2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第5讲复数课件

第五讲复数知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一复数的有关概念2．复数相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c且b＝d.

a－bi|z||a＋bi|知识点二复数的几何意义1．复平面的概念：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做________，y轴叫做________.2．实轴上的点都表示________；除了原点外，虚轴上的点都表示__________.实轴虚轴实数纯虚数知识点三复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_______________________；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________________；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________________；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数的运算律：复数加法满足交换律、结合律(1)交换律：z1＋z2＝__________；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__________________.z2＋z1z1＋(z2＋z3)归

纳

拓

展1．两个虚数不能比较大小，但虚数的模可以比较大小．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2－x＋1＝0没有解．()(2)原点是实轴与虚轴的交点．()(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(4)复数z＝3－2i中，虚部为－2i.()(5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．()(6)若a∈C，则|a|2＝a2.()×√××××题组二走进教材2．(必修2P73T2改编)已知i为虚数单位，复数z满足iz－5为纯虚数，则z的虚部为()A．5 B．5iC．－5i D．－5DCA．E B．F

C．G D．HD题组三走向高考A．－i B．iC．0 D．1A6．(2023·新课标Ⅱ，1,5分)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限

D．第四象限[解析]

(1＋3i)(3－i)＝6＋8i，对应的点(6,8)位于第一象限，故选A.A7．(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝()A．1 B．5C．7 D．25B考点突破·互动探究复数的基本概念——自主练透1.(2020·浙江)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝()A．1

B．－1

C．2

D．－2[解析]

因为a－1＋(a－2)i为实数，a∈R，所以a－2＝0.解得a＝2，故选C.C2．(2020·江苏)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是______.[解析]

z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i＋1＝3＋i，∴z的实部为3.3A．第一象限 B．第二象限C．第三象限

D．第四象限A4．(2023·全国乙文，1,5分)|2＋i2＋2i3|＝()A．1 B．2C5．(2023·全国甲理，2,5分)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C复数的运算——多维探究角度1复数的乘法运算1.(2020·课标Ⅱ)(1－i)4＝()A．－4

B．4

C．－4i

D．4i[解析]

(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝4i2＝－4，故选A.ADA．－2 B．－1C．1 D．2D角度2复数的除法运算A．－1

B．1

C．1－i

D．1＋iC－2角度3复数的综合运算1.(2021·全国甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()B解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)．由(1－i)2z＝3＋2i得(1－i)2(a＋bi)＝3＋2i，∴－2i(a＋bi)＝2b－2ai＝3＋2i，A．4 B．5C．6 D．8B3．已知z是复数，z＋2i，z(1＋i)均为实数(i为虚数单位)，且复数z2＋t在复平面上对应的点在第一，三象限角平分线上，则实数t的值是_______.[解析]

设z＝x＋yi(x，y∈R)∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意知y＝－2，z(1＋i)＝(x－2i)(1＋i)＝(x＋2)＋(x－2)i，由题意得x＝2，所以z＝2－2i，所以z2＋t＝(2－2i)2＋t＝t－8i，因为复数z2＋t在复平面上对应的点在第一，三象限角平分线上，所以t＝－8.－8名师点拨：复数运算的技巧1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度．简单的复数方程的解法1．利用复数的四则运算求解即可．2．待定系数法：设z＝a＋bi(a、b∈R)代入方程，利用复数相等的条件、列出关于a、b的方程组(复数问题实数化)求解．【变式训练】1．(角度1)(2022·全国新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i[解析]

(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.DA．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋iBA．i B．1＋iC．3－i D．3＋iD复数的几何意义——师生共研1.0,3＋2i，－2＋4i在复平面内对应的点为平行四边形OABC的顶点O，A，C.试求：(3)B点对应的复数．即B点对应的复数为1＋6i.名师点拨：复数几何意义及应用2．|z|表示复平面内复数z对应的点到原点的距离；|z1－z2|表示复平面内复数z1、z2对应的两点间的距离．3．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．【变式训练】1．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)则()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1[解析]

解法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.解法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.CA.3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4iB名师讲坛·素养提升与复数模有关问题的解法1.若复数z满足|z|＝1，则|z－3＋4i|的最大值为______.[解析]