：C．二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则（）A.这组数据的极差为 B.这组数据的众数为C.这组数据的中位数为或 D.这组数据的第百分位数为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，极差为，故A正确；对于B，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，，所以众数为，故B正确；对于C，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，，所以中位数为，故C错误；对于D，因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．故选：ABD10.下列有关直线与圆的结论正确的是（）A.方程表示的直线必过点B.过点且在，轴上的截距相等的直线方程为C.圆和圆的公共弦所在的直线方程为D.若圆上恰有个点到直线的距离等于，则〖答案〗ACD〖解析〗对于，方程可化为，直线过定点，故A正确；对于B，当截距为时，直线方程为，故B错误；对于C，圆的一般方程化为标准方程得，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，所以圆与圆相交．圆的标准方程化为一般方程得，与圆的一般方程作差，可得，即，所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为，故C正确；对于D，若圆上恰有个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离等于，即，解得，故D正确．故选：ACD11.在等比数列中，，，则（）A.的公比为 B.的前项和为C.的前项积为 D.〖答案〗AB〖解析〗对A，设等比数列的公比为，则，得，所以，所以，所以，所以数列的公比为，故A正确对B，因为，所以的前项和为，故B正确；对C，的前项积为，故C错误对D，因为，所以的前项和为，故D错误．故选：AB12.已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（）A.双曲线的离心率为B.存在点，使得四边形为正方形C.四边形的面积为D.四边形的周长最小值为〖答案〗BC〖解析〗A选项，由题意得，故，故，A错误；B选项，由双曲线的方程可得渐近线方程为，两渐近线夹角为直角，由对称性可知，若四边形为正方形，则到两条渐近线的距离相等，所以当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确；C选项，设，则

，因为渐近线方程为

，所以，所以，则四边形的面积为，故C正确；D选项，由C选项及基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．四边形的周长为，故D错误．故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有__________种用数字作答．〖答案〗〖解析〗可看成个坐着人的座位和个空座位排队，先安排个坐着人的座位，共有种坐法，产生个空，然后安排空座位到空中，相邻的两个空座位捆在一起，看作一个元素，有种坐法，然后再从剩余的个空中选择两个将空座位安上，因为空座位相同，所以只需要选出两个空位即可，有种坐法，所以共有种坐法．故〖答案〗为：．14.已知抛物线准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为__________．〖答案〗（任意一个均可以）〖解析〗与圆相切且与坐标轴平行或垂直的直线有，对应的抛物线方程有：故〖答案〗为：（任意一个均可以）15.已知是圆上任意一点，则的取值范围为__________．〖答案〗〖解析〗设，变形可得，则的几何意义为直线的斜率，是圆上任意一点，圆心，半径为，则，解得，即的取值范围为.故〖答案〗为：.16.已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则__________；使得不等式成立的的最小值为__________．〖答案〗①②12〖解析〗依题意，令，得，当为奇数时，可以被整除，于是，当为偶数时，不能被整除，则，所以；当为奇数时，为偶数，，即，而，则，即，又为奇数，则的最小值为，当为偶数时，为奇数，，而，则，即，因此的最小值为，所以的最小值为.故〖答案〗为：；四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知点，，中恰有两个点在抛物线上．（1）求的标准方程（2）若点，在上，且，证明：直线过定点．解：（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称，所以点，在上，将点代入抛物线得，，即，所以抛物线的方程为：；（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为，由消得：，由韦达定理得，所以直线，显然恒过定点．18.已知数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式（2）设，记数列的前项和为，证明．解：（1）由，当时，则，可得，则；当时，则，可得；综上所述：可得，可知是首项为，公比为等比数列，所以的通项公式为.（2）由（1）可知：，可得．所以．19.已知点，，动点满足．（1）求动点的轨迹方程（2）一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程．解：（1）设，由得，化简得，动点的轨迹方程为：；（2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0，当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为，此时直线与无交点，不合要求，舍去，当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在，设其方程为，即为，设圆心到反射直线的距离设为，则，所以，解得舍去或．所以反射光线所在直线的方程为．20.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．解：（1）由题意四边形是直角梯形，，，∴，∴，又平面，平面，∴，，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，设，则．，，，，，设平面的一个法向量是，则，令，则，平面的一个法向量是，设二面角P－AC－E有大小，则，解得，，记直线PA与平面EAC所成角为，，∴．21.在通信技术中由和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，，．（1）求，（2）求数列中，，的递推关系（3）记是数列的前项和，证明：为定值．解：（1）由题意知，长为3的序列中任何两个不相邻的序列为：，所以.设长为的序列中任何两个不相邻的序列有个，考虑最后一个数：若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个；若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，满足要求的序列有个，所以；（2）考虑长度为的序列最后一个数：若最后一位是，则只要前位任何两个不相邻，则满足要求的序列有个；若最后一位是，则倒数第二位是，只要前位任何两个不相邻即可，则满足要求的序列有个，所以；（3）由（2）知，，所以，所以，所以数列是常数列，所以为定值.22.已知双曲线与椭圆