2025版高考数学一轮总复习第7章立体几何第5讲空间向量及其运算课件

第五讲空间向量及其运算知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量，其大小叫做向量的________或______.(2)零向量：长度为______的向量，记作0；零向量与任意向量共线，0∥a；单位向量：模为______的向量；相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a；相等向量：方向________且模________的向量．大小方向长度模01相同相等(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________或________，则这些向量叫做____________或____________.(4)共面向量：平行于同一________的向量叫做共面向量．平行重合共线向量平行向量平面2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律向量a，b的数量积a·b＝__________________.〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直|a||b|cos〈a，b〉(2)空间向量数量积的运算律结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交换律：a·b＝b·a；分配律：a·(b＋c)＝__________________.a·b＋a·c知识点二空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则

向量表示坐标表示数量积a·b________________________共线a＝λb(b≠0)__________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a|__________________夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_____________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0知识点三两个重要的向量1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有________个，它们是共线向量．无数无数知识点四空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇒n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n、mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0归

纳

拓

展1．向量三点共线定理2．向量四点共面定理3．|a|2＝a·a；|a·b|≤|a|·|b|.4．a·b>0⇔a、b的夹角为锐角或0角．即“a·b>0”是“a、b的夹角为锐角”的必要不充分条件．5．向量法证明空间的线面平行或垂直双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(

)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(

)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(

)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(

)(5)平面的单位法向量是唯一确定的．(

)(6)若两平面的法向量垂直，则两平面垂直．(

)√××××√题组二走进教材D[解析]

∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，3．(选择性必修1P14T2)(2023·河南驻马店模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

)A题组三走向高考4．(多选题)(2021·全国新高考Ⅱ)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(

)BC[解析]

不妨设正方体棱长为2，对于A，BD考点突破·互动探究空间向量的线性运算——自主练透2．(多选题)在四面体P－ABC中，以下说法正确的有(

)ABC名师点拨：用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．【变式训练】A空间向量共线、共面定理的应用——师生共研(2)当k＝0时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，A．2 B．－2C．1 D．－1D名师点拨：1．证明空间三点P、A、B共线的方法2．证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面．【变式训练】C空间向量的数量积及其应用——师生共研1.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC所成角的余弦值．BA名师点拨：空间向量数量积的应用【变式训练】(2023·河南驻马店期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，CD⊥平面PAD.AB＝6，∠BAD＝60°，PC＝AD＝2PD＝2BC＝4，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为(

)D利用向量证明(判断)空间的平行与垂直——师生共研(2023·山东青岛胶州实验学校期中)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．(1)求证：PA⊥BD；(2)在线段AB上是否存在一点G，使得直线BC∥平面PEG？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．[解析]

(1)证明：取BA的中点H，连EH，在梯形ABCD中，由题意易知EH⊥AD，∵PA＝PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EH，PE⊥AD，∴AE、EH、EP两两垂直，名师点拨：1．建立空间直角坐标系时尽可能地利用图形中的垂直关系，要准确写出相关点的坐标，进而确定向量的坐标．2．用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行①证明两平面的法向量平行(即为共线向量)②转化为线面平行、线线平行问题3.利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直【变式训练】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．(1)求证：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD.[证明]

以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(0,1,4)．又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，又GF∩EF＝F，GF⊂平面EGF，EF⊂平面EGF，∴平面EGF∥平面ABD.名师讲坛·素养提升空间几何体建系策略建系的原则：关注图形对称性，使求解问题相关的元素尽可能多的落在坐标轴或坐标平面上，以便于确定点或向量的坐标，简化后续计算，注意构建右手系．建系的技巧：1．利用共点且两两垂直的三条直线建系(即“墙角”型)——分别以三条直线所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．当条件不明显时，要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直＋面内两条线垂直)，这个过程不能省．建系后对坐标不易确定的点，通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值来确定．常见类型：2．利用线面垂直关系建系——常以此直线或与此直线平行的直线为z轴，在垂面内找到x轴，y轴，建立空间直角坐标系．(面面垂直或知某点在平面内的射影转化为线面垂直问题)证明：PC⊥平面BED.注：本题也可以分别以OC、OD所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系，或分别以AB、PA所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系．3．利用正棱锥(或正棱台或正棱柱)底面中心和高所在直线建系；4．无线面垂直关系，但某一平面内有两条垂直直线——常以这两直线为两坐标轴建立空间直角坐标系．

如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，建立适当的坐标系并求出各点坐标．

[解析]

解法一：取AD中点O，连接BO，PO