2024届河南省范县第一中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析

2024届河南省范县第一中学高三下学期第六次检测数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．2．已知是函数的极大值点，则的取值范围是A． B．C． D．3．集合的真子集的个数是（）A． B． C． D．4．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．5．是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．抛物线的准线方程是，则实数（）A． B． C． D．7．已知斜率为2的直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A．1 B． C．2 D．48．已知集合，，则A． B．C． D．9．若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（）A． B． C． D．10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙11．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.512．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______.14．双曲线的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.15．已知函数在上仅有2个零点，设，则在区间上的取值范围为_______．16．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为：2340.4其中，（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元）（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）若，求的数学期望的最大值.18．（12分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.19．（12分）已知函数,．（1）当x≥0时，f（x）≤h（x）恒成立，求a的取值范围；（2）当x＜0时，研究函数F（x）=h（x）﹣g（x）的零点个数；（3）求证：（参考数据：ln1.1≈0.0953）．20．（12分）已知动圆E与圆外切，并与直线相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得，求直线l的斜率k的取值范围.21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点.为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若，求的值；⑶设直线，的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

基本事件总数，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，其和等于的概率．故选：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2、B【解析】

方法一：令，则，，当，时，，单调递减，∴时，，，且，∴，即在上单调递增，时，，，且，∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，∴时，，所以，这与是函数的极大值点矛盾．综上，．故选B．方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B．3、C【解析】

根据含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，计算可得；【详解】解：集合含有个元素，则集合的真子集有（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有个元素的集合，有个子集，有个真子集，属于基础题．4、D【解析】

求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.【详解】的定义域为，，当时，，故在单调递减；不妨设，而，知在单调递减，从而对任意、，恒有，即，，，令，则，原不等式等价于在单调递减，即，从而，因为，所以实数a的取值范围是故选：D.【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.5、B【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】所以（逆否命题）必要性成立当，不充分故是必要不充分条件，答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.6、C【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选：C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.7、C【解析】

设直线l的方程为x＝y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．【详解】由已知得F（，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0（y1+y2）＝，所以p=2,故选C．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．8、D【解析】

因为，，所以，，故选D．9、C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1．所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10、A【解析】

利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．11、B【解析】

根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确；故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.12、C【解析】试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．考点：函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示，再由双曲线a，b，c关系表示，最后结合双曲线离心率公式计算得答案.【详解】因为双曲线为，所以该双曲线的渐近线方程为.又因为其一条渐近线经过点，即，则，由此可得.故答案为：.【点睛】本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题.14、【解析】

通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果．【详解】由双曲线，可得，，则，所以双曲线的焦点坐标是，渐近线方程为：．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题．15、【解析】

先根据零点个数求解出的值，然后得到的解析式，采用换元法求解在上的值域即可.【详解】因为在上有两个零点，所以，所以，所以且，所以，所以，所以，令，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难.对形如的函数的值域求解，关键是采用换元法令，然后根据，将问题转化为关于的函数的值域，同时要注意新元的范围.16、【解析】

化简得到，，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案.【详解】，即，，故.根据余弦定理：，即.当时等号成立，故.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望的最大值为280【解析】

（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，由独立重复事件的特点得出，利用二项分布的概率公式，即可求出结果；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由题意知，，解得，根据的分布列，得出的数学期望，结合，即可算出的最大值.【详解】解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，则，则，故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，，，，，的分布列为：2002503003504000.16（ⅱ），由题意知，，，，，又，即，解得，，，当时，的最大值为280，所以的数学期望的最大值为280.【点睛】本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力.18、（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】

（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以，①当时，，在上单调递减.②当时，令，则；令，则，所以在单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，可知，，令，得.设，则.当时，，在上单调递增，所以在上的值域是，即.当时，没有实根，且，在上单调递减，，符合题意.当时，，所以有唯一实根，当时，，在上单调递增，，不符合题意.综上，，即的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.19、（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】

（1）令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），求得导数，讨论a＞1和a≤1，判断导数的符号，由恒成立思想可得a的范围；（2）求得F（x）=h（x）﹣g（x）的导数和二阶导数，判断F'（x）的单调性，讨论a≤﹣1，a＞﹣1，F（x）的单调性和零点个数；（3）由（1）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令；由（2）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，结合条件，即可得证．【详解】（Ⅰ）解：令H（x）=h（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1）（x≥0），则，①若a≤1，则，H'（x）≥0，H（x）在[0，+∞）递增，H（x）≥H（0）=0，即f（x）≤h（x）在[0，+∞）恒成立，满足，所以a≤1；②若a＞1，H′（x）=ex﹣在[0，+∞）递增，H'（x）≥H'（0）=1﹣a，且1﹣a＜0，且x→+∞时，H'（x）→+∞，则∃x0∈（0，+∞），使H'（x0）=0进而H（x）在[0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以当x∈（0，x0）时H（x）＜H（0）=0，即当x∈（0，x0）时，f（x）＞h（x），不满足题意，舍去；综合①，②知a的取值范围为（﹣∞，1]．（Ⅱ）解：依题意得，则F'（x）=ex﹣x2+a，则F''（x）=ex﹣2x＞0在（﹣∞，0）上恒成立，故F'（x）=ex﹣x2+a在（﹣∞，0）递增，所以F'（x）＜F'（0）=1+a，且x→﹣∞时，F'（x）→﹣∞；①若1+a≤0，即a≤﹣1，则F'（x）＜F'（0）=1+a≤0，故F（x）在（﹣∞，0）递减，所以F（x）＞F（0）=0，F（x）在（﹣∞，0）无零点；②若1+a＞0，即a＞﹣1，则使，进而F（x）在递减，在递增，，且x→﹣∞时，，F（x）在上有一个零点，在无零点，故F（x）在（﹣∞，0）有一个零点．综合①②，当a≤﹣1时无零点；当a＞﹣1时有一个零点．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，ex＞1+ln（x+1）对x＞0恒成立，令，则即；由（Ⅱ）知，当a=﹣1时，对x＜0恒成立，令，则，所以；故有．【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点存在定理的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意让含有自变量的函数式子尽量简单一些．20、（1）；（2）.【解析】

（1）根据抛